Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του αθροίσματός τους και η διασπορά της διαφοράς τους. Λύση: Το άθροισμα των 2 τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ είναι μια νέα τυχαία μεταβλητή Ζ που ορίζεται ως Ζ=Χ+Υ. Η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Ζ είναι: 2 Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: 0. Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: 2
Οι μέσες τετραγωνικές τιμές και των Χ και Υ υπολογίζονται από τις διασπορές αυτών των τυχαίων μεταβλητών: 25 36 Ο υπολογισμός της γίνεται μέσω του συντελεστή συσχέτισης ρ των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ., 5 612 Άρα η διασπορά του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ είναι: 2 25 24 36 61 24 Με την ίδια ακριβώς διαδικασία μπορούμε να υπολογίσουμε τη διασπορά της διαφοράς των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ. Έτσι ορίζοντας την τυχαία μεταβλητή Ζ=Χ Υ, η διασπορά αυτής είναι:
2 Για τη διαφορά ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: 0 Επομένως: 2 Έτσι η διασπορά της διαφοράς των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ είναι: 25 24 36 61 24 Σημείωση: Γενικά, για 2 τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ με μέσες τιμές και και διασπορές και αντίστοιχα, η διασπορά του αθροίσματός τους είναι: 2
, Παρόμοια η διασπορά της διαφοράς των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ είναι: 2,
Άσκηση 2: Δύο στατιστικά ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν μηδενικές μέσες τιμές και διασπορές 36 και 64 αντίστοιχα. Ορίζουμε δύο νέες τυχαίες μεταβλητές από τις σχέσεις: 4 3 3 4 Να υπολογισθεί ο συντελεστής συσχέτισης των U και V. Λύση: Ο συντελεστής συσχέτισης των τυχαίων μεταβλητών U και V εξ ορισμού είναι:, H συμμεταβλητότητα των τυχαίων μεταβλητών U και V είναι:, Oι μέσες τιμές των τυχαίων μεταβλητών U και V είναι: 4 3 4 3 0 και 3 4 3 4 0
Επομένως:, 4 3 3 4, 12 7 12 12 7 12 Oι μέσες τετραγωνικές τιμές και των Χ και Υ υπολογίζονται από τις διασπορές και. 36 και 64 Επιπλέον επειδή οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ είναι στατιστικά ανεξάρτητες θα είναι και στατιστικά ασυσχέτιστες και συνεπώς θα ισχύει: 0 Άρα η συμμεταβλητότητα των U και V είναι:, 12 12 12 36 12 64 336 Η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής U είναι:
4 3 16 24 9 16 24 9 16 369 64 1152 Συνεπώς η τυπική απόκλιση της U είναι 33.94. Ομοίως η διασποράς της τυχαίας μεταβλητής V είναι: 3 4 9 24 16 9 24 16 9 3616 64 1348 Συνεπώς η τυπική απόκλιση της V είναι 36.72. Άρα ο συντελεστής συσχέτισης των τυχαίων μεταβλητών U και V είναι:, 336 0.27 33.94 36.72
Άσκηση 3: Να υπολογιστούν οι μέσοι όροι και οι κεντρικές ροπές δεύτερης τάξης των μοντέλων τυχαίων μεταβλητών. α) 0 ύ 6, 3, 2 0 1 β) 2 1 2 0 ύ γ) 0 0 1 0 Λύση: α) Η τυχαία μεταβλητή Χ είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές 2, 3, και 6. Η συνάρτηση f X (x) της εκφώνησης είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας(pmf) αυτής της τυχαίας μεταβλητής. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτής της διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι: 1 2 1 2 1 3 1 3 1 6 1 6 Η μέση τιμή της Χ είναι:
P, 6, 3 2 6 1 6 3 1 3 2 1 2 3 Η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης της Χ είναι: Η μέση τετραγωνική τιμή της Χ είναι: P 36 1 6 9 1 3 4 1 2 11 Συνεπώς η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης της Χ είναι: 113 2 β) Η τυχαία μεταβλητή Χ είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: 0 1 2 1 2 0 ύ Η μέση τιμή της Χ είναι:
2 2 41 1 Η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης της Χ είναι: Η μέση τετραγωνική τιμή της Χ είναι: 2 2 2 Συνεπώς η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης της Χ είναι: 7 6 11 6
γ) Στην περίπτωση αυτή δίνεται η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ. 0 0 1 0 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ είναι: 0 0 1 0 Η μέση τιμή της Χ είναι: όπου χρησιμοποιήσαμε τον εξής τύπο από το τυπολόγιο: 1
Η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης της Χ είναι: Η μέση τετραγωνική τιμή της Χ είναι: 1 2 2 2 όπου χρησιμοποιήσαμε τον εξής τύπο από το τυπολόγιο: 2 2 Συνεπώς η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης της Χ είναι: 2
Άσκηση 4: Οι τυχαίες μεταβλητές Χ 1, Χ 2,..., Χ n είναι στατιστικά ασυσχέτιστες μεταξύ τους αλλά όχι στατιστικά ανεξάρτητες. Σχηματίζουμε μια καινούρια τυχαία μεταβλητή που δίνεται από τη σχέση Ζ= Χ 1 + Χ 2 +... + Χ n. Να δειχθεί ότι Λύση: Το ότι οι τυχαίες μεταβλητές Χ 1, Χ 2,..., Χ n είναι στατιστικά ασυσχέτιστες μεταξύ τους σημαίνει ότι ο συντελεστής συσχέτισής τους ρ, αν τις πάρουμε ανά ζεύγη, είναι μηδέν., 0, 0 0 Όπως αναφέρεται και στην εκφώνηση η τυχαία μεταβλητή Ζ ορίζεται από τη σχέση: Η διασπορά της Ζ θα είναι:
Στην παραπάνω σχέση ο πρώτος όρος γράφεται ως εξής: Επομένως η διασπορά της Ζ μπορεί να γραφεί ως εξής:
2 Στην παραπάνω σχέση η είναι απλά η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Χ i. Επίσης οι όροι του διπλού αθροίσματος είναι οι συμμεταβλητότητες, μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών Χ i και Χ j., Άρα η διασπορά της Ζ θα είναι: 2, Επειδή όμως οι τυχαίες μεταβλητές Χ 1, Χ 2,..., Χ n είναι στατιστικά ασυσχέτιστες μεταξύ τους είδαμε ότι ισχύει, 0. Άρα, τελικά, η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Ζ, που ορίζεται ως άθροισμα n στατιστικά ασυσχέτιστων τυχαίων μεταβλητών, θα είναι:
Σημείωση: Στη γενική περίπτωση, που οι τυχαίες μεταβλητές Χ 1, Χ 2,..., Χ n δεν είναι στατιστικά ασυσχέτιστες μεταξύ τους, η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Ζ θα δίνεται από τη σχέση: 2,
Άσκηση 5: Ένα σήμα έχει σαν μοντέλο την τυχαία μεταβλητή Χ. Το σήμα περνά από το σύστημα του Σχήματος 1. Να υπολογιστεί ο μέσος όρος και η διασπορά της εξόδου Ζ. Χ Z 3 cos10 Σχήμα 1 Λύση: Η έξοδος Ζ του συστήματος του Σχήματος 1 θα δίνεται από τη σχέση: 3 cos10 Παρατηρούμε ότι η έξοδος Ζ είναι συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής Χ και συνεπώς είναι κι αυτή τυχαία μεταβλητή.
Η μέση τιμή της Ζ θα δίνεται από τη σχέση: 3 cos10 3 Ecos10 3 cos10 αφού ισχύει ότι: Ecos10 cos10 μιας και το cos10 είναι σαν σταθερά για τη μέση τιμή και η μέση τιμή μιας σταθεράς c είναι ίση με τη σταθερά c. Επομένως η μέση τιμή της εξόδου Ζ θα είναι: 3 cos10 3 cos10 Η διασπορά της εξόδου Ζ εξ ορισμού θα είναι: Η μέση τετραγωνική τιμή της Ζ είναι: 3 cos10 9 6 cos10 10 9 6 cos10 10
Επομένως η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Ζ θα είναι: 9 6 cos10 10 3 cos10 9 6 cos10 10 9 6 cos10 10 9 9 αφού η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Χ είναι: Έτσι τελικά η διασπορά της εξόδου Ζ θα είναι: 9
Άσκηση 6: Δείξτε ότι αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ είναι τότε η χαρακτηριστική της συνάρτηση είναι. Λύση: Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της χαρακτηριστικής συνάρτησης για την τυχαία μεταβλητή Χ θα έχουμε: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 4
Έτσι λοιπόν η χαρακτηριστική συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής Χ είναι: Σημείωση: Παρατηρούμε ότι ισχύει 0 1, 0 όπως επίσης και 1 για 0. Επίσης παρατηρούμε ότι για να ισχύει 0, ώστε η να είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, θα πρέπει να ισχύει 0. Συνεπώς η παράμετρος α θα πρέπει να είναι θετική ( 0).
Άσκηση 7: Υπολογίστε τη μέση τιμή Ε[Χ] και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 8 9 8 9 3 2 fx(x) 4 3 3 2 x Λύση: Η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ θα είναι:
8 9 3 2 8 9 8 9 3 1 Η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Χ θα είναι: Η μέση τετραγωνική τιμή της Χ θα είναι: 8 9 3 2 8 9 8 9 3 9 8 Άρα η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Χ θα είναι: 9 8 11 8