Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού Ενότητα 8: Θεωρία ορμής - Σχεδίαση ρότορα αιολικής μηχανής οριζόντιου άξονα Γεώργιος Λευθεριώτης, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Σκοποί ενότητας Περιστρεφόμενο απόρρευμα Γεωμετρία ρότορα
Περιεχόμενα ενότητας Περιστρεφόμενο απόρρευμα Γεωμετρία ρότορα 3
Περιστρεφόμενο απόρρευμα (1) P P 1 P A 3 A 1 A A V V 3 V 1 V Θέση ρότορα P 3 V V = ταχύτητα αδιατάρακτου ρευστού Ω= περιστροφική ταχύτητα του ρότορα. Σε άπειρη απόσταση ανάντη του ρότορα η περιστροφική ταχύτητα του ρευστού είναι. Σε άπειρη απόσταση κατάντη του ρότορα η περιστροφική ταχύτητα είναι ω Πάνω στον ρότορα η περιστροφική ταχύτητα είναι ω =1/(+ω)=ω/
Περιστρεφόμενο απόρρευμα () P 3 P P 1 P A 3 A 1 A A V V 3 V 1 V V a = V V 1 V ω α = = Ω ω Ω Θέση ρότορα Εκφράζουν την επίδραση του στοιχείου πτέρυγας στις ταχύτητες ανέμου. Για τις θέσεις 1 και ακριβώς ανάντη και κατάντη του ρότορα, έχουμε από θεώρημα Rankine-Froude: V + V3 V1 = V3 = V1 V Δύναμη Thrust ( ) T = ρv Aa 1 a Συντελεστής δύναμης Thrust T CT = = 4a( 1 a) 1 ρv A
Περιστρεφόμενο απόρρευμα (3) ( ) π ( ) dt = 4ρV a 1 a rdr 1 Δύναμη που ασκεί το ρευστό στον ρότορα Η ροπή που ασκείται στον ρότορα από το ρευστό είναι: d rm M = ( r p) = ( ωr ) dt t rm M = ωr M= rρvaωr 1 t M= ρva 1 α Ωr ω α = ω = α Ω 1 = ( 1 ) = ρva 1 m V V a Ω t ( ) M = ρv 1 a Aα Ωr 3 dm = 4ρVΩα 1 a πr dr A = π rdr ( ) ( )
Περιστρεφόμενο απόρρευμα (4) Η στοιχειώδης ισχύς dp που παράγεται από τον ρότορα πιο συγκεκριμένα από τον ο δακτύλιο του σχήματος πάχους dr δίνεται: Ω r dp = dm Ω= dtv dm Ω= dtv = ( 1) ( ) 1 1 V a ( 1 a) a Ορίζω τον λόγο ταχύτητας ακροπτερυγίου: ΩR λ r λ = = a V R a ( 1 a) ( ) ( ) = α 1 1 λµ α ή λ r α = = α r R µ α α μ: αδιάστατη ακτίνα (μ [, 1]) Σημείωση: Τα λ,μ είναι σταθερές όχι συναρτήσεις των α, α! 1 4Ω r dp = dmω= ρv ( πrdr) a ( 1 a) 3 V 1 3 dp = dmω= ρv πrdr λ rµ a a ( ) 4 ( 1 )
Περιστρεφόμενο απόρρευμα (5) Στοιχειώδης συντελεστής αεροδυναμικής απόδοσης: dp 3 dc p = dc p = 8a ( 1 a) λµ dµ 1 3 ρv πr Για να βελτιώσουμε την απόδοση πρέπει να βελτιώσουμε την ποσότητα α (1-α)!!! ( 1 α) d α da da da = a a = ( 1 a) a = dα da da da da da a ( 1 a) a ( ) ( * ) = = α( 1 α) da da 1 a da λµ = α( 1 α) α( 1 α) da ( 1 α ) Ό : = = µως λ µ α α λµ da da α ( 1 α) = ( 1 α ) λµ da α = da λµ (*)
Περιστρεφόμενο απόρρευμα (6) Από τις (*) προκύπτει: a 1 = ( 1 α ) 1 α λµ = ( 1 )( 1 ) ( 1 α) αλ µ α α α = λµ αλµ = α( 1 α) α α ( 1 α) = ( 1 α ) ( ) 1 α α = 1 α 3α = 1 α opt = 1 3 opt 1 3 α = Συνθήκη βελτιστοποίησης για α
Περιστρεφόμενο απόρρευμα (7) Για το αα ooo προκύπτει: ( 1 α) α α = α ( 1 α) λµ 1 1 1 = λµ a = α 1 3 9 λµ αopt = 3 a = 1 9 λµ Οπότε για το C p 3 dc p = 8a ( 1 a) λµ dµ 1 1 1 αopt = dc p = λµ µ 3 9 λµ 3 1 a = 9 λµ dc = C... C = p p p 16 7 3 8 1 d...
Γεωμετρία ρότορα (1) U=-Ωr Άξονας y: Κατεύθυνση ανέμου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ β W α δ γ V 1 Άξονας x: Κατεύθυνση κίνησης πτερυγίου Ποια η χορδή c και τη γωνία δ ώστε να μεγιστοποιηθεί η ισχύς; Για το ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος ισχύει: dd dl π α + δ + γ = π π aopt + δ + γ = δ = aopt γ α a = opt ( 1 a ) ( 1 a) Ω r + Ωr 1 1 Από τις: tan γ = (3), λ = (4), α opt = (5), a opt = (6), V V 3 9 λµ 3 tan γ = λµ
Γεωμετρία ρότορα () ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ dd β U=-Ωr W α δ γ dl V 1 Οπότε: π 3 1 δ = arctan λµ α + 3λµ Σύγκριση με: π 3 r δ = arctan λ α D R opt Από θεωρία Betz: V1 = V 3 opt Με περιστρ. απορ Χωρίς περιστρ. απορ οπότε η φαινόμενη ταχύτητα ενός στοιχείου πτέρυγας στο όριο Betz θα είναι: 4 w= V + Ω r = V + Ωr 9 ( ) ( ) 1 η γωνία γ στο όριο Betz θα είναι: Ωr Ωr 3 Ωr 3 ΩRr 3 r tan γ = = = = = λ V 1 V V V R R 3
Γεωμετρία ρότορα (3) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΕΜΟΥ dd β U=-Ωr W α δ γ dl V 1 Ο συντελεστής ισχύος της αιολικής μηχανής μεγιστοποιείται αν ισχύει: 16 1 3 dpbetzί= NdP έ στοιχε ου πτ ρυγας ρv ( πrdr) = NdFκιν Ωr 7 16 1 3 1 ρv ( πrdr) = NΩr W CL cosγcdr 7 3 16 πv c = 7 CLNW cosγω ΩR λd = V 8 π R 1 c = 9 CN L λd W cosγ = V 4 1 = V r 3 + λd 9 R W 4 r = + λd V 9 R
Γεωμετρία ρότορα (4) Για να βρούμε τη χορδή c δουλεύουμε ως εξής: r dr Χωρίζουμε την επιφάνεια του ρότορα σε δακτυλίους που ο καθένας περιέχει από ένα στοιχείο πτέρυγας για κάθε πτερύγιο του ρότορα. Με τη παραδοχή ότι οι γειτονικοί δακτύλιοι δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους εφαρμόζουμε τα αποτελέσματα της θεωρίας Betz σε κάθε στοιχείο πτέρυγας ξεχωριστά Ω rv W = V a +Ω r + a W = V a + + a W V ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) V W 4 1 = ( 1 a) + λµ ( 1+ a ) = + λµ 1+ V 9 9 λµ Ω
Γεωμετρία ρότορα (5) Ο συντελεστής ισχύος της αιολικής μηχανής μεγιστοποιείται αν ισχύει το όριο Betz σε κάθε στοιχείο πτέρυγας: r dr Ω 16 1 3 dpbetzί= NdP έ στοιχε ουό πτ ρυγας ρv ( π rdr) = NdFκιν Ωr που 7 1 dfκιν = dl cosγ ddsin γ = ρw ( CLcosγ CDsin γ) cdr df εξαρτάται τόσο από την άντωση όσο και από την οπισθέλκουσα Εφόσον στην παρούσα ανάλυση αναφερόμαστε στην ιδανική κατάσταση (δηλαδή στο όριο Betz) η επίδραση της dd δεν πρέπει να ληφθεί υπόψη. Οπότε: 1 dfκιν = dl cosγ = ρw CL cosγcdr 3 16 πv Άρα: c = ( 7) 7 cosγω C NW L
Γεωμετρία ρότορα (6) r dr Κάνοντας τις εξής διορθώσεις: Ω Ω rv W = V a + + a W V ( 1 ) ( 1 ) V ( 1 a) λµ ( 1 a ) = + + Προκύπτει: W V 4 1 λµ 1 9 9 λµ = + + ( 7) ( 8) c = 8 π R 1 9 CLλN 4 1 + λµ 1 9 + 9 λµ
Γεωμετρία ρότορα (7) Διόρθωση οπισθέλκουσας r dr Ω Μπορούμε να εισάγουμε διορθώσεις στον υπολογισμό του προφίλ του πτερυγίου και του συντελεστή ισχύος Cp αν λάβουμε υπόψη τη διόρθωση της οπισθέλκουσας. Πρώτα βρίσκουμε τη διόρθωση για τη χορδή: dp Betzί = NdP... έ στοιχε ου πτ ρυγας 3 16 πv 1 c = 7 CLNW cosγω CD 1 tan γ C c = 16 πv 3 7 CLNW cos γω L c = 1 c 3 CD 1CD 1 1 λµ C 3 C λµ L L 3 1 tan γ = λµ 1+ 9 λµ
Γεωμετρία ρότορα (8) Η οπισθέλκουσα δεν έχει επίδραση στη γωνία στρέψης της πτέρυγας r dr καθώς δεν προκαλεί μεταβολές ούτε στις Ω φαινόμενες ταχύτητες ούτε στη γωνία προσβολής. Η D επιδρά όμως στην παραγόμενη ισχύ η οποία δεν μπορεί παρά να είναι μικρότερη από εκείνη της ιδανικής κατάστασης. 1 dp = NdFκιν Ωr dp = NΩr ρw ( CLcosγ CDsin γ) cdr 1 C D NΩr W CL cosγcdr 1 tan γ CL 1 3 CD 1CD 1 dpbetz = NΩ r CL cosγ cdr dp = dpbetz 1 λµ CL 3 CL λµ 3 1 tan γ = λµ 1+ 9 λµ
Γεωμετρία ρότορα (9) 3CD 1CD 1 dp = dpbetz 1 λµ CL 3 CL λµ Που ισχύει για κάθε στοιχείο πτέρυγας. r dr Ω Για την απλούστερη περίπτωση: Για όλο το μήκος πτέρυγας προκύπτει: Υπολογισμός κυκλοφορίας στα πτερύγια: CL ct και δεδομένου: C = 16 1 3 dpbetz = ρv ( πrdr) 7 D R CD CD 1 P = dp P = PBetz 1 λ C 3 L CL λ
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1..
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Λευθεριώτης Γεώργιος, 15. «Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού, Ενότητα: Θεωρία Ορμής - Σχεδίαση ρότορα αιολικής μηχανής οριζόντιου άξονα» Έκδοση: 1.. Πάτρα 15. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/units/?course=phy1954&id=49
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων