Κεφάλαιο 2, άσκηση 1: Δίνονται οι συναρτήσεις: α) 2, β), Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x). Λύση : Για να είναι μια συνάρτηση f x (x) συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής X θα πρέπει να πληροί τις εξής 2 ιδιότητες: 1) 0,, όπου S είναι το σύνολο των τιμών που μπορεί να πάρει η τυχαία μεταβλητή x 2) 1 α) Για τη συνάρτηση 2 ισχύει 0,. Άρα η πρώτη ιδιότητα πληρούται. Επιπλέον παρατηρούμε ότι: 2 2
Αυτό σημαίνει ότι δεν πληρούται η δεύτερη ιδιότητα, και άρα η συνάρτηση 2, δεν μπορεί να είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. β) Για τη συνάρτηση, ισχύει 0,. Άρα η πρώτη ιδιότητα πληρούται. Επιπλέον παρατηρούμε ότι: 1 1 1 1 arctan 1 2 1 2 Βλέπουμε λοιπόν ότι πληρούται και η δεύτερη ιδιότητα, και άρα η συνάρτηση, είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X που έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την, προκύπτει ως εξής: 1 1 1 1 arctan 1 arctan 2 1 arctan 1 2
Κεφάλαιο 2, άσκηση 2: Δίνονται οι συναρτήσεις: α) 0, 0, 0 1 1, 1 β) 0, 4 1, 4
Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας. Αν είναι, να υπολογίσετε την αντίστοιχη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Λύση: Μια συνάρτηση για να είναι συνάρτηση κατανομής πιθανότητας θα πρέπει να πληροί τις εξής ιδιότητες: i) lim 0 ii) lim 1 iii) H συνάρτηση F X (x) να είναι αύξουσα, δηλαδή να ισχύει iv) Η συνάρτηση F X (x) να είναι συνεχής από δεξιά, δηλαδή lim α) Για την πρώτη συνάρτηση έχουμε: lim 0 lim 1 Οπότε οι δυο πρώτες ιδιότητες πληρούνται. Επίσης παρατηρούμε ότι η συνάρτηση του υποερωτήματος α) είναι αύξουσα αφού για θα ισχύει. Επιπλέον ισχύει ότι η συνάρτηση είναι συνεχής από δεξιά αφού: lim,
Βλέπουμε λοιπόν ότι πληρούνται και οι τέσσερις ιδιότητες που αναφέραμε στην αρχή, κι άρα η του υποερωτήματος α) είναι συνάρτηση κατανομής πιθανότητας. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μια τυχαίας μεταβλητής X που έχει συνάρτηση κατανομής πιθανότητας την του υποερωτήματος α) προκύπτει με μια απλή παραγώγιση: 2, 01 0, ύ β) Για τη δεύτερη συνάρτηση έχουμε: lim 0 lim 1 Συνεπώς οι δυο πρώτες ιδιότητες πληρούνται. Επίσης παρατηρούμε ότι η συνάρτηση του υποερωτήματος β) είναι αύξουσα αφού για ύ. Όμως η του υποερωτήματος β) δεν είναι συνεχής από δεξιά αφού το σημείο x o =4 είναι σημείο ασυνέχειας. lim 1 4 0 Άρα δεν πληρούνται και οι τέσσερις ιδιότητες που αναφέραμε στην αρχή και η του υποερωτήματος β) δεν μπορεί να είναι συνάρτηση κατανομής πιθανότητας.
Κεφάλαιο 2, άσκηση 3: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ δίνεται από τη σχέση:, 0 0, 0 α) Να υπολογίσετε τη σχέση μεταξύ των παραμέτρων Α και b. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα 0 1 αν Α=1. γ) Να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x). Λύση: α) Εφόσον η συνάρτηση f x (x) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα πρέπει αρχικά να ισχύει 0,. Η συνθήκη αυτή δεν επηρεάζεται από την επιλογή της τιμής της παραμέτρου b αφού ισχύει: 0, για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου. Επειδή όμως ισχύει 0,, θα πρέπει να ισχύει Α>0. Επιπλέον, αφού η συνάρτηση f x (x) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, θα πρέπει να ισχύει: 1 Για να συγκλίνει το παραπάνω ολοκλήρωμα θα πρέπει b0. Οπότε θα έχουμε: 1
011 0 Επομένως η σχέση μεταξύ των παραμέτρων Α και b είναι: Αb0 β Για Α 1συνεπώς και b1 η fxx θα έχει τη μορφή:, 0 0, 0 Η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι: 0 1 1 1 1 0.6321 γ Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας υπολογίζεται ως εξής: 0, 0 και
1, για 0 Παραπάνω λάβαμε υπόψη ότι Αb οπότε 1. Άρα η ζητούμενη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας θα είναι: 1, 0 0, 0
Κεφάλαιο 2, άσκηση 4: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ δίνεται από τη σχέση: 1 1. fx(x) A 1 1 x Να υπολογίσετε: α) Την τιμή της σταθεράς Α. β) Την πιθανότητα. γ) Την ελάχιστη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ.
Λύση: α) Επειδή η f X (x) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα πρέπει κατ αρχήν να ισχύει 0 0. Επιπλέον θα πρέπει: 1 1 2 1 1 2 Παρατηρούμε ότι Α>0 οπότε ικανοποιείται και η πρώτη συνθήκη ώστε η f X (x) να είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. β) Η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι: 11, όπου η F X(x) είναι η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ. 1 1 1 1 1 1 11 Άρα. Η παραπάνω πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί και ως εξής:
3 4 13 1 4 Οπότε η θα είναι: 3 4 3 4 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 4 3 4 1 8 γ) Από τη μορφή που έχει η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ, μπορούμε εμπειρικά να συμπεράνουμε πως η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η Χ είναι Χ= 1, αφού η f X (x) είναι: 0 1 1 0 1. Για να επιβεβαιώσουμε το εμπειρικό αυτό συμπέρασμα, υπολογίζουμε πρώτα την πιθανότητα 1. Η πιθανότητα αυτή είναι: 1 0 Αυτό σημαίνει ότι η Χ δεν μπορεί να πάρει τιμές μικρότερες του 1. Στη συνέχεια υπολογίζουμε την πιθανότητα 1 1 η οποία θα είναι:
11 1 2 1 Αυτό σημαίνει ότι η Χ θα παίρνει πάντοτε τιμές στο διάστημα [ 1,1]. Άρα λοιπόν η τυχαία μεταβλητή Χ παίρνοντας πάντα τιμές στο διάστημα [ 1,1](άρα μπορεί να πάρει και την τιμή 1) και μη παίρνοντας ποτέ τιμές μικρότερες του 1, θα έχει ελάχιστη τιμή Χ= 1.
Κεφάλαιο 2, άσκηση 5: Στο κύκλωμα σταθεροποίησης του σχήματος 1, η δίοδος Zener έχει χαρακτηριστική καμπύλη όπως φαίνεται στο σχήμα 2. Ι z Vs 1 2 Σχήμα 1 Σχήμα 2
Η αντίσταση φορτίου είναι R L =10 Ω. Όταν η δίοδος άγει(ορθά πολωμένη) η τάση της είναι Vz=10 Volt. Η αναγραφόμενη τιμή της ισχύος που καταναλίσκεται στη δίοδο όταν λειτουργεί στην τάση Vz=10 Volt είναι Pz = 3 W. Η τάση τροφοδοσίας Vs είναι 12 Volt αλλά περιέχει και μια κυμάτωση γύρω από τα 12 Volt, έτσι ώστε τελικά να είναι μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας όπως φαίνεται στο σχήμα 3. Μια τυχαία μεταβλητή που εμφανίζει μια τέτοια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας(σταθερή σε ένα διάστημα [α,β] και 0 έξω από αυτό) λέμε ότι ακολοθουθεί ομοιόμορφη κατανομή. fv(v) v Σχήμα 3 Να υπολογισθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής W που παριστά την ισχύ που καταναλίσκεται στη δίοδο.
Λύση: Για να μην άγει η δίοδος(ανάστροφα πολωμένη) θα πρέπει η τάση αυτής να είναι V z <10 Volt. Στην περίπτωση αυτή δεν περνάει ρεύμα από τη δίοδο( Ι z =0) και αυτή συμπεριφέρεται ως ανοιχτό κύκλωμα και θα ισχύει: και Επειδή για να μην άγει η δίοδος πρέπει V z <10 Volt θα έχουμε: 10 10 10 Για R L =10 Ω η παραπάνω σχέση γράφεται ως εξής: 10 10 10 10 Έτσι λοιπόν όταν η τάση τροφοδοσίας είναι μικρότερη από R+10 τότε η δίοδος δεν άγει, η τάση στα άκρα της είναι ενώ το ρεύμα αυτής θα είναι Ι z =0. Στην περίπτωση, λοιπόν, που η δίοδος δεν άγει η ισχύς που καταναλίσκεται σ αυτήν είναι W=0. Για να άγει η δίοδος(περνάει ρεύμα) θα πρέπει η τάση της να γίνει V Z =10, δηλαδή 10 10. Αυτή είναι η ελάχιστη τάση τροφοδοσίας για να άγει η δίοδος.
Άρα λοιπόν όταν 10 η δίοδος άγει. Στην περίπτωση αυτή η τάση στα άκρα της διόδου παραμένει σταθερή V z = 10 Volt ενώ το ρεύμα I Z αυτής μεταβάλλεται. 10 Η δίοδος δεν άγει 10 Η δίοδος άγει Όταν η δίοδος άγει θα ισχύει 10 1. Από το βρόχο 1 του κυκλώματος του σχήματος 1 θα έχουμε: 1 10 10 1 Έτσι όταν η δίοδος άγει η ισχύς που καταναλίσκεται σ αυτήν είναι: 10 10 10 1 H ισχύς, λοιπόν, που καταναλίσκεται στη δίοδο είναι: 0, 10 η δίοδος δεν άγει 10 10 1, 10 15 η δίοδος άγει Παρατηρούμε ότι η ισχύς W που καταναλίσκεται στη δίοδο εξαρτάται από την τάση τροφοδοσίας V S η οποία είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή. Συνεπώς και η ισχύς W είναι τυχαία μεταβλητή και μάλιστα μεικτού τύπου.
Όταν η δίοδος άγει, επειδή 10 15 η ισχύς 10 1 θα παίρνει τιμές 0 10 1. Η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή W να είναι ίση με το μηδέν(η ισχύς της διόδου να είναι μηδέν) ισούται με την πιθανότητα η δίοδος να μην άγει. 0 ί ά 10 9 10 1 6 1 6 109 1 6 Για το συνεχές κομμάτι της τυχαίας μεταβλητής W(όταν 10 15) που είναι συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής V S, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f W (w) προκύπτει ως εξής: όπου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 10 10 1 10 10 15 1 10 H παράγωγος της συνάρτησης είναι: 0, 10 ί ά 10, 10 15 ί ά Επειδή μελετάμε το συνεχές κομμάτι της τυχαίας μεταβλητής W(την περίπτωση δηλαδή 10 15 ), κρατάμε μόνο τον κάτω κλάδο της. Έτσι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για το συνεχές κομμάτι της W θα είναι:
1 6 10 0 10 5 1 60 Τελικά η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της μεικτού τύπου τυχαίας μεταβλητής W θα είναι: 1 6, 0 10, 0 10 5 1 που είναι η ζητούμενη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ισχύος που καταναλίσκεται στη δίοδο. Παρατηρούμε ότι επειδή 0 θα πρέπει: 1 0 0 0 5. Γενικά όσο αυξάνει η τιμή της αντίστασης R τόσο μεγαλύτερη είναι η ελάχιστη τάση τροφοδοσίας V S που απαιτείται για να αρχίσει να άγει η δίοδος. Έτσι για R=5 η ελάχιστη τάση τροφοδοσίας που απαιτείται για να αρχίσει να άγει η δίοδος είναι V S =15 Volt που είναι και η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η τάση τροφοδοσίας στην άσκηση. Αν R >5 Ω τότε για να άγει η δίοδος απαιτείται τάση τροφοδοσίας V S > 15 Volt. Άρα λοιπόν στην άσκηση που εξετάζουμε, αν η αντίσταση είναι R > 5 Ω τότε η δίοδος δε θα άγει ποτέ αφού η τάση τροφοδοσίας είναι πάντα 9 15.
Κεφάλαιο 2, άσκηση 6: Το μοντέλο(κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας) δύο τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ είναι:, Nα υπολογισθούν οι οριακές πιθανότητες f X (x) και f Υ (y). Είναι οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ στατιστικά ανεξάρτητες; Λύση: Η οριακή πιθανότητα f Χ (x) της τυχαίας μεταβλητής Χ θα είναι:, 01 Άρα λοιπόν η οριακή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαιάς μεταβλητής Χ θα είναι:. Για υπολογίσουμε την οριακή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f Υ (y) της τυχαίας μεταβλητής Υ ακολουθούμε την ίδια ακριβώς διαδικασία. Δηλαδή:
, 01 Άρα λοιπόν η οριακή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαιάς μεταβλητής Y θα είναι:. Για να είναι οι δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ στατιστικά ανεξάρτητες θα πρέπει να ισχύει:, Σχηματίζουμε λοιπόν το γίνομενο και ελέγχουμε αν ισούται με,. =, Άρα λοιπόν οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ είναι στατιστικά ανεξάρτητες.
Κεφάλαιο 2, άσκηση 7: Το σήμα που φτάνει σε ένα δέκτη δίνεται από τη σχέση sin, όπου Χ και Φ είναι τυχαίες μεταβλητές. Δίνεται ότι η Φ έχει ομοιόμορφη κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας : 1 2, 0 2 0, ύ Να υπολογιστεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ. Λύση: Εφόσον η τυχαία μεταβλητή Χ είναι συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής Φ, sin, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ προκύπτει ως εξής: cos όπου φ i είναι οι λύσεις της εξίσωσης: sin Να σημειώσουμε ότι επειδή η τυχαία μεταβήτή Φ παίνει τιμές στο διάστημα [0,2π], από τις λύσεις φ i της παραπάνω εξίσωσης θέλουμε μόνο εκείνες που είναι στο διάστημα [0,2π]. Οι λύσεις αυτές είναι 2.
sin sin sin sin Άρα λοιπόν: λ
Έτσι η ζητούμενη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ θα είναι: 1 fx(x) x Κι ένα επιπλέον ερώτημα: Μπορείτε να βρείτε ποιες τιμές παίρνει η τυχαία μεταβλητή Χ; Παίρνει τιμές όπως φαίνεται από τη σχέση sin που συνδέει τις τυχαίες μεταβλητές Χ και Φ, ή όπως φαίνεται από τη μαθηματική σχέση της ; Τι συμβαίνει στα σημεία X= A και X=A;