Υπολογιστική Γεωμετρία

Υπολογιστική Γεωμετρία 1ο Μέρος: Κυρτότητα(γ) Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εαρ.2015 Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 1/ 26

Outline 1 Δυϊσμός Απλή Πόλωση Γενίκευση της Πόλωσης 2 Γραμμική βελτιστοποίηση/ ΓΠ Εισαγωγή Αλγόριθμοι Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 2/ 26

Δυϊσμός Ορισμός Δυϊσμός στο επίπεδο είναι μια αντιστοίχηση σημείων με ευθείες τ.ώ. ένασημείο pαντιστοιχείταιστημοναδικήευθεία p, μιαευθεία hαντιστοιχείταιστομοναδικόσημείο h καιισχύει (p ) = p, (h ) = h. Επιπλέονμπορείναισχύει p h h p. Παρακάτω θα δούμε μετασχηματισμούς σημείων σε ευθείες και τούμπαλιν που ικανοποιούν τον ορισμό. Σε γενική διάσταση, πρόκειται για αντιστοίχηση σημείων και υπερεπιπέδων. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 3/ 26

Απλή Πόλωση Ορισμός(Απλή Πόλωση) Εστω O η αρχή των αξόνων. Ορίζουμε 1-1 αντιστοιχία μεταξύ p R d {O}και(υπερ)επιπέδου p R d πουδενπερνάαπότο O: p := {x R d : p x = 1}. Επιπλέον,τοπολικόυπερεπιπέδου h : O / h,είναιτοσημείο h R d {0}: h y = 1, y h. Λήμμα Στοεπίπεδο, h 0 0διότι O h,άρα: p = (p 1,p 2 ) p : p 1 x +p 2 y = 1, h : h 1 x +h 2 y = h 0 h = (h 1 /h 0,h 2 /h 0 ). Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 4/ 26

Παράδειγμα Ι Για p 1 = (p 1,0)ηp 1 : x = 1/p 1είναικάθετηστον x-άξοναστο (1/p 1,0). Για q = (0,p 2 ),ηq : y = 1/p 2 είναικάθετηστον y-άξοναστο (0,1/p 2 ). Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 5/ 26

Παράδειγμα ΙΙ Για p = (p 1,p 1 ),ηp περιέχειτα (x,y) : xp 1 +yp 1 = 1,δηλ.κάθετη στηνευθεία x = yστο (1/2p 1,1/2p 2 ). Παράδειγμαγια p = (1,1): Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 6/ 26

Παράδειγμα ΙΙΙ Εστωηευθεία h : 3x y 2 = 0.Αυτήαντιστοιχείστοσημείο h = ( 3 2, 1 2 )καιαυτόστηνευθεία h : 3 2 x 1 2 y = 1. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 7/ 26

Ιδιότητες της Απλής Πόλωσης Λήμμα Για το μετασχηματισμό απλής πόλωσης ισχύει: (p ) = p,(h ) = h,άραηπόλωσηαποτελείμετασχηματισμό δυϊσμού, p h h p, p ημιχώροτου hπουπεριλαμβάνειτο Oανν h αντίστοιχο ημιχώροτου p. Απόδειξη. Στο επίπεδο: p = (p 1,p 2 ) p : p 1 x +p 2 y = 1 p = (p 1,p 2 ), h : h 1 x +h 2 y +h 0 = 0 h = ( h 1 h 0, h 2 h 0 ) h : h 1 h 0 x + h 2 h 0 y = 1. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 8/ 26

ΚΠ Θεώρημα Ουπολογισμόςτηςτομής nημιχώρωνστον R d είναιυπολογιστικά ισοδύναμοςμετοκπ nσημείων R d. Απόδ. Δυϊσμός μεταξύ κορυφών και ακμών άνω περιβλήματος σημείων και μη φραγμένου πολυγώνου που ορίζεται ως τομή ημιεπιπέδων: p 1 p i h 1 h 2 p i h 1 h 2 p 1 p 1 p 2 h h p i p 1 p 2 Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 9/ 26

Γενίκευση σε ημιχώρους Ορισμός p # =Δυϊκόσημείου p =ημιχώροςτου p,πουπεριλαμβάνει Oστον δυϊκό χώρο: p # := {x R d : x p 1}. P # =Δυϊκόσυνόλουσημείων P R d : P # := {x R d : x p 1, p P} = p P p #. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 11/ 26

Παράδειγμα Γιατο p 1 = (2,0)ηευθεία p1 είναιηp 1 : x = 1 2,ενώγιατο p = (1 2, 1 2 )η ευθεία p είναιηp : 1 2 x + 1 2y = 1πουπερνάαπότο (1,1).Τα ημιεπίπεδα p #,p # 1 είναιπροςτααριστεράτωναντίστοιχωνευθειών.το μηφραγμένοπολύγωνο {p 1,p} # = p # 1 p# σημειώνεταιμετην καμπύλη γραμμή. p# p p p1# p 1 p 1 Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 12/ 26

Ιδιότητες Γενικευμένης Πόλωσης Λήμμα p 1,...,p n οικορυφέςτου P p i ταυπερεπίπεδατωνεδρώντου P # : P =ΚΠ(p 1,...,p n ) P # = i p # i. h 1,...,h m υπερεπίπεδαεδρώντου P : O P h i οικορυφέςτου P # : P = i h i ( 1) P # =ΚΠ(h # 1,...,h# m ), μεκορυφέςτα h i,όπου h i( 1) := {x R d : x h i 1}. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 13/ 26

Συνέπειες Θεώρημα Ουπολογισμόςτηςτομής nημιχώρωνστον R d είναιυπολογιστικά ισοδύναμοςμετονυπολογισμόκπ nσημείων R d. Πόρισμα Ο υπολογισμός του γράφου των κορυφών πολυέδρου, το οποίο δίνεται ως τομή nημιχώρωνστο R d,έχειπολυπλοκότητα Ω(nlogn+n d/2 ). Οι αλγόριθμοι υπολογισμού του ΚΠd, για n δεδομένα σημεία, εφαρμόζουν στον υπολογισμό του γράφου των κορυφών από την τομή n ημιχώρων. Θεώρημα(Minkowski-Weyl) ΗαυστηρήισοδυναμίαπρέπειναλάβειυπόψηπωςτοΚΠσημείωνείναι φραγμένο ενώ η τομή ημιχώρων δύναται να είναι μη-φραγμένη. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 14/ 26

Ασκήσεις Άσκηση Ποιο είναι το πολικό αντικείμενο μιας σφαίρας; Υπό ποιες συνθήκες η πόλωση της σφαίρας ταυτίζεται με την αρχική σφαίρα; Άσκηση Εστωπολύεδρο P R d και b P Bγιαεγγεγραμμένηκαι περιγεγραμμένησφαίρα bκαι B.Τότεδείξτεπως B P b,όπου B,b ηεγγεγραμμένηκαιπεριγεγραμμένησφαίρατου P,αντίστοιχα. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 15/ 26

Γραμμική βελτιστοποίηση/ ΓΠ Ορισμός(Προβλήματος) Το πρόβλημα της ΓΒ ορίζεται σε(γεωμετρικο) χώρο d διαστάσεων: Υπάρχουνάγνωστεςποσότητες x 1,...,x d. Δεδομένα a i,j R: i = 1,...,n,j = 1,...,d,ορίζουν nγραμμικές εξισώσεις ή ανισότητες, δηλ. περιορισμούς x 1 a i,1 + +x d a i,d i b i, i {<,,=,,>}, i = 1,...,n. Αντικειμενική συνάρτηση f(x 1,...,x d ) = x 1 c 1 + +x d c d Ζητείταισημείο x R d,πουικανοποιείτους nπεριορισμούςκαι ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 17/ 26

Παράδειγμα Σχήμα: Τρισδιάστατο«εφικτό» πολύεδρο(που ορίζεται από τους περιορισμούς) και υπολογισμός βέλτιστης κορυφής(με Simplex). Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 18/ 26

Παράδειγμα 8 περιορισμοί ανισοτήτων και συνάρτηση βελτιστοποίησης [Καρασούλου]: x 1 +x 2 5 x 1 +4x 2 45 2x 1 +x 2 27 3x 1 4x 2 24 x 3 4 x 1,x 2,x 3 0 maxf = x 1 +x 2 +x 3 minf = x 1 x 2 x 3. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 19/ 26

Ιδιότητες Ορισμός Εφικτή περιοχή = σύνολο σημείων: ικανοποιούν τους περιορισμούς Γραμμικοί περιορισμοί εφικτή περιοχή = τομή κλειστών ημιχώρων, ανοικτών ημιχώρων κ υπερεπιπέδων. Εφικτή περιοχή = πολύεδρο, όχι απαραίτητα φραγμένο. Περιορισμοί εφικτοί/μη ανν εφικτή περιοχή μη/κενή. Πρόβλημα μη φραγμένο ανν φραγμένη λύση, δηλ. βέλτιση τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ±. Αν υπάρχει βέλτιστη λύση και η Αντικειμενική συνάρτηση αρκετά γενική Μοναδική βέλτιστη λύση: Κορυφή πολυέδρου εφικτής περιοχής. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 20/ 26

Simplex Αλγόριθμος Simplex[Dantzig 63] Βρίσκει κορυφή της εφικτής περιοχής, κινείται προς κορυφή με μικρότερη τιμή για τη συνάρτηση ελαχιστοποίησης. καλύτερη γειτονική κορυφή βρέθηκε βέλτιστο. Χείριστη περίπτωση: εκθετικός ως προς d λόγω πολυπλοκότητας εφικτής περιοχής, από θεώρημα MacMullen για πολύεδρο n εδρών, πολυωνυμικός ως προς n. Δυϊσμός: εκθετικός ως προς n, πολυωνυμικός ως προς d. Στην πράξη είναι«συνήθως» ταχύς. Ανοικτό πρόβλημα η αναμενόμενη πολυπλοκότητα. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 22/ 26

Πολυωνυμικοί αλγόριθμοι (Ασθενώς) πολυωνυμικοί δηλ. ως προς d, n, bitsize. Ελλειψοειδής[Khachiyan 79] Γενική αναπαράσταση εφικτής περιοχής, ακόμα και μέσω Μαντείου(membership oracle). Υπάρχει φράγμα σε συνάρτηση της ακτίνας της περιγεγραμμένης και της εγγεγραμμένης σφαίρας που αποφεύγει το bitsize. Εσωτερικών σημείων[karmarkar 84] Ταχύτερος. Αναπαράσταση εισόδου ως τομή ημιχώρων. Ανοικτό ισχυρά πολυωνυμικός αλγόριθμος; δηλ. ως προς d, n; Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 23/ 26

Μια σταθερή παράμετρος Αυξητικός αλγόριθμος [Megiddo 84] Αυξητικόςγεωμετρικός = O(n),για d = O(1),εκθετικόςωςπρος d (βλ. παρακάτω). ΟΔυϊσμόςδίνει: O(d),αν n = O(1). Απλούστερος πιθανοκρατικός = O(d! n) [Seidel 91]. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 24/ 26

Ακραία σημεία ΚΠ Αναγωγή σε ΓΒ Σημείο p j ειναιεσωτερικότουκπ(p 1,...,p j 1,p j+1,...,p n )αννείναι κυρτός συνδυασμός τους, δηλ. ανν λ i 0 : p j = λ i p i, λ i = 1. i j Πρόκειταιγια n 1ανισότητεςκαι d +1εξισώσεις. Πόρισμα Το παραπανω είναι ένα πρόβλημα ΓΒ(ερώτημα αν η εφικτή περιοχή ειναι κενή ή όχι). Άρα υπάρχει(ασθενώς) πολυωνυμικός αλγόριθμος για τονυπολογισμότωνακραίωνσημείωνσυνόλου p 1,...,p n R d. i j Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 25/ 26

Αυξητικός Τρειςθέσειςτουτρέχοντοςβέλτιστου x i 1 ωςπροςτονέοπεριορισμό H i (εκτόςγραμμοσκιασμένου),όπου x i τονέοβέλτιστο: x i 1 x i 1 = x i x i 1 = x i x i H i H i H i Η μεσαία περίπτωση είναι εκφυλισμένη. Σε όλες τις περιπτώσεις η νέα εφικτή περιοχή είναι γνήσιο υποσύνολο της τρέχουσας. Γιάννης Εμίρης (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Υπολογιστική Γεωμετρία Πανεπιστήμιο Αθηνών) Εαρ.2015 26/ 26