ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του ερωτήµατος (α), να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιµή την παράσταση : 3 4. ΘΕΜΑ 3 α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο : +. β) Να γράψετε χωρίς τη ρίζα την παράσταση : A = γ) Να λύσετε την ανίσωση : 5 4 3 3 ΘΕΜΑ 4 α) Να λύσετε την εξίσωση 5 8 = 0. β) Αν α είναι η µεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης 5 8 = 0, να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ 5 ίνεται η συνάρτηση f() = 0 5 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. β) Να λύσετε την εξίσωση f() =. γ) Να λύσετε την ανίσωση f() <. ΘΕΜΑ 6 ίνεται η συνάρτηση f() = 4 4 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. β) Να λύσετε την εξίσωση f() =. γ) Να λύσετε την ανίσωση f() Σελίδα από 9
ΘΕΜΑ 7 ίνεται η συνάρτηση f() = 3 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. γ) Να βρείτε τις συντεταγµένες των κοινών σηµείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε τους άξονες. ΘΕΜΑ 8 ίνεται η συνάρτηση f() = 8 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. β) Να βρείτε τις συντεταγµένες των κοινών σηµείων της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες. f ( 4)(4) f γ) Να αποδείξετε ότι 4 f (4)( 4)(4)( f 4) f f ΘΕΜΑ 9 Δίνεται η εξίσωση λ + λ = 0. () α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ R. β) Να βρείτε την τιµή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθµό γ) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης (), να βρείτε τις τιµές του λ, για τις οποίες ΘΕΜΑ 0 ίνεται η εξίσωση λ + λ 3 = 0, λ R. 3 3 4 4 α) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει άνισες πραγµατικές ρίζες. β) Για λ =, ΘΕΜΑ ( ) να βρείτε τις ρίζες, της εξίσωσης, ( ) να βρείτε την εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς και, όπου, οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος ( β). Σελίδα από 9
Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 5 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. β) Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω σηµεία ανήκουν στην γραφική παράσταση της 6 συνάρτησης f (4, 0), Β(7,4), Γ 8, 3 γ) Να αποδείξετε ότι. f 6.(6) f ΘΕΜΑ Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. α) Να λύσετε τις ανισώσεις : f() > 0 και f() >. β) Να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f. Σελίδα 3 από 9
5 γ) Να βρείτε τις τιμές f ( 3), f,(0) f και f() δ) Να λύσετε τις εξισώσεις : f() = 0, f() = και f() =. ε) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. ΘΕΜΑ 3 ίνονται οι συναρτήσεις g() = 9 και f() = 4 + α, α R. α) Αν το σηµείο M (, 8) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, να υπολογίσετε την τιµή του α. β) Αν α = 5, να βρείτε: ( ) τα κοινά σηµεία των Cf και Cg, ( ) τις τετµηµένες των σηµείων της Cf που βρίσκονται κάτω από την Cg. ΘΕΜΑ 4 ίνεται η συνάρτηση : f() = (λ + ) + λ, λ R. α) Να αποδείξετε η γραφική παράσταση της f έχει δύο κοινά σηµεία µε τον άξονα, για κάθε τιµή του πραγµατικού αριθµού λ. β) Αν, οι τετµηµένες των κοινών σηµείων της Cf µε τον, να β ρείτε την τιµή του λ ώστε + = 3. γ) Για την τιµή του λ που β ρήκατε στο ερώτηµα (β), να βρείτε τα κοινά σηµεία της Cf µε τους άξονες. ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η εξίσωση 7 λ=0, λ. () α) Να βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες, τέτοιες ώστε να ισχύει: 3 3 β) Για λ= : i) Να λύσετε την εξίσωση (). d(,) 3(,7) d 0 όπου ii) Να λύσετε την εξίσωση ρίζες της εξίσωσης () που βρήκατε στο ερώτημα Βi. είναι η μικρότερη από τις Σελίδα 4 από 9
ΘΕΜΑ 6 Δίνεται δειγματικός χώρος { Z / 4} η εξίσωση 3 λ μ 3 4 3 6 5 λ () και το σύνολο λ / η εξίσωση () με άγνωστο τον έχει ρίζα τον αριθμό. α) Να γράψετε με αναγραφή τα στοιχεία του Ω β) Να βρείτε την πιθανότητα του Α ΘΕΜΑ 7 8 4 5α 5 3 3β a β α 0, α,β () Δίνεται η εξίσωση: α) Να βρείτε τις τιμές των α,β ώστε η εξίσωση να είναι διτετράγωνη. β) Να λύσετε την εξίσωση () αν α= και β=. ΘΕΜΑ 8 α) Να απλοποιηθεί η παράσταση:, α β και α,β>0 β) Αν α,β,γ>0 να δείξετε ότι: α β α β β α α β γ α+β+γ βγ αγ αβ αβγ ΘΕΜΑ 9 Να λυθoύν οι παρακάτω ανισώσεις: i) ΘΕΜΑ 0 3 ii) 3 0 iii) 5 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 3 0 3 3 ii) iii) 3 7 vi) 3 0 vi) 5 4 6 9 5 ΘΕΜΑ Μέσα σε ένα κουτί υπάρχουν 4 άσπρες σφαίρες, 3-5 κόκκινες σφαίρες και +5 μαύρες σφαίρες με 5. Βγάζουμε από το κουτί στην τύχη μία σφαίρα Σελίδα 5 από 9
3 5 α) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα Ρ να βγάλουμε από το κουτί μια κόκκινη σφαίρα είναι Ρ() = β) Πόσες κόκκινες σφαίρες πρέπει να περιέχει το κουτί έτσι ώστε να βγάλουμε μια κόκκινη σφαίρα με την μεγαλύτερη δυνατή πιθανότητα; γ) Για το παραπάνω πλήθος των κόκκινων σφαιρών, να υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: «να βγάλουμε κόκκινη σφαίρα», Β: «να βγάλουμε άσπρη σφαίρα», Γ: «να βγάλουμε μαύρη σφαίρα» ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση (λ-) λ + = 0. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι και αντικαθιστούμε το λ με την ένδειξη του ζαριού. Να βρείτε την πιθανότητα: α) Η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα β) Να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) Να μην έχει πραγματικές ρίζες ΘΕΜΑ 3 Aπό 0 μαθητές ενός λυκείου, 4 συμμετέχουν στον διαγωνισμό της ΕΜΕ, 0 στον διαγωνισμό της ΕΕΦ και συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα: α) Να συμμετέχει σε έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς. β) Να συμμετέχει μόνο σε έναν από τους δύο διαγωνισμούς. γ) Να μη συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς. ΘΕΜΑ 4 Σελίδα 6 από 9
Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύουν Ρ(Α Β)= 4, P(A B)= 0, Ρ(Β -Α)= α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) β) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ΘΕΜΑ 5 Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω για τα οποία Ρ(Α) = 3, Ρ(Β) = 4 και Ρ(Α Β) =, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α Β, Α Β, (Β Α), (Α Β) 5 ΘΕΜΑ 6 Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {,, 3,, 8} ο οποίος αποτελείται από ισοπίθανα και απλά ενδεχόμενα και Α, Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του Ω για τα οποία ισχύει 9(Ρ(Β)) 3Ρ(Β) Ρ(Α) +5 = 0 α) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β. β) Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων των Α και Β. γ) Δείξτε ότι τα Α, Β είναι αντίθετα ενδεχόμενα ΘΕΜΑ 7 Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις α) 5 7 β) 7 3 9 5 γ) 0 δ) 0 ε) 3 =5 στ) 3 3 7 3 3 ζ) 3 4 Σελίδα 7 από 9
η) - + - = 0 θ) 3-5 = - ΘΕΜΑ 8 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 6 9 β. α. 3 5 γ. 4-5 =7 δ. 9 3 ΘΕΜΑ 9 Δίνεται η παράσταση Α = 5 5 α. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α. β. Να λύσετε την εξίσωση + =Α ΘΕΜΑ 30 Nα λύσετε τις εξισώσεις : i. -7+0 = ii. (+) -7 + +4= ΘΕΜΑ 3 Δίνεται η εξίσωση χ - 5λχ + 6λ =0 (), λ R. i) Να αποδειχτεί ότι για κάθε λ R, η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες, ii) Να βρεθεί το διάστημα από το οποίο παίρνει τιμές το λ, ώστε η εξίσωση () να έχει δύο πραγματικές και θετικές ρίζες. ΘΕΜΑ 3 Δίνεται η εξίσωση (λ -3λ + )χ +(λ-)χ + = 0, με λ R (). Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση () να έχει: i) μία μόνο ρίζα ii) διπλή ρίζα ΘΕΜΑ 33 Δίνεται η εξίσωση χ - α- χ-=0 () Σελίδα 8 από 9
α. Δείξτε ότι έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε πραγματική τιμή του α β. Αν, οι ρίζες της () να βρείτε το α ώστε ΘΕΜΑ 34 Αν ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης 0 + 5 +α=0, αr, τότε: i. Να βρείτε την τιμή του α ii. Να λύσετε την εξίσωση ΘΕΜΑ 35 Να λυθεί η εξίσωση: ΘΕΜΑ 36 3 Να λύσετε την εξίσωση i. χ+ -3 χ+ +=0 ii. (χ+) 4 χ+ +3=0 iii. 3 0 ΘΕΜΑ 37 Έστω η συνάρτηση f () a a 3 i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii. Nα απλοποιήσετε την f iii. Aν α= να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας y 5 ΘΕΜΑ 38 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων και να απλοποιήσετε τους τύπους τους α. f () 9 6 β. f () 0 00 5 4 ΘΕΜΑ 39 Έστω f () Σελίδα 9 από 9
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της f γ. Να λύσετε την εξίσωση f()= ΘΕΜΑ 40 Δίνεται η εξίσωση +(λ-)+λ +λ+=0 α) Να δείξετε ότι για κάθε λr έχει πραγματικές και άνισες ρίζες β) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε τα λ ώστε 3. 0 ΘΕΜΑ 4 Δίνεται το τριώνυμο f()= -(λ-)+4, λr α) Να βρείτε τις τιμές του λr, για τις οποίες έχει πραγματικές και άνισες ρίζες β) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε τα λ ώστε ΘΕΜΑ 4 Δίνεται το τριώνυμο f()=(λ+) -λ+3λ, λ - α) Να βρείτε τις τιμές του λr, για τις οποίες f()<0, για κάθε R β) Για λ=-4 να λύσετε την εξίσωση f() =-8+8 ΘΕΜΑ 43 Δίνεται το τριώνυμο f()=- +-4 α) Να βρείτε το πρόσημο της f β) Να λύσετε την ανίσωση - +-4 >(+) ΘΕΜΑ 44 Ένα θέατρο έχει 5 σειρές καθισμάτων. Η πρώτη σειρά έχει 60 καθίσματα και στην τελευταία 8 καθίσματα. Αν το πλήθος των καθισμάτων ελαττώνεται από σειρά σε σειρά κατά τον ίδιο πάντα αριθμό καθισμάτων τότε: Σελίδα 0 από 9
i. Να βρείτε το πλήθος των καθισμάτων που ελαττώνεται από σειρά σε σειρά ii. Να βρείτε το πλήθος των καθισμάτων της μεσαίας σειράς iii. Να βρείτε το πλήθος των καθισμάτων όλων των σειρών του θεάτρου iv. Να βρείτε το πλήθος των καθισμάτων από την 5 η έως την 3 η σειρά ΘΕΜΑ 45 Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) ισχύουν οι σχέσεις α 7 = + 9, α 8 = 4 + 4 και α 9 = 5 -. Να βρείτε: i. τον πραγματικό αριθμό ii. τον πρώτο όρο και τη διαφορά ω της προόδου iii. τον δωδέκατο όρο της προόδου. ΘΕΜΑ 46 Δίνεται η εξίσωση -3+=0 () i) Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο που έχει ως πρώτο όρο α την μικρότερη ρίζα και διαφορά ω τη μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης () ii) Να βρείτε τον 5 ο όρο της iii) Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της iv) Να βρείτε ποιος όρο είναι 5 ΘΕΜΑ 47 Δίνεται η εξίσωση 3 3 0 α) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα την οποία και να υπολογίσετε. β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες ετερόσημες. ΘΕΜΑ 48 Έστω η εξίσωση μ( ), μ () α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε μ. Σελίδα από 9
β) Αν ρ,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης () : i) Να βρείτε την εξίσωση που έχει ρίζες τις ρ και ρ. ii) Nα βρείτε για ποιες τιμές του μ οι ευθείες: ε :(7 y ρ) 05 είναι παράλληλες. ε : y ρ 04 και ΘΕΜΑ 49 Δίνεται η συνάρτηση f () α) Να βρείτε την τιμή του α. 5 α+, άν 9 3, άν όπου α. β) Να λύσετε της εξίσωση: ( )(0) f. ΘΕΜΑ 50 Δίνεται η συνάρτηση f () 5 4 α) Να αποδείξετε ότι f (3) β) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης γ) Να λύσετε την εξίσωση 4 f (3) 0 ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η εξίσωση λ+ λ =0, λ. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ, η εξίσωση έχει δύο ρίζες ρ και ρ άνισες. β) Να βρείτε της τιμές του λ, ώστε: 9 Σελίδα από 9
γ) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης δεν μπορεί να είναι και οι δύο αρνητικές. 04 δ) Αν οι ευθείες ε : y 04ρ 05 και ε : y 06 είναι παράλληλες, να βρείτε τις ρίζες ρ και ρ της εξίσωσης. ε) Να βρείτε για ποιές τιμές του λ ισχύει ότι: ρ ρ 7 ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η εξίσωση -- λ- =0 (), λr α) Nα δείξετε ότι έχει για κάθε λr, έχει ρίζες πραγματικές και άνισες β) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης () και οι αριθμοί α= + -, β= λ και γ=-. είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε να βρείτε τις τιμές του λ γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(). δ) Να δείξετε ότι g()- g(0)+=0 ΘΕΜΑ 53 Δίνεται το τριώνυμο f()= -(λ-5)-(λ-5), λr i) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. 3 ii) Αν, είναι οι άνισες ρίζες του τριωνύμου, να βρείτε το λ αν ισχύει: 4 iii) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε f() =f(), R iv) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (). ΘΕΜΑ 54 Ένα ψυγείο έχει σταθερή θερμοκρασία 0 C Ένα φαγητό τοποθετείται μέσα σε αυτό και η θερμοκρασία t του Δίνεται από τη σχέση f(t) = 6 - τα σε min 4 α) Ποια η αρχική θερμοκρασία του φαγητού β) Μετά από πόσο χρόνο το φαγητό θα αποκτήσει τη θερμοκρασία του ψυγείου ; γ) Ποια είναι η θερμοκρασία του μετά από ώρες ; Σελίδα 3 από 9
δ) Βρείτε τη θερμοκρασία του φαγητού μετά από μιάμιση ώρα και κάντε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ΘΕΜΑ 55 Αν χ +5χ-6>0 να Βρείτε την τιμή της παράστασης Α = 3 5 ΘΕΜΑ 56 Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση y = (λ -3λ)χ+ α) Βρείτε το λ αν η ευθεία διέρχεται από το σημείο (, -) β) Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο ο ερώτημα να δείξετε ότι η (ε) είναι παράλληλη στην (ζ) ψ = - χ +5 γ) Βρείτε την τιμή του μ ώστε η y = - 3 + είναι // στην (ε) ΘΕΜΑ 57 Δίνεται η συνάρτηση f με f()= α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να λυθεί η ανίσωση f()<3.. ΘΕΜΑ 58 Δίνεται το τριώνυμο f () 5 α) Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ώστε το τριώνυμο να είναι θετικό για κάθε. β) Αν, οι ρίζες του τριωνύμου f (),να κατασκευάσετε εξίσωση β βαθμού με ρίζες, όπου και. ΘΕΜΑ 59 Σελίδα 4 από 9
α) Αν < < 3 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A 4 4 9 6 β) Αφού βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση B 9 3 να την απλοποιήσετε. ΘΕΜΑ 60 Δίνονται οι ευθείες ε : y= λ- +3 και ε : y= 5-λ - και η συνάρτηση g()= α) Nα βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ευθείες είναι παράλληλες. β) Για την μεγαλύτερη τιμή του λ που βρήκατε να βρείτε τον τύπο της g και το πεδίο ορισμού της ΘΕΜΑ 6 Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ΘΕΜΑ 6 α) Είναι δυνατόν να ισχύει λ < ; β) Αν το σημείο (, ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f να υπολογίσετε το λ γ) Για την τιμή του λ που βρέθηκε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) = 3 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της γ) Να λύσετε την ανίσωση f ( ) 3 ΘΕΜΑ 63 Έστω Α, Β δύο ισοπίθανα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και AB είναι διαφορετικές μεταξύ τους και αποτελούν τις ρίζες της εξίσωσης 7 + = 0 να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α) A, AB και AB. β) A-B, B-A. γ) (A-B)(B-A). Σελίδα 5 από 9
ΘΕΜΑ 64 Από τους μαθητές ενός Λυκείου το 70% χρησιμοποιεί βιβλία Μαθηματικών, το 60% Φυσικής και το 50% και τα δύο. Επιλέγουμε στην έναν μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα: i) να χρησιμοποιεί βιβλία Μαθηματικών και όχι Φυσικής ii) να χρησιμοποιεί μια τουλάχιστον από τις δύο κατηγορίες βιβλίων ii) να χρησιμοποιεί ακριβώς μια από τις δύο κατηγορίες βιβλίων iv) να μη χρησιμοποιεί καμία από τις δύο κατηγορίες βιβλίων. ΘΕΜΑ 65 Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε Ρ(Α) =, Ρ( Α Β) = - 3 και Ρ( Α - Β) = 3 α) Να αποδείξετε ότι = β) Αν επιπλέον ισχύει Ρ( Β - Α) = να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i. Β i i. A B i i i. ( A - B ) ( B - A ). ΘΕΜΑ 65 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της f. Nα βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της β) το σύνολο τιμών της γ) τα σημεία τομή με τους άξονες δ) τα διαστήματα του που η C f είναι πάνω από τον άξονα ε) το πλήθος λύσεων της εξίσωση f()=4 ΘΕΜΑ 66 5 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f () και g()=, R Σελίδα 6 από 9
α. Να βρείτε τα κοινά σημεία των f,g β. τις τιμές του που η C f είναι πάνω από τη C g ΘΕΜΑ 67 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με Έστω επίσης η συνάρτηση με με ρίζες τις. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον άξονα. β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων για τα οποία η είναι κάτω από την. γ) Να υπολογίσετε την παράσταση δ) Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες.. ΘΕΜΑ 68 Δίνεται η συνάρτηση βρείτε: f () 4, 0. Αν η C f τέμνει τον άξονα στο - και τον y y στο 3 να a, 0 α. τα α,β β. τη συνάρτηση f γ. Το λ ώστε το A((λ-),-) να ανήκει στη C f ΘΕΜΑ 69 Δίνονται τα σημεία Α(,0), Β(0,4) και Γ(0,6). Να βρείτε: α) την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Α και Β β) την εξίσωση της ευθείας (η) που διέρχεται από το σημείο Γ(0,6) και είναι // στην ευθεία y=-+05 Σελίδα 7 από 9
ΘΕΜΑ 70 γ) το σημείο τομής Δ της ευθείας (η) με τον άξονα ' δ) το εμβαδό του τραπεζίου ΑΒΓΔ. Να δείξετε ότι : α) Aν 0 να απλοποιήσετε την παράσταση Α= β) ΘΕΜΑ 7 O 7 3 7 3 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της είναι ρητός β. Να δείξετε ότι ( ) + ( ) + ( ) = ΘΕΜΑ 7 Δίνεται η συνάρτηση f με f () λ, λ. ΘΕΜΑ 73 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να βρείτε για ποια τιμή του λ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο (,4 ). γ)για λ 3 i) Να χαραχθεί η γραφική παράσταση της f. ii) Nα βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας με εξίσωση y f (). iii) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η C f με τον άξονα. iv) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η C f Δίνεται η συνάρτηση g με g ( ). ΘΕΜΑ 74 τέμνει τους άξονες i) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης g πιο απλά, χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής. ii) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση. Σελίδα 8 από 9
Δίνεται η εξίσωση 0 που έχει ρίζες τους αριθμούς ρ,ρ ρ ρ ε : y 0 και ε : y α α 6.Αν α) το α. β) το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ε με τους άξονες. ΘΕΜΑ 75 καθώς και οι ευθείες ε //ε να βρείτε: Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση y = α + 3 η οποία σχηματίζει με τον άξονα ' αμβλεία γωνία. Να βρείτε: α) τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με τους άξονες χ'χ και y'y β) το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τους άξονες χ και y'y γ) την τιμή του α, ώστε το παραπάνω εμβαδό να είναι ίσο με 3 τ.μ. ΘΕΜΑ 76 Δίνεται η ακολουθία (α ν ) με.3 v v, v N * 3 α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (α ν ) είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο λ β) Να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ο 486 γ) Να δείξετε ότι το άθροισμα α +α +α 3 +... + α 50= 3 50-3 0 ΘΕΜΑ 77 Οι αριθμοί + 5, - και - 3 αποτελούν διαδοχικούς όρους κάποιας γεωμετρικής προόδου (α ν ). α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό. β) Ποιος είναι ο λόγος λ της προόδου; γ) Αν ο αριθμός - είναι ο τέταρτος όρος α 4 της προόδου, να βρείτε τον πρώτο όρο α της προόδου. Σελίδα 9 από 9