ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Υπολογισµός Διατµητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο ) 2. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Επ. Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας και Υδρογεωλογίας ΑΠΘ
Γιατί µελετάµε τις τάσεις; Ανάλογα µε το πώς κατανέµονται οι τάσεις στο έδαφος ή στο βράχο, όπου κατασκευάζονται τα τεχνικά έργα, εξαρτώνται οι παραµορφώσεις και οι αστοχίες που µπορεί να προκληθούν στα γεωυλικά. Υπολογίζονται είτε αναλυτικά είτε µε αριθµητικές µεθόδους (π.χ. πεπερασµένα στοιχεία).
Γιατί µελετάµε τις τάσεις; 1. Κατά την κατασκευή τεχνικών έργων οι τάσεις µεταβάλλονται δραµατικά. Ο βράχος ή έδαφος ο οποίος εκσκάπτεται, περιείχε πριν τάσεις και αυτές οι τάσεις πρέπει να παραληφθούν αλλού. 2. Τα περισσότερα κριτήρια αστοχίας σχετίζονται µε τη παραµορφωσιµότητα και την αντοχή του γεωυλικού και η ανάλυση αυτών περιλαµβάνει τις τάσεις.
Τύποι τάσεων Υδροστατική τάση: Οι τάσεις είναι ίδιες σε όλες τις διευθύνσεις Θλιπτική (συµπιεστική) τάση Εφελκυστική τάση Διατµητική τάση
Διατµητικές τάσεις Διατµητική τάση (τ): Η τάση που ασκείται εφαπτοµενικά σε ένα επίπεδο Ορθή τάση (σ n ): Η τάση που ασκείται κάθετα σε ένα επίπεδο
Από Δηµόπουλος Γ., Σηµειώσεις Τεχνικής Γεωλογίας Διατµητικές τάσεις
Παράδειγµα διατµητικής αστοχίας και παραµόρφωσης γεωυλικού σε πρανές Διατµητικές τάσεις τ xy στην οριακή κατάσταση αστοχίας
Παράδειγµα διατµητικής αστοχίας και παραµόρφωσης γεωυλικού Σηµεία αστοχίας γεωυλικού στην οριακή κατάσταση αστοχίας Σηµεία διατµητικής αστοχίας Σηµεία αστοχίας σε εφελκυσµό
Ασκήσεις 2 ο Μάθηµα 1 η Ενότητα Κύκλος Mohr Υπολογισµός Διατµητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο )
Κύκλος Mohr
Ποιο είναι το πρόβληµα??? q Μπορούµε να υπολογίσουµε σε ένα εδαφικό στοιχείο τα φορτία που δέχεται (µέγεθος και φορά). q Θέλουµε να ξέρουµε εάν αστοχεί. q Δεν γνωρίζουµε, όµως, ποιο είναι το κρίσιµο επίπεδο. q Γιατί η εντατική κατάσταση είναι διαφορετική σε κάθε επίπεδο. q Εποµένως, χρειάζεται να ξέρουµε, ΜΕ ΚΑΠΟΙΟ ΤΡΟΠΟ, τους συνδυασµούς των τάσεων που ασκούνται σε κάθε επίπεδο
z x σ zz τ zx τ σ θ τ τ xz σ xx σ
Ψάχνω τις ακραίες σ Ασκούνται σε επίπεδα, όπου τ = 0 Ονοµάζονται κύριες τάσεις και τα αντίστοιχα επίπεδα κύρια επίπεδα σ 3 = Ελάχιστη κύρια τάση σ 1 = Μέγιστη κύρια τάση τ σ 3 σ 1 σ
Ψάχνω τις ακραίες τ Ασκούνται σε επίπεδα, όπου σ = (σ 1 + σ 3 )/2 τ min = - (σ 1 - σ 3 )/2 τ max = (σ 1 - σ 3 )/2 τ Άρα για τα άπειρα επίπεδα τ max σ 3 σ 1 σ τ min
z Α x σ zz Έστω ότι τα επίπεδα Α και Β είναι τα κύρια επίπεδα τ zx σ θ τ τ xz B σ xx
Άρα σ 1 θ σ n τ σ 3
Εποµένως... Κύκλος Mohr τ τ max σ 3 σ 1 σ τ min
Συνεχίζοντας... Γνωρίζοντας τις τάσεις που ασκούνται σε δύο επίπεδα µπορούµε να σχεδιάσουµε τον κύκλο του Mohr Αρκεί, όµως, αυτό???? ΟΧΙ...Γιατί ξέρουµε τους συνδυασµούς των τάσεων, αλλά δεν ξέρουµε σε ποιο επίπεδο εφαρµόζεται ο καθένας Εποµένως, εκτός από τις τάσεις σε δύο επίπεδα χρειαζόµαστε και τη διεύθυνση ενός εξ αυτών για να βρούµε Τον πόλο των επιπέδων
Άρα σ 1 τ θ σ n τ σ 3 τ Π σ 3 σ 1 σ n σ Π
Άρα τ Περιβάλλουσα θραύσης σ 1 φ σ n θ τ σ 3 τ c r Ακτίνα: (σ 1 - σ 3 ) / 2 σ n σ 3 σ 1 σ Κέντρο κύκλου: (σ 1 + σ 3 ) / 2 τ = c + σ n tanφ
Άρα τ Περιβάλλουσα θραύσης σ 1 φ σ n τ θ ω σ 3 τ c θ σ 3 ω σ n σ 1 σ (σ 1 + σ 3 ) / 2
Υπολογισµός παραµέτρων διατµητικής αντοχής (Συνοχή c και γωνία τριβής φ)
Παράδειγµα άσκησης* Κατά τη στιγµή της θραύσης σε τριαξονική δοκιµή αδιατάρακτου αργιλικού δείγµατος µετρήθηκαν σ n =64Kg/cm 2, τ f =22Kg/cm 2 και γωνία της επιφάνειας θραύσης µε τον άξονα σ 1, θ=35 ο. Να βρεθούν σ 1 και σ 3 γωνία τριβής φ και συνοχή c του δείγµατος. * Άσκηση από «Προβλήµατα Τεχνικής Γεωλογίας», Γ. Δηµόπουλος & Θ. Μακεδών, 2008
Παράδειγµα άσκησης* Δεδοµένα: σ n =64Kg/cm 2 και τ=22kg/cm 2 Η επιφάνεια θραύσης σχηµατίζει γωνία θ 35 ο µε την κύρια τάση σ 1
Άσκηση Α1 Στον παρακάτω πίνακα σας δίνονται αποτελέσµατα τριαξονικών δοκιµών και αστοχίας δειγµάτων αργίλου υπό αστράγγιστες συνθήκες. Πλευρική πίεση (kn/m2) Διαφορά κυρίων τάσεων (kn/m2) Πίεση πόρων (kn/m2) 150 192 80 300 341 154 450 504 222! 1. Υπολογίστε τις τιµές των κύριων ενεργών τάσεων 2. Υπολογίστε την συνοχή c και γωνία τριβής φ της αργίλου.
Ασκήσεις 2 η Ενότητα Άµεση Διάτµηση
Δοκιµή άµεση διάτµησης τ σ Συνοχή c=0 τ=σ τ = c + σʹ tan n tanφ φ
Πειραµατικός υπολογισµός διατµητικής αντοχής ασυνεχειών
Διάγραµµα διατµητική τάσης (τ) µετατόπισης (Δl) Σχεδιασµός διαγράµµατος τ Δl. Υπολογισµός µέγιστης διατµητικής τάσης η οποία αντιστοιχεί στη διατµητική αντοχή (τ f ) Υπολογισµός παραµένουσας διατµητικής αντοχής (τ r ) τ f τ r τ f τ r σ n
Σχεδιασµός δεκαδικού διαγράµµατος σ n τ από ζεύγη τιµών (επανάληψη της δοκιµής για διαφορετικό σ n ) Σχεδιασµός της ευθείας περιβάλλουσας θραύσης (Γραµµική εξίσωση Mohr-Coulomb) Υπολογισµός φ (εκτός αν έχει συνοχή λόγω συγκόλλησης και c)
Άσκηση B1 Μία σειρά από δοκιµές άµεσης διάτµησης εκτελέστηκαν σε δοκίµια άµµου.τα αποτελέσµατα κατά την αστοχία των δειγµάτων είναι: Υπολογίστε τη συνοχή c και τη γωνία τριβής φ της αργίλου.
Άσκηση B2 Σε δείγµα αµµώδους ιλύος χωρίς συνοχή εκτελέστηκε δοκιµή άµεσης διάτµησης. Η ορθή τάση ήταν σ n =65KPa και η διατµητική τάση που µετρήθηκε κατά την αστοχία τ=41kpa. Να σχεδιαστεί ο κύκλος του Mohr κατά την αστοχία και να προσδιοριστούν: Ζητούµενα: Οι κύριες τάσεις σ 1 και σ 3, η γωνία τριβής φ και η τ max Η κλίση του επιπέδου αστοχίας Η κλίση των κυρίων επιπέδων (επιπέδων πάνω στα οποία δρουν οι κύριες τάσεις σ 1 και σ 3 ) καθώς και του επιπέδου της µέγιστης διατµητικής τάσης τ max
1. Από το σηµείο τ-σ n (A) φέρνω κάθετη στη ευθεία - περιβάλλουσα θραύσης. Το σηµείο Κ που τέµνει τον άξονα σ n είναι το κέντρο του Κύκλου Mohr. 2. Η απόσταση ΑΚ είναι και η ακτίνα του κύκλου 3. Πάνω στον άξονα των ορθών τάσεων σ n µετρώ ΑΚ προς τα αριστερά και βρίσκω την σ 3 και δεξιά και βρίσκω την σ 1 4. Από το Α φέρνω παράλληλη προς την επιφάνεια θραύσης και βρίσκω τον πόλο (Π) 5. Ενώνω το σ 3 µε το Π και η γωνία ισούται µε θ( ο ) 6. Ενώνω το σ 1 µε το Π και η γωνία ισούται µε 90-θ( ο ) 7. Ενώνω το σ 3 µε το Α και η γωνία ισούται µε 45 ο + φ/2 8. Ενώνω το σ 1 µε το Α και η γωνία ισούται µε 45 ο - φ/2 Α Π Κ θ σ σ Συνοχή c=0 3 1 ΑΚ ΑΚ
Γεωστατικές τάσεις
Γεωστατικές τάσεις Είναι οι τάσεις που αναπτύσσονται στο εσωτερικό του εδάφους λόγω του ιδίου βάρους του υπό στατικές συνθήκες Η διαδικασία που θα µάθουµε ισχύει µόνο για οριζόντια επιφάνεια εδάφους
Γεωστατικές τάσεις Έστω οριζόντια εδαφική επιφάνεια ρ = Πυκνότητα εδάφους g = Επιτάχυνση της βαρύτητας γ = Ειδικό βάρος εδάφους γ = ρg h
Γεωστατικές τάσεις 1. Η ολική τάση (σ): Η δύναµη η οποία ασκείται επί επιπέδου στην µάζα του εδάφους, αν θεωρήσουµε το έδαφος ένα εννιαίο στέρεο υλικό. 2. Η πίεση πόρων (u): Αποτελεί την πίεση του νερού που βρίσκεται µέσα στα κενά, ανάµεσα στα σωµατίδια το εδάφους. 3. Η ενεργή τάση (σ ): Αποτελεί τη τάση που µεταδίδεται µόνο στον «σκελετό» - επιφάνεια επαφής των σωµατιδίων.
Γεωστατικές τάσεις (Ενεργές τάσεις) σ = σ '+ u σ ' = ΣΝ' Α σ = P Α Ισχύει: Όπου P η φόρτιση που ασκείται στην επιφάνεια Α, κατά µήκος επιπέδου Χ-Χ. Η δύναµη που ασκείται ανάµεσα στους κόκκους αναλύεται σε ορθή (Ν ) και διατµητική (Τ). P = ΣΝ'+ uα P Α = ΣΝ' Α + u σ = σ '+ u
Γεωστατικές Γεωστατικές τάσεις τάσεις (Ενεργές (Ενεργές τάσεις) τάσεις) σ = σ '+ u σ v = γ sat z u = γ w z σ ' v = σ v u = (γ sat γ w )z = γ 'z Κο=σ h /σ v ή Κο=σ h /σ v
Γεωστατικές τάσεις h Άρα οι σ v, σ h είναι κύριες τάσεις και µάλιστα αφού συνήθως k o <1 σ v σ 1 σ h = k o σ v τ = 0 σ v =? τ =? σ v = γh τ = 0 σ h σ 3
Γεωστατικές τάσεις h k o = ν / (1-ν) Με βάση τη θεωρία της ελαστικότητας σ h = k o σ v τ = 0 σ v = γh τ = 0
Γεωστατικές τάσεις Τι γίνεται, όµως, όταν υπάρχει και νερό? Δηλαδή, υπάρχει και υπόγειος υδροφόρος ορίζοντας...
Γεωστατικές τάσεις Έστω οριζόντια επιφάνεια υπόγειου υδροφόρου ορίζοντα Το τµήµα του εδάφους που βρίσκεται εντός του Υ.Υ.Ο. δέχεται άνωση Για τη µελέτη του φαινοµένου ορίζουµε το µέγεθος της ενεργού τάσης h h w
As Αtot = As +Aw Aw
As σ =ΣFs/Atot Αtot = As +Aw ΣFs Aw ΣFw
Γεωστατικές τάσεις h h w Σηµείωση: Σε ένα επίπεδο ακόµη και αν η συνολική τ δεν είναι µηδέν ισχύει πάντα τ = τ Γιατι? Γιατί, όπως προκύπτει από τη Μηχανική των Ρευστών, τα ρευστά δεν παραλαµβάνουν διάτµηση. σ h = k o σ v σ h = σ h +u τ = τ = 0 u = γ w h w σ v = γh σ v = σ v +u τ = τ = 0
Γεωστατικές τάσεις Διαδικασία υπολογισµού τάσεων h h w σ v = γh u = γ w h w σ v = σ v -u σ h = σ h -u σ h = k o σ v
Παράδειγµα Παράδειγµα υπολογισµού ολικών (σ ν ) και ενεργών τάσεων (σ ν ) και πιέσεων πόρων (u) Για την άργιλο: γ κορ =19 kn/m 3 Για την άµµο: γ κορ =20kN/m 3 Για την άµµο: γ ξηρ =17 kn/m 3 (πάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα Υ.Ο. Άµµος Άργιλος
Άσκηση Γ1 Σας δίνεται η στρωµατογραφία ενός λιµναίου περιβάλλοντος. Στην τοµή σηµειώνεται η πυκνότητα των εδαφών pκορ, ο συντελεστής ωθήσεως γαιών Κο. και η στάθµη της λίµνης. Τοµή εδάφους όπου σηµειώνεται η πυκνότητα των εδαφών (ρ πάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα και p κορ κάτω από τον υδροφόρο ορίζοντα), ο συντελεστής ωθήσεως γαιών Κ ο η στάθµη του υδροφόρου ορίζοντα (Σ.Υ.Ο.) και τα σχετικά βάθη.!
Άσκηση Γ1 Για τη γεω-στατική εντατική κατάσταση της εδαφικής τοµής του σχήµατος να συµπληρωθεί ο ακόλουθος πίνακας: Σηµείωση: Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=9.81m/sec 2. Για ευκολία στις πράξεις θεωρούµε g=10m/sec 2.
Άσκηση Γ2 Σας δίνεται η στρωµατογραφία σε θέση όπου σχεδιάζεται να γίνει η κατασκευή σταθµού µητροπολητικού σιδηροδρόµου (ΜΕΤΡΟ). Ένα στρώµα αργίλου πάχους 2.5m απαντάται ανάµεσα σε δύο στρώµατα άµµου πάχους 6m και 4m (άνω και κάτω αντίστοιχα), όπου το ανώτερο στρώµα βρίσκεται στην επιφάνεια του εδάφους. Η στάθµη του υδροφόρου ορίζοντα είναι 3m υπό την επιφάνεια του εδάφους ενώ το κάτω στρώµα άµµου (κάτω από την άργιλο) βρίσκεται υπό αρτεσιανή πίεση όπου η πιεζοµετρική επιφάνεια είναι 0.5m κάνω από την επιφάνεια του εδάφους. Το φαινόµενο βάρος της άµµου πάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα ρ είναι 16 ΚΝ/m 3. Το φαινόµενο βάρος της άµµου κάτω από τον υδροφόρο ορίζοντα pκορ είναι 18.5 ΚΝ/m 3 και της αργίλου 22 ΚΝ/m 3.
Άσκηση Γ2 ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ: Αφού σχεδιάσετε τη στρωµατογραφία του προβλήµατος, ζητούνται: 1. Υπολογίστε τις ενεργές τάσεις στην οροφή και στο δάπεδο του αργιλικού στρώµατος. 2. Ποια τα προβλήµατα στη κατασκευή του σταθµού από την ύπαρξη αρτεσιανισµού; 3. Προτείνετε τρόπους να αντιµετωπίσετε τις ανωστικές πιέσεις από τις πιέσεις πόρων που θα αναπτυχθούν στο δάπεδο του σταθµού (π.χ. και από επιπλέον πιθανές περιπτώσεις αρτεσιανισµού από ορίζοντες άµµου µέσα σε αργιλικό περιβάλλον).
Βιβλιογραφία 1. Craig R.F. (2003). Craig s Soil Mechanics. Spon Press. 2. Δηµόπουλος Γ. (2008). Τεχνική Γεωλογία. Εκδόσεις Αφοί Κυριακίδη. 3. Δηµόπουλος Γ & Μακεδών Θ., (2008). Προβλήµατα Τεχνικής Γεωλογίας. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη. 4. Καββαδάς Μ. Σηµειώσεις µαθήµατος Εδαφοµηχανική Ι, Σχολή Πολ. Μηχ/κων, Ε.Μ.Π. 5. Φορτσάκης Π. Παρουσιάσεις ασκήσεων Εδαφοµηχανική Ι, Σχολή Πολ. Μηχ/κων, Ε.Μ.Π. 6. Χρηστάρας Β., Χατζηαγγέλου Μ. (2011). Απλά βήµατα στην εδαφοµηχανική. University Studio Press.