Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορή Επίλυση βασικών μορών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα ιανύσματα ιάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα που καθορίζεται από δύο σημεία Α και Β. Το σημείο Α αποτελεί την αρχή και το σημείο Β, το τέλος (ή πέρας) του διανύσματος. Αν το διάνυσμα είναι εαρμοστό, τότε η αρχή του ονομάζεται και σημείο εαρμογής του διανύσματος. Στο γραπτό λόγο, πολλές ορές αναερόμαστε σ ένα διάνυσμα γράοντας το σύμβολό του έντονα: α AB Α Β Συνήθως δε μας ενδιαέρει η αρχή και το τέλος του διανύσματος κι έτσι χρησιμοποιούμε έναν πιο απλό συμβολισμό. 4-3 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 1
ιεύθυνση & ορέας ιεύθυνση ενός διανύσματος ονομάζουμε κάθε ευθεία που είναι παράλληλη στο διάνυσμα. Πόσες τέτοιες ευθείες υπάρχουν? Πόσες διευθύνσεις έχει ένα διάνυσμα? Φορέας ενός διανύσματος ονομάζεται η (μοναδική) ευθεία πάνω στην οποία ανήκει το διάνυσμα. Προανώς και ο ορέας ορίζει τη διεύθυνση του διανύσματος. (ε) (ε ) 4-4 Φορά & κατεύθυνση Φορά ενός διανύσματος είναι η ορά κίνησης από την αρχή προς το τέλος του διανύσματος. Συμβολίζεται με ένα βελάκι συνήθως στο πέρας του διανύσματος. Κατεύθυνση ενός διανύσματος είναι η ορά και η διεύθυνσή του μαζί. 4-5 Μέτρο Μέτρο ενός διανύσματος ονομάζουμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που ορίζει το διάνυσμα, υπό κατάλληλη κλίμακα και μονάδα μέτρησης. Συμβολισμός: ή ή AB AB Α Β 4-6 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 2
Μέτρο Αού το μέτρο ενός διανύσματος ορίστηκε ως μήκος ευθύγραμμου τμήματος, προανώς θα είναι ένας μη-αρνητικός αριθμός. ηλαδή για κάθε διάνυσμα θα ισχύει: 0 4-7 Το μηδενικό διάνυσμα Αν το μέτρο ενός διανύσματος είναι ίσο με μηδέν τότε το διάνυσμα ονομάζεται μηδενικό διάνυσμα. Ένα μηδενικό διάνυσμα δεν έχει καθορισμένη κατεύθυνση με αποτέλεσμα, ως διεύθυνσή του να μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε διεύθυνση, και ως ορά οποιαδήποτε ορά. Ουσιαστικά ένα τέτοιο διάνυσμα είναι (έχει εκυλιστεί σ ) ένα σημείο. 4-8 Αλγεβρική τιμή Ορίζοντας μια θετική ορά κατά τη διεύθυνση ενός διανύσματος, αποκτά έννοια η αλγεβρική τιμή του διανύσματος: Η αλγεβρική τιμή του διανύσματος είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος, αν η ορά του διανύσματος συμπίπτει με τη θετική ορά, και αντίθετη του μέτρου του αν έχει τη αντίθετη ορά., 5 (+), 2 Αλγεβρική τιμή του α : -2 +2 Αλγεβρική τιμή του : -5 +5 4-9 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 3
Είδη διανυσμάτων Σχετικά με το σημείο εαρμογής τους, τα διανύσματα διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες: 1. Εαρμοστά: είναι τα διανύσματα που έχουν καθορισμένο ορέα και σημείο εαρμογής. 2. Ολισθαίνοντα: είναι αυτά που έχουν καθορισμένο ορέα αλλά όχι σταθερό σημείο εαρμογής. 3. Ελεύθερα: είναι αυτά που έχουν καθορισμένη κατεύθυνση, αλλά όχι καθορισμένο ορέα και σημείο εαρμογής. Σ ό,τι ακολουθεί τα διανύσματα θα θεωρούνται ελεύθερα. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να μετακινήσουμε το διάνυσμα παράλληλα με τον εαυτό του (χωρίς όμως να αλλάξουμε τη ορά ή/και το μέτρο του) χωρίς να αλλάζει τίποτα. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως παράλληλη μεταορά. 4-10 Παράλληλη μεταορά Παρά τη μετακίνησή του, το διάνυσμα δεν έχει μεταβληθεί. Θυμηθείτε τον δείκτη του ποντικιού στην οθόνη του η/υ 4-11 Γωνία δυο διανυσμάτων Τη μικρότερη γωνία που σχηματίζουν οι ορείς δύο διανυσμάτων θα την ονομάζουμε γωνία αυτών των δύο διανυσμάτων. Για τις ανάγκες μας, τη γωνία αυτή δε θα τη θεωρούμε προσανατολισμένη.,, 4-12 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 4
Συγγραμμικά (παράλληλα) Συγγραμμικά ή παράλληλα λέγονται δυο διανύσματα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση. Για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα α και είναι μεταξύ τους συγγραμμικά, γράουμε: Προσέξτε ότι τα παράλληλα διανύσματα σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 0 ή 180., c 0 4-13 Ομόρροπα Ομόρροπα λέγονται δυο διανύσματα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια ορά, δηλαδή όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση. Γράουμε: Τα ομόρροπα διανύσματα σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 0. Προσέξτε ότι τα ομόρροπα διανύσματα είναι μεταξύ τους και συγγραμμικά, όμως τα συγγραμμικά δεν είναι και κατ ανάγκη και ομόρροπα., 0 4-14 Αντίρροπα Αντίρροπα λέγονται δυο διανύσματα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη ορά, δηλαδή όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Γράουμε: Τα αντίρροπα διανύσματα σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία π. Προσέξτε ότι τα αντίρροπα διανύσματα είναι μεταξύ τους και συγγραμμικά, όμως τα συγγραμμικά δεν είναι και κατ ανάγκη και αντίρροπα., 4-15 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 5
Ίσα Ίσα ονομάζονται δύο διανύσματα όταν έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπα). Γράουμε Προσέξτε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι μια ισότητα διανυσμάτων και όχι μια ισότητα αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω εξίσωση περιλαμβάνει περισσότερες πληροορίες σε σχέση με μια απλή αριθμητική εξίσωση. 4-16 Αντίθετα Αντίθετα ονομάζονται δύο διανύσματα όταν έχουν το ίδιο μέτρο και αντίθετη κατεύθυνση (αντίρροπα). Γράουμε Προσέξτε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι μια ισότητα διανυσμάτων και όχι μια ισότητα αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω εξίσωση περιλαμβάνει περισσότερες πληροορίες σε σχέση με μια απλή αριθμητική εξίσωση. 4-17 Κάθετα Κάθετα λέγονται δύο διανύσματα όταν σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 90, και για να το δηλώσουμε αυτό γράουμε, 2 4-18 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 6
ιαδοχικά ιαδοχικά ονομάζονται δυο διανύσματα αν το τέλος του ενός αποτελεί την αρχή του άλλου. 4-19 Παρατηρήσεις 1. Ένα διάνυσμα είναι ένα αντικείμενο με αριθμητικές και γεωμετρικές ιδιότητες. Άρα ο πλήρης καθορισμός ενός διανύσματος απαιτεί καθορισμό του μέτρου του όπως επίσης και της κατεύθυνσής του (διεύθυνση και ορά). 2. Η ισότητα των μέτρων δύο διανυσμάτων δεν συνεπάγεται την ισότητα των διανυσμάτων. 4-20 Παρατηρήσεις 3. Η ισότητα των διανυσμάτων δεν απαιτεί τα διανύσματα να βρίσκονται στην ίδια θέση του χώρου. Άρα όλα τα διανύσματα που έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια κατεύθυνση είναι μεταξύ τους ίσα, ανεξάρτητα από το που βρίσκεται η αρχή τους. Αυτή η ιδιότητα μας επιτρέπει να μεταέρουμε ένα διάνυσμα παράλληλα προς την αρχική του κατεύθυνση, χωρίς να επηρεάζεται το διάνυσμα. Κάθε διάνυσμα μπορεί να μεταερθεί παράλληλα προς τον εαυτό του. (Υπενθυμίζεται ότι όλα τα διανύσματα θεωρούνται ελεύθερα). 4-21 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 7
Παρατηρήσεις 4. Με βάση την προηγούμενη παρατήρηση μπορούμε ένα οποιοδήποτε διάνυσμα να το μεταέρουμε παράλληλα μέχρις ότου η αρχή του να συμπέσει με την αρχή του εκάστοτε συστήματος συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε. Έτσι για τον πλήρη καθορισμό του διανύσματος χρειαζόμαστε μόνο τις συντεταγμένες του πέρατός του αού πάντα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η αρχή του βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. B B A A B A A B 4-22 Παρατηρήσεις B A B A A B B A 4-23 Πρόσθεση διανυσμάτων Πρόσθεση Διανυσμάτων Γεωμετρική μέθοδος Αναλυτική μέθοδος Μέθοδος δυναμοπολυγώνου Μέθοδος παραλληλογράμμου 4-24 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 8
Μέθοδος δυναμοπολυγώνου Κάνοντας χρήση της παράλληλης μεταοράς τοποθετούμε τα δύο διανύσματα που θέλουμε να προσθέσουμε έτσι ώστε να γίνουν διαδοχικά. Το διάνυσμα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος, το τέλος του δευτέρου είναι εξ ορισμού το άθροισμα που ψάχνουμε. c c 4-25 Μέθοδος δυναμοπολυγώνου 4-26 Μέθοδος δυναμοπολυγώνου Παρατήρηση Η μέθοδος του δυναμοπολυγώνου είναι δύσχρηστη και δεν χρησιμοποιείται στις εαρμογές. Παρουσιάζει μόνο θεωρητικό ενδιαέρον για τον ορισμό και τις ιδιότητες της πρόσθεσης των διανυσμάτων καθώς και για την άμεση εποπτεία που μας προσέρει. 4-27 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 9
Μέθοδος παραλληλογράμμου Για να προσθέσουμε δυο διανύσματα με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου, τα τοποθετούμε ώστε να έχουν κοινή αρχή, έστω το σημείο Ο που βλέπουμε. Φέροντας παράλληλα προς τα αρχικά διανύσματα, ευθύγραμμα τμήματα, σχηματίζεται ένα παραλληλόγραμμο (το ΟΑΒΓ). Το άθροισμα των δυο διανυσμάτων παριστάνεται από τη διαγώνιο ΟΓ. Ο Α c c Β Γ 4-28 Μέθοδος παραλληλογράμμου Η μέθοδος του παραλληλογράμμου μπορεί να γενικευτεί για περισσότερα των δυο διανυσμάτων ως εξής: v v1v2 v3 v4... v1v2v3 v4... v12 v3 v4... v12 v3v4... v v...... 123 4 όπου v 12 είναι το διανυσματικό άθροισμα των v 1 και v 2, κλπ. Λόγω όμως της πολυπλοκότητάς της η μέθοδος χρησιμοποιείται μόνο για την περίπτωση πρόσθεσης δύο ή τριών διανυσμάτων και πολύ σπάνια για περισσότερα. 4-29 Ειδικές περιπτώσεις πρόσθεσης Κατά την πρόσθεση δύο διανυσμάτων παρουσιάζονται συχνά ορισμένες ειδικές περιπτώσεις τις οποίες αξίζει να τις μελετήσουμε αναλυτικά. Όπως έχουμε πει, το διάνυσμα είναι ένα αντικείμενο με αριθμητικές (μέτρο) και γεωμετρικές (κατεύθυνση) ιδιότητες. Συνεπώς, ο πλήρης καθορισμός του αθροίσματος θα πρέπει να περιλαμβάνει τον καθορισμό του μέτρου αλλά και της κατεύθυνσης του νέου διανύσματος. Αυτή η παρατήρηση δεν ισχύει μόνο στην πρόσθεση αλλά σε κάθε περίπτωση προσδιορισμού ενός διανύσματος. Τη γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους αυτά τα δύο διανύσματα θα τη συμβολίσουμε με. 4-30 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 10
Ομόρροπα Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα έχει: 1. Μέτρο: το άθροισμα των μέτρων των διανυσμάτων που προσθέτουμε. 2. Κατεύθυνση: την κατεύθυνση των διανυσμάτων που προσθέτουμε. c c c 4-31 Αντίρροπα Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα έχει: 1. Μέτρο: την απόλυτη τιμή της διαοράς των μέτρων των διανυσμάτων που προσθέτουμε. 2. Κατεύθυνση: την κατεύθυνση του διανύσματος με το μεγαλύτερο μέτρο. c c, c, c c 4-32 Συγγραμμικά Για να προσθέσουμε πολλά συγγραμμικά διανύσματα ακολουθούμε την εξής διαδικασία: 1. Ορίζουμε μια θετική ορά στη διεύθυνση των διανυσμάτων. 2. Προσθέτουμε τα διανύσματα που έχουν τη θετική ορά (ομόρροπα). 3. Προσθέτουμε τα διανύσματα που έχουν την αρνητική ορά (ομόρροπα). 4. Προσθέτουμε τα δύο αυτά διανύσματα (αντίρροπα). (+) 4-33 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 11
Κάθετα διανύσματα Εργαζόμαστε με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου. Το μέτρο και η κατεύθυνση του αθροίσματος προκύπτουν εύκολα από τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΓ έχουμε: 2 2 Άρα το μέτρο του αθροίσματος είναι: c 2 2 Ενώ για τη γωνία ω έχουμε: Και συνεπώς: Α Γ c ω Ο Β 4-34 Κάθετα διανύσματα Το άθροισμα κλίνει προς το διάνυσμα με το μεγαλύτερο μέτρο. Αντί για τη γωνία ω θα μπορούσαμε να βρούμε τη συμπληρωματική της. 4-35 Γενική περίπτωση Η γωνία που σχηματίζουν τα δύο διανύσματα είναι. =0 (ομόρροπα) =180 (αντίρροπα) =90 (κάθετα) 4-36 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 12
Γενική περίπτωση Το μέτρο του αθροίσματος προκύπτει από το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα: 2 2 c 2 ω c Ενώ η γωνία που σχηματίζει το νέο διάνυσμα με το διάνυσμα είναι: 4-37 Γενική περίπτωση Β Γ ω Ο Α 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4-38 Βαθμωτός πολλαπλασιασμός Ορίζεται ως το γινόμενο ενός αριθμού (λ) και ενός διανύσματος (α). Το αποτέλεσμα είναι διάνυσμα (): Για την κατεύθυνση του νέου διανύσματος θα ισχύει: 0 0 Ενώ το μέτρο του θα είναι: 4-39 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 13
Βαθμωτός πολλαπλασιασμός Αού = λ α, θα ισχύει: 1 1 1 Προανώς, αν λ=0 ή/και α=0, θα είναι και =0. Με βάση τα προηγούμενα, η διαίρεση ενός διανύσματος μ έναν αριθμό ανάγεται στον πολλαπλασιασμό του διανύσματος με τον αντίστροο του αριθμού: 1 4-40 Βαθμωτός πολλαπλασιασμός 2 3 1 2 4-41 Μοναδιαία διανύσματα Πολλές ορές, διανυσματικές ποσότητες εκράζονται συναρτήσει μοναδιαίων διανυσμάτων. Ένα μοναδιαίο διάνυσμα δεν έχει διαστάσεις και το μήκος του είναι η μονάδα. Χρησιμεύει για να ορίσει μια κατεύθυνση στο χώρο. Τα μοναδιαία διανύσματα λοιπόν δεν έχουν άλλη χρησιμότητα από το να μας διευκολύνουν στη περιγραή μιας κατεύθυνσης στο χώρο. Ένα διάνυσμα α γράεται: u ˆ Όπου û α, είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του α. 4-42 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 14
Μοναδιαία διανύσματα εδομένου ότι 1 uˆ Καταλαβαίνουμε ότι uˆ, ύ, 0 Τονίζεται ότι το μοναδιαίο διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με τη μονάδα: uˆ u 1 Έχοντας ορίσει ένα μοναδιαίο διάνυσμα μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να εκράσουμε οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα παράλληλο προς το α. Έτσι, αν και c είναι δυο διανύσματα, ομόρροπο και αντίρροπο του α αντίστοιχα, αυτά μπορούν να γραούν ως εξής: uˆ c c cuˆ 4-43 Μοναδιαία διανύσματα z k j i Για τα τρία μοναδιαία διανύσματα που ορίζουν τις κατευθύνσεις, και z, θα ισχύει: iˆ ˆj kˆ 1 iˆ ˆj kˆ 4-44 Συνιστώσες ενός διανύσματος Ανάλυση ενός διανύσματος ονομάζουμε την εύρεση δύο (τριών για τρισδιάστατη περίπτωση) άλλων διανυσμάτων που έχουν ως άθροισμα το αρχικό διάνυσμα. Προανώς το πρόβλημα, όπως βλέπουμε και στο σχήμα δεν έχει μονοσήμαντη λύση. 1 1 ' 2 ' 2 12 1' 2' 4-45 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 15
Συνιστώσες ενός διανύσματος Γενικά μιλώντας υπάρχει μια απειρία συνδυασμών. Η απειρία αυτή αίρεται αν απαιτήσουμε η ανάλυση να γίνει ως προς κάποιο 1 συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Έτσι για παράδειγμα η ανάλυση του α σε δύο κάθετες συνιστώσες είναι τα διανύσματα α 1 και α 2. Συνηθέστερα, τα διανύσματα αυτά τα συμβολίζουμε με α και α αντίστοιχα. 1 ' 2 ' 2 4-46 Συνιστώσες ενός διανύσματος Τα διανύσματα α και α ονομάζονται (διανυσματικές) συνιστώσες του α (ως προς το συγκεκριμένο σύστημα αξόνων). Το διάνυσμα α αποτελεί τη συνισταμένη των α και α. Εξ ορισμού: j, i θ 4-47 Συνιστώσες ενός διανύσματος Από τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται έχουμε: όπου οι αριθμητικές ποσότητες α και α ονομάζονται (βαθμωτές) συνιστώσες του α και μπορούν να πάρουν και θετικές τιμές και αρνητικές (υσικά και μηδέν). j i θ 4-48 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 16
Συνιστώσες ενός διανύσματος Οι αντίστροες των προηγούμενων σχέσεων γράονται: 2 2 j i θ 4-49 Συνιστώσες ενός διανύσματος 2 2 Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν τις δύο όψεις του ίδιου νομίσματος. Μετά την ανάλυση ενός διανύσματος στις συνιστώσες του, οι ίδιες οι συνιστώσες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ορίσουν το διάνυσμα. j i θ Αντί των δύο αριθμών α (μέτρο του διανύσματος) και θ (κατεύθυνση), έχουμε τώρα τους αριθμούς α και α. 4-50 Συνιστώσες ενός διανύσματος Με βάση τα μοναδιαία διανύσματα, οι διανυσματικές συνιστώσες του α γράονται: i j j Με αποτέλεσμα να έχουμε: i j i θ 4-51 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 17
Πρόσθεση αναλυτική μέθοδος Έστω c το άθροισμα των α και : c Σ ένα δοσμένο σύστημα συντεταγμένων, δυο διανύσματα όπως τα c και α+ μπορούν να είναι ίσα μόνο αν οι αντίστοιχες συνιστώσες τους είναι ίσες: c c Υπολογίζοντας τις συνιστώσες c και c μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο και την κατεύθυνση του c: 2 2 c c c c c 4-52 Πρόσθεση αναλυτική μέθοδος Έχουμε λοιπόν τον ακόλουθο αναλυτικό κανόνα για την πρόσθεση διανυσμάτων: 1. ιαλέγουμε ένα (βολικό) σύστημα συντεταγμένων 2. Αναλύουμε όλα τα διανύσματα στις και συνιστώσες τους 3. Βρίσκουμε τις συνιστώσες του αθροίσματος (δηλ. το άθροισμα των συνιστωσών) ξεχωριστά για την κατεύθυνση και. 4. Υπολογίζουμε το μέτρο και την κατεύθυνση του αθροίσματος. 4-53 Παράδειγμα Έστω τρία διανύσματα α 1, α 2, α 3 τα μέτρα των οποίων είναι αντίστοιχα: α 1 = 300, α 2 = 100 και α 3 = 150 3 Οι κατευθύνσεις τους είναι αυτές που αίνονται στο σχήμα. α 1 Επίσης δίνονται οι γωνίες = 60 και θ = 30. α 3 α 2 θ Ζητείται να βρεθεί το άθροισμα α = α 1 + α 2 + α 3. 4-54 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 18
Παράδειγμα Το σύστημα αξόνων δεν χρειάζεται να το αλλάξουμε αού προανώς είναι η πιο βολική επιλογή. Αναλύουμε όσα διανύσματα δεν βρίσκονται πάνω στους άξονες. α 3 α 1 θ α 2 4-55 Παράδειγμα Πρώτα το α 1 : 300 60150 1 1 30060150 3 259,8 1 2 α 1 α 1 α 2 θ α 1 α 3 4-56 Παράδειγμα Πρώτα το α 1 : 300 60150 1 1 30060150 3 259,8 1 2 α 1...μετά το α 2 : 100 3050 3 86,6 2 2 1003050 2 2 α 2 α 2 α 2 θ α 1 α 3 4-57 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 19
Παράδειγμα Πρώτα το α 1 : 1 1 300 60150 30060150 3 259,8 1 2...μετά το α 2 : Το α 3 βρίσκεται πάνω στον άξονα και συνεπώς δε χρειάζεται ανάλυση α 1 2 2 100 3050 3 86,6 2 2 1003050 α 2 α 2 α 3 α 1 4-58 Παράδειγμα Βρίσκουμε τις συνιστώσες του αθροίσματος (θεωρώντας θετικές ορές, τις ορές των αξόνων): α 1 στον άξονα : α 2 1 2 3 150 50 3 0 236,6 α 2 α 1 α 3 4-59 Παράδειγμα Βρίσκουμε τις συνιστώσες του αθροίσματος (θεωρώντας θετικές ορές, τις ορές των αξόνων): α 1 στον άξονα : 1 3 2 150 50 3 0 236,6 α 2 α...στον άξονα : 1 3 2 150 3 50 150 3 50 α 3 4-60 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 20
Παράδειγμα Το μέτρο του αθροίσματος είναι: 2 2 2 2 236,6 50 241,8 Ενώ το διάνυσμα σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα τέτοια ώστε ω α 50 tn 0, 211 236.6 11,93 α α 4-61 Ααίρεση διανυσμάτων Η διαορά c δύο διανυσμάτων α και ορίζεται ως το διάνυσμα για το οποίο ισχύει: c Για τον υπολογισμό του διανύσματος μπορούμε να ακολουθήσουμε είτε την αναλυτική είτε τη γεωμετρική μέθοδο. Κατά την αναλυτική μέθοδο, ακολουθούμε τη διαδικασία που περιγράηκε, μόνο που τώρα οι αντίστοιχες σχέσεις περιέχουν τη διαορά των συνιστωσών και όχι το άθροισμα: c c 4-62 Ααίρεση διανυσμάτων Κατά τη γεωμετρική μέθοδο, η ααίρεση c= α- ανάγεται σε δύο βήματα 1. Υπολογίζουμε το αντίθετο του, δηλαδή βρίσκουμε το -, το οποίο υπενθυμίζεται ότι έχει το ίδιο μέτρο αλλά την αντίθετη κατεύθυνση, και 2. προσθέτουμε στο α το -, δηλαδή: c = α = α + (-) - 1 ω c α α 4-63 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 21
Ααίρεση διανυσμάτων Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι τα διανύσματα και έχουν το ίδιο μέτρο: = - =, θα έχουμε: 2 2 c 21 ενώ 1 1-1 ω c α α 4-64 Ααίρεση διανυσμάτων εδομένου ότι 1 180 Και επειδή ισχύουν οι σχέσεις 1 180 1 180 Θα έχουμε τελικά: - 2 2 c 2 1 ω c α α 4-65 Πολλαπλασιασμός με διανύσματα Επειδή τα διανύσματα έχουν μέτρο και κατεύθυνση, ο διανυσματικός πολλαπλασιασμός (όπως άλλωστε και η πρόσθεση) δεν μπορεί να ακολουθεί ακριβώς τους ίδιους κανόνες με τον πολλαπλασιασμό βαθμωτών μεγεθών. Για τον πολλαπλασιασμό διανυσμάτων πρέπει να καθιερωθούν νέοι κανόνες. 4-66 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 22
Πολλαπλασιασμός με διανύσματα Είναι χρήσιμο να ορίσουμε για τα διανύσματα τρία είδη πολλαπλασιασμού: 1. Πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό (βαθμωτός πολλαπλασιασμός). 2. Πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων άλλα με τρόπο ώστε το αποτέλεσμα να είναι αριθμός (εσωτερικό γινόμενο). 3. Πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων άλλα με τρόπο ώστε το αποτέλεσμα να είναι διάνυσμα (εξωτερικό γινόμενο). Υπάρχουν και άλλες περιπτώσεις αλλά εμάς δε θα μας απασχολήσουν. Επίσης, για το πρώτο είδος πολλαπλασιασμού έχουμε ήδη αναερθεί. Για καθαρά πρακτικούς λόγους θα χρησιμοποιήσουμε τρεις διαστάσεις και όχι δύο. 4-67 Εσωτερικό γινόμενο Έστω δύο διανύσματα α, και η μεταξύ τους γωνία. Το εσωτερικό (ή αριθμητικό) γινόμενό τους, που συμβολίζεται με α, είναι ένας αριθμός που ορίζεται ως εξής: Χρησιμοποιώντας τις συνιστώσες των διανυσμάτων μπορούμε να γράψουμε το εσωτερικό γινόμενο και ως z z 4-68 Εσωτερικό γινόμενο Σημειώστε ότι το εσωτερικό γινόμενο κάθετων μεταξύ τους διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν: 0 το εσωτερικό ενός διανύσματος με τον εαυτό του μας δίνει το τετράγωνο του μέτρου του: ή γραμμένο διαορετικά: 2 2 2 2 z 4-69 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 23
Εσωτερικό γινόμενο Όπως μπορούμε να δούμε το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να θεωρείται σαν το γινόμενο του μέτρου του ενός διανύσματος και της συνιστώσας του άλλου διανύσματος στη διεύθυνση του πρώτου. συν α ασυν 4-70 Εξωτερικό γινόμενο Έστω δύο διανύσματα α, και η μεταξύ τους γωνία. Το εξωτερικό γινόμενό τους, είναι ένα διάνυσμα που συμβολίζεται ως εξής: c z c α Το νέο διάνυσμα έχει διεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο που ορίζουν τα α και. 4-71 Εξωτερικό γινόμενο Ένας τρόπος για να βρούμε τη ορά του c είναι ο εξής: Θεωρούμε έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο των α και που να περνάει από την κοινή αρχή τους. z Στρίβουμε τα δάχτυλα του δεξιού χεριού γύρω απ αυτόν τον άξονα και σπρώχνουμε με τα δάχτυλα από το α προς το μέσω της μικρότερης μεταξύ τους γωνίας, κρατώντας τον αντίχειρα όρθιο. c α Η ορά του όρθιου αντίχειρα δίνει τη ορά του c. 4-72 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 24
Εξωτερικό γινόμενο Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου είναι c c Για το εξωτερικό γινόμενο δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, κι έτσι η σειρά των παραγόντων είναι σημαντική: Επίσης, αν τα δύο διανύσματα είναι παράλληλα (ομόρροπα ή αντίρροπα, = 0 ή = 180 αντίστοιχα), τότε επειδή ημ = 0, θα είναι και c = 0 άρα και c = 0. 0 4-73 Εξωτερικό γινόμενο Ο αλγεβρικός ορισμός του εξωτερικού γινομένου με τη βοήθεια των συνιστωσών των διανυσμάτων δίνεται από τις διπλανές σχέσεις: ή μέσω της διπλανής συμβολικής ορίζουσας: c z z c z z c z iˆ ˆj kˆ c z z 4-74 Ιδιότητες διανυσματικών πράξεων θα αναέρουμε τις σημαντικότερες από τις ιδιότητες που παρουσιάζουν οι διανυσματικές πράξεις. Σ όλα τα παρακάτω, τα σύμβολα α,, c θα παριστάνουν τυχαία διανύσματα. Με (α, α, α z ) παριστάνεται το διάνυσμα α με τη βοήθεια των συνιστωσών του, ομοίως και τα, c. Επίσης, τα λ και μ παριστάνουν πραγματικούς αριθμούς. 4-75 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 25
Ιδιότητες βαθμωτού πολ/σμού 0 0 0 0,, z 1 1 1 4-76 Ιδιότητες πρόσθεσης - ααίρεσης c c 0,, z z 4-77 Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου 0 c c c cc z z cos 2 2 2 2 2 2 z z 4-78 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 26
Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου 0 c cc 4-79 Βοηθητικοί ορισμοί ισεξωτερικό γινόμενο: Μικτό γινόμενο: c c c c c c c c c c z z c c c z 4-80 (2 ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς) 27