ΤΟΠΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Έστω η Δ.Ε. : d du a d d f ΤΟΠΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ () Με και a a(),() f f γνωστές ποσότητες, u u() η άγνωστη μεταβλητή Για την άγνωστη μεταβλητή θεωρούμε την προσέγγιση: n u ()()() c () h j j j L Εφαρμόζοντας την Galrkin μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων έχουμε για κάθε στοιχείο: a b d duh i a f d d d Ολοκληρώνοντας κατά μέρη τελικά προκύπτει η ασθενής μορφή της Μ.Δ.Ε.: a b di duh a i f d i ()() b QB i a QA d d duh QA a, QB a d a du d h b Με αντικατάσταση της () στην παραπάνω εξίσωση τελικά προκύπτει: n j d d j b i a du fd ()() Q Q d d a b j i i b B i a A () a

Η εξίσωση () είναι της μορφής: n j K u F ij j i ή K u F όπου b d d i j Kij b a d, a d d ()() F fd Q Q a Ο πίνακας K και το διάνυσμα F i i i b B i a A ονομάζεται πίνακας συντελεστών (matri cofficint) τοπικό διάνυσμα δεξιού μέλους ( right hand-sid vctor)

Έστω ότι χρησιμοποιούμε γραμμικές συναρτήσεις Lagrang: a (),(), h b a h b h d ()() d, d h d h Ο τοπικός πίνακας K θα είναι ένας πίνακας και το διάνυσμα F ένας πίνακας στήλη : K K K K K b d b όπου d a K a d a d a d d a h h h b d b d a K a d a d a d d a h h h b d b d a K a d a d a d d a h h h b d b d a K a d a d a d d a h h h

a a h h a Τελικά: K a a h h h Για το τοπικό διάνυσμα του δεξιού μέλους ισχύει: F F F όπου h F f d Q Q f d f Q b b b ()() b B a A A a a h h F f d Q Q f d f Q b b a ()() b B a A B a a h Τελικά: F h f QA h QA f h QB f Q B

Έστω ότι χρησιμοποιούμε τετραγωνικές συναρτήσεις Lagrang σε τοπικό Σ.Σ.: d d d (),(),(),, d d d () a b h όπου d d d d h h Ο τοπικός πίνακας K θα είναι ένας πίνακας και το διάνυσμα F ένας πίνακας στήλη : K K K K K K K K K K b d d d d d d K a d a d a d d d d d d h b d d d d d d K a d a d a d d d d d d h b d d d d d d K a d a d a d d d d d d h d d K a d d d h d d K a d K d d h K a d K d d h d d

b d d d d d d K a d a d a d d d d d d h b d d d d d d K a d a d a d d d d d d h K a d K d d h d d d d K a d d d h b d d d d d d d d K a d a d a d d K a d d d d d h d d h F Για το τοπικό διάνυσμα του δεξιού μέλους ισχύει: F F F b h F fd ()()() b QB a QA f d QA a b h F fd ()()() b QB a QA f d a b h F fd ()()() b QB a QA f d Q a

ΣΥΝΘΕΣΗ (ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ) ΣΥΝΟΛΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Έστω ότι επιλέγουμε για την διακριτοποίηση ισομήκη στοιχεία με γραμμικές συναρτήσεις βάσης Lagrang. Σε κάθε στοιχείο ισχύει μια σχέση της μορφής: Conn 4 K K K, K K F K u F όπου F Για την σύνθεση του συνολικού προβλήματος πρέπει να κατασκευάσουμε τον πίνακα συνεκτικότητας (connctivity matri) ο οποίος περιέχει την global αρίθμηση των κόμβων και μας δείχνει για κάθε στοιχείο ποιοι κόμβοι (και επομένως άγνωστοι) συνεισφέρουν στην κατάσκευή του προβλήματος στο συγκεκριμένο στοιχείο. F Για γραμμικά στοιχεία ο πίνακας συνεκτικότητας έχει την μορφή: κοινός κόμβος ου και ου στοιχείου κοινός κόμβος ου και ου στοιχείου Η γραμμή του πίνακα δείχνει τον αριθμό του στοιχείου

Το συνολικό πρόβλημα εκφράζεται από ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων της μορφής: Au B u u u u u 4 Αν τους τοπικούς πίνακες K, F πίνακες σε ποια θέση θα έμπαιναν; ο Στοιχείο K K u F u K K F u u 4 ο Στοιχείο u u K K u F K K u4 F όπου ο πίνακας Α είναι 44, το διάνυσμα Β είναι πίνακας στήλη 4 και το διάνυσμα u περιέχει τις τιμές της άγνωστης μεταβλητής των στοιχείων τους τοποθετούσαμε στους συνολικούς ο Στοιχείο u K K u F K K u F u4

Επομένως, κατασκευάζοντας τον συνολικό πρόβλημα έχουμε: K K u F u K K K K F F K u K K K F F K u K 4 F Conn 4 κοινός κόμβος ου και ου στοιχείου κοινός κόμβος ου και ου στοιχείου Συνεισφορά από ο και ο στοιχείο Συνεισφορά από ο και ο στοιχείο όπου: F fd ()() QB QA fd QB fd a d F fd ()() QB QA fd QA fd a d du du F F f d f d Όμοια: F 4 F f d f d Οι συνοριακοί όροι αλληλοεξουδετερώνονται στους εσωτερικούς κόμβους των στοιχείων και επιβιώνουν μόνο στον ο και στον τελευταίο κόμβο του πλέγματος

Έστω ότι επιλέγουμε για την διακριτοποίηση ισομήκη τετραγωνικά στοιχεία Lagrang: Σε κάθε στοιχείο ισχύει μια σχέση της μορφής: K K K F K u F όπου K K K K, F F K K K F Για τετραγωνικά στοιχεία ο πίνακας συνεκτικότητας έχει την μορφή: Conn 4 5 5 6 7 κοινός κόμβος ου και ου στοιχείου κοινός κόμβος ου και ου στοιχείου Το συνολικό πρόβλημα εκφράζεται από ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων της μορφής: Au B όπου ο πίνακας Α είναι 77, το διάνυσμα Β είναι πίνακας στήλη 7 και το διάνυσμα u (7) περιέχει τις τιμές της άγνωστης μεταβλητής

ο Στοιχείο K K K u F u K K K F K K K u F u4 u 5 u6 u 7 ο Στοιχείο u u K K K u F K K K u4 F K K K u 5 F u6 u 7 ο Στοιχείο u u u u4 K K K u 5 F K K K u6 F K K K u 7 F

Επομένως, κατασκευάζοντας τον συνολικό πρόβλημα έχουμε: K K K u F K K K F K K K K K K u u F F K K K u 4 F K K u K K K K 5 F F K u K K 6 F K u K K 7 F Συνεισφορά από ο και ο στοιχείο Συνεισφορά από ο και ο στοιχείο Οι συνοριακοί όροι αλληλοεξουδετερώνονται στους εσωτερικούς κόμβους των στοιχείων και επιβιώνουν μόνο στον ο και στον τελευταίο κόμβο του πλέγματος Ο συνολικός πίνακας που προκύπτει είναι ένας πίνακας ζώνης με εύρος ζώνης iband=5

ΕΠΙΒΟΛΗ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ Ο συνολικός πίνακας που προκύπτει από την σύνθεση των τοπικών πινάκων σε κάθε στοιχείο δεν αντιστρέφεται αν δεν επιβληθούν οι κατάλληλες οριακές συνθήκες. Οι οριακές συνθήκες μπορεί να είναι: (α) Να γνωρίζουμε την τιμή της άγνωστης μεταβλητής σε κάποιο άκρο (ssntial boundary condition) (β) Να γνωρίζουμε την παραγώγο της άγνωστης μεταβλητής σε κάποιο άκρο (natural boundary condition) Επιβολή ssntial οριακών συνθηκών Όταν γνωρίζουμε την τιμή της μεταβλητής σε κάποιο άκρο τότε δεν γράφουμε την εξίσωση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων που αντιστοιχεί στην θέση αυτή αλλά την αντικαθιστούμε με την ssntial οριακή συνθήκη. Επιβολή natural οριακών συνθηκών Όταν γνωρίζουμε την τιμή της παραγώγου σε κάποιο άκρο τότε την ενσωματώνουμε στο δεξί μέλος της εξίσωσης των πεπερασμένων στοιχείων που αντιστοιχεί στο άκρο αυτό

Παράδειγμα d du Έστω ότι η Δ.Ε. a d d du u( ), c d L f έχει τις παρακάτω οριακές συνθήκες: Για διακριτοποίηση με ισομήκη τετραγωνικά στοιχεία Lagrang προκύπτει ο συνολικός πίνακας της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων: K K K u F K K K F K K K K K K u u F F K K K u 4 F K K u K K K K 5 F F K u K K 6 F K u K K 7 F

Στον ο κόμβο γνωρίζουμε την τιμή της μεταβλητής οπότε και την επιβάλλουμε αντικαθιστώντας την η γραμμή του πίνακα: u K K K u F K K K K K K u F F K K K u4 F K K K K K K u 5 F F K K K u6 F K K K u 7 F Στον τελευταίο κόμβο γνωρίζουμε την τιμή της παραγώγου οπότε την ενσωματώνουμε στον οριακό όρο του δεξιού μέλους: du 7 7 7 F fd ()() 7 QB 5 QA fd QB fd a 5 5 5 d 7 F fd ac 5 7

Οπότε τελικά προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: u K K K u F K K K K K K u F F K K K u4 F K K K K K K u 5 F F K K K u6 F K K K u 7 F ssntial boundary condition natural boundary condition 7 F fd ac 5

ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΠΙΝΑΚΑ ΖΩΝΗΣ Ο συνολικός πίνακας που προκύπτει από την εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων είναι ένας πίνακας ζώνης με εύρος ζώνης iband. Το εύρος ζώνης εξαρτάται από το είδος των στοιχείων που χρησιμοποιούμε και από τον αριθμό των αγνώστων ανά κόμβο. Για να μειωθούν τόσο οι απαιτήσεις σε μνήμη για την αποθήκευση του πίνακα αλλά και για να αποφύγουμε τις πράξεις με τα μηδενικά στοιχεία κατά την αντιστροφή του συνήθως αποθηκεύουμε μόνο τα στοιχεία που περιέχονται μέσα στη ζώνη και χρησιμοποιούμε για την αντιστροφή του κάποια κατάλληλη υπορουτίνα. η περίπτωση Μετασχηματίζουμε τις στήλες του πίνακα, δηλαδή κάθε στοιχείο του full πίνακα αποθηκεύεται στην ίδια γραμμή αλλά σε διαφορετική στήλη σύμφωνα με τον μετασχηματισμό : iband jnw j i όπου i, j η γραμμή και η στήλη του στοιχείου στον full πίνακα αντίστοιχα

K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K Πίνακας (NN) K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K Κύρια διαγώνιος Πίνακας (N iband) iband

η περίπτωση Μετασχηματίζουμε τις γραμμές του πίνακα, δηλαδή κάθε στοιχείο του full πίνακα αποθηκεύεται στην ίδια στήλη αλλά σε διαφορετική γραμμή σύμφωνα με τον μετασχηματισμό : iband inw i j K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K Πίνακας (NN) Κύρια διαγώνιος K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K Πίνακας (iband N)