Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον
Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές βάσειςσταμαθηµατικά,κάτιπουθασεκάνεινατακατανοήσειςβα- θύτερα,ναβελτιώσειςτηνεπίδοσήσουαλλάκαινατααγαπήσειςπε- ρισσότερο. Τοβιβλίοακολουθεί,γιαδιδακτικούςλόγους,πιστάτηδοµήτουσχολι- κούβιβλίου.κάθεενότηταπεριέχει: τηθεωρίασεµορφήερωτήσεων-απαντήσεων,µεσχόλιακαιπαρατη- ρήσεις, υποδειγµατικάλυµένεςασκήσειςπουσυνοδεύονταισυχνάαπόχρήσι- µεςµεθόδους, προτεινόµενεςασκήσειςκαιερωτήσειςκατανόησηςµεσκοπότηναυτε- νέργειακαιτηναπόκτησηαυτοπεποίθησης. Στοτέλοςτουβιβλίουπεριέχονταιυποδείξειςήαπαντήσειςσεόλεςτις προτεινόµενεςασκήσεις,καθώςκαιοιλύσειςόλωντωνασκήσεωντου σχολικούβιβλίου,κάτιπουκαθιστάτοβιβλίοιδιαίτεραφιλικόαλλάκαι εξαιρετικάχρήσιµο. Θέλουµεναευχαριστήσουµετηνειδικήσυνεργάτηµας,µαθηµατικό, ΙωάνναΣτεργίουγιατιςπολύτιµεςπαρεµβάσειςτηςστοπεριεχόµενοτου βιβλίουκαιτονσυνάδελφο ηµήτρητσάκοπουείχετηνεπιµέλειατης έκδοσης. Οισυγγραφείς
Περιεχόµενα Α Μέρος:Άλγεβρα Ενότητα1: Ηέννοιατηςµεταβλητής-Αλγεβρικέςπαραστάσεις...11 Ενότητα2: Εξισώσειςα βαθµού...23 1οΚριτήριοΑξιολόγησης...40 Ενότητα3: Επίλυσητύπων...41 Ενότητα4: Επίλυσηπροβληµάτωνµετηχρήσηεξισώσεων...46 2οΚριτήριοΑξιολόγησης...57 Ενότητα5: Ανισώσειςα βαθµού...58 3οΚριτήριοΑξιολόγησης...71 Ενότητα6: Τετραγωνικήρίζαθετικούαριθµού...72 4οΚριτήριοΑξιολόγησης...84 Ενότητα7: Άρρητοιαριθµοί-Πραγµατικοίαριθµοί...85 Ενότητα8: Προβλήµατα...93 Ενότητα9: Ηέννοιατηςσυνάρτησης...99 Ενότητα10: Καρτεσιανέςσυντεταγµένες-Γραφικήπαράστασησυνάρτησης...108 Ενότητα11: Ησυνάρτηση y=αx...123 Ενότητα12: Ησυνάρτηση y=αx+β...132 Ενότητα13: Ησυνάρτηση y= α -Ηυπερβολή...145 x 5οΚριτήριοΑξιολόγησης...154 6οΚριτήριοΑξιολόγησης...156 Ενότητα14: ΒασικέςέννοιεςτηςΣτατιστικής:Πληθυσµός- είγµα...158 Ενότητα15: Γραφικέςπαραστάσεις...163 Ενότητα16: Κατανοµήσυχνοτήτωνκαισχετικώνσυχνοτήτων...171 Ενότητα17: Οµαδοποίησηπαρατηρήσεων...178 Ενότητα18: Μέσητιµή- ιάµεσος...184 Β Μέρος:Γεωµετρία Ενότητα19: Εµβαδόνεπίπεδηςεπιφάνειας...195 Ενότητα20: Μονάδεςµέτρησηςεπιφανειών...199 7οΚριτήριοΑξιολόγησης...206
Ενότητα21: Εµβαδάεπίπεδωνσχηµάτων...207 8οΚριτήριοΑξιολόγησης...220 Ενότητα22: Πυθαγόρειοθεώρηµα...222 9οΚριτήριοΑξιολόγησης...235 10οΚριτήριοΑξιολόγησης...236 Ενότητα23: Εφαπτοµένηοξείαςγωνίας...237 Ενότητα24: Ηµίτονοκαισυνηµίτονοοξείαςγωνίας...247 Ενότητα25: Μεταβολέςηµιτόνου,συνηµιτόνουκαιεφαπτοµένης...258 Ενότητα26: Οιτριγωνοµετρικοίαριθµοίτωνγωνιών30,45 και60...267 11οΚριτήριοΑξιολόγησης...277 Ενότητα27: Ηέννοιατουδιανύσµατος...279 Ενότητα28: Άθροισµακαιδιαφοράδιανυσµάτων...288 Ενότητα29: Ανάλυσηδιανύσµατοςσεδύοκάθετεςσυνιστώσες...299 Ενότητα30: Εγγεγραµµένεςγωνίες...306 Ενότητα31: Κανονικάπολύγωνα...319 Ενότητα32: Μήκοςκύκλου...333 Ενότητα33: Μήκοςτόξου...342 Ενότητα34: Εµβαδόνκυκλικούδίσκου...350 Ενότητα35: Εµβαδόνκυκλικούτοµέα...358 12οΚριτήριοΑξιολόγησης...369 Ενότητα36: Ευθείεςκαιεπίπεδαστοχώρο...371 Ενότητα37: Στοιχείακαιεµβαδόνπρίσµατοςκαικυλίνδρου...384 Ενότητα38: Όγκοςπρίσµατοςκαικυλίνδρου...397 Ενότητα39: Ηπυραµίδακαιταστοιχείατης...409 Ενότητα40: Οκώνοςκαιταστοιχείατου...422 Ενότητα41: Ησφαίρακαιταστοιχείατης...432 13οΚριτήριοΑξιολόγησης...442 ΣυµπληρωµατικέςασκήσειςστηνΆλγεβρα...444 Γ Μέρος:Απαντήσεις Απαντήσεις-ΛύσειςΠροτεινόµενωνΑσκήσεων...461 Απαντήσεις-ΛύσειςΑσκήσεωνΣχολικούΒιβλίου...554
Α. Η έννοια της µεταβλητής - Παραστάσεις Τι ονοµάζεται µεταβλητή και πώς συµβολίζεται; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μεταβλητή ονοµάζεται ένα γράµµα, το οποίο παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθµό. Οι µεταβλητές συµβολίζονται µε γράµµατα της Ελληνικής ή Λατινικής αλφαβήτου, για παράδειγµα µε α, β, γ, δ, x, y, z, t, κ.λπ. Σχόλιο Τις µεταβλητές τις χρησιµοποιούµε για να διατυπώσουµε µε µαθηµατικό τρόπο διάφορες προτάσεις ή ιδιότητες των αριθµών. α) Τι λέγεται αριθµητική παράσταση; β) Τι λέγεται αλγεβρική παράσταση; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αριθµητική παράσταση λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθ- µούς. Τον αριθµό που θα βρούµε, αν εκτελέσουµε όλες τις πράξεις σε µια αριθ- µητική παράσταση, τον λέµε τιµή της παράστασης. 11
Για παράδειγµα, η παράσταση Α = 8 ( 2)(+3) ( 3) 2 : ( 9) είναι αριθµητική και η τιµή της είναι ίση µε: Α = 8 ( 2)(+3) ( 3) 2 : ( 9) = 8 ( 6) (+9) : ( 9) = = 8 + 6 ( 1) = 14 + 1 = 15 β) Αλγεβρική λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθµούς και µεταβλητές. Για παράδειγµα, η παράσταση Α = α 2 + β 2 α + β + 1 είναι αλγεβρική. Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές της µε αριθµούς, τότε η τιµή της αριθµητικής παράστασης που προκύπτει λέγεται τιµή της αλγεβρικής παράστασης. Για παράδειγµα, η τιµή της παράστασης Α = α 2 + β 2 α + β + 1 για α = 2 και β = 3 είναι: Α = 2 2 + ( 3) 2 2 + ( 3) + 1 = 4 + 9 2 3 + 1 = 9 Οι προσθετέοι της αλγεβρικής παράστασης λέγονται όροι της παράστασης. Για παράδειγµα, στην παράσταση Α = α 2 + β 2 α + β + 1 οι όροι είναι οι α 2, β 2, α, β, 1. Εφαρµογή1.1 Ναεκφραστούνοιπαρακάτωπροτάσειςµετηβοήθειαµεταβλητών: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατάπέντε. β) Τοάθροισµακαιηδιαφοράδύοαριθµών. γ) Τοδιπλάσιοτηςδιαφοράςδύοαριθµών. δ) Τοκόστοςγιανααγοράσουµεδύοκιλάµήλακαιτρίακιλάροδάκινα. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτοναριθµό,τότετοτριπλάσιότουείναι3x.Εποµένως,το τριπλάσιοτουαριθµού,αυξηµένοκατά5,εκφράζεταιµετηνπαράσταση 3x+5. β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνεκφράζεταιµετηνπαράσταση α+β καιηδιαφοράτους µε α β, όπουακαιβείναιοιαριθµοίαυτοί. γ) Ανα,βείναιοιδύοαριθµοί,τότεηδιαφοράτουςείναιηπαράσταση α β. Άρατο διπλάσιοτηςδιαφοράςτουςεκφράζεταιµετηνπαράσταση 2(α β). δ) Αντοένακιλόµήλακοστίζει x καιτοένακιλόροδάκινακοστίζει y, τότεη αξίαδύοκιλώνµήλακαιτριώνκιλώνροδάκιναεκφράζεταιµετηνπαράσταση 2x+3y. 12 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Εφαρµογή1.2 ίνεταιηπαράσταση Α=α 3 3α 2 β+3αβ 2 β 3 +10. α) ΠοιεςείναιοιµεταβλητέςτηςπαράστασηςΑ; β) ΠοιοιείναιοιόροιτηςπαράστασηςΑ; γ) ΠοιαείναιητιµήτηςπαράστασηςΑ,για α= 2 και β= 1; ΛΥΣΗ α) ΟιµεταβλητέςτηςπαράστασηςΑείναιοιακαιβ. β) ΟιόροιτηςπαράστασηςΑείναιοια 3, 3α 2 β,3αβ 2, β 3,10. γ) ΓιαναβρούµετηντιµήτηςαλγεβρικήςπαράστασηςΑ,για α= 2 και β= 1, θα αντικαταστήσουµετιςµεταβλητέςα,βµετιςτιµέςτους 2και 1αντίστοιχα.Θέτου- µελοιπόν α= 2 και β= 1, οπότεπαίρνουµε: Α=α 3 3α 2 β+3αβ 2 β 3 +10=( 2) 3 3( 2) 2 ( 1)+3( 2)( 1) 2 ( 1) 3 +10= = 8 3(+4)( 1)+3( 2) 1 ( 1)+10= 8 3( 4) 6+1+10= = 8+12 6+1+10=12+1+10 8 6=23 14=9 Β. Επιµεριστική ιδιότητα - Αναγωγή όµοιων όρων Να γραφεί η επιµεριστική ιδιότητα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η επιµεριστική ιδιότητα διατυπώνεται µε µεταβλητές ως εξής: α(β + γ) = αβ + αγ Επειδή το σύµβολο του πολλαπλασιασµού, δηλαδή η τελεία ( ), µπορεί να παραλειφθεί, η επιµεριστική ιδιότητα γράφεται και µε τη µορφή α(β + γ) = αβ + αγ ή ακόµα και µε τη µορφή (α + β)γ = αγ + βγ. Επειδή η επιµεριστική ιδιότητα ισχύει και ως προς την αφαίρεση, γενικότερα έχουµε: α(β + γ) = αβ + αγ και α(β γ) = αβ αγ Αξίζει επίσης να τονίσουµε ότι κατά την επιµεριστική ιδιότητα το πρόσηµο που βρίσκεται µπροστά από την παρένθεση παίζει σηµαντικό ρόλο: α(β + γ) = αβ αγ, α(β γ) = αβ + αγ α(β + γ δ) = αβ + αγ αδ, α(β γ δ) = αβ + αγ + αδ 13
Για παράδειγµα είναι 2(α 3) = 2α + 6 και όχι 2α 6, διότι ( 2)( 3) = +6. Αν έχουµε περισσότερες από δύο µεταβλητές, ισχύει ότι: Σχόλιο Σε ορισµένες περιπτώσεις την επιµεριστική ιδιότητα την εφαρµόζουµε από την αντίθετη κατεύθυνση, «βγάζοντας» έναν κοινό παράγοντα. Γράφουµε δηλαδή ότι: Για παράδειγµα είναι: αβ + αγ = α(β + γ) και αγ + βγ = (α + β)γ 2x + 2y = 2(x + y), 3α 3β = 3(α β) 5κ + 5λ = 5(κ λ), 3α 6β = 3(α + 2β) Βλέπουµε λοιπόν ότι αν ο κοινός παράγοντας είναι αρνητικός αριθµός, τότε το πρόσηµο των όρων που µένουν στην παρένθεση αλλάζει: 5κ + 5λ = 5(κ λ) Τι λέγεται αναγωγή όµοιων όρων; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αναγωγή όµοιων όρων λέγεται η διαδικασία µε την οποία µια αλγεβρική παράσταση γράφεται σε απλούστερη µορφή. Αυτό γίνεται µε τη βοήθεια της επι- µεριστικής ιδιότητας. Για παράδειγµα είναι: 3α + 5α = (3 + 5)α = 8α, 4α 7α = (4 7)α = 3α 2α 4α + 3α = (2 4 + 3)α = 1 α = α, 6y + 3y 10y = (6 + 3 10)y = 1y = y Τονίζουµε ότι µπορούµε να γράψουµε: (1 x = x και 1 x = x) ή (x = 1 x και x = 1 x) ανάλογα µε την περίπτωση. 14 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Εφαρµογή1.3 Νααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 8α 3α+α β)7x 8x x γ) 2(α 2β) 3(2α β) δ) 3(x 2y)+2(3x y)+1 ΛΥΣΗ α) Επειδή α=1 α, είναι8α 3α+α=(8 3+1)α=6α. β) Επειδή x= 1 x είναι7x 8x x=(7 8 1)x= 2x. γ) Χρησιµοποιούµεπρώτατηνεπιµεριστικήιδιότητα α(β+γ)=αβ+αγ: 2(α 2β) 3(2α β) = 2α 4β 6α + 3β = 2α 6α 4β + 3β = δ) Μετονίδιοτρόποέχουµε: =(2 6)α+( 4+3)β= 4α β 3(x 2y)+2(3x y)+1= 3x+6y+6x 2y+1=( 3+6)x+(6 2)y+1=3x+4y+1 Εφαρµογή1.4 Ναυπολογιστείητιµήτωνπαραστάσεων: α) Α=2(α 2) 3(β 1) ( α 6β)+5,αν α+β= 1. β) Β=3(α 2β) 2(3α β) (5 β),αν α+β= 2. ΛΥΣΗ α) ΠρώταθααπλοποιήσουµετηνπαράστασηΑµετηβοήθειατηςεπιµεριστικήςιδιό- τηταςκαικάνονταςτηναναγωγήτωνόµοιωνόρων: Α=2(α 2) 3(β 1) ( α 6β)+5=2α 4 3β+3+α+6β+5= =2α+α 3β+6β 4+3+5=(2+1)α+( 3+6)β+4=3α+3β+4= =3(α+β)+4=3( 1)+4= 3+4=1 Τονίζουµεότιµπορούµεαπευθείαςναγράψουµε: 2α+α=3ακαι 3β+6β=3β διότι: 2+1=3και 3+6=3 β) Όπωςκαιστοερώτηµα(α),απλοποιούµεπρώτατηνπαράσταση: Β=3(α 2β) 2(3α β) (5 β)=3α 6β 6α+2β 5+β= =3α 6α 6β+2β+β 5= 3α 3β 5= 3(α+β) 5= = 3( 2) 5=6 5=1 15
1.5 Ναχρησιµοποιηθούνµεταβλητέςγιαναεκφραστούνµεµιααλγεβρικήπα- ράστασηοιπαρακάτωφράσεις: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατά12. β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνπολλαπλασιασµένοεπί9. γ) Ηπερίµετροςενόςορθογωνίου,πουτοµήκοςτουείναι 2m µεγαλύτε- ροαπότοπλάτοςτου. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτοναριθµό,τότε: Τοτριπλάσιοαυτούτουαριθµούείναι3x. Το3xαυξηµένοκατά12είναι 3x+12. β) Ανσυµβολίσουµεµεxτονέναναριθµόκαιµεyτονάλλοναριθµό,τότε: Τοάθροισµατωνδύοαριθµώνείναι x+y. Το x+y πολλαπλασιασµένοµετο9είναι 9(x+y). γ) Αν συµβολίσουµε µε y m τοπλάτοςτουορθογωνίου,τότετοµήκοςτουείναι (y+2)m (αφούτοµήκοςαυτούτουορθογωνίουείναι 2m µεγαλύτεροαπότοπλά- τοςτου).εποµένως,ηπερίµετρόςτουείναι: Π=y+(y+2)+y+(y+2)=2y+2(y+2)=2y+2y+4=(4y+4)m 1.6 Ναχρησιµοποιηθείµιαµεταβλητήγιαναεκφραστούνµεµιααλγεβρική παράστασηοιπαρακάτωφράσεις: α)τοσυνολικόποσόπουθαπληρώσουµεγιανααγοράσουµε5κιλάπα- τάτες,ανγνωρίζουµετηντιµήτουενόςκιλού. β)τηντελικήτιµήενόςπροϊόντος,ανγνωρίζουµεότιαυτήείναιηανα- γραφόµενητιµήσυν19%φπα. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτηντιµήτουενόςκιλού,τότεητιµήτων5κιλώνείναι 5x. β) Ανσυµβολίσουµεµεyτηναναγραφόµενητιµή,τότεοΦΠΑπουαναλογείσεαυ- τήτηντιµήείναι: 16 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
19 y = 0,19y 100 Εποµένως,ητελικήτιµήτουπροϊόντοςείναιy+0,19y=(1+0,19)y=1,19y. 1.7 Nααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 20x 4x+x β) 7α 8α α γ) 14y+12y+y δ)14ω 12ω ω+3ω ε) 6x+3+4x 2 στ)β 2β+3β 4β ΛΥΣΗ Εφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητα αγ+βγ=(α+β)γ καικάνουµεαναγωγή όµοιωνόρων. α) 20x 4x+x=(20 4+1)x=17x. β) 7α 8α α=( 7 8 1)α= 16α. γ) 14y+12y+y=(14+12+1)y=27y. δ) 14ω 12ω ω+3ω=(14 12 1+3)ω=4ω. ε) 6x+3+4x 2= 6x+4x+3 2=( 6+4)x+(3 2)= 2x+1. στ)β 2β+3β 4β=(1 2+3 4)β= 2β. 1.8 Νααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 2x 4y+3x+3y β) 6ω 2ω+4α+3ω+α γ)x+2y 3x 4y δ) 8x+ω+3ω+2x x ΛΥΣΗ Παρατηρούµεότιοιαλγεβρικέςπαραστάσειςδενέχουνµίαµόνοµεταβλητή.Εφαρµό- ζουµετηνεπιµεριστικήιδιότηταστουςόρουςπουέχουντηνίδιαµεταβλητή. =5x+( 1)y=5x y. =7ω+5α. = 2x 2y. 17
= 7x+4ω. 1.9 NααπλοποιηθούνοιπαραστάσειςA,Bκαιστησυνέχειαναυπολογιστεί ητιµήτους: α)α=3(x+2y) 2(2x+y),ότανx=1, y= 2. β)β=5(2α 3β)+3(4β α),ότανα= 3, β=5. ΛΥΣΗ α) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΑ: Α=3(x+2y) 2(2x+y)=3x+6y 4x 2y=3x 4x+6y 2y= =(3 4)x+(6 2)y=( 1)x+4y= x+4y ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΑ,όταν x=1 και y= 2: Α= 1+4( 2)= 1 8= 9 β) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΒ: Β=5(2α 3β)+3(4β α)=10α 15β+12β 3α=10α 3α 15β+12β= =(10 3)α+( 15+12)β=7α+( 3)β=7α 3β ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΒ,όταν α= 3 και β=5: Β=7( 3) 3 5= 21 15= 36 Βασικέςασκήσεις 1.10 Ναχρησιµοποιήσετεµεταβλητέςγιαναεκφράσετεµεµιαπαράστασητιςεπό- µενεςφράσεις: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούελαττωµένοκατά10. β) Τοδιπλάσιοτουαθροίσµατοςδύοαριθµών. γ) Τοµισότηςδιαφοράςδύοαριθµών. 18 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
δ) Ηπερίµετροςενόςισοσκελούςτριγώνου. ε) Τοεµβαδόνενόςορθογωνίουµεµήκος5. στ)ηδιαφοράτουαθροίσµατοςδύοαριθµώναπότο20. 1.11 Ναγράψετεµετηβοήθειαµεταβλητώντιςφράσεις: α) Τοάθροισµαδύοδιαδοχικώνακέραιωναριθµών. β) Ητιµήενόςπροϊόντοςµετάαπόέκπτωση 20%. γ) Οµέσοςόροςδύοαριθµώνείναι5. δ) Τοκόστοςδύοίδιωντετραδίωνκαιτριώνίδιωνβιβλίων. 1.12 Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α) 3x+2x+5x β) 5α+3α+α γ) 7x 3x x δ)6α+α 5α ε) 4y y+2y στ) 10β+3β+6β 1.13 Νακάνετεαναγωγήτωνόµοιωνόρων: α)5α 3β+2β 4α β) 2α β+3α 2β γ) 3x 4y 2x+3y δ) 5β+3γ+7β 4γ 1.14 Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α)α+α+α β)α α α γ)3α+3α+3α δ)3α 3α 3α ε) α 2α 3α στ)( α)( 2α)( 3α) 1.15 Αν α= 1 και β= 2, ναυπολογίσετετιςπαραστάσεις: α)α=α 2 β βα 3 β)β=β 3 :α 5 β( 3 2α) 7 1.16 Ναβρείτετηντιµήτωνπαραστάσεων: α)α=3α 2β+3γ,ανα=2, β= 3, γ= 2 β)β=2(α β) 5(β+α),ανα=3, β= 3 1.17 Νααπλοποιήσετετιςπαρακάτωπαραστάσεις: α)α=2(3α 2β 1) 3(2α 3β 2) β)β= 3(x 2y+3)+2(3x 3y+5) 19
1.18 Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α)α= [ ( 2α β) (α β)] (α 2β) β)β= [ 2(α β) (β α)] (α β) 1.19 Ναυπολογίσετετηντιµήτωνπαραστάσεων: α)α=2(x y) 3(2x 5y) 2,ανx= 5, y= 2 β)β= 3(α 2β)+2( 2α+3β)+5,ανα= 3, β= 2 1.20 Ναβρείτετηντιµήτωνπαραστάσεων: α) Α=3α 3β,ανα β=10 β) Β= 2α 2β,ανα+β=5 3 3 γ) Γ= x+ y, ανx+y=4 2 2 1.21 Αν α+β= 7 και x y= 3, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α=7 [ α (β+3)] [2+(y x)] 1.22 Αν x y= 5 και α β+γ=3, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α= x α+y+β γ 1.23 Ναεκφράσετεµετηβοήθειαµιαςµεταβλητήςτιςπαρακάτωπροτάσεις: α) Τοάθροισµατριώνδιαδοχικώνάρτιων. β) Τοάθροισµαδύοδιαδοχικώνπεριττώναυξηµένοκατά10. γ) Έναςπεριττόςαριθµόςαυξηµένοςκατάτοδιπλάσιοτουεπόµενούτουαριθ- µού. 1.24 Ναεκφράσετεµεµιαισότητατιςπαρακάτωπροτάσεις: α) Τοάθροισµατριώνδιαδοχικώνπεριττώναριθµών,απότουςοποίουςοµεσ- σαίοςείναιο 2x+1, είναιίσοµε15. β) ΟΜιχάληςείναι4χρόνιαµεγαλύτεροςαπότονΓιώργοκαιτοµισότηςηλι- κίαςτουμιχάληισούταιµετο 1 6 τηςηλικίαςτουγιώργουαυξηµένοκατά8 χρόνια. 1.25 Απόποιαγινόµεναπροέκυψανοιπαρακάτωαλγεβρικέςπαραστάσεις; α) 2x+2y β) 3α 3β γ) 5x+5y δ) 4α 4β ε) 2x+4y στ) 3α+6β 20 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
1.26 Αν α+β=3, νααποδείξετεότι: α)3α (α 2β)=6 β)2(α β) 3(2α+β)+β= 12 1.27 Ναυπολογίσετετηντιµήτωνπαραστάσεων: α) { [ ] [ ]} β) [ ] A = 3 ( 4+ 3) + 2 ( 7+ 4) ( 2+ 7) { } B= 3 + ( 5+ 4) (6+ 3 7) ( 2+ 7) 1.28 Ναβρείτετηντιµήτωνπαρακάτωαριθµητικώνπαραστάσεων: α)α=( 2)(+3) ( 8):( 4) ( 3) 2 β)β=( 1)( 2) 2 ( 3) 2 :( 9) ( 5+3)( 2) γ)γ=( 3)( 2) ( 4+3) 2008 ( 1) 3 ( 4) δ) =( 8+7) 2009 +( 25):( 5) 2 3( 4+5) 1.29 Αν Α= ( 2α+β) (α+2β) και Β=2(α β) 3(α 2β), ναυπολογίσετετις παραστάσεις: α)α Β β)2β 3Α+5(α 3β) 1.30 Νααπλοποιήσετετιςπαρακάτωπαραστάσεις: α)α=2( 3x+2y)+3(2x 3y) (x 2y) β)β= 3(α 2β)+2( 3α+β) (2α β)+11α γ)γ= 2(α 2β γ)+3(2α β 3γ) (2α β 3γ) 2(β 2γ) δ) =4(2α β+2γ) 2(α β+γ) 3(2α β γ) 9γ 1.31 Αν α β γ= 1, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α= 3(α+β+γ) 4(β α γ)+2(3α 4γ) 1.32 Ναβρείτετηνπερίµετροτωνπαρακάτωσχηµάτων: 21
1.33 Ναβρείτετηνπλευράαενόςτετραγώνου,του οποίου το εµβαδόν ισούται µε το άθροισµα τωνεµβαδώντωνδιπλανώνορθογωνίων. 1.34 Αντοτρίγωνοέχειπερίµετρο 10cm, ναβρείτετηνπερίµετροτουορθογωνίου. 1.35 Ναβρείτετοεµβαδόντουδιπλανούορθογω- νίου. 22 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Α. Ισότητες - Ιδιότητες Ποια σχέση µπορεί να υπάρχει ανάµεσα σε δύο αριθµούς α και β; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ανάµεσα σε δύο αριθµούς α και β ισχύει πάντα µόνο µία από τις σχέσεις: α= β ή α< β ή α> β Η σχέση α = β λέγεται ισότητα, ενώ καθεµία από τις σχέσεις α < β, α > β λέγεται ανισότητα. Το σύµβολο «<» διαβάζεται «µικρότερο» και το «>» διαβάζεται «µεγαλύτερο». Ποιες ιδιότητες συνδέουν τις πράξεις και τις ισότητες; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Σε µια ισότητα µπορούµε να κάνουµε µία τουλάχιστον από τις επόµενες ενέργειες και να πάρουµε πάλι ισότητα. 23
Ιδιότητα 1η Αν στα δύο µέλη µιας ισότητας προσθέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α + γ = β + γ Ιδιότητα 2η Αν και από τα δύο µέλη µιας ισότητας αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α γ = β γ Ιδιότητα 3η Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας πολλαπλασιαστούν µε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α γ = β γ Ιδιότητα 4η Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας διαιρεθούν µε τον ίδιο αριθµό, που δεν είναι µηδέν, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α = β, γ γ γ 0 Σχόλιο Από τις παραπάνω ιδιότητες µπορούµε να συµπεραίνουµε επίσης ότι: Αν α + γ = β + γ, τότε α = β. Αν α γ = β γ, τότε α = β. Αν αβ = αγ και α 0, τότε β = γ. α α β γ Αν = ή =, τότε β = γ. β γ α α Οι παραπάνω ιδιότητες είναι γνωστές ως ιδιότητες της διαγραφής. 24 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
Εφαρµογή2.1 ίνονταιοιµεταβλητέςα,βκαιγ.νααποδειχθείότι: α) Αν α+β 3=γ+β 3, τότε α=γ. β) Αν 2α 3β+7=2α 3γ+7, τότε β=γ. γ) Αν αβ 8=αγ 8 και α 0, τότε β=γ. ΛΥΣΗ α) Κάνουµεδιαδοχικάτιςπαρακάτωενέργειες: α+β 3=γ+β 3 Προσθέτουµεσταδύοµέλητο3 α+β 3+3=γ+β 3+3ή α+β=γ+β Αφαιρούµεαπόταδύοµέλητοβ α+β β=γ+β βήα=γ β) Έχουµε: 2α 3β+7=2α 3γ+7 Αφαιρούµεσταδύοµέλητο7 2α 3β+7 7=2α 3γ+7 7ή 2α 3β=2α 3γ Αφαιρούµεσταδύοµέλητο2α 2α 3β 2α=2α 3γ 2αή 3β= 3γ ιαιρούµεκαιταδύοµέληµε 3 3β 3γ = 3 3 ήβ=γ γ) Έχουµε αβ 8=αγ 8. Προσθέτουµεκαισταδύοµέλητο8καιπαίρνουµε: αβ 8+8=αγ 8+8ήαβ=αγ Αφού α 0, διαιρούµεκαιταδύοµέληµεακαιπαίρνουµε: αβ αγ = ή β= γ α α Β. Πώς λύνουµε εξισώσεις Τι είναι εξίσωση; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εξίσωση είναι µια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθµό x. 25
Σχόλια Ο άγνωστος µπορεί να συµβολίζεται και µε οποιοδήποτε άλλο γράµµα. Για παράδειγµα οι 3x + 2 = 17 2x, 2y 7 = 15 + y είναι εξισώσεις. Η πρώτη έχει άγνωστο τον x και η δεύτερη έχει άγνωστο τον y. Κάθε εξίσωση έχει δύο µέλη. Για παράδειγµα στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x, α µέλος είναι η παράσταση 3x + 2 και β µέλος είναι η παράσταση 17 2x. Τι λέγεται λύση ή ρίζα µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Λύση ή ρίζα µιας εξίσωσης λέγεται ο αριθµός που πρέπει να βάλουµε στη θέση του αγνώστου, ώστε η ισότητα που προκύπτει να αληθεύει. Για παράδειγµα, στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x ο αριθµός x = 3 είναι λύση, διότι: 3 3 + 2 = 17 2 3 ή 9 + 2 = 17 6 ή 11 = 11 Η διαδικασία µε την οποία διαπιστώνουµε ότι κάποιος αριθµός είναι λύση µιας εξίσωσης λέγεται επαλήθευση. Ποια γενική αρχή εφαρµόζουµε για τη λύση µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όταν λύνουµε µια εξίσωση, χρησιµοποιούµε την εξής γενική αρχή: Σε µια εξίσωση µπορούµε να µεταφέρουµε όρους από το ένα µέλος στο άλλο, αλλάζοντας όµως το πρόσηµό τους. Για παράδειγµα στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x µπορούµε να φέρουµε τους άγνωστους όρους στο α µέλος και τους γνωστούς στο β µέλος ως εξής: 3x + 2x = 17 2 Αφού το 2x ήταν στο β µέλος και ήρθε στο α, έγινε +2x ενώ το +2 που ήταν στο α µέλος και πήγε στο β έγινε 2. Οι όροι 3x και 17 παρέµειναν στο µέλος που βρίσκονταν αρχικά, οπότε δεν άλλαξαν πρόσηµο. 26 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
Ποια βήµατα ακολουθούµε για τη λύση µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Στην πορεία λύσης µιας εξίσωσης ακολουθούµε µε τη σειρά τα εξής βήµατα: 1ο Βήµα Απαλείφουµε, αν υπάρχουν, τους παρονοµαστές, πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο, και στα δύο µέλη, µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών αυτών. 2ο Βήµα Εκτελούµε τις πράξεις, συνήθως µε τη βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας. 3ο Βήµα Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους, µεταφέροντας στο ένα µέλος όλους τους όρους που έχουν τον άγνωστο και στο άλλο µέλος αυτούς που είναι γνωστοί. 4ο Βήµα Κάνουµε αναγωγή όµοιων όρων. 5ο Βήµα ιαιρούµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε το συντελεστή του αγνώστου. 6ο Βήµα Απλοποιούµε τα κλάσµατα και βρίσκουµε τη λύση. Σχόλιο Πολλές φορές, όταν λύνουµε µια εξίσωση, καταλήγουµε σε εξισώσεις της µορφής: 0x = 5, 0x = 7, 0x = 0 κ.λπ. Εξισώσεις, όπως για παράδειγµα οι 0x = 5, 0x = 7 λέγονται αδύνατες. Η εξίσωση 0x = 0 λέγεται ταυτότητα. 27
Συνοψίζοντας, έχουµε τα ακόλουθα: Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = α, µε α 0 λέγεται αδύνατη. Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = 0 λέγεται ταυτότητα (ή αόριστη). Εφαρµογή2.2 Ναλυθούνοιεξισώσεις: α) 5x 7=3x+13 β) 2x+5=5x+17 γ) 2(x 3) 3(x 2)=4(x 5) δ) 3(x 5)+7=9 2(x 1) ΛΥΣΗ Αφούδενυπάρχουνκλάσµαταδεναπαιτείταιπουθενάαπαλοιφήπαρονοµαστών. Ακολουθούµελοιπόνταυπόλοιπαβήµαταπουπεριγράψαµεπροηγουµένως: α) 5x 7 = 3x + 13 Χωρίζουµεγνωστούςαπόαγνώστους 5x 3x=13+7 Αναγωγήόµοιωνόρων 2x=20 ιαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου 2x 20 = 2 2 ή x = 10 Ηλύσηλοιπόντηςεξίσωσηςείναιη x=10. β) Εργαζόµαστεµετονίδιοτρόπο: 2x+5=5x+17 Χωρίζουµεγνωστούςαπόαγνώστους 2x 5x=17 5 Αναγωγήόµοιωνόρων 3x=12 ιαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου = 3 3 ή x = Ηλύσηλοιπόντηςεξίσωσηςαυτήςείναιη x= 4. Σχόλιο Μπορούµε να βεβαιωθούµε ότι η λύση που βρήκαµε είναι σωστή, κάνοντας επαλήθευση: 2x + 5 = 5x + 17 ή 2( 4) + 5 = 5( 4) + 17 ή 8 + 5 = 20 + 17 ή 3 = 3 Αφού η τελευταία ισότητα είναι σωστή, η λύση x = 4 είναι η σωστή. 28 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
γ) Εδώπρέπειπρώταναεκτελέσουµετιςπράξεις,ώστενααπαλλαχτούµεαπότιςπα- ρενθέσεις: 2(x 3) 3(x 2)=4(x 5)ή2x 6 3x+6=4x 20ή 2x 3x 4x= 20ή 5x= 20ή 5x = 20 ή x = 4 5 5 δ) Εργαζόµαστεακριβώςµετονίδιοτρόπο: 3(x 5)+7=9 2(x 1)ή 3x+15+7=9 2x+2ή 3x+2x=9+2 15 7ή x= 11ή x = 11 ή x = 11 1 1 Τονίζουµεότιαφού x= 11, οxείναιοαντίθετοςτου 11,δηλαδήο11.Εποµένως ηδιαίρεσηµετο 1µπορείκαιναπαραλειφθεί. Εφαρµογή2.3 Ναλυθούνοιεξισώσεις: α) 3(x 2) 5(1 2x)=2(4x 4) 5(2 x) β) 3(x 1) 2(3 x)=4(x+2) (17 x) ΛΥΣΗ α) Ακολουθούµεταβήµαταπουπεριγράψαµεστηθεωρία: 3(x 2) 5(1 2x)=2(4x 4) 5(2 x)ή 3x 6 5+10x=8x 8 10+5xή 3x+10x 8x 5x= 8 10+6+5ή 0x= 7 Ηεξίσωσηαυτήείναιαδύνατη. β) Εκτελούµεαρχικάτιςπράξεις: 3(x 1) 2(3 x)=4(x+2) (17 x)ή 3x 3 6+2x=4x+8 17+xή 3x+2x 4x x=8 17+3+6ή 0x=0 Ηεξίσωσηαυτήείναιταυτότητα,δηλαδήαληθεύειγιαόλεςτιςτιµέςτουx. 29
Εφαρµογή2.4 Ναλυθούνοιπαρακάτωεξισώσεις: 2x + 3 4 x x+2 2x+5 α) = β) 3=1 5 3 4 3 γ) = x 2 1 x+2 1 x 2 1 x 4 δ) +2 4 = 2 3 4 6 2 3 4 2 3 4 ΛΥΣΗ Όλεςοιεξισώσειςέχουνκλάσµατα,οπότεπρώτακάνουµεαπαλοιφήπαρονοµαστών. 2x + 3 4 x α) = 5 3 Πολλαπλασιάζουµεµετο ΕΚΠ=15 2x + 3 4 x 15 = 15 ή 5 3 Απαλείφουµετουςπαρονοµαστές 3(2x+3)=5(4 x)ή Εκτελούµετιςπράξειςκατάταγνωστά 6x+9=20 5xή 6x+5x=20 9ή 11x = 11 ή 11x 11 = 11 11 ή x = 1 Άλλοςτρόπος A Γ Ότανέχουµεεξίσωσητηςµορφής =, B δηλαδήµεδύοµόνοόρουςπουείναικλά- σµατα,τότεπροτιµάµετηµέθοδοτουχιαστί: Έχουµελοιπόν: 2x + 3 4 x = ή 3(2x + 3) = 5(4 x) ή6x+9=20 5xή 5 3 6x+5x=20 9ή11x=11ήx=1 β) Εδώείναι ΕΚΠ=12, οπότεπολλαπλασιάζουµεόλουςτουςόρουςκαισταδύοµέ- ληµετο12: x+ 2 2x+ 5 12 12 3 = 12 1 12 ή3(x+2) 36=12 4(2x+5)ή 4 3 3x+6 36=12 8x 20ή3x+8x=12 20 6+36ή 11x 22 11x=22ή = ή x = 2 11 11 30 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
γ) ΤοΕΚΠτωναριθµών2,3,4,6είναιτο12.Άρα: 3x 2 x 2 x 2 x 14 12 12 = 12 12 ή 2 3 4 6 6(3x 2) 4(x 2)=3(x 2) 2(x 14)ή 18x 12 4x+8=3x 6 2x+28ή 18x 4x 3x+2x= 6+28+12 8ή 13x 26 13x = 26 ή = ή x = 2 13 13 1 x+ 2 δ) Οόρος + 2 µαςεπιβάλλειναεκτελέσουµετονπολλαπλασιασµό.τοίδιο 2 3 1 x 2 καιοόρος 4, διότιδιαφορετικάηαπαλοιφήπαρονοµαστώνείναιαρκετά 4 2 δύσκολη.μετηνεπιµεριστικήιδιότηταπαίρνουµελοιπόν: 1 x+ 2 1 x 2 1 x 4 + 2 4 = ή 2 3 4 2 3 4 x+ 2 x 2 x 4 + 1 1+ = 6 8 12 ή Πολλαπλασιάζουµεµετο ΕΚΠ=24 x+ 2 x 2 x 4 24 + 24 = 24 6 8 12 ή 4(x+2)+3(x 2)=2(x 4)ή 4x+8+3x 6=2x 8ή4x+3x 2x= 8 8+6ή 5x = 10 ή 5x 10 = 5 5 ή x = 2 ΣΥΝΗΘΙΣΜΕΝΑΛΑΘΗ Σωστήπράξη 5 2(x 3) = 5 2x+ 6= = 11 2x 1 3 6 x 2 = 3 1(x 2) = 6 = 3 x+ 2= 5 x Λάθοςπράξη 5 2(x 3) = 5 2x 6= = 1 2x 1 3 6 x 2 = 3 x 2= 6 = 1 x 31
3 1 6 Σωστήπράξη x 5 = 1 3(x 5) = 2 = 1 3x+ 15= 16 3x 3 1 6 Λάθοςπράξη x 5 = 1 3 x 5= 2 = 1 5 3x= 4 3x Απόταπαραπάνωσυµπεραίνουµεότι: Ότανεφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητακαιοαριθµόςµετονοποίοπολ- λαπλασιάζουµεέχειµπροστάπλην,τότετοπρόσηµοτωνγινοµένωναλλάζει: α(β+γ)= αβ αγ, α(β γ)= αβ+αγ Αν,κατάτηναπαλοιφήπαρονοµαστών,τοΕΚΠκαιοπαρονοµαστήςκάποιου κλάσµατοςείναιίσοι(άραδιαγραφόµενοιδίνουν1),οαριθµητήςτουκλάσµα- τοςπρέπειναµπεισεπαρένθεση. Γ. Η εξίσωση αx = β Για τη λύση της εξίσωσης αx = β µπορούµε να διακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις: 1η περίπτωση Αν α 0, τότε διαιρούµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε α, οπότε: αx = β ή 2η περίπτωση αx = β α α ή x = β α Αν α = 0, τότε προφανώς, δεν µπορούµε να διαιρέσουµε µε α. ιακρίνουµε, λοιπόν, περιπτώσεις για το β. Αν β 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, διότι δεν υπάρχει αριθµός που να πολλαπλασιάζεται µε το µηδέν (α = 0) και να δίνει αποτέλεσµα κάποιον µη µηδενικό αριθµό (β 0). 32 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
Αν β = 0, τότε η εξίσωση παίρνει τη µορφή 0x = 0 και επαληθεύεται για κάθε τιµή του x. Η εξίσωση σ αυτή την περίπτωση λέµε ότι είναι αόριστη ή ταυτότητα. Σχόλια Τα παραπάνω συµπεράσµατα µπορούν να συγκεντρωθούν στον παρακάτω πίνακα: β Αν α 0 τότε x =. α αx = β Αν α = 0 και β 0, τότε είναι αδύνατη. Αν α = 0 και β = 0, τότε είναι αόριστη ή ταυτότητα. Μια εξίσωση πρώτου βαθµού µπορεί να έχει µοναδική λύση, να είναι αδύνατη ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Αν σε µια άσκηση ζητούνται οι τιµές των α, β, ώστε: η εξίσωση αx = β να είναι αόριστη ή ταυτότητα, τότε απαιτούµε: α = 0 και β = 0 η εξίσωση αx = β να είναι αδύνατη, τότε απαιτούµε α = 0 και β 0. Εφαρµογή2.5 ίνεταιηεξίσωση (λ 1)x=8. α) Ναλυθείηεξίσωσηγια λ=3. β) Ναλυθείηεξίσωσηόταν λ 1. γ) Τισυµπεραίνετεγιατηνεξίσωσηαν λ=1; δ) Γιαποιατιµήτουληεξίσωσηέχειλύσητοναριθµό2; ΛΥΣΗ α)για λ=3 ηεξίσωση (λ 1)x=8 γίνεται: 2x 8 (3 1)x= 8 ή 2x= 8 ή = ή x= 4 2 2 β)όταν λ 1 είναι λ 1 0. Μπορούµελοιπόνναδιαιρέσουµεκαιταδύοµέλητης εξίσωσηςµε λ 1, οπότεπαίρνουµε: 33
(λ 1)x 8 8 = ή x= λ 1 λ 1 λ 1 γ)αν λ=1, τότεαντικαθιστώνταςστηνεξίσωση (λ 1)x=8 τολµετο1,βρίσκουµε: (1 1)x=8ή0x=8 Ηεξίσωσηαυτήείναιαδύνατη. δ) Αφούθέλουµεηεξίσωσηναέχειλύσητοναριθµό2,πρέπειηεξίσωση (λ 1)x=8 ναεπαληθεύεταιγια x=2. Πρέπειδηλαδή: (λ 1)2=8ή2(λ 1)=8ή2λ 2=8ή2λ=8+2ή 2λ 10 2λ = 10 ή = ή λ = 5 2 2 2.6 Στοδιπλανότρίγωνονασυµπληρωθούντακυ- κλάκιαµεαριθµούςέτσι,ώστετοάθροισµατων αριθµώνπουβρίσκονταιστιςκορυφέςκαθενός απότατρίγωναπουσχηµατίζονταιναείναιπά- ντοτετοίδιο. ΛΥΣΗ Αςβάλουµεταγράµµαταα,β,γστακυκλάκιαπουείναι κενά.πρέπει: 13+α+γ=β+α+γή13=βήβ=13 διότιοιόροια,γπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδια- γράφονται. 19+α+β=γ+α+βή19=γήγ=19 διότιοιόροια,βπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδια- γράφονται. 15+γ+β=α+γ+βή15=αήα=15 διότιοιόροιβ,γπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδιαγράφονται. 34 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
Αφούλοιπόν α=15, β=13 και γ=19, τοµαγικόαυτό τρίγωνοσυµπληρώνεταιόπωςφαίνεταιστοσχήµα. 2.7 Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: α)5+ =30 β)9 =20 γ)5 =35 δ) 12=30 ε) 3 4=17 δ)5 9 =50 2.8 Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: α)αν β 0, τότεηεξίσωση 0x=β είναι β)αν α=β=0, τότεηεξίσωση αx=β είναι γ)αν α+β=α+γ, τότε Αν αβ=αγ και α 0, τότε δ)αν α=β, τότεηεξίσωση (α β)x=β 2 α 2 είναι ε) Ανηεξίσωση (λ 1)x=3 δενείναιαδύνατη,τότε 2.9 Ναχαρακτηρίσετετιςπαρακάτωπροτάσειςµε(Σ)ανείναισωστέςήµε(Λ)αν είναιλανθασµένες. α) Ηεξίσωση 2x 7=5x+20 έχειλύσητοναριθµό 9. β) Ηεξίσωση 7x=42 έχειλύσητοναριθµό 6. γ) Ηεξίσωση 3x=18 έχειλύσητοναριθµό6. δ) Ηεξίσωση 3x 5=4+3x είναιταυτότητα. ε) Ηεξίσωση x+3=1+x+2 είναιταυτότητα. στ)ηεξίσωση 0x=2 είναιαδύνατη. ζ) Ηεξίσωση 0y=0 είναιταυτότητα. 35
Βασικέςασκήσεις 2.10 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) 2x+21=4+x β)3(x 4)+2(x+5)=2x+25+4(x 8) γ) 2(2x 1)+11=4(x+1)+5 δ)x+18 4(x+6)=3(6 x) 2.11 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) 3x+7=4x+5 β) 3x+6+2x=5x 6 6x+12 γ) 2x+4=6x 7 4x δ)4(x 1) 8x+1=10(x 9) 9(x 8) ε) 4(5x+12) 2(19x+6)=18(2 x) στ)8x 4(3x 1)=1 (4x+1) 2.12 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: x 2 1 x α) + 1 = + 5 5 15 3 β) x 2 11 1 2x + = 3 2 4 γ) x x 10 5 x + + = + 2 3 2 6 δ) x + 1 + 4 1 3 1 x = + x 2 8 2 3 2.13 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: 2x + 1 5x 8 α) = β) 3 4 2.14 Ναλύσετετιςεπόµενεςεξισώσεις: x 2 2 x x 2 α) = x 5 β) 2 4 7 3(x 1) + 4 5 2(x 8) = 2 3 5x + 2 x + 1 2x 1 + = 12 4 3 36 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
γ) ε) 2(x + 1) x + 2(x + 2) x x + = + δ) 25x [ ] 3 6 2 3 (5 6x) = 3x + 19 (4x 5) 3 x 1 x + 1 2 + + 3 x 1 = 3 2 4 στ) x 1 1 1 6 5x = x + 6 3 2 3 15 2.15 Νααποδείξετεότιοιπαρακάτωεξισώσειςεπαληθεύονταιγιακάθετιµήτουαριθ- µούx. α) 3(x+5) (5 6x)=2(4x+3)+x+4 β) 2x 3 x 3 3x + = 1 1 2 4 4 2.16 Νααποδείξετεότιδενυπάρχειαριθµόςxπουναεπαληθεύειτιςπαρακάτωεξι- σώσεις: α) 2(x+3) (x+7)=x 5 5x + 1 3x 1 5 2x β) = 12 4 6 x 1 γ) 3 4x + 1 2x + 5 3 = 5 5 10 δ)(x 1)x=x 2 (x+2) 2.17 ίνεταιηεξίσωση λ(x+3) 4=(2λ 3)x+8. α)αν λ=2, νααποδείξετεότιηεξίσωσηέχειλύση x=6. β) Ανηεξίσωσηέχειλύσητοναριθµό x=4, ναβρείτετηντιµήτουλ. γ) Ναλύσετετηνεξίσωσηγια λ=3. 2.18 Ναβρείτετιςτιµέςτουα,ώστεοιπαρακάτωεξισώσειςναείναιαδύνατες: α)(α 3)x=5 β) [ 3(α 1) + 6] x = 10 2.19 Ναβρείτετιςτιµέςτουλ,ώστεοιπαρακάτωεξισώσειςναείναιαόριστεςήταυ- τότητες: α)(λ 4)x=0 β) [ 2(1 λ) + 4] x = 0 2.20 Ναβρείτεταx,yσταπαρακάτωσχήµατα: Στησυνέχειαναυπολογίσετετηνπερίµετροτουκάθεσχήµατος. 37
2.21 Ναεξετάσετεανυπάρχειτιµήτουx,ώστετοτρίγωνοΑΒΓ ναείναιισόπλευρο. Συµπληρωµατικέςασκήσεις 2.22 Ναλύσετετιςεξισώσεις: x 3 2x 3 3x 1 3 x x 2 2x 1 α) = + x β) = x 5 3 2 4 3 6 8 x 3x 5 x+ 6 x γ) + = 6 3 2 3 δ) x+ 4 x 4 3x 1 = 2 + 3 5 15 2.23 ΤοτραπέζιοΑΒΓ είναιισοσκελέςκαιτούψος τουείναιίσοµε8.ναβρείτε: α) τοx, β) τηβάση Γ,αν ΕΓ=26, γ) τηνπερίµετροκαιτοεµβαδόντουαβγ. 2.24 Ναλύσετετιςεξισώσεις: 6 3x 2x 1 x 4 α) = β) 4 3 2 (x 3) 4 1 2(x 3) 6 3(x 3) = 2 3 4 2.25 ΣτοδιπλανόσχήµαδίνεταιένατρίγωνοΑΒΓκαιταµήκη τωνπλευρώντου. α) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηΒΓ, ναβρείτετηνπερίµετροπτουτριγώνου. β) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηνΑΒ, ναβρείτετηνπερίµετροπτουτριγώνουαβγ. γ) ΝαεξετάσετεαντοτρίγωνοΑΒΓµπορείναείναιισοσκελέςµεβάσηΑΓ. 2.26 Ναλύσετετιςεξισώσεις: α) 3x 3(x+1)=x+2(x+1)+1 2(x 1) 2 1 5x β) = 2 4 x+ 4 x 4 1 3x γ) = 2 δ) 1 1 x (x + 5) 7 = (1 x) + 23 5 3 15 4 7 4 38 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
2.27 Ναλύσετετιςεξισώσεις: x+ 1 3x+ 2 7x 2 x+ 1 3x+ 2 1 2x x+ 2 α) = 3 x β) = 3 4 6 3 5 10 15 x 2 3 2x 5+ x 9+ 4x 1 1 γ) + = δ) 2x (19 2x) = (2x 11) 3 4 6 12 2 2 2.28 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) x 1 x + 2 5 x 1 3 1 4 + = 3 12 β) 1 x 8 2 x 5 6 3x 3(x 5) 5 0 2 + + + = 3 2 2 3x 2 103 x 7 γ) 5 4x 7x + + + = 9x 2 3 10 3 3 3x 1 x + 3 δ) 3 x 1 2 x = 5x 2 4 5 2.29 Ναλύσετετιςεξισώσεις: 7+ x α) 1+ 5 8 = 26 3 β) {[ ] } 3+ 5 (x+ 7):9 3 7 5= 28 2.30 ίνεταιηεξίσωση λx 5=2x+7. α) Ναγράψετετηνπαραπάνωεξίσωσηστηµορφή Αx=Β. β) Ναβρείτετηντιµήτουλ,ώστεηεξίσωσηναείναιαδύνατη. 2.31 ίνεταιηεξίσωση αx+3µ=x+6. α) Ναγράψετετηνπαραπάνωεξίσωσηστηµορφή Αx=Β. β) Ναβρείτετιςτιµέςτωνα,µ,ώστεηαρχικήεξίσωσηναείναιαόριστηήταυ- τότητα. γ) Ναβρείτετιςτιµέςτωνα,µ,ώστεηαρχικήεξίσωσηναείναιαδύνατη. 39
Θέµα1ο α) Τιονοµάζεταιεξίσωση; β) Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: i) Αν α=β, τότε α+γ= + ii) Αν α=β και γ 0, τότε α γ = iii)ηεξίσωση 0x=5 είναι iv)ηεξίσωση 0x= είναιταυτότητα. γ) Ναχαρακτηρίσετετιςπαρακάτωπροτάσειςµε(Σ)ανείναισωστέςκαιµε(Λ)αν είναιλανθασµένες. i)αν α=β, τότε α γ=β γ. ii) Αν x=y και α 0, τότε x = y. α α iii)αν αγ=βγ, τότε α=β. iv)ηεξίσωση 0x=β είναιπάντααδύνατη. Θέµα2ο Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α)4(x 1) 8x+1=10(x 9) 9(x 8) β) 8x 4(3x 1)=1 (4x+1) γ) 3 x x 2 x 2x = 1 4 3 6 Θέµα3ο ΣτοδιπλανόσχήµαδίνεταιένατρίγωνοΑΒΓκαιταµήκητων πλευρώντου. α) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηΒΓ,ναβρεί- τετηνπερίµετροπτουτριγώνου. β) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηνΑΒ,ναβρεί- τετηνπερίµετροπτουτριγώνουαβγ. γ) ΝαεξετάσετεαντοτρίγωνοΑΒΓµπορείναείναιισοσκελέςµεβάσηΑΓ. 40 1οΚΡΙΤΗΡΙΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ