Οι δίσκοι και η ροπή της τριβής

Οι δίσκοι και η ροπή της τριβής Οριζόντιος οµογενής δίσκος (1) µάζας 1 =1kg, και ακτίνας R=, περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω 1 =10rad/s κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού. εύτερος, οµογενής δίσκος () µάζας =0,5kg και ίδιας ακτίνας µε τον πρώτο περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω =rad/s µε φορά αντίθετη από αυτήν της κίνησης των δεικτών του ρολογιού, γύρω από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα και των δύο δίσκων και είναι κάθετος σε αυτούς. Κάποια στιγµή ο δίσκος 1 αφήνεται πάνω στο δίσκο, οπότε λόγω τριβών οι δύο δίσκοι αποκτούν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. i) Να υπολογιστούν οι απώλειες ενέργειας του συστήµατος. ii) Από τη στιγµή που οι δίσκοι έρχονται σε επαφή, µέχρι να αποκτήσουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα πέρασε χρόνος t=s. Να υπολογίσετε το µέτρο της ροπής της τριβής που ασκήθηκε σε κάθε δίσκο στο χρονικό διάστηµα αυτό, αν υποτεθεί ότι είναι σταθερή. iii) Να βρεθεί ποιος τροχός στιγµιαία θα µηδενίσει την γωνιακή του ταχύτητα και ποια χρονική στιγµή θα συµβεί αυτό µετά την επαφή των δίσκων. iv) Να γίνουν τα διαγράµµατα της γωνιακής ταχύτητας και της στροφορµής του κάθε δίσκου σε συνάρτηση µε το χρόνο από τη στιγµή t 1 =0s εως t =0,s θεωρώντας ότι η επαφή των δίσκων ξεκινά την χρονική στιγµή t 1 =0s. v) Να βρεθεί ο αριθµός των στροφών που θα εκτελέσει ο κάθε τροχός ανεξαρτήτου περιστροφής για όσο χρόνο διαρκεί η σχετική ολίσθηση των δύο τροχών. vi) Να βρεθεί το έργο της ροπής της τριβής για κάθε δίσκο. ίνεται η ροπή αδράνειας ενός δίσκου µάζας και ακτίνας R ως προς άξονα που είναι 1 κάθετος σε αυτόν και διέρχεται από το κέντρο µάζας του, είναι I c = R Απάντηση i) Εφαρµόζουµε τον κανόνα του δεξιού χεριού οπότε η στροφορµή του πρώτου δίσκου είναι προς τα κάτω και του δεύτερου προς τα πάνω. 1 1 ( ) 1=I1 ω1 1= 1R ω1 = 1 10=0,05 kg / s 1 1 ( ) =I ω = R ω = 0,5 =0,005 kg / s Στο σύστηµα των δύο δίσκων δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές, συνεπώς η στροφορµή του θα διατηρείται σταθερή. Αρχικά το σύστηµα αποτελείται από δύο ξεχωριστά τελικά σώµατα µε αντίρροπες στροφορµές, και αρχικά (+) τελικά από ένα συσσωµάτωµα που κινείται µε κοινή γωνιακή ταχύτητα. Θα εφαρµόσουµε την αρχή διατήρησης της 1 ω 1 ω 1 τελ, Συσ

στροφορµής σε σύστηµα σωµάτων. Θεωρούµε θετική την στροφορµή του δίσκου 1 = 0 = τ εξ. αρχ.συσ τελ.συσ Ιω Ιω ( ) = Ι +Ι ω 1 1 1 1 1 1R ω1 R ω Ιω 1 1 Ιω ω 1 1 ω 1 10 0,5 ω= = = = = 6rad/s ( Ι 1+Ι ) 1 1 1 1 0,5 1R + R + + Το γεγονός ότι η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος έχει θετικό πρόσηµο σηµαίνει ότι το συσσωµάτωµα στρέφεται κατά την φορά του δίσκου (1) Από την διατήρηση της ενέργειας προκύπτει ότι οι απώλειες που θα παραχθούν ισούνται µε την ελάττωση της κινητικής ενέργειας περιστροφής του συστήµατος. E 1 1 1 1 απωλ =Kαρχ.ΣΥΣ K τελ.συσ = I1ω1 + Iω I1 ω I ω 1 1 1 1 1 1 1 1 E απωλ= 1( ) 10 + 0,5( ) 1( ) 6 0,5( ) 6 1 0, 0 0,36 8 0, 48 + = =J 4 4 4 4 4 ii) Η Γενικευµένη διατύπωση του θεµελιώδους νόµου της στροφικής κίνησης για τον d δίσκο (1) είναι: τ=. Αν όµως η ροπή υποτεθεί σταθερή γράφεται και dt 1 1 1 1 ( ) 1R ω 1R ω1 1( ) 6 1( ) 10 1τελ. + 1αρχ. τ 1= = = t t = t 0,03 0,05 = = 0, Ν Εφαρµόζοντας τις ίδιες σχέσεις για τον δεύτερο δίσκο προκύπτει 1 1 ( ) R ω 1 1 R ω 0,5( ) 6 0,5( ) τελ. + + αρχ. τ = = = t t = t 0,015+0,005 = = 0,Ν Το δεύτερο αποτέλεσµα ήταν αναµενόµενο καθώς οι δυνάµεις που ασκούνται (και συνεπώς και οι ροπές που προκαλούν) είναι ζευγάρια δράσης-αντίδρασης.

iii) Από το i) ερώτηµα προκύπτει ότι ο δίσκος (1) θα συνεχίσει να στρέφεται δεξιόστροφα ενώ ο δίσκος () έχει αλλάξει φορά περιστροφής που σηµαίνει ότι κάποια στιγµή έχει µηδενιστεί η ταχύτητά του για να αλλάξει η φορά περιστροφής του. Η ροπή που δέχεται ο δίσκος (1) συνεχώς τον επιβραδύνει έως ότου αποκτήσει κοινή γωνιακή ταχύτητα µε τον τροχό (). Από εκεί και µετά µηδενίζεται η ροπή µιας και οι δύο τροχοί στρέφονται σαν ένα σώµα µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Αντιθέτως η ροπή που δέχεται ο δίσκος () αρχικά τον επιβραδύνει, κάποια στιγµή µηδενίζεται στιγµιαία η ταχύτητά του και στη συνέχεια τον επιταχύνει µε αντίθετη φορά περιστροφής από ότι αρχικά είχε έως ότου αποκτήσει κοινή γωνιακή ταχύτητα µε τον δίσκο (1). Από εκεί και µετά η ροπή αυτή µηδενίζεται, παύει η σχετική ολίσθηση των δύο δίσκων και οι δύο δίσκοι στρέφονται σαν ένα σώµα. α α γ, dt αγ, αγ, αγ, 80 r / s γ, dω = ω 6 ( ) = = = t = σταθ. ω = ω0, + α, t ω = + 80 t S. I. γ ω = 0 0= + 80 t t = 0, 05s 1 1 Ο δίσκος () θα σταµατήσει στιγµιαία να στρέφεται 0,05s µετά τη στιγµή που έρθουν σε επαφή οι δύο δίσκοι. Έτσι αν η επαφή ξεκίνησε την t 1 =0s ο δίσκος θα σταµατήσει στιγµιαία την χρονική στιγµή t*=0,05s. iv) Μέχρι πριν έρθουν σε επαφή οι δίσκοι οι γωνιακές ταχύτητες είναι σταθερές. Τη στιγµή t 1 =0s που έρχονται σε επαφή και µέχρι να αποκτήσουν κοινή γωνιακή ταχύτητα η γωνιακή ταχύτητα του κάθε δίσκου και η στροφορµή του µεταβάλλονται γραµµικά διότι δέχονται σταθερές ροπές. Αυτό συµβαίνει από t 1 =0s έως t=s. Από εκεί και µετά η γωνιακή ταχύτητα είναι ίδια και οι στροφορµές για κάθε δίσκο σταθερές. Στο χρονικό διάστηµα που υπάρχει σχετική ολίσθηση προκύπτουν: dω α ( ) γ,1 = + ω 6 10 dt αγ,1 = αγ,1 = αγ,1 = 40 r / s t αγ,1 = σταθ. ω = ω + α t ω = 10 40 t ω = 10 40t S.I. 1 γ,1 1 1 = I ω = I ( ω + α t) = 0, 005(10 40 t) = 0, 05 0, t S. I. 1 1 1 1 1 γ,1 1 1 = I ω = I ( ω + α t) = 0, 005( + 80 t) = 0, 005+ 0, t S. I. 0, γ, 3

t=0s ίσκος 1. ω 1 =10r/s και 1 =0,05 kg /s ίσκος. ω = r/s και = 0,005 kg /s (0 0.1)s ίσκος 1. ω 1= 10 40t S.I. και 1 = 0, 05 0, t S.I. ίσκος. ω = + 80t S.I. και = 0, 005+ 0, t S.I. (0.1 0.)s ίσκος 1. ω 1 =6r/s και 1 =0,03 kg /s ίσκος. ω =6r/s και =0,015 kg /s ω(r/s) 10 9 1 (kg /s) 0.05 1 6 0.03 0.015 0 0, 0,05 t(s) 0 0,05 0, 0.005 t(s) v) Από το εµβαδό του διαγράµµατος της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο θα βρούµε τη γωνιακή µετατόπιση θ του κάθε δίσκου. Για το δίσκο 1. θ (0-)s = Ε τραπ. = (10+6)/=1,6/=0,8rad N 1 =θ/π=0,4/π στροφές Για το δίσκο. θ (0-)s = θ (0-0,05)s + θ (0,05-)s = E τριγ,(0-0,05)s + E τριγ,(0,05-)s = -0,05 +0,5 =0,5rad N =θ/π = 5/π στροφές vi) Για κάθε δίσκο εφαρµόζουµε το θεώρηµα έργου ενέργειας. Για το δίσκο 1. Κ 1 1 1 1, τελ Κ 1, αρχ = wτ 1 I1ω I1ω1 = wτ 1 I1( ω ω1 ) = wτ 1 4

1 wτ 1= 0,005 ( 6 10 ) wτ 1= 0,005 ( 64) wτ 1= 6 J Συνολικά ο δίσκος 1 χάνει 6J τα οποία γίνονται απώλειες και αύξηση κινητικής ενέργειας στο δίσκο. Για το δίσκο. 1 1 1 Κ, τελ Κ, αρχ = wτ Iω Iω = wτ I( ω ω) = wτ 1 wτ = 0,005 ( 6 ) wτ = 0,04 J Συνολικά ο δίσκος κερδίζει 0,04J µέσω του έργου της ροπής τ τα οποία γίνονται αύξηση της κινητικής του ενέργειας µε αποτέλεσµα η τελική κινητική ενέργειά του να γίνει Κ,τελ =0,45J. (βλ. σχόλιο 4) Σχόλια 1. Στο iii) ερώτηµα θα µπορούσαµε να απαντήσουµε και ως εξής: Η στροφορµή του συστήµατος κάθε στιγµή είναι σταθερή και ίση µε ΣΥΣ =0,045kg /s µε φορά προς τα κάτω. Αν µηδενιστεί πρώτα η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου (1) ενώ ο δεύτερος συνεχίσει να στρέφεται αριστερόστροφα θα συµβεί το εξής: Η στροφορµή του δίσκου (1) µηδενίζεται και η στροφορµή του συστήµατος οφείλεται µόνο στη στροφορµή του δίσκου () η οποία θα είναι προς τα πάνω. Από τη διατήρηση της στροφορµής καταλήγουµε σε άτοπο. = Ιω Ιω = Ιω Ι ω Ιω Ιω = Ι ω αρχ.συσ τελ.συσ 1 1 1 1 0, 045= Ι ω άτοπο 1 1. Η εξίσωση της στροφορµής θα µπορούσε να εξαχθεί από τον γενικευµένο νόµο του θεµελιώδους νόµου της στροφικής κίνησης. d Σ τ = dt Σ τ = =Σ τ t αρχ =Σ τ t = αρχ +Σ τ t t Σ τ = σταθ. Για παράδειγµα για το δίσκο προκύπτει: = +Στ t = I ω +Στ t = 0.005( 5) + 0, 5 t = 0, 015+ 0, 5 t S. I.,0,0 3. Στο v) ερώτηµα θα µπορούσαµε να βρούµε αναλυτικά µέσω εξισώσεων τη γωνία στροφής για κάθε δίσκο. Για το δίσκο 1. θ (0 )s =ω t+ ½ α γ,1 t θ (0 )s =10 t 40t Για t=s θ (0 )s =10 0 = 1 0, =0,8rad 5

Χρειάζεται προσοχή στο δεύτερο δίσκο γιατί ο δίσκος αλλάζει φορά περιστροφής. Παρόλο που η εξίσωση της ταχύτητας και της γωνιακής µετατόπισης που έχει γραφεί πιο κάτω ισχύει για όλο το κοµµάτι της κίνησης, για t=s θα πάρουµε τη γωνιακή µετατόπιση αλγεβρικά και όχι τη γωνία στροφής ανεξαρτήτου φορά περιστροφής. Για το δίσκο. θ (0 )s =ω 0, t+ ½ α γ, t θ (0 )s = t +40 t Για t=s θ (0 )s = +40 = 0,+0,4 =0,rad Για το λόγο αυτό θα πρέπει να σπάσουµε το κοµµάτι της κίνησης: Aπό (0 0,05)s θ (0 0,05)s =ω 0, t+ ½ α γ, t θ (0 0,05)s = t +40 t για t*=0,05s θ (0 0,05)s = 0,05 +40 0,5 = 0,05rad και Για το τµήµα της κίνησης από (0,05 )s ισχύει η εξίσωση θ (0,05 )s =½ α γ, (t 0,05) για t=s θ (0,05 )s =40( 0,05) = 0,5rad 4. Από ενεργειακής άποψης, το σύστηµα είχε αρχικά συνολική ενέργεια 0,55J. Ο δίσκος 1 είχε κινητική ενέργεια 0,5J και έχασε συνολικά 6J µέσω του έργου της ροπής της τριβής τ Τ1. Έτσι του µένουν 0,09J ως τελική κινητική ενέργεια. Ο δίσκος είχε αρχική κινητική ενέργεια 0,005J και µέσω του έργου της ροπής τ Τ κερδίζει 0,04J και η τελική του κινητική ενέργεια γίνεται 0,045J. Στο τέλος η ενέργεια του συστήµατος είναι Ε τελ = 0,09J +0,045J=35J Αναλυτικά οι ενεργειακοί µετασχηµατισµοί έχουν ως εξής: Στο δίσκο. Στο επιβραδυνόµενο τµήµα της κίνησης του (0 0.05)s η ροπή της τριβής τον επιβραδύνει και του αφαιρεί όλη την ενέργεια που είχε δηλ. όση η αρχική κινητική του ενέργεια. Αριθµητικά είναι ίση µε w τ = τ θ (0-0,05)s = 0, 0,05= 0,005J. Το ποσό αυτό είναι όλο απώλειες. Από τη στιγµή που σταµατά και µετά στο διάστηµα (0.05 0.1)s η ροπή της τριβής επιταχύνει τον δίσκο προσφέροντας σε αυτόν ενέργεια ίση µε w τ = τ θ (0,05-)s =0, 0,5= 0,045J. Το ποσό αυτό το κάνει κινητική ενέργεια και µεταβιβάζεται από τον δίσκο 1 στον δίσκο µέσω του έργου της ροπής του τ. 6

Στο δίσκο 1. Μέχρι τη στιγµή 0,05s που µηδενίζεται η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου, το έργο της ροπής της τριβής για τον δίσκο 1 προκύπτει από το ΘΜΚΕ ίσο µε ω 1 = 10 40 0, 05= 9 r / s * 1 1 1 K1 Κ 1, αρχ = wτ 1 I1ω 1 I1ω1 = wτ 1 I1( ω 1 ω1 ) = wτ 1 1 wτ 1= 0,005 ( 9 10 ) wτ 1= 0,005 ( 19) wτ 1= 0,0475 J Το ποσό αυτό είναι όλο απώλειες. Από τη στιγµή 0,05s έως την στιγµή s το έργο της ροπής της τριβής για τον δίσκο 1 προκύπτει από το ΘΜΚΕ ίσο µε * 1 1 1 Κ1, τελ Κ 1 = wτ 1 I1ω I1ω 1 = wτ 1 I1( ω ω 1 ) = w τ1 1 w τ1= 0,005 ( 6 9 ) w τ1= 15 J Το έργο αυτό δεν είναι όλο απώλειες. Ένα τµήµα του µεταβιβάζεται στο δίσκο και το υπόλοιπο είναι απώλειες. Σχηµατικά Ε αρχ =0,55J K 1, =0,5J K, =0,005J (0 0,05)s (0 0,05)s w τ1 =Q 1 = 0,0475J K* 1, =0,05J w τ =Q = 0,005J K*, =0J (0,05 )s (0,05 )s w τ1 = 15J K 1,τελ = 0,09J w τ =K,τελ = 0,045J Q 1 = 0,0675J Προσφορά ενέργειας στον µέσω του w τ ίσο µε 0,045J Χ. Αγριόδηµας chagriodias@yahoo.gr chagriodias@gail.co 7