. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε n Άρα t t, t,8,,8 n n n n n n,7 n t,8 ( n t,8 n n (,8,8,8 n,8,. Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε n Άρα t t,5 t,,,8 n n n n n n, 5 n t 5, ( n t, 5 n n (,,, n,,5. Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε,6 t t t,6,6,6 n n n n n n n sc Άρα n t,6 ( t6 (,6 n 6,6,,6 n,6 n,6 n Physics by Chris Siopoulos sc sc
. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε t t,7,7,7 n n,7,7n n n,7 n ώ,7,. α Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε t, t,, n n n n n n sc Μετά από πλήρεις ταλαντώσεις το πλάτος θα είναι ίσο με t, n t,, n,,,5 n8 8 β Από τη σχέση της αρχικής ενέργειας έχουμε D D, D,6 D, n n 5 Nt /, Η ενέργεια που χάνεται στη πρώτη ταλάντωση είναι D D 5,5 5,,6875 Joul 5. Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε n n n t t t n n n tn n n t n t sc Το πλάτος ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t =t είναι t t, n,,,5 n8 8, n n t, n n, n n Physics by Chris Siopoulos 6. α Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε
. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ, t, t, t, t n n,7,tn n n,t n t 5 sc, Άρα t 5 5, ώ β Τις ταλαντώσεις πραγματοποιεί ο ταλαντωτής σε χρόνο t= sc οπότε t,5 t,5 n,5, n,5,5 n,7,5,7,5,7,5,5,5 n 7. α Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε β Έχουμε,6 t t t t,6,6 n,6,6, n,6,6 n,6,6 n,6 (,6 n γ Τις 7 ταλαντώσεις πραγματοποιεί ο ταλαντωτής σε χρόνο t=8 sc οπότε t t 8,6 n 8,6,6,6 65 n 56 56 6 8n,6 n 8,6 n 8 8. α Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε n n n n t tt t t t n n n n t n n n t n t n t sc β Σε κάθε ταλάντωση το πλάτος μειώνεται κατά 9% δηλαδή το πλάτος στο τέλος της πρώτης ταλάντωσης είναι ίσο με το 8% του αρχικού πλάτους Physics by Chris Siopoulos 8 8% D D, 9
. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Οπότε το ποσοστό μεταβολής του πλάτους είναι,9 % %, % % 9. α Από τη σχέση της ενέργειας έχουμε D D Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε,7 t tt,7 t,7 t,7 t n n,7,7t n n n,7t n t t sc,7 β Τη χρονική στιγμή t το πλάτος της ταλάντωσης είναι,7 t tt n n,7 t,7 8 Άρα η ενέργεια ταλάντωσης θα είναι ίση με D D( D,65 Joul 8 6 6 6 5. α Είναι sc και f Hz D 5 β Μετά από μια πλήρη ταλάντωση το πλάτος είναι ίσο με 8%,8,,6 Η ενέργεια που χάνεται στη πρώτη ταλάντωση είναι D D,6,,7 Joul γ Σε χρόνο t το σύστημα εκτελεί t 6,8 ώ 5 Θα βρούμε την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση n Physics by Chris Siopoulos
5. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ t,6 t,6, n n n n n n sc Θέτοντας t=τ έχουμε t, t, n n,,, Άρα για την απώλεια ενέργειας θα έχουμε n n, n, n D D (,,,9998. α Το σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με περίοδο sc Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι t t x A t x, t Joul β Επειδή η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος είναι ίση με ω=π rad/s ενώ η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης του σώματος είναι ίση με rad / s αν ώ αυξήσουμε τη συχνότητα του συστήματος θα αυξηθεί το πλάτος του (βλέπε καμπύλη συντονισμού. γ Μετά από μια πλήρη ταλάντωση το πλάτος είναι ίσο με 8%,8,,6 Η ενέργεια που χάνεται στη πρώτη ταλάντωση είναι D D,6,,7 γ Σε χρόνο t το σύστημα εκτελεί t ώ Joul Physics by Chris Siopoulos
6. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θα βρούμε την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση t,6 t,6, n n n n n n sc Θέτοντας t=τ έχουμε t, t, n n,,, n, n n, n Άρα για την απώλεια ενέργειας θα έχουμε D D (,,,9998 Joul. α Από τη γραφική παράσταση έχουμε και ( % % % % 75% Για τη δεύτερη περίοδο θα έχουμε ( ( % % % 6 % ( 6 % % 75%. Ο χρόνος υποδιπλασιασμού δίνεται από τη σχέση t tt t t t n n n t n n n t n n sc β Έχουμε Physics by Chris Siopoulos
7. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ t t t, n,,,5 n, Οπότε ο λόγος των ενεργειών είναι ίσος με (,5,, n, n, n,5,,,9975 γ Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε αν θέσουμε για το πλάτος της πρώτης ταλάντωσης 9,9,,8 ( n t,8 ( n ( n,8,8, n,, nn, n,, sc,7 ( n n,9 δ Η ταλάντωση του σώματος μετατρέπεται σε απλή αρμονική ταλάντωση με κυκλική συχνότητα,86 rad / s A( t x,5(,86t x. α Από τη σχέση της περιόδου έχουμε t t, sc και rad / s β Είναι D ( Kgr γ DA, Joul ax ax ax δ Τη χρονική στιγμή t το πλάτος της ταλάντωσης είναι ax DA 5, Physics by Chris Siopoulos,7 t, n t n t,, n tnn n n tn n t sc n t n
8. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 5. α Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε t t 6 n n 6 6 6 n n n n6 n n sc β Ο λόγος των διαδοχικών πλατών είναι σταθερός και ίσος με περιόδου έχουμε t t, sc και rad / sc, n n n,n n, γ Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε tn t t t n t n n n 5 t nn n n t n n t n 5n t δ Τη χρονική στιγμή t το πλάτος της ταλάντωσης είναι t n t,5t n n Οπότε η ενέργεια είναι ίση με n,5t n A DA D( DA t n 6. α Από την αντιστοιχία έχουμε b Kgr / sc t n n. Από τη σχέση της,5, E Joul β F x x 6 x x, γ Η ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t είναι Dx, 6,5 Joul Και η αρχική ενέργεια ίση με Dx, 8 Joul Physics by Chris Siopoulos sc
9. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Άρα W E 6,5 8,5 Joul 7. α Από την εξίσωση της απομάκρυνσης έχουμε sc Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε,6,6,6 t n t n n,6,6, n β Οι χρονικές εξισώσεις δίνονται από τις σχέσεις x, α,6 (ln t (ln t (ln (t,,8 t (t ( και (t ( Η χρονική στιγμή t / είναι ίση με n n n n n t sc Και το πλάτος της ταλάντωσης τότε είναι Οπότε οι δύο εξισώσεις γράφονται (,6 (ln,5,8 (,5,6 ln (, (ln,5 ln ( α, (,5 α, ( ln 8. Από τη χρονική εξίσωση έχουμε, sc Από την εξίσωση της φθίνουσας ταλάντωσης έχουμε t,6,, t,,,6 n n,6 8 n n n n8 n n sc Physics by Chris Siopoulos,6 / s
. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ t n n,6 7 β,6,565,6 γ Υπολογίζουμε το πλάτος της ης ταλάντωσης t n,6,6, n,6 n 9. Γράφουμε την εξίσωση της απομάκρυνσης F F F n,6 n,6 n,6,6 x x x x Επομένως στη θέση αυτή το σώμα έχει ενέργεια Dx ( Joul Τη στιγμή που ξεκίνησε η ταλάντωση το σώμα είχε ενέργεια ax D (, 6 Άρα η απώλεια ενέργειας είναι 6 5 ax Joul Joul. α Γράφουμε την εξίσωση της απομάκρυνσης 9 F F F Dx D(, 5,D,D D D Nt /, β Στη θέση αυτή το σώμα έχει ενέργεια Dx 9 (, ( 8 8 γ Τη στιγμή που ξεκίνησε η ταλάντωση το σώμα είχε ενέργεια ax D (,5 5 Άρα η απώλεια ενέργειας είναι Joul Joul Physics by Chris Siopoulos
. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 8 5 Joul ax. Από τη σχέση των ενεργειών για το ηλεκτρικό κύκλωμα έχουμε για τις χρονικές στιγμές t= και t=t αντίστοιχα ax t ax Q C Q C t 6 6 ( 5 (6 Άρα η απώλεια ενέργειας είναι t ax ax 9 6 6 5 5 6 6 9 6 6 Joul Joul 6 Joul. α Από τη σχέση της περιόδου έχουμε t t,5,5 sc β Από τη σχέση των ενεργειών για το ηλεκτρικό κύκλωμα έχουμε για τις χρονικές στιγμές t= και t=t αντίστοιχα ax t ax Q C Q C t 7 7 ( ( 5 Άρα η απώλεια ενέργειας είναι Q t ax ax,5 5,5 Joul,75 Joul. Η εξίσωση της τάσης δίνεται από τη σχέση Q C Q C Joul t t C V V V V V ή C C C C C V Από την εξίσωση της φθίνουσας ταλάντωσης έχουμε t t 6 6 6 V 6 n n 6n C n n n 6 n,75 sc 6. α Γραφική παράσταση Physics by Chris Siopoulos C t
. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ β Θα υπολογίσουμε το πλάτος ταλάντωσης Q tn Q n t Q Q Άρα η ενέργεια ταλάντωσης είναι t ax Q C 6 Γραφική παράσταση (6 n Q 6 8 Q Cb Joul,n γ Τη στιγμή που ξεκίνησε η ταλάντωση το κύκλωμα είχε ενέργεια ax Q C 6 ( Άρα το ποσοστό απώλειας είναι t ax ax ax Q( t Cb Q ( t Joul Q Q % Q Joul (8 ( % ( 6 96 % % 9,75% 5. α Από τη σχέση της χωρητικότητας έχουμε T T T T T 5T 5T t(sc t(sc Q % Physics by Chris Siopoulos T n
. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Q C E E C Q 6 Volt Από την εξίσωση της φθίνουσας ταλάντωσης έχουμε tn6 Q t n6 t n6 t n6 Q n n tn6 n n n tn6 n tn n tn n t,5 sc Άρα ο αριθμός των ταλαντώσεων είναι t,5 5 ώ γ Υπολογίζουμε το πλάτος της ταλάντωσης μετά από 5 ταλαντώσεις Q Q n tn6 t,5 Q Q Άρα η ενέργεια ταλάντωσης είναι t ax Q C 6 (,5n6 Q Q Cb Joul Η ενέργεια ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t= είναι ax Q C 6 ( Άρα η απώλεια ενέργειας είναι t ax ax Joul Joul 6. Α α Από τη σχέση της περιόδου έχουμε LC 6 sc n6,5 Q β Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος δίνεται από τη σχέση i V V i L C / sc t L L LC t Β. α Από την εξίσωση της φθίνουσας ταλάντωσης έχουμε Q 5 t Physics by Chris Siopoulos QQ, t,5 5 5 Τη χρονική στιγμή t=t το φορτίο του πυκνωτή είναι ίσο με,5 (,5 n (
. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Q 5 Q t 5 t Q,5 Q 5 5 Cb β Άρα η ενέργεια ταλάντωσης είναι t ax Q C 6 ( 5 Q,5 Joul Η ενέργεια ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t= είναι ax Q C 6 ( Άρα η απώλεια ενέργειας είναι σχέση t ax ax,5 5,5 5 Joul ( Joul Q 5 (,5 7. Ο ρυθμός με τον οποίο προσφέρουμε ενέργεια στο κύκλωμα δίνεται από τη W W F,5,5 W,5 t t t ( εφόσον δίνεται η εξίσωση της απομάκρυνσης μπορούμε να υπολογίσουμε και την εξίσωση της ταχύτητας Από τις ( και ( έχουμε W,5 (8 t t 8t ( t W 6 t t W 6 ( t t W 8 t 8 t t W W 8 8 t 8 8 ( t t 6 W W W 8 8 ( 8 8 ( Joul / sc t t t 8. Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε t tn n n n nn n n n n,5 sc Ισχύει b b,5 b,, Kgr / sc n n Physics by Chris Siopoulos
5. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Άρα F, Ο ρυθμός με τον οποίο προσφέρουμε ενέργεια στο κύκλωμα δίνεται από τη σχέση W W F,, W, t t t ( εφόσον δίνεται η εξίσωση της απομάκρυνσης μπορούμε να υπολογίσουμε και την εξίσωση της ταχύτητας t t ( Από τις ( και ( έχουμε W, ( t t W,6 t t W,6 ( t t W,8 t,8 t t Για να υπολογίσουμε την ενέργεια που Συνωt προσφέρεται σε μια περίοδο σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση του συνημίτονου σε συνάρτηση με το χρόνο και παίρνουμε τα αθροίσματα όλων των τμημάτων που T/ T/ T/ T t (sc περικλείονται μεταξύ της καμπύλης και του άξονα του - χρόνου, σε χρόνο μιας περιόδου δηλαδή W W tt tt W,8 T,8 t t,8 ( t t t,8 T W tt t t t t t,8,8 W tt tt,6 W,5 Joul Physics by Chris Siopoulos