All models have faults - that doesn t mean you can t use them as tools for making decisions. Myron Scholes

Κεφάλαιο 3 Εισαγωγή στην τιμολόγηση παραγώγων συμβολαίων All models have faults - that doesn t mean you can t use them as tools for making decisions. Myron Scholes Ενα από τα βασικότερα θέματα της χρηματοοικονομικής μηχανικής, είναι το θέμα της τιμολόγησης παραγώγων συμβολαίων. Ουσιαστικά, όταν λέμε παράγωγο συμβόλαιο εννοούμε έναν χρηματοοικονομικό τίτλο η αξία του οποίου εξαρτάται από την αξία ενός άλλου τίτλου (υποκείμενος τίτλος), για παράδειγμα μιας μετοχής. Η εξάρτηση αυτή προκύπτει από την εξάρτηση της απολαβής που δίνει το παράγωγο συμβόλαιο, κατά τη λήξη του, από την αξία του υποκείμενου τίτλου τη χρονική στιγμή αυτή. Τα παράγωγα συμβόλαια αποτελούν ένα πολύ χρήσιμο χρηματοοικονομικό εργαλείο το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε διάφορες εφαρμογές, οι οποίες στοχεύουν κυρίως είτε στην κερδοσκοπία είτε στην εξασφάλιση απέναντι στους κινδύνους στους οποίους υπόκειται ένα χαρτοφυλακίο. Υπάρχουν πολλών ειδών παράγωγα συμβόλαια, όμως στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε μόνο με τα λεγόμενα δικαιώματα επί μετοχών, μιας και συγκεντρώνουν το κοινό ενδιαφέρον και αποτελούν αντικείμενο διαπραγμάτευσης σε οργανωμένες χρηματηστηριακές αγορές παραγώγων. Το δικαίωμα (option) είναι ένα πάρα πολύ σημαντικό είδος παραγώγου το οποίο δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα και όχι την υποχρέωση να αγοράσει (call option) ή να πουλήσει (put option) τον υποκείμενο τίτλο (εδώ μετοχή) στην προσυμφωνημένη τιμή (τιμή εξάσκησης) κατά τη διάρκεια μιας συγκεκριμένης χρονικής περιόδου ή σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Ανάλογα με το χρόνο εξάσκησης, τα δικαιώματα διακρίνονται σε Αμερικάνικα (εξάσκηση οποτεδήποτε μέσα στη χρονική διάρκεια του συμβολαίου) και σε Ευρωπαϊκά (εξάσκηση στο τέλος της χρονικής διάρκειας του συμβολαίου). Στο σημείο 45

αυτό αξίζει να αναφερθεί ότι τα Αμερικάνικα και τα Ευρωπαϊκά καταλαμβάνουν τη μερίδα του λέοντος στην αγορά παραγώγων. Συγκεκριμένα, στην ελληνική αγορά παραγώγων, διαπραγματεύονται δικαιώματα επί μετοχών Αμερικάνικου τύπου και μάλιστα μόνο για συγκεκριμένες μετοχές (ΔΕΗ, ΟΠΑΠ, ΑΛΦΑ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΠΕΙΡΑΙΩΣ, ΟΤΕ, ΕΘΝΙΚΗ ΤΡΑΠΕΖΑ). Τα δικαιώματα διαφέρουν από τα υπόλοιπα παράγωγα συμβόλαια, μιας και δεν υπάρχει από τον κάτοχό τους η απαίτηση για κάποια ενέργεια κατά τη διάρκεια κατοχής τους. Προσφέρουν δηλαδή σημαντική ευελιξία ως προς τον τρόπο διαχείρησής τους και για το λόγο αυτό λογικό είναι να αγοράζονται με κάποια χρηματική επιβάρυνση. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε στα επόμενα δύο κεφάλαια είναι ακριβώς αυτό: η έρευση του κόστους το οποίο πρέπει να έ- χει ένα δικαίωμα, ή διαφορετικά, η τιμολόγηση ενός δικαιώματος. Το πρόβλημα αυτό, λόγω της στοχαστικότητας της εξέλιξης των τιμών του υποκείμενου τίτλου πάνω στον οποίο είναι γραμμένο το δικαίωμα, δεν είναι καθόλου απλό αλλά απαιτεί ειδικές τεχνικές. Στο κεφάλαιο αυτό, θα κάνουμε μία πρώτη εισαγωγή στις αριθμητικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την τιμολόγηση δικαιωμάτων αλλά και παραγώγων προϊόντων γενικότερα. Ουσιαστικά, υπάρχουν τρεις αριθμητικές μέθοδοι αποτίμησης: Διωνυμικά/Τριωνυμικά δέντρα. Αριθμητική επίλυση μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης (Black-Scholes). Προσομοιωση Monte-Carlo. Στα επόμενα κεφάλαια, θα εξετάσουμε και τις τρεις αυτές μεθόδους ώστε να δωσουμε μια ολοκληρωμένη εικόνα επί του σημαντικού αυτού προβλήματος. 3.1 Διωνυμικά δέντρα Σύμφωνα με το υπόδειγμα αυτό, υποθέτουμε ότι η τιμή μιας μετοχής S 0, η οποία μας είναι γνωστή σήμερα, μετά από ένα χρονικό διάστημα μήκους δt, μπορεί να πάρει μόνο δύο πιθανές τιμές, μία ανοδική, την S u = S 0 u με πιθανότητα ρ u και μία καθοδική, την S d = S 0 d, με αντίστοιχη πιθανότητα ρ d. Εδώ υποθέτουμε ότι u > 1, d < 1 και φυσικά u > d. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς C επί της μετοχής που προαναφέραμε, με strike price K, το οποίο λήγει σε χρόνο δt. Αν αυξηθεί η τιμή της μετοχής, η αξία του δικαιώματος θα είναι ίση με C u = max(0, S u K) = max(0, S 0 u K). Αν μειωθεί η τιμή της μετοχής, η αξία του δικαιώματος θα είναι ίση με C d = max(0, S d K) = max(0, S 0 d K). 46

Το βασικό ερώτημα που γεννάται στο σημείο αυτο και θα μας απασχολήσει στο κεφάλαιο που εξετάζουμε, είναι πως μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή C 0 που αντιστοιχεί στην αξία του δικαιώματος σήμερα. Ο επενδυτής που έχει γράψει το δικαίωμα υπόκειται σε ένα χρηματοοικονομικό κίνδυνο. Ο κίνδυνος αυτός σχετίζεται με τις διακυμάνσεις της μετοχής πάνω στην οποία είναι γραμμένο το δικαίωμα. Για παράδειγμα, σε περίπτωση ανόδου της τιμής της μετοχής και υποθέτωντας ότι S u > K τότε θα πρέπει να διαθέσει την μετοχή στο κάτοχο του δικαιώματος (σε περίπτωση βέβαια που αποφασίσει να εξασκήσει το δικαίωμά του) σε χαμηλότερη τιμή (K) έναντι της τρέχουσας τιμής της μετοχής στην αγορά (S u ). Επομένως, αποφασίζει παράλληλα με την ανοικτή του θέση, να διατηρεί και ένα χαρτοφυλάκιο αποτελούμενο από τους υπόλοιπους τίτλους της αγοράς, ώστε να μην υπόκειται στην αβεβαιότητα που επάγεται από τις διακυμάνσεις στις τιμές της μετοχής. Σχηματίζει λοιπόν ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο αποτελείται από δύο τίτλους: Εναν τίτλο χωρίς κίνδυνο (ομόλογο) με αρχική τιμή B 0 = 1 και επιτόκιο r, δηλαδή στο χρόνο δt προσφέρει απόδοση e rδt. Την υποκείμενη μετοχή πάνω στην οποία είναι γραμμένο το δικαίωμα, με αρχική τιμή S 0. Υποθέτουμε ότι στο ομόλογο έχει επενδυθεί ποσό Ψ και έχουμε και μετοχές. Η αρχική τιμή του παραπάνω χαρτοφυλακίου, θα είναι: Π 0 = S 0 + ΨB 0 = S 0 + Ψ, ενω οι μελλοντικές του τιμές, θα είναι : σε περίπτωση ανόδου της τιμής της μετοχής, και Π u = S 0 u + Ψe rδt, (3.1) Π d = S 0 d + Ψe rδt, (3.2) σε περίπτωση καθόδου τη τιμής της μετοχής. Η βασική ιδέα τώρα είναι να προσπαθήσουμε να βρούμε ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο αναπαράγει την απόδοση του δικαιώματος, δηλαδή να συμπεριφέρεται ακριβώς όπως και το δικαίωμα. Με άλλα λόγια: Π u = C u (3.3) Π d = C d όπου τα Π u και Π d δίνονται από τις σχέσεις (3.1) και (3.2). Λύνοντας το σύστημα (3.3), το οποίο είναι ένα σύστημα με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους, παίρνουμε: = C u C d S 0 (u d) 47 (3.4)

και Ψ = e rδt uc d dc u. (3.5) u d Σύμφωνα με το νόμο της ενιαίας τιμής, θα πρέπει και η αρχική τιμή του χαρτοφυλακίου να είναι ίση με την τιμή του δικαιώματος στο χρόνο 0, δηλαδή θα πρέπει να ισχύει να ισχύει: C 0 = Π 0 = S 0 + Ψ. Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση τις (3.4) και (3.5), καταλήγουμε ότι: όπου θέσαμε [ e C 0 = e rδt rδt d u d C u + u ] erδt u d C d = e rδt [π u C u + π d C d ], π u = erδt d u d (3.6) και π d = u erδt u d. (3.7) Καταφέραμε λοιπόν να εκφράσουμε την αναμενόμενη αξία του δικαιώματος βάσει δύο ποσοτήτων π u, π d ώστε να μπορούμε να προεξοφλούμε το επιτόκιο της βέβαιης απόδοσης r. Στο σημείο αυτό παρατηρούμε ότι: π u + π d = 1. Αν υποθέσουμε ότι d < e rδt < u (κάτι που άλλωστε χρειάζεται ώστε να αποκλείσουμε την ευκαιρεία για βέβαιο κέρδος), τότε εύκολα προκύπτει ότι π u, π d > 0. Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε τα π u, π d ως πιθανότητες και μάλιστα αναφέρονται ως ουδέτερες ως προς τον κίνδυνο πιθανότητες. Για να τιμολογήσουμε δικαιώματα με περισσότερες από μία περιόδους ως τη λήξη, θα πρέπει να επεκτείνουμε το μοντέλο που περιγράφηκε παραπάνω και μάλιστα με έναν τόπο πολύ φυσικό. Θα πρέπει λοιπόν να βρούμε έναν εύχρηστο τρόπο αναπαράστασης των διαφορετικών καταστάσεων της οικονομίας που ουσιαστικά θα αναπαριστά τις διαφορετικές τιμές της μετοχής στις διαφορετικές χρονικές στιγμές. Η λύση στο πρόβλημα αυτό δίνεται χρησιμοποιώντας το λεγόμενο διωνυμικό δέντρο, ένα παράδειγμα του οποίου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οπως βλέπουμε και από το Σχήμα 3.1, το δέντρο αποτελείται από κόμβους κάθε ένας από τους οποίους αντιστοιχεί και σε μια διαφορετική κατάσταση της οικονομίας. Η οριζόντια διεύθυνση του δέντρου αντιστοιχεί στο χρόνο ενώ η κάθετη διεύθυνση αντιστοιχεί στις διαφορετικές καταστάσεις που πραγματοποιούνται στην αντίστοιχη χρονική στιγμή. Ο κάθε κόμβος συμβολίζεται με (i, j) όπου i, j είναι φυσικοί αριθμοί, με i = 0, 1,..., T και j = 0,..., N πιθανές καταστάσεις της οικονομίας. Το i μας δείχνει πόσα βήματα απέχουμε 48

Σχήμα 3.1: Διωνυμικό δέντρο με τέσσερα βήματα. από τη χρονική στιγμή t = 0 και το j μας δείχει πόσες ανοδικές κινήσεις έχει κάνει η μετοχή, με άλλα λόγια, αντιστοιχεί στην συγκεκριμένη κατάσταση του κόσμου αυτή τη χρονική στιγμή. Σύμφωνα λοιπόν με όσα έχουμε πει, ο κάθε κόμβος μπορεί να οδηγήσει σε άλλους δύο κόμβους που θα αντιστοιχούν σε ανοδική και καθοδική κίνηση της μετοχής. Πιο συγκεκριμένα, ο κόμβος (i, j) μπορεί να οδηγήσει στον κόμβο (i + 1, j) είτε στον κόμβο (i + 1, j + 1), όπου ο κόμβος (i + 1, j) εκφράζει την καθοδική κίνηση της μετοχης, ενώ ο κόμβος (i + 1, j + 1) εκφράζει την ανοδική κίνηση της μετοχής. Η τιμή της μετοχής στον κόμβο (i, j) θα αντιστοιχεί στην τιμή S i,j = S 0 u j d i j, (3.8) η οποία προκύπτει αν πραγματοποιηθούν συνολικά μέχρι τη στιγμη i, j ανοδικές κινήσεις και i j καθοδικές κινήσεις. Αντίστοιχα, η τιμή του δικαιώματος στον κόμβο (i, j) θα συμβολίζεται με C i,j. Αν ο συνολικός αριθμός των περιόδων είναι N, τότε η αξία του δικαιώματος αγοράς στον κόμβο (N, j) θα είναι C N,j = max (0, S N,j K) = max ( 0, S 0 u j d N j K ). (3.9) Η σχέση (3.6) μπορεί να μεταφραστεί αλγοριθμικά, για την τιμολογηση του δικαιώματος σε κάθε κόμβο (i, j), ως εξής: C i,j = e rδt (π u C i+1,j+1 + (1 π u )C i+1,j ), (3.10) όπου C i+1,j+1 είναι η αξία του δικαιώματος στον επόμενο χρόνο σε περίπτωση ανόδου της τιμής της μετοχής και C i+1,j είναι η αξια του δικαιώματος σε περίπτωση καθόδου της τιμής της μετοχής. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (3.9) 49

και (3.10) μπορούμε να υπολογίσουμε την αξία του δικαιώματος σε κάθε κόμβο, σε κάθε χρονική στιγμή, προχωρώντας οπισθοδρομικά στο δέντρο. Ο στόχος μας φυσικά είναι να φτάσουμε στην αρχική τιμή του δέντρου, δηλαδή στην τιμή C 0,0. Στην περίπτωση του Ευρωπαϊκού δικαιώματος πώλησης, η σχέση (3.9) παίρνει φυσικά τη μορφή max (0, K S N,j ) = max ( 0, K S 0 u j d N j). (3.11) Παρατήρηση 6 Ενα από τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά του διωνυμικού υπόδειγματος τιμολόγησης, είναι πως αποτελεί το διακριτό ανάλογο του υποδείγματος της γεωμετρικής κίνησης Brown, μια πρώτη επαφή με το οποίο είχαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, και το οποίο μάλιστα αποτελεί το θεμέλιο λίθο για ένα πολύ βασικό υπόδειγμα της Χρηματοοικονομικής, το μοντέλο των Black-Scholes (βλέπε Παράγραφο 3.2). Η παράμετρος της ανοδικής κίνησης που αντιστοιχεί στο υπόδειγμα αυτό, σύμφωνα με τους Cox-Ross-Rubinstein (1979), οι ποίοι μάλιστα ήταν από τους πρωτεργάτες πάνω στο θέμα αυτό, είναι u = e σ δt και αντίστοιχα για την καθοδική είναι d = 1/u. Θα επανέλθουμε στο θέμα αυτό αναλυτικότερα στην επόμενη παράγραφο, όπου θα παρουσιάσουμε τη μερική διαφορική εξίσωση Black-Scholes καθώς επίσης και την λύση της (μοντέλο Black-Scholes) για την περίπτωση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος. Μάλιστα, θα εξετάσουμε και τη σχέση του μοντέλου αυτού με το διωνυμικό υπόδειγμα. Παρατήρηση 7 Στην περίπτωση του Αμερικάνικου δικαιώματος, ξεκινάμε από την τελευταία περίοδο (λήξη) και πηγαίνουμε προς τα πίσω συγκρίνοντας σε κάθε χρονικό σημείο την αξία από την πρόωρη εξάσκηση του δικαιώματος με την αξία του δικαιώματος από την αναμονή και άσκησή του σε μελλοντική χρονική στιγμή. Η αξία του δικαιώματος θα είναι η μεγαλύτερη από τις δύο αυτές τιμές. Πιο συγκεκριμένα, στην περίπτωση αυτή θα έχουμε : ] C i,j = max [e rδt (π u C i+1,j+1 + (1 π u )C i+1,j ), K S i,j (3.12) Πρωτού προχωρήσουμε στην κατασκευή κώδικα στο MATLAB για την εφαρμογή της μεθόδου, ας δούμε στην πράξη πως δουλεύει το υπόδειγμα που μόλις περιγράψαμε. Παράδειγμα 10 Ας υποθέσουμε ότι ενδιαφερόμαστε να αποτιμήσουμε ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς πάνω σε μια μετοχή με αρχική τιμή S 0 = 10 ευρώ, τιμή εξάσκησης K = 10 ευρώ, λήξη σε T = 1 μήνα, επιτόκιο r = 5 ετήσιο, μεταβλητότητα σ = 0.1865 και N = 2 περιόδους. Στην περίπτωση αυτή έχουμε δt = T/N = 1/2 = 0.5. Οι παράμετροι του μοντέλου θα είναι u = e σ δt = e 0.1865 0.5 = 1.1409 και d = 1/u = 0.8765. Η πιθανότητα ανοδικής κίνησης είναι: π u = erδt d u d = 1.0253 0.8765 0.2644 50 = 0.5628.

Η μετοχή μπορεί να πάρει τις εξής πιθανές τιμές: i = 0: S 0,0 = 10 i = 1: S 1,0 = S 0 d = 8.765 S 1,1 = S 0 u = 11.409 i = 2: S 2,0 = S 0 d 2 = 7.6825 S 2,1 = S 0 ud = 10 S 2,2 = S 0 u 2 = 13.017 Η τιμή του δικαιώματος στο χρόνο λήξης υπολογίζεται ως εξής: C 2,2 = max (0, S 2,2 K) = 3.017 C 2,1 = max (0, S 2,1 K) = 0 C 2,0 = max (0, S 2,0 K) = 0, και από εκεί και πίσω προχωράμε αναδρομικά με βάση τη σχέση (3.10). Εχουμε λοιπόν: C 1,0 = e rδt (π u C 2,1 + (1 π u )C 2,0 ) = 0.975 (0.5628 0 + 0.4372 0) = 0 και τελικώς C 1,1 = e rδt (π u C 2,2 + (1 π u )C 2,1 ) = 0.975 (0.5628 3.017 + 0.4372 0) = 1.656 C 0,0 = e rδt (π u C 1,1 + (1 π u )C 1,0 ) = 0.975 (0.5628 1.656 + 0.4372 0) = 0.9093 που είναι και η ζητούμενη τιμή. Βέβαια, στην περίπτωση πολλών περιόδων η επαναληπτική αυτή διαδικασία πρέπει να γίνει με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή, μιας και το πλήθος των πράξεων που απαιτούνται γίνεται πάρα πολύ μεγάλο. Οσον αφορά την υλοποίηση των προηγούμενων συναρτήσεων, για την τιμολόγηση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς, βασιστήκαμε στις σχέσεις (3.7), (3.9) (3.8) και (3.10), ενώ για την τιμολόγηση του Αμερικανικού δικαιώματος πώλησης αντικαταστήσαμε την αναδρομική σχέση (3.10) με την (3.12), που είδαμε στην Παρατήρηση 7 και συμπληρώσαμε με την κατάλληλη συνάρτηση απόδοσης, μιας και πρόκειται για δικαίωμα αγοράς. Χρησιμοποιώντας την πρώτη συνάρτηση μπορούμε να επιβεβαιώσουμε το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 10. 51

function[price] = BinTreeEuCall(S0,K,T,N,sigma,r) S0=H ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΜΕΤΟΧΗΣ ΣΗΜΕΡΑ K=Η ΤΙΜΗ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ r=το ΕΠΙΤΟΚΙΟ Τ=Η ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ Ν=Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ sigma=η ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΜΕΤΟΧΗΣ dt = T/N; ΧΡΟΝΙΚΟ ΒΗΜΑ u = exp(sigma*sqrt(dt)); ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ d=1/u; p=(exp(r*dt) - d)/(u-d); ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΝΟΔΟΥ tree = zeros(n+1,n+1); preallocate for efficiency for k=0:n TIMΕΣ THΣ ΜΕΤΟΧΗΣ St(N+1,k+1)=S0*(u^k)*(d^(N-k)); ΣΤΗ ΛΗΞΗ end ΑΞΙΕΣ ΤΟΥ OPTION ΣΤΗ ΛΗΞΗ for j=0:n tree(n+1,j+1)=max(0,s0*(u^j)*(d^(n-j))-k); end BINOMIAL FORMULA for i=n-1:-1:0 for j=0:i tree(i+1,j+1) = exp(-r*dt)*(p * tree(i+2,j+2)+... (1-p) * tree(i+2,j+1)); end end price = tree(1,1); 52

function[price]=bintreeamericanput(s0,k,t,n,sigma,r) S0=H ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΜΕΤΟΧΗΣ ΣΗΜΕΡΑ K=Η ΤΙΜΗ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ r=το ΕΠΙΤΟΚΙΟ Τ=Η ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ Ν=Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ sigma=η ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΜΕΤΟΧΗΣ dt = T/N; ΧΡΟΝΙΚΟ ΒΗΜΑ u = exp(sigma*sqrt(dt)); ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ d=1/u; p=(exp(r*dt) - d)/(u-d); ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΝΟΔΟΥ tree = zeros(n+1,n+1); preallocate for efficiency TIMΕΣ ΜΕΤΟΧΗΣ ΣΤΗ ΛΗΞΗ for k=0:n St(N+1,k+1)=S0*(u^k)*(d^(N-k)); end ΑΞΙΕΣ OPTION ΣΤΗ ΛΗΞΗ for j=0:n tree(n+1,j+1)=max(0,k-s0*(u^j)*(d^(n-j))); end BINOMIAL FORMULA for i=n-1:-1:0 for j=0:i tree(i+1,j+1)=max(k-s0*(u^j)*(d^(i-j)),... exp(-r*dt)*(p*tree(i+2,j+2)+(1-p)*tree(i+2,j+1))); end end price = tree(1,1); Η ΤΙΜΗ ΤΟΥ OPTION ΣΗΜΕΡΑ! 53

Παρατήρηση 8 Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το υπόδειγμα των διωνυμικών δέντρων και στην περίπτωση που ο υποκείμενος τίτλος πληρώνει μέρισμα. Στην περίπτωση αυτή η διαδικασία παραμένει η ίδια, όπως την περιγράψαμε, με την μοναδική διαφορά ότι τώρα το βέβαιο επιτόκιο r αντικαθίσταται με r δ, όπου δ είναι η συνεχής μερισματική απόδοση. Στην περίπτωση ενός διακριτού ποσοστιαίου μερίσματος σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, η οποία βρίσκεται μέσα στη χρονική διάρκεια του συμβολαίου, θα αλλάξει η συνάρτηση απόδοσης του δικαιώματος πολλαπλασιάζοντας την τιμή της μετοχής στη λήξη με τον όρο 1 R, όπου R είναι το ποσοστιαίο μέρισμα, αν φυσικά η χρονική στιγμή αυτή συμπίπτει με τον χρόνο απόδοσης του μερίσματος. Διαφορετικά οι συναρτήσεις απόδοσης είναι όπως ακριβώς τις περιγράψαμε. 3.2 Μια μικρή αλλά σημαντική παρένθεση: Η εξίσωση Black Scholes Ας θεωρήσουμε ένα δικαίωμα Ευρωπαϊκού τύπου γραμμένο πάνω σε ένα τίτλο με κίνδυνο, για παράδειγμα μια μετοχή, η οποία για λόγους απλότητας της παρουσίασης υποθέτουμε ότι δεν πληρώνει μέρισμα. Η τιμή της μετοχής αυτής την χρονική στιγμή t, σύμφωνα με όσα έχουμε πει στο προηγούμενο κεφάλαιο, είναι μια στοχαστική διαδικασία S(t) η οποία υποθέτουμε ότι περιγράφεται από το μοντέλο της Γεωμετρικής κίνησης Brown. Γενικά, ένα δικαίωμα του οποίου η τιμή, έστω f, εξαρτάται από την τιμή μιας μετοχής στον χρόνο t, μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνάρτηση f(t, S(t)), οποία ουσιαστικά είναι μια στοχαστική διαδικασία. Ενα πολύ βαθύ θέμα της Στοχαστικής Ανάλυσης (λήμμα Itô) μας λέει ότι η στοχαστική διαδικασία f(t, S(t)) θα ικανοποιεί τη σχέση: df = f f dt + t S ds + 1 2 σ2 S 2 2 f dt. (3.13) S2 Η σχέση αυτή δεν μας δίνει κάποιο άμεσο τρόπο για να αποτιμήσουμε την τιμή του δικαιώματος, προς το παρόν τουλάχιστον. Παρατηρούμε όμως ότι έχει έναν στοχαστικό όρο, τον ( f/ S)dS. Μια καλή ιδέα θα ήταν να προσπαθήσουμε με κάποιο τρόπο να εξαλείψουμε τον όρο αυτό. Αυτό μπορεί να γίνει με την βασική ιδέα που περιγράψαμε στο υπόδειγμα του διωνυμικού μοντέλου. Με άλλα λόγια, θεωρούμε ένα χαρτοφυλάκιο από -1 δικαιώματα και μετοχές. Η αξια του χαρτοφυλακίου αυτού θα είναι: Π = S f(t, S) (3.14) και η μεταβολή της αξίας του χαρτοφυλακίου σε χρόνο dt, θα είναι: dπ = ( f ) ( f ds S t + 1 ) 2 σ2 S 2 2 f S 2 dt. (3.15) 54

Για να είναι η δυναμική του χαρτοφυλακίου αυτού ντετερμινιστική, θα πρέπει να απαλείψουμε όπως είπαμε προηγουμένως τον στοχαστικό όρο. Αυτό μπορεί να γίνει αν στην εξίσωση (3.15) επιλέξουμε = f S. Καταλήξαμε λοιπόν σε μια επένδυση χωρίς ρίσκο. Οπότε, η απόδοση του χαρτοφυλακίου θα είναι ίση με το επιτόκιο της βέβαιης απόδοσης r, δηλαδή dπ = rπdt. Λαμβάνοντας υπόψην την σχέση (3.15) καταλήγουμε στην εξίσωση Black- Scholes: f f + rs t S + 1 2 σ2 S 2 2 f rf = 0 (3.16) S2 Πρόκειται για μια ντετερμινιστική μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ) η λύση της οποίας δίνει την τιμή του δικαιώματος f. Μπορεί να εφαρμοστεί για κάθε δικαίωμα του οποίου η απόδοση εξαρτάται από την τρέχουσα τιμή ενός υποκείμενου τίτλου. Για να λυθεί η ΜΔΕ (3.16) θα πρέπει να συμπληρωθεί με μια κατάλληλη συνοριακή συνθήκη, η μορφή της οποίας εξαρτάται από το παράγωγο συμβόλαιο το οποίο μας ενδιαφέρει να αποτιμήσουμε. Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς, θα είναι: f(s, T ) = max (0, S T K), (3.17) ενώ στην περίπτωση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος πώλησης, θα είναι: f(s, T ) = max (0, K S T ). (3.18) Εν γένει, η ΜΔΕ (3.16) είναι πολύ δύσκολο να λυθεί ώστε να πάρουμε λύσεις σε κλειστή μορφή, για το λόγο αυτό θα πρέπει να βασιστούμε σε αριθμητικές μεθόδους για την επίλυσυσή της. Θα επανέλθουμε στο θέμα αυτό αναλυτικά στο επόμενο κεφάλαιο. Υπάρχουν όμως ορισμένες περιπτώσεις, όπου η εξίσωση Black-Scholes μπορεί να λυθεί αναλυτικά. Η πιο γνωστή οφείλεται στους Myron Black και Fisher Scholes (βραβείο Νόμπελ 1973) οι οποίοι απέδειξαν ότι η λύση για ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς είναι: C = S 0 N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ), (3.19) ενώ για ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης, είναι: P = Ke rt N( d 2 ) S 0 N( d 1 ), (3.20) όπου: d 1 = log(s 0/K) + (r + σ 2 /2)T σ T d 2 = log(s 0/K) + (r σ 2 /2)T σ T 55 = d 1 σ T, (3.21)

function[c]= BlackScholesEuCall(S0,K,T,sigma,r) function BlackScholesEuCall(S0,K,T,sigma,r) Black-Scoles price for a European Call Input: S0,K,T,sigma,r Output: BLS price for call option Υπολογίζoυμε τα d1,d2 σύμφωνα με τους τύπους d1 = (log(s0/k) + (r + sigma^2/2)*t)/(sigma*sqrt(t)); d2 = d1 - (sigma*sqrt(t)); Η τιμή για το call option C = S0*normcdf(d1) - K*(exp(-r*T)*normcdf(d2)); όπου N( ) είναι η αθροιστική συνάρτηση της τυπικής κανονικής κατανομής. Η εφαρμογή του μοντέλου Black-Scholes για την περίπτωση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς στο MATLAB είναι σχετικά απλή και δίνεται παραπάνω. Η συνάρτηση normcdf μας δίνει την αθροιστική συνάρτηση κατανομής της τυπικής κανονικής. Παρατήρηση 9 Εχει ήδη αναφερθεί ότι το διωνυμικό μοντέλο είναι το διακριτό ανάλογο του υποδείγματος της Γεωμετρικής κίνησης Brown. Πιο συγκεκριμένα, κάτω από την επιλογή u = e σ δt και d = 1/u, μπορούμε να δούμε ότι καθώς αυξάνεται ο αριθμός των περιόδων Ν, η τιμή που παίρνουμε από το διωνυμικό μοντέλο προσεγγίζει την αναλυτική λύση του μοντέλου Black-Scholes που δίνεται από τις εξισώσεις (3.19) και (3.20). 56

Για να πάρουμε το παραπάνω σχημα, χρησιμοποιούμε την πρώτη συνάρτηση όπου κάνουμε αποτίμηση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς με το υπόδειγμα του διωνυμικού μοντέλου, καθώς επίσης και την τρίτη συνάρτηση όπου αποτιμούμε ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς με βάση το μοντέλο των Black-Scholes και υπολογίζουμε την απόλυτη διαφορά μεταξύ κάθε τιμής που δίνει το διωνυμικό μοντέλο για κάθε βήμα με την τιμή που παίρνουμε από την εξίσωση (3.19). 3.3 Τριωνυμικά Δέντρα Ενας εναλλακτικός τρόπος για την αποτίμηση παραγώγων συμβολαίων αποτελεί η μέθοδος των τριωνυμικών δέντρων. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, που ουσιαστικά αποτελεί μια άμεση γενίκευση του διωνυμικού υποδείγματος, προστίθεται μια ακόμα κατάσταση που αντιστοιχεί στο ενδεχόμενο η τιμή της μετοχής να παραμείνει αμετάβλητη την επόμενη χρονική στιγμή, όπως άλλωστε φαίνεται και από το ακόλουθο σχήμα: Οπως βλέπουμε και από το παραπάνω σχήμα, το δέντρο αποτελείται από κόμβους κάθε ένας από τους οποίους αντιστοιχεί και σε μια διαφορετική κατάσταση της οικονομίας. Ο κάθε κόμβος συμβολίζεται με (i, j, k) όπου i, j, k είναι φυσικοί αριθμοί, με i = 0, 1,..., T, j = 0,..., N και k = 0,..., N j πιθανές καταστάσεις της οικονομίας. Το i αντιστοιχεί στο χρόνο και ουσιαστικά μας δείχνει πόσα βήματα απέχουμε από το μηδέν, το j μας δείχνει πόσες φορές έχει κινηθεί ανοδικά ο υποκείμενος τίτλος (μετοχή) και το k μας δειχνει πόσες φορές η μετοχή έχει μείνει αμετάβλητη. Σύμφωνα λοιπόν με όσα έχουμε πει, ο 57

κάθε κόμβος μπορεί να οδηγήσει σε άλλους τρεις κόμβους που θα αντιστοιχούν είτε σε ανοδική, είτε σε καθοδική, είτε μη μεταβολή της τιμης της μετοχής, πιο συγκεκριμένα, στους κόμβους (i + 1, j + 1, k), (i + 1, j, k + 1) και (i + 1, j, k). Με την ίδια λογική που εφαρμόσαμε και στο διωνυμικό μοντέλο τιμολόγησης, στον κόμβο (i, j, k), η τιμή της μετοχής είναι: S i,j,k = S 0 u j d i j k. (3.22) Είναι δηλαδή η τιμή που προκύπτει όταν πραγματοποιηθούν j ανοδικές κινήσεις και i j k καθοδικές. Αντίστοιχα, η τιμή του δικαιώματος στον κόμβο (i, j, k) για ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης θα συμβολίζεται ως C i,j,k και αν υποθέσουμε ότι ο συνολικός αριθμός των περιόδων είναι ίσος με N, τότε θα έχουμε: ( C N,j,k = max 0, K S 0 u j d N j k). (3.23) Οι υπολογισμοί που κάνουμε στην περίπτωση αυτή είναι ανάλογοι με την περίπτωση του διωνυμικού υποδείγματος και η φιλοσοφία είναι η ίδια. Πάλι προχωρούμε οπισθοδρομικά στο χρόνο ωστε να βρούμε την τιμή του δικαιώματος στην αρχή του δέντρου, δηλαδή ο σκοπός μας είναι να φτάσουμε στην τιμή C 0,0,0. Αλγοριθμικά, η τιμή του δικαιώματος στον κόμβο (i, j, k), υπολογίζεται από την σχέση: C i,j,k = e rδt (π u C i+1,j+1,k + π m C i+1,j,k+1 + π d C i+1,j,k ), (3.24) όπου C i+1,j+1,k είναι η τιμή του δικαιώματος σε περίπτωση ανόδου της τιμής της μετοχής, C i+1,j,k+1 είναι η τιμή του δικαιώματος σε περίπτωση που η τιμή της μετοχής παραμείνει αμετάβλητη και C i+1,j,k είναι η τιμή του δικαιώματος σε περίπτωση καθόδου της μετοχής. Μια επιλογή για τις παράμετρους του μοντέλου είναι η ακόλουθη: u = e σ 3δt και d = 1 u (3.25) και π u = δt 12σ 2 ) (r σ2 + 1 2 6 δt π d = 12σ 2 ) (r σ2 + 1 2 6 (3.26) π m = 1 π u π d = 2 3. Παρατήρηση 10 Στην περίπτωση που μας ενδιαφέρει να αποτιμήσουμε ένα Αμερικάνικο δικαίωμα αγοράς, ο αναδρομικός τύπος (3.24), γίνεται: [ ] C i,j,k = max S i,j,k K, e rδt (π u C i+1,j+1,k + π m C i+1,j,k+1 + π d C i+1,j,k ), 58

και στην περίπτωση αυτή, η συνοριακή συνθήκη (3.23) αντικαθίσταται ανάλογα. function[price]= TrinomialTreeEuCall(S0,K,T,N,sigma,r) function[price]= TrinomialTreeEuCall(S0,X,T,N,sigma,r) Trinomial Tree for the valuation of a European Call Input: S0,T,N,sigma,r Ouput: European Call Option value dt=t/n; time increment u=exp(sigma*sqrt(3*dt)); model mparameters d=1/u; pu=sqrt(dt/(12*sigma^2))*(r-0.5*sigma^2)+1/6; pd=-sqrt(dt/(12*sigma^2))*(r-0.5*sigma^2)+1/6; pm=2/3; tree=zeros(n+1,n+1,n+1); initialize the tree calculate option values at maturity for j=0:n for k=0:n-j tree(n+1,j+1,k+1)=max(0, S0*(u^j)*(d^(N-j-k))-K); end end trinomial tree formula for i=n-1:-1:0 for j=0:i for k=0:i-j tree(i+1,j+1,k+1) = exp(-r*dt)*(pu*tree(i+2,j+2,k+1)+... pd*tree(i+2,j+1,k+1)+pm*tree(i+2,j+1,k+2)); end end end value of european call price = tree(1,1,1); 59

3.4 Διωνυμικά δέντρα και δείκτες ευαισθησίας Ενας επενδυτής για να αποφασίσει αν θα λάβει ή όχι μια θέση απέναντι σε ένα δικαίωμα επί μιας μετοχής θα πρέπει πρώτα από όλα να κάνει την έρευνά του ώστε να αποφασίσει αν το δικαίωμα αυτο αξίζει ή όχι της προσοχής του. Στην προσπάθεια αυτή, θα πρέπει να λάβει υπόψη πάρα πολλές παραμέτρους ώστε να καταλήξει σε σωστά συμπεράσματα και να πάρει τις σωστές σποφάσεις. Ενα από τα βασικά όπλα που είναι στη διάθεσή του, είναι τα λεγόμενα ελληνικά γράμματα (greeks). Ουσιαστικά, πρόκειται για κάποιες ποσότητες που μετρούν τον κίνδυνο εμπεριέχεται σε ένα δικαίωμα σε σχέση με κάποια από τις υποκείμενες μεταβλητές και μάλιστα παίζουν ουσιαστικό ρόλο όχι μόνο στον σχεδιασμό χαρτοφυλακίων με παράγωγα συμβόλαια αλλά και στη διαχείριση του χρηματοοικονομικού κινδύνου στον οποίο είναι εκτεθειμένο ένα τέτοιο χαρτοφυλάκιο. Σύμφωνα με όσα είπαμε στην προηγούμενη παράγραφο, η τιμή ενός δικαιώματος, κάθε χρονική στιγμή t, εξαρτάται από την τιμή του υποκείμενου τίτλου την χρονική στιγμή αυτή (στο παράδειγμά μας μια μετοχή). Είναι δηλαδή μια συνάρτηση του χρόνου και της τιμής του υποκείμενου τίτλου, δηλαδή μια συνάρτηση της μορφής f(t, S), αν θεωρήσουμε ότι ο υποκείμενος τίτλος είναι μια μετοχή. 3.4.1 Δέλτα Το Δέλτα (Δ) μετράει την ευαισθησία της τιμης ενός δικαιώματος ως προς μικρές μεταβολές της τιμής του υποκείμενου τίτλου. Με απλά λόγια, μας λέει ότι αν τιμή του υποκείμενου τίτλου μεταβληθεί κατά ένα ευρώ τότε η τιμή του δικαιώματος επί του τίτλου αυτού, θα μεταβληθεί κατά Δ ευρώ. Παρατήρηση 11 Εστω ότι σε μια συγεκριμένη χρονική στιγμή το Δ ενός put option γραμμένο πάνω σε μία μετοχή είναι ίσο με 0.6. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι αν η τιμή της μετοχής μεταβληθεί κατά ένα ευρώ τότε η τιμή του δικαιώματος επί της μετοχής θα αυξηθεί κατά 0.5 ευρώ. Αντίστοιχα, αν το Δ ήταν -0.6 τότε, τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή, αν η τιμή της μετοχής μεταβληθεί κατά ένα ευρώ τότε η τιμή του δικαιώματος επί της μετοχής θα μειωθεί κατά 0.5 ευρώ. Τυπικά, το Δ ενός δικαιώματος είναι η πρώτη παράγωγος της τιμής του δικαιώματος ως προς τιμή του υποκείμενου τίτλου, δηλαδή για ένα δικαίωμα επί μετοχής ορίζεται ως = f S και είναι αριθμός που παίρνει τιμές στο διάστημα [ 1, 1]. Πιο συγκερκιμένα, στην περίπτωση ενός call option το [0, 1] ενώ στην περίπτωση ενός put option το [ 1, 0]. Πως όμως μπορούμε να υπολογίσουμε το Δ για ένα δικαίωμα; Βέβαια, στην περίπτωση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος, το μοντέλο 60

των Black-Scholes μας δίνει σε κλειστή μορφή τύπους υπολογισμού του Δ, αλλά δεν θα σταθούμε στο σημείο αυτό μιας και θα δούμε τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το Δ πάνω στο διωνυμικό δέντρο. Παρατήρηση 12 Η ποσότητα που είδαμε στη εξίσωση (3.4), δηλαδή το ποσοστό της μετοχής που πρέπει να αγοράσει ο εκδότης του τίτλου τη χρονική στιγμή t = 0 ώστε να εξασφαλιστεί απέναντι στους χρηματοοικονομικούς κινδύνους που αντιμετωπίζει, ουσιαστικά είναι το Δ του δικαιώματος αυτού. Μάλιστα, η τακτική που ακολούθησε ο πωλητής του τίτλου στην περίπτωση αυτή λέγεται Δ-εξασφάλιση. Οσον αφορά τον υπολογισμό του, αυτός μπορεί να γίνει άμεσα πάνω στο διωνυμικό δέντρο. Πιο συγκεκριμένα, για να υπολογίσουμε το Δ ενός δικαιώματος στον κόμβο (i, j), χρησιμοποιούμε τη σχέση: (i,j) = C i+1,j+1 C i+1,j S i+1,j+1 S i+1,j, (3.27) όπου C i+1,j+1 εκφράζει την τιμή του δικαιώματος στον κόμβο (i + 1, j + 1), δηλαδή την τιμή του δικαιώματος (εδώ δικαίωμα αγοράς) στην περίπτωση ανόδου της τιμής της μετοχής και C i+1,j είναι η τιμή του δικαιώματος στον κόμβο (i + 1, j), δηλαδή η τιμή του δικαιώματος στην περίπτωση καθοδικής κίνησης της τιμής της μετοχής, όπου με S i+1,j+1 και S i+1,j συμβολίζουμε αντίστοιχα την ανοδική και την καθοδική κίνηση της μετοχής. Για παράδειγμα, στον κόμβο (0, 0), δηλαδή τη χρονική στιγμή t = 0, το Δ υπολογίζεται από το διωνυμικό δέντρο, ως : ενώ στον κόμβο (2, 1), θα είναι ίσο με (0,0) = C 1,1 C 1,0 S 1,1 S 1,0, (2,1) = C 3,2 C 3,1 S 3,2 S 3,1. Ο κώδικας σε MATLAB για τον υπολογισμό του Δ σε κάθε κόμβο είναι πάρα πολύ απλός και αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη. Θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τις τιμές της μτοχής σε κάθε κόμβο, να εφαρμόσουμε το διωνυμικό υπόδειγμα και κατόπιν να εφαρμοσουμε την σχεση (3.27). Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς με S 0 = 10, K = 10, T = 2, N = 3, σ = 0.1865 και r = 0.2, από το τη σχέση (3.27) παίρνουμε ότι (0,0) = 0.9501, ενώ για ένα δικαίωμα πώλησης με τα ίδια χαρακτηριστικά, παίρνουμε ότι (0,0) = 0.0499. Πολύ καλή προσέγγιση, αν αναλογιστούμε ότι οι τιμές του Δ, όπως δίνονται από το μοντέλο Black- Scholes είναι = N(d 1 ) = 0.9504 και = N( d 1 ) = 0.0496, αντίστοιχα, όπου N( ) είναι η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της τυπικής κανονικής και τα d 1, d 2 δίνονται από την εξίσωση (3.21). 61

3.4.2 Γάμμα Η ποσότητα Δ, όπως είπαμε παίζει πολύ σημαντικό ρόλο. Για το λόγο αυτό μας ενδιαφέρει όχι μόνο να υπολογίζουμε το Δ σε διάφορες χρονικές στιγμές, αλλά να επίσης να μπορούμε να γνωριζουμε τον τρόπο με τον οποίο το Δ μεταβάλλεται. Την δουλειά αυτήν την κάνει το Γάμμα (Γ). Ουσιαστικά το Γ μετράει την ευαισθησία του Δ ως προς μεταβολές της τιμής του υποκείμενου τίτλου. Συγκεκριμένα μας δείχνει πόσο περίπου θα μεταβληθεί το Δ εάν η τιμή του υποκείμενου τίτλου μεταβληθεί κατά ένα ευρώ. Δηλαδή το Γ μας δείχνει πόσο σταθερό είναι το Δ ενός δικαιώματος. Τυπικά, το Γ ενός δικαιώματος είναι η πρώτη παράγωγος του Δ ως προς την τιμή του υποκείμενου τίτλου (ισοδύναμα η δεύτερη παράγωγος της αξίας του δικαιώματος ως προς την τιμή του υποκείμενου τίτλου), δηλαδή: = 2 f S 2. Χαρακτηριστικό είναι ότι το Γ είναι πάντα θετικό, τόσο για δικαιώματα αγοράς, όσο και για δικαιώματα πώλησης. Επίσης, αξίζει να τονιστεί στο σημείο αυτό, ότι όσο πιο κοντά στο χρόνο λήξης του δικαιώματος είμαστε, τόσο μεγαλύτερο θα είναι το Γ, γιατί αλλαγές του Δ κοντά στη λήξη του συμβολαίου θα έχουν μεγαλύτερο αντίκτυπο στην τιμή του δικαιώματος. Οσον αφορά τον υπολογισμό του, αυτός μπορεί να γίνει επίσης άμεσα πάνω στο διωνυμικό δέντρο. Πιο συγκεκριμένα, για να υπολογίσουμε το Γ ενός δικαιώματος στον κόμβο (i, j), χρησιμοποιούμε τη σχέση: Γ (i,j) = C i+2,j+2 C i+2,j+1 C i+2,j+1 C i+2,j S i+2,j+2 S i+2,j+1 S i+2,j+1 S i+2,j. (3.28) 0.5 (S i+2,j+2 S i+2,j ) Για παράδειγμα, στον κόμβο (0, 0), το Γ είναι ίσο με: Γ 0,0 = C 2,2 C 2,1 C 2,1 C 2,0 S 2,2 S 2,1 S 2,1 S 2,0, 0.5 (S 2,2 S 2,0 ) και μάλιστα, αν λάβουμε υπόψην την σχέση (3.27), μπορούμε να δούμε ότι: Γ 0,0 = (1,1) (1,0) 0.5 (S 2,2 S 2,0 ). Αντίστοιχα στον κόμβο (2, 1), θα είναι ίσο με: Γ 2,1 = C 4,3 C 4,2 S 4,3 S 4,2 C 4,2 C 4,1 S 4,2 S 4,1 0.5 (S 4,3 S 4,1 ) = (3,2) (3,1) 0.5 (S 4,3 S 4,1 ). Με βάση τα παραδείγματα αυτά βλέπουμε ότι ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του Γ ενός δικαιώματος, πάνω στο διωνυμικό δέντρο, είναι με βάση τη σχέση: Γ (i,j) = i+1,j+1 i+1,j 0.5 (S i+2,j+2 S i+2,j ). (3.29) 62

3.5 Διωνυμικά δέντρα σε δύο διαστάσεις και τιμολόγηση περίπλοκων δικαιωμάτων Εστω δύο μετοχές S 1, S 2 των οποίων η εξέλιξη τη χρονική στιγμή t περιγράφεται από το μοντέλο της Γεωμετρικής Κίνησης Brown. Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι: ds 1 (t) = µ 1 S 1 (t)dt + σ 1 S 1 (t)dw 1 (t) (3.30) ds 2 (t) = µ 2 S 2 (t)dt + σ 2 S 2 (t)dw 2 (t), όπου µ 1, µ 2 η αναμενόμενη απόδοση (ταχύτητα) των τιμών των δύο μετοχών, σ 1, σ 2 οι πτητικότητες των δύο μετοχών, και W 1, W 2 δύο κινήσεις Brown όπου θεωρούμε πως είναι συσχετισμένες μεταξύ τους με κάποιο συντελεστή συσχέτισης ρ. Με άλλα λόγια οι τιμές των δύο μετοχών είναι συσχετισμένες μεταξύ τους με συντελεστή συσχέτισης ρ. Πάνω στις μετοχές S 1 και S 2 γράφουμε ένα Ευρωπαϊκό spread call option, δηλαδή ένα δικαίωμα το οποίο μπορεί να εξασκηθεί στη λήξη του και αν εξασκηθεί, καταβάλλοντας το αντίτιμο Κ (τιμή εξάσκησης του δικαιώματος), εισπράττουμε τη διαφορά των δύο αυτών μετοχών. Η αξία του δικαιώματος αυτού στη λήξη του συμβολαίου, θα ειναι ίση με: max (0, S 1,T S 2,T K). (3.31) Ο σκοπός μας είναι να τιμολογήσουμε το δικαίωμα αυτό. Μέχρι στιγμής, με όσα έχουμε πει στα προηγούμενα, το δικαίωμα αυτό δεν μορεί να χαρακτηριστεί ως ένα απλό δικαίωμα (vanilla) αλλά πρόκειται για ένα πιο περίπλοκο δικαίωμα, στα όρια του εξωτικού δικαιώματος, μιας και είναι γραμμένο σε δύο μετοχές, και όχι σε μία, όπως έχουμε δει μέχρι στιγμής. Για να προσεγγίσουμε αριθμητικά την τιμή του δικαιώματος αυτού, θα βασιστούμε στον αλγόριθμο των Boyle, Envine και Gibbs, οι οποίοι το επέκτειναν το διωνυμικό μοντέλο τιμολόγησης των Cox, Ross και Rubinstein στην περίπτωση που έχουμε περισσότερες απο μία μετοχές. Πιο συγκεκριμένα, στην περίπτωση που έχουμε δύο μετοχές, υπάρχουν τα εξής ενδεχόμενα: Είτε θα κινηθούν και οι δύο ανοδικά, δηλαδή η πρώτη θα πάει στην τιμή S 1 u 1 και η δεύτερη στην τιμή S 2 u 2 με κάποια πιθανότητα π uu. Είτε θα κινηθεί η πρώτη ανοδικά και η δεύτερη καθοδικα, δηλαδή η πρώτη θα πάει στην τιμή S 1 u 1 και η δεύτερη στην τιμή S 2 d 2 με κάποια πιθανότητα π ud. Είτε θα κινηθεί η πρώτη καθοδικά και η δεύτερη ανοδικά, δηλαδή η πρώτη θα πάει στην τιμή S 1 d 1 και η δεύτερη στην τιμή S 2 u 2 με κάποια πιθανότητα π du. Είτε θα κινηθούν και οι δύο καθοδικά, δηλαδή η πρώτη θα πάει στην τιμή S 1 d 1 και η δεύτερη στην τιμή S 2 d 2 με κάποια πιθανότητα π dd, 63

όπου οι αντιστοιχες πιθανότητες μετάβασης, δίνονται από τις σχέσεις: π uu = 1 [ 1 + ρ + ( µ1 dt + µ )] 2 4 σ 1 σ 2 π ud = 1 4 π du = 1 4 [ 1 ρ + ( µ1 dt µ )] 2 σ 1 σ 2 [ 1 ρ + ( dt µ 1 + µ )] 2 σ 1 σ 2 (3.32) π dd = 1 4 Στην περίπτωση αυτή μάλιστα έχουμε ότι [ 1 + ρ + ( dt µ 1 µ )] 2. σ 1 σ 2 µ 1 = r 1 2 σ2 1 µ 2 = r 1 2 σ2 2. (3.33) Μιας και ο αλγόριθμος που περιγράφουμε δεν είναι τίποτε άλλο παρά ένα πολυδιάστατο διωνυμικό δέντρο (στα πλαίσια των CRR ), οι συντελεστές u 1, d 1 και u 2, d 2 δίνονται από u 1 = e σ 1 dt, d 1 = 1/u 1 και u 2 = e σ 2 dt, d 2 = 1/u 2. Παρατήρηση 13 Οι πιθανότητες μετάβασης (3.33) ενδέχεται, για κάποιες τιμές των παραμέτρων, να γίνουν αρνητικές. Κάτι τέτοιο όμως απαγορεύεται. Για να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα αυτό, μια ιδέα είναι να κάνουμε το dt πολύ μικρό. Μιας όμως και το dt ορίζεται ως T/N, για να γίνει το dt πολύ μικρό θα πρέπει να γίνει το N, δηλαδή ο αριθμός των περιόδων που έχουμε πάρει στο διωνυμικό δέντρο, πάρα πολύ μεγάλο. Στην περίπτωση αυτη, οι παραπάνω πιθανότητες τείνουν είτε στην τιμή (1/4)(1 + ρ) > 0 είτε στην τιμή (1/4)(1 ρ) > 0. Σύμφωνα με τον αλγόριθμο αυτό, πάνω στο διωνυμικό δέντρο θεωρούμε τον κόμβο (i, j, k), όπου κατά τα γνωστά το i μας δείχνει πόσο μακριά είμαστε από την κορυφή του δέντρου, και τα j, k μας δείχνουν πόσες φορές έχει κινηθεί ανοδικά η μετοχή S 1 και η S 2, αντίστοιχα. Ενας περιορισμός εδώ είναι ότι j, k < i, όπως άλλωστε εχουμε δει και στο διωνυμικό δέντρο με μία μόνο μετοχή. Η αξία λοιπόν του δικαιώματος στον κόμβο (i, j, k) δίνεται από την σχέση: C i,j,k = e rδt[ π uu C i+1,j+1,k+1 + π ud C i+1,j+1,k + π du C i+1,j,k+1 + π dd C i+1,j,k ] 64

function BinTreeSpread(S10,S20,K,sigma1,sigma2,r,T,N,corr) S10=ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΠΡΩΤΗΣ ΜΕΤΟΧΗΣ ΣΗΜΕΡΑ S20=ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΜΕΤΟΧΗΣ ΣΗΜΕΡΑ Κ=ΤΙΜΗ ΑΣΚΗΣΗΣ ΤΟΥ SPREAD sigma1=μεταβλητοτητα ΜΕΤΟΧΗΣ 1 sigma2=μεταβλητοτητα ΜΕΤΟΧΗΣ 2 r=επιτοκιο Τ=ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ Ν=ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ corr=συσχετιση ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ BROWN dt = T/N; time step m1=r - 0.5*sigma1^2; ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ ΚΑΙ m2=r - 0.5*sigma2^2; ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ puu=0.25*(1+corr+sqrt(dt)*(m1/sigma1 + m2/sigma2)); pud=0.25*(1-corr+sqrt(dt)*(m1/sigma1 - m2/sigma2)); pdu=0.25*(1-corr+sqrt(dt)*(-m1/sigma1 + m2/sigma2)); pdd=0.25*(1+corr+sqrt(dt)*(-m1/sigma1 - m2/sigma2)); u1 = exp(sigma1*sqrt(dt)); ΑΝΟΔΙΚΕΣ ΚΑΙ d1=1/u1; ΚΑΘΟΔΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ u2 = exp(sigma2*sqrt(dt)); ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ d2=1/u2; tree = zeros(n+1,n+1,n+1); preallocate for efficiency for j=0:n for k=0:n ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ SPREAD ΣΤΗ ΛΗΞΗ tree(n+1,j+1,k+1)=max(0,s10*u1^j*d1^(n-j) -... S20*u2^k*d2^(N-k) -K); end end for i=n-1:-1:0 for j=0:i 65

for i=n-1:-1:0 for j=0:i for k=0:i ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ BOYLE-ENVINE-GIBBS tree(i+1,j+1,k+1)=exp(-r*dt)*(puu*tree(i+2,j+2,k+2) +... pud*tree(i+2,j+2,k+1) +... pdu*tree(i+2,j+1,k+2) + pdd*tree(i+2,j+1,k+1)); end end end spread=tree(1,1,1)τιμη ΤΟΥ SPREAD OPTION Παραπάνω βλέπουμε τη συνάρτηση που υπολογίζει την τιμή ενός European call spread. Η υλοποίησή της δεν απέχει πολύ από το υπόδειγμα του διωνυμικού δέντρου για μια μετοχή. Απλώς έχουμε προσθέσει μία νέα διάσταση που αντιστοιχεί στον αριθμό των ανοδικών κινήσεων της δεύτερης μετοχής. Συνοπτικά, ένας αλγόριθμος υλοποίησης είναι ο ακόλουθος: Β1. Δώσε S 1,0, S 2,0, K, σ 1, σ 2, r, T, N και ρ. Β2. Υπολόγισε τα µ 1, µ 2 και τις πιθανότητες μετάβασης, από τις σχέσεις (3.32) και (3.33). Β3. Υπολόγισε την αξία του διακαιώματος στην λήξη (σε Ν περιόδους), ως [ ] C N,j,k = max 0, S 1,0 u j 1 dn j 1 S 2,0 u k 2d N k 2 K. Β4. Υπολόγισε την αξία του δικαιώματος σε κάθε κόμβο (i, j, k) πηγαίνοντας προς τα πίσω στο χρόνο, δηλαδή για i = N 1,..., 0. Β5. Η τιμή του δικαιώματος είναι η τιμή C(0, 0, 0). Παρατήρηση 14 Η παραπάνω μέθοδος παρόλο που δουλέυει ικανοποιητικά είναι πολύ απαιτητική υπολογιστικά, ιδιαίτερα στην περίπτωση που έχουμε ένα δικαίωμα γραμμένο σε παραπάνω από 3 μετοχές. 66

Βιβλιογραφία 1. Α. Ανδρικόπουλος (2008). Αριθμητικές μέθοδοι στην αποτίμηση παραγώγων. Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. 2. Α.Ν Γιαννακόπουλος (2011). Εισαγωγή στα Στοχαστικά Χρηματοοικονομικά, Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. 3. Μ. Μπούτσικας (2004). Μέθοδοι Προσομοίωσης και Υπολογιστικές Στατιστικές Τεχνικές. Σημειώσεις παραδόσεων, Πανεπιστήμιο Πειραιως. 4. Σ. Ξανθόπουλος (2007). Παράγωγα. Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. 5. P. Boyle, J. Envine and S. Gibbs (1989). Numerical Evaluation of Multivariate Contingent Claims, The Review of Financial Studies, 2, 241-250. 6. J. Cox, S. Ross and M. Rubinstein (1979). Option Pricing: A Simplified Approach, Journal of Financial Economics, 7, 229-263. 6. P. Glasserman (2003). Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer-Verlag. 7. J. Hull (2003). Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall, Fifth Edition. 67