Geophysical fluids in Motion

Τµήµα Φυσικής, Πανεπιστήµιο Αθηνών Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος Μετεωρολογίας Μάθηµα: Δυναµική των Ρευστών Geophysical fluids in Motion Η επίδραση της περιστροφής Γεωστροφική ισορροπία Στρώµατα Ekman Βαρυντικά κύµατα παρουσία περιστροφής Η επίδραση της στρωµάτωσης Μοντέλα στρωµάτων Γεωστροφική προσαρµογή Εσωτερικά κύµατα Σαράντης Σοφιανός

Γεωστροφική/υδροστατική προσέγγιση (µεγάλες κλίµακες) Για σύστηµα που χαρακτηρίζεται από: Ro = U fl 1 Ek = A H fl 2 1! H L 1 1886 1975 Geoffrey Ingram Taylor @t + u @x + @y + w @z = 1 0 @p @x + f @ @t + u@ @x + @ @y + w @ @z = 1 @p 0 @y @w @t + u@w @x + @w @y + w @w @z = 1 0 @p @z + A H fu+ A H @ 2 @ 2 u @x 2 + A @ 2 u H @y 2 + A V @x 2 + A H @ 2 @y 2 + A V @ 2 w g + A H @x 2 + A @ 2 w H @y 2 + A V @ 2 u @z 2 @ 2 @z 2 @ 2 w @z 2 f = 1 @p, (1) fu = 1 0 @x 0 @p @y, (2) 1 0 @p @z = g (3) The geostrophic hydrostatic limit

Weather systems L H (Schematic)

The Taylor Columns @ @x (1) + @ @y (2)! @x + @ @y = 1 0 f @ 2 p @x@y @ 2 p @x@y! =0 @x + @ @y =0 Non-divergent horizontal flow (2D) Boussinesq continuity: @x + @ @y + @w @z =0 ) @w @z or w =0

Τα στρώµατα Ekman (ροή παρουσία τριβής) Οι τυπικές γεωστροφικές ροές (πραγµατικές ή σε δεξαµενές) έχουν πολύ µικρό αριθµό Ekman. Ατµόσφαιρα: Η ~ 10 4 m, Α V ~ 1 m 2 s -1 E k = A V / fh 2 ~10-4 Ωκεανός: Η ~ 10 3 m, Α V ~ 10-2 m 2 s -1 E k = A V / fh 2 ~10-4 άρα η τριβή σε µεγάλης κλίµακας φαινόµενα είναι αµελητέα. Όµως κοντά σε όρια (π.χ. επιφάνεια της γης, βυθός, επιφάνεια θάλασσας κλπ.), σε περιοχές οριακών στρωµάτων, η κλίµακα του βάθους H είναι πολύ µικρότερη και η τριβή αρχίζει να παίζει σηµαντικό ρόλο. Στα στρώµατα αυτά ο E k είναι Ο(1), οπότε Ek 1 ) A V fh 2 1 ) d = H = s A V f 1874 1954 Vagn Walfrid Ekman Ατµόσφαιρα: d ~ 100 m Ωκεανός: d ~ 10 m Άρα, µερικές εκατοντάδες µέτρα κοντά στην επιφάνεια της γης και µερικές δεκάδες µέτρα κοντά στο βυθό της θάλασσας, η τριβή είναι σηµαντική και η δυναµική ισορροπία είναι διαφορετική. Τα στρώµατα αυτά λέγονται στρώµατα Ekman. Τα στρώµατα αυτά νοιώθουν την ύπαρξη του και τις διεργασίες που συµβαίνουν δίπλα στο όριο (δες και διάλεξη για Τύρβη). Στη µελέτη αυτή θα ασχοληθούµε µε το κατώτερο στρώµα Ekman (το στρώµα που έχει στο κάτω µέρος σταθερό όριο).

a. Scaling H L 1 z Ro = U fl 1 Ek(vertical) = A V fh 2 1 αλλά A H r 2 Hu A V @ 2 u @z 2 Και οι εξισώσεις κίνησης γίνονται: (µεγάλη οριζόντια κλίµακα) interior u g f = 1 @p @x + A V fu = 1 @p @y + A V @ 2 u @z 2 @ 2 @z 2 (4) z = 0 Ekman layer u(z) d

b. Οριακές συνθήκες Bottom (z = 0) : u =0 Interior (z!1): u = u g z Στην περιοχή αυτή (interior) υπάρχει µόνο γεωστροφική ροή (και για απλούστευση θεωρούµε ότι η γεωστροφική ροή είναι µόνο στη διεύθυνση x, υ g = 0). Στο όριο αυτό ισχύει η γεωοστροφική ισορροπία: 0= 1 @p @x fu g = Οι οριζόντιες βαθµίδες πίεσης παραµένουν σταθερές σε όλη τη στήλη και αντικαθιστώντας τους όρους της βαθµίδας πίεσης (5) στην (4) f 1 @p @y = A V @ 2 u @z 2 (6) f(u u g )=A V @ 2 (5) @z 2 (7) z = 0 Εξισώσεις Ekman interior Ekman layer u(z) u g d

Πολλαπλασιάζοντας την (7) µε i = p 1 και προσθέτοντας την (6): d 2 V dz 2 = if A V (V u g ) (8) where V u + i remember (u g, g) / z (purely barotropic) z Οι οριακές συνθήκες είναι τώρα: V = u g at z!1 V = 0 at z =0 Μια ειδική λύση της (8) είναι V = u g και η γενική λύση είναι interior u g όπου V = Ae (1 i)z/ + Be (1+i)z/ + u g s 2A V f Για να ισχύει η πρώτη οριακή συνθήκη πρέπει Β = 0. Για να ισχύει και η δεύτερη οριακή συνθήκη πρέπει A = -u g. z = 0 Ekman layer u(z) d

Άρα η λύση είναι: u = u g "1 e z/ cos = u g e z/ sin z! (10) z!# (9) 1920 1992 Henry M. Stommel Ekman Spiral u g Η επίδραση της τριβής περιορίζεται, βασικά, σε ένα στρώµα p 2A V /f που το πάχος του αυξάνει µε το A V και µειώνεται µε το f. Η u g δεν παίζει ρόλο (σε αντίθεση µε τα µη περιστρεφόµενα συστήµατα. Στην ατµόσφαιρα, όπου παρατηρείται οριακό στρώµα της τάξης του 1 km (για f ~ 10-4 s -1 ) το A V ~ 50 m 2 s -1 (αντίστοιχα στον ωκεανό A V ~ 0.5 m 2 s -1 ).

Η µεταφορά κατά Ekman κάθετα στην κύρια ροή υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της (10): Z 1 και είναι στα αριστερά της γεωστροφικής ροής. 0 dz = u g s A V 2f = 1 2 u g Στο παράδειγµα αυτό όπου η ροή είναι κυκλωνική γεωστροφική στο εσωτερικό του ρευστού (Taylor columns) δηµιουργείται ένα στρώµα Ekman κοντά στον πυθµένα µε τη ροή κατά Ekman προς το κέντρο της δεξαµενής. Ekman layer L

Βαροτροπικά κύµατα παρουσία περιστροφής η λ Μήκος κύµατος (λ): Η απόσταση ανάµεσα σε δύο διαδοχικές κορυφές και Κυµαταριθµός (K) K 2 Περίοδος (Τ): Ο χρόνος που απαιτείται για δύο συνεχόµενες κορυφές να περάσουν από το ίδιο σηµείο και Συχνότητα (ω)! 2 T y Φασική ταχύτητα (C): C! K = T 2! K l Οµαδική ταχύτητα (C g ) - κυµατοπακέτο: C g @! @K = 2 K 2 k x

Εξισώσεις εργασίας (Single-shallow layer dynamics) (free surface) z z =0 H h = 0 H(flat bottom) z = H dw 0 dt W 0 T WU U H 0 L L U 0 L UH 2 H 0 L 2 H U 2 H 2 0 HL 2 ) 0 dw dt g 0 U 2 H 2 ghl 2 = 0F 2 R 2 a 1 hydrostatic approximation holds ) @p @z = 0g ) dp = 0 g dz ) Z z dp = Z z 0 g dz ) p( ) p(z) = 0 g( z) a = H L 1 F R = U p gh 1 ) p = 0 g ( (x, y) z)+p atm )r H p = 0 g r H

Ξεκινώντας από @t + u @x + @y + w @z = 1 0 @p @x + f @ @t + u@ @x + @ @y + w @ @z = 1 @p 0 @y + A H fu+ A H @ 2 @ 2 u @x 2 + A @ 2 u H @y 2 + A V @x 2 + A H @ 2 @y 2 + A V @ 2 u @z 2 @ 2 @z 2 αντικαθιστώντας 1 @p @x = g @ @x 1 @p @y = g @ @y @t + u @x + @y + w @z = g @ @x + f @ @t + u@ @x + @ @y + w @ @z = g @ @y + A H fu+ A H @ 2 @ 2 u @x 2 + A @ 2 u H @y 2 + A V @x 2 + A H @ 2 @y 2 + A V @ 2 u @z 2 @ 2 @z 2 Εξισώσεις διατήρησης της ορµής Τώρα = f(x, y) ανεξάρτητο από το z και άρα οι ταχύτητες u και υ είναι ανεξάρτητες από το z, δηλ. (u,υ) = f (x,y,t).

Εξίσωση διατήρησης της µάζας @x + @ @y + @z @x =0whereu, ) @ @x Z H udz+ @ @y Z H / x, y dz + @ @z Z H wdz=0 ) @ @x [u ( + H)] + @ [ ( + H)] + w( ) w (H) =0 @y but: w (H) =0, w( ) = @ @t, H ) @ @t + H @x + @! =0 @y @t + u @x + @y = g @ @x + f @ @t + u@ @x + @ @y = g @ @y @ @t + H Shallow-water equations (single layer model) + A H fu+ A H @ 2 @x + @ @y! =0 @ 2 u @x 2 + A @ 2 u H @y 2 @ 2 @x 2 + A H @y 2

Θα µελετήσουµε βαροτροπικά (οµογενές µέσο) κύµατα, µεγάλης κλίµακας, όπου Ro = U fl 1 (γραµµικά κύµατα) αλλά τώρα Ro T = Temporal changes Rotation = U T τώρα Τ είναι της τάξης της περιόδου και όχι U/L. Επιπλέον, για απλούστευση θα χρησιµοποιήσουµε 1 fu = 1 ft 1 Ek = A H fl 2 or A V fh 2! 1 @t = @ @t = @ @t + H g @ @x + f (11) g @ @y @x + @ @y fu (12)! = 0 (13) Εξισώσεις εργασίας

Επιφανειακά κύµατα παρουσία περιστροφής (Poincare waves) Θεωρώντας µεγάλη κλίµακα (αλλά όχι πλανητική) η f µπορεί να θεωρηθεί σταθερή, οι κυµατικές λύσεις για τα u, υ και η µπορούν να γραφούν ως u = u 0 e i(kx+ly!t) 1845-1912 Henri Poincaré i(kx+ly!t) = 0 e = 0 e i(kx+ly!t) όπου k και l είναι οι x- και y-συνιστώσες του κυµαταριθµού και ω η συχνότητα του κύµατος. Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (11) έως (13): i!u f = igk i! + fu = igl i! + H (iku + il )=0 για µη τετριµµένη λύση, η ορίζουσα των συντελεστών πρέπει να είναι ίση µε µηδέν, άρα!! 2 f 2 gh k 2 + l 2 = 0 (14) Μία λύση είναι ω = 0 (steady state - γεωστροφία). Η άλλες λύσεις είναι:! = p f 2 + ghk 2 (15) όπου K = (k 2 +l 2 ) 1/2. Τα κύµατα που περιγράφονται από τη σχέση αυτή διασποράς ονοµάζονται κύµατα Poincare.

Στο όριο f = 0 (ή αντίστοιχα Κ 2 >> f 2 /gh ή Κ 2 >> 1/R 2 ) η σχέση διασποράς γίνεται! = p ghk που είναι η σχέση διασποράς για τα απλά επιφανειακά µακρά κύµατα βαρύτητας και 1824 1907 William Thomson, Lord Kelvin R = p gh f η Ακτίνα Αποδιαµόρφωσης Rossby (Rossby Radius of Deformation) που δείχνει τη σηµαντικότητα της περιστροφής σε σχέση µε την κλίµακα L. Σε αντίθετη περίπτωση (λ >> R) ω = f αδρανειακές κινήσεις (inertial oscillations).

Πλανητικά κύµατα (Rossby waves) Η επόµενη κατηγορία κυµάτων που θα µελετήσουµε έχει κλίµακες τόσο µεγάλες και τα κύµατα είναι τόσο αργά, που δέχονται όχι µόνο την επίδραση της περιστροφής αλλά και της µεταβολές της σε σχέση µε το γεωγραφικό πλάτος (planetary effect - f = 2Ω sin φ - τα κύµατα αυτά είναι οι µηχανισµοί εξέλιξης των µεγάλων γεωστροφικών πλανητικών συστηµάτων που µελετήσαµε σε προηγούµενες διαφάνειες). 1898 1957 Carl-Gustaf Arvid Rossby Αν θεωρήσουµε ότι φ 0 είναι το γεωγραφικό πλάτος στο µέσο της περιοχής που εξελίσσεται ένα τέτοιο κύµα, µπορούµε να προσεγγίσουµε το γεωγραφικό πλάτος ως φ = φ 0 + y/a (* για µικρές γωνίες sin φ φ), όπου a είναι η ακτίνα του πλανήτη (a Γη = 6371 km). Θεωρώντας το y/a µικρή µεταβολή µπορούµε να αναπτύξουµε τη συχνότητα Coriolis σε σειρά Taylor f =2 sin ' 0 +2 y a cos ' 0 +... κρατώντας µόνο τους δύο πρώτους όρους, µπορούµε να γράψουµε f = f 0 + 0 y (16) όπου β0 = 2 (Ω/a) cos φ 0 ονοµάζεται παράµετρος β (β parameter). Τυπικές τιµές για µεσαία γεωγραφικά πλάτη είναι f 0 = 10-4 s -1 και β 0 = 2 10-11 s -1 m -1. Η προσέγγιση κατά την οποία κρατάµε µόνο τον πρώτο όρο της σειράς Taylor ονοµάζεται f-plane approximation και η προσέγγιση (16) β-plane approximation.

Αντικαθιστώντας την (16) στις εξισώσεις εργασίας (11-13) (f 0 + 0 y) = g @ @t @x (17) @ @t +(f 0 + 0 y) u = g @ @y (18) @ @t + H @x + @ @y! = 0 (19) Λόγω της πολύ αργής εξέλιξης των διαδικασιών αυτών, µια πρώτη προσέγγιση είναι ότι οι ταχύτητες καθορίζονται από τη γεωστροφική ισορροπία (quasi-geostrophic approximation) και οι µεγάλοι όροι (που περιέχουν τα f 0, g και Η) ορίζουν τη γεωστροφική δυναµική του συστήµατος (ενώ οι µικρότεροι όροι ορίζουν τις διαταραχές γύρω από τη δυναµική αυτή). Με τη προσέγγιση αυτή ' g @ f 0 @x (20) u ' g f 0 @ @y (21) Quasi-geostrophic approximation

Αντικαθιστώντας τις (20-21) στους µικρούς όρους των εξισώσεων εργασίας (17-18) g @ 2 f 0 @y@t f 0 g @ 2 f 0 @x@t + f 0u 0g y @ f 0 @x = 0g y @ f 0 @y = g @ @x g @ @y και λύνοντας ως προς u, υ u = g f 0 @ @y g f 2 0 @ 2 @x@t + 0 g f 2 0 y @ @y (22) = g f 0 @ @x g f 2 0 @ 2 @y@t + 0 g f 2 0 y @ @x (23) geostrophic a-geostrophic Αντικαθιστώντας τις (22-23) στην (19) @ @t R 2 @ @t r2 H 0R 2 @ @x = 0 (24) όπου R = p gh/f είναι η ακτίνα αποδιαµόρφωσης Rossby.

Αναζητούµε και πάλι κυµατική λύση της µορφής i(kx+ly!t) = 0 e! = 0R 2 k 1+R 2 (k 2 + l 2 ) (25) Σχέση διασποράς κυµάτων Rossby (ή πλανητικών κυµάτων) Στο όριο β 0 = 0 και ω = 0 και η λύση αντιστοιχεί στη γεωστροφική ισορροπία σε f-plane. Διερεύνηση µε βάση το µήκος κύµατος λ (= 2π/K)των κυµάτων Rossby: Βραχέα κύµατα Rossby: <R! K 2 1 R 2!! ' 0k K 2 for l =0!! ' 0 k! Μακρά κύµατα Rossby: >R! K 2 1 R 2!! ' 0KR 2 for l =0!! ' 0kR 2 Φασική ταχύτητα (στη x-διεύθυνση) c x = ω/k c x! k = 0R 2 1+R 2 (k 2 + l 2 ) πάντα αρνητική ενώ η φασική ταχύτητα (στη y-διεύθυνση) c y = ω/l µπορεί να έχει οποιοδήποτε πρόσηµο (η φασική ταχύτητα έχει γενική δυτική διεύθυνση W NW - SW).

Για τη µελέτη της οµαδικής ταχύτητας θα περιοριστούµε στη x-διεύθυνση (l = 0) και 0k! = 1 R 2 + k2 Βραχέα κύµατα Rossby: Μακρά κύµατα Rossby: Από την (25) και <R!! ' >R!! ' c g (long) >c g (short) 0 k! c gx @! @k = 0 k 2 0kR 2! c gx @! @k = 0R 2 ω β 0 R lr! 2 k + 0 + l 2 = 2!! 2 0 1 2! R 2 που περιγράφει κύκλο στο χώρο των κυµαταριθµών (k,l) kr

Πλανητικά κύµατα (παραδείγµατα) Atmospheric Oceanic (Homvoller diagram)

Ο µηχανισµός των πλανητικών κυµάτων Θεωρώντας ασήµαντες απώλειες από τις µη συντηρητικές δυνάµεις (τριβή) και για τη διατήρηση του δυναµικού στροβιλισµού d (f + ) =0 dt

Μπορούµε να προσοµοιάσουµε το β-effect µε τις αντίστοιχες µεταβολές στην τοπογραφία (θ, σε πλανητική κλίµακα). Η σχέση διασποράς είναι αντίστοιχη των κυµάτων Rossby. Αξιοποιούµε αυτό το γεγονός για τη µελέτη στο εργαστήριο των ιδιοτήτων των κυµάτων Rossby.! = g f k 1+R 2 (k 2 + l 2 ) N S

Η επίδραση της στρωµάτωσης και ο Froude number z ρ(z) U N = s L g @ (z) 0 @z H Για να ορίσουµε ένα αριθµό που εκτιµάει την επίδραση της στρωµάτωσης χρησιµοποιούµε το διπλανό παράδειγµα, π.χ. άνεµος πάνω από εµπόδιο. Η στρωµάτωση προσπαθεί να περιορίσει την κατακόρυφη µετατόπιση για την υπερπήδηση του εµποδίου. Ο χρόνος που απαιτείται για την υπερπήδηση του εµποδίου είναι T = L/U και η αντίστοιχη κατακόρυφη µετατόπιση Δz = WT = WL/U. Οι κατακόρυφες µετατοπίσεις θα προκαλέσουν µεταβολή στη στρωµάτωση = @ z = 0N 2 WL @z g U 1810-1879 William Froude Οι µεταβολές πυκνότητας δηµιουργούν µεταβολές στην πίεση (µέσω υδροστατικής ισορροπίας) P = gh = 0N 2 HLW U Αντίστοιχα, οι µεταβολές στην πίεση θα επιφέρουν µεταβολές στην ταχύτητα /@t (1/ 0 )@p/@x u T U L/U P 0 L ) U 2 N 2 HLW ) W/H U U/L U 2 N 2 H 2 Αν U < NH η κατακόρυφη απόκλιση είναι πολύ µικρότερη από την οριζόντια και το ρευστό µετατοπίζεται οριζόντια και όχι κατακόρυφα (το /@x εξισορροπείται από το @ /@y και όχι από το @w/@z). Ορίζουµε ως αριθµό Froude Fr = U NH Froude number

Αν στο προηγούµενο παράδειγµα θεωρήσουµε γεωστροφική ισορροπία Αυτό σηµαίνει ότι σε µεγάλες χωρικές κλίµακες (R o 1) αυξάνει η κλίµακα της κατακόρυφης ταχύτητας (να βοηθάει τις κατακόρυφες µετατοπίσεις). Όµως W/H U/L (δεν µπορούµε να έχουµε κατακόρυφη απόκλιση χωρίς οριζόντια), οπότε Fr 2 apple Ro άρα fu Στα γεωφυσικά ρευστά, συνήθως, H < L αλλά και f < N, ώστε ο αριθµός να µπορεί να είναι κοντά στη µονάδα. Αν B u <1 (F r2 /R o < R o ) η στρωµάτωση κυριαρχεί και περιορίζει τις διαταραχές. Αν B u > 1 ισχύει το αντίθετο. Τέλος, αν B u = 1 οι δύο µηχανισµοί είναι ισοδύναµοι και Ατµόσφαιρα: ~500 km Ωκεανός: ~50 km) P 0 L ) W/H U/L U 2 fl N 2 H 2 U = Fr2 Ro U apple N 2 H 2 fl που ορίζει ένα ανώτατο όριο για την κλίµακα ταχύτητας. Αν αυτή είναι ορισµένη από εξωτερικούς παράγοντες (π.χ. γενική κυκλοφορία) η σχέση αυτή καθορίζει τις επιτρεπτές χωρικές κλίµακες των κατακόρυφων διαταραχών. Αν όλες οι συνθήκες είναι εξωτερικά καθορισµένες ώστε να µην ισχύει η ανισότητα αναπτύσσονται ειδικοί τύποι κυκλοφορίας (π.χ. Taylor columns). Ορίζουµε ως αριθµό Burger L = NH f Bu = = R i NH! 2 = Ro fl Fr! 2 Εσωτερική Ακτίνα Αποδιαµόρφωσης Rossby Internal Rossby Radius of Deformation

Μοντέλα στρωµάτων (Reduced gravity models) z P Η h 1, ρ 1 P 2, ρ 2 Η T & 1 # & 1 # Homogeneous $ 1! layers $ 2! layers % 2 " % 2 " P 1 = P a 1 gz and P 2 = Pa+ 1 gh 2 g (z + h) r H P 2 =0 )r H P a + 1 gr H h 2 gr H h =0 )r H P a =( 2 1 ) gr H h ) 1 r H P 1 = ( 2 1 ) gr H h = g 0 r H h 0 0 @t + u @x + @ @y + w @z @t + u@ @x + @ @y + w @ @z f = g 0 @h @x + fu = g0 @h @y

@x + @ @y + @z @x =0whereu, ) @ @x Z 0 h udz+ @ @y @t + u @x + @ Z 0 h / x, y dz + @ @z Z 0 ) @ @x (uh)+ @ ( h)+w(0) w ( h) =0 @y but: w (0) = 0, w( h) = @h @t ) @h @t + @ @x (hu)+ @ (h )=0 @y g 0 = g 0 @y + w @z @t + u@ @x + @ @y + w @ @z @h @t + @ @x (hu)+ @ (h )=0 @y h wdz=0 z Η P 2, ρ 2 f = g 0 @h @x + fu = g0 @h @y h P 1, ρ 1 Η T Reduced gravity equations Τώρα µπορούµε να γράψουµε τη συχνότητα Brunt Vaissala: N 2 = g @ 0 @z g 0 H = g0 H Και η Internal Rossby Radius of deformation: R = NH f = g' H f

Εσωτερικά κύµατα βαρύτητας: απλή στρωµάτωση (Internal gravity waves (layers) Δύο άπειρα στρώµατα (ένα µε πυκνότητα ρ 1, πάνω σε ένα άπειρο στρώµα µε πυκνότητα ρ 2 ) ασυµπίεστου ρευστού. Για ευκολία θα αγνοήσουµε την περιστροφή και θα µελετήσουµε το σύστηµά σε δύο διαστάσεις (x,z). Ορίζουµε ένα δυναµικό ταχύτητας ϕ, τέτοιο ώστε z x ρ 1 ρ 2 >ρ 1 ζ z=0 (27) u = @ @x, w = @ @z (26) Λόγω της εξίσωσης συνέχειας (σε δύο διαστάσεις) καταλήγουµε στην εξίσωση Laplace: @x + @w @z =0 @ 2 @x 2 + @2 @z 2 =0 Στο παράδειγµα µας έχουµε δύο στρώµατα, οπότε ορίζουµε δύο δυναµικά ϕ 1 και ϕ 2 και θα επιλύσουµε το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων (µε τις κατάλληλες οριακές συνθήκες) @ 2 1 @x 2 + @2 1 @z 2 =0 @ 2 2 @x 2 + @2 2 @z 2 =0 1 = Ae kz + Ce kz i(kx!t) e µε γενικές λύσεις και 2 = Be kz + De kz i(kx!t) e = ae i(kx = be i(kx!t)!t)

Οι οριακές συνθήκες σχετίζονται µε µηδενική ταχύτητα στο άπειρο (όχι άπειρη κινητική ενέργεια) και συνεχείς λύσεις στην διεπιφάνεια: at z!1 1! 0 at z! 1 2! 0 at z =0 @ 1 @z = @ 2 @z = @ @t Οι δύο πρώτες οριακές συνθήκες οδηγούν στο C = 0 και D = 0 στις παραπάνω λύσεις και άρα Χρησιµοποιώντας την τρίτη οριακή συνθήκη (continuity of velocity solution) at z =0 1 @ 1 @t + 1g = 2 @ 2 @t + 2g (continuity of pressure - from Bernoulli equ.) 1 = Ae kz i(kx!t) e 2 = Be kz i(kx!t) e Ake 0 e i(kx!t) = Bke 0 i(kx!t) e A = B and A = Αντικαθιστώντας στην τέταρτη οριακή συνθήκη v! u! = t 2 1 gk 2 + 1 ia! k (28) Σχέση διασποράς βαρυντικών κυµάτων σε διεπιφάνεια

Αν αντικαταστήσουµε τις λύσεις για ϕ1 και ϕ2 στις (34) c u 1 = @ 1 @x =!ae kz i(kx!t) e u 2 = @ 1 @x =!aekz e i(kx!t) z ρ 1 ρ 2 x z=0 Για ρ 0 = (ρ 1 +ρ 2 )/2 µπορούµε να γράψουµε τη σχέση διασποράς ως όπου και! = v u t 2 1 g 2 0 g 0 = g s 0 g 0! c! k = 2k s c g @! @k = 1 g 0 2 2k k = s g 0 k 2 Reduced Gravity (29) φασική ταχύτητα οµαδική ταχύτητα

Εσωτερικά κύµατα βαρύτητας (η έκφραση τους στην επιφάνεια της θάλασσας και στην κορυφή της ατµόσφαιρας) 33

Γεωστροφική προσαρµογή (Geostrophic adjustment) Θεωρώντας ότι δεν υπάρχουν βαθµίδες στην y-διεύθυνση (άπειρες διαστάσεις): @t + u f = g 0 @h @x @x (30) @ @t + u@ + fu = 0 (31) @x @h @t + @ (hu) = 0 (32) @x Αρχικός δυναµικός στροβιλισµός: q i = f H Τελικός δυναµικός στροβιλισµός: Αρχικές συνθήκες: u = =0 h = H for x<0 h = 0 for x>0 Οριακές συνθήκες: u,! 0, h! H at x! 1 u = da dt, q f = f + @ /@x h h = 0 at x = a(t) f H = f + @ /@x h (33)

Μόλις ολοκληρωθεί η προσαρµογή, οι παράγωγοι του χρόνου µηδενίζονται: u @x f = g 0 @h @x (34) Αφού @h/@x 6= 0 (το h µηδενίζεται σε κάποιο σηµείο ενώ παίρνει τιµές σε άλλα σηµεία του x): u @ + fu = 0 (35) @x @ (hu) = 0 (36) @x Η λύσεις για (33) και (37): " H = H 1 exp x a!# R = p g 0 H exp x a! R p! g0 H where R = f από την (36) το u είναι µηδέν παντού µετά την ολοκλήρωση της προσαρµογής. Αντικαθιστώντας στην (34): Για να βρούµε το a, χρησιµοποιούµε τη διατήρηση του όγκου: που δίνει: f = g 0 @h @x (37) Z 0 1 (H h) dx = a = R = p g0 H f Z a 0 hdx