Φυσική των Ανεμογεννητριών

Φυσική των Ανεμογεννητριών Από την καθημερινή μας εμπειρία γνωρίζουμε ότι ο άνεμος σε ακραίες περιπτώσεις μπορεί να προκαλέσει σημαντικές υλικές φθορές ή να μετακινήσει τεράστιες αέριες ή θαλάσσιες μάζες και άρα περιέχει μέσα του μια ποσότητα ισχύος την οποία μπορεί να αποδώσει σε μια ανεμογεννήτρια. Συνοπτικά θα παρουσιαστούν τα εξής σε αυτή την ενότητα: Πρώτα θα μελετήσουμε τις σημαντικές παραμέτρους του ανέμου. Εφόσον ο αέρας είναι ρευστό, θα περιγράφεται από την πυκνότητά του ρ και όπως γνωρίζουμε θα κινείται και με κάποια ταχύτητα v. Επίσης θα βρίσκεται σε κάποια θερμοκρασία Τ (σε Κέλβιν) και υπό κάποια πίεση Ρ. Στην συνέχεια, αφού κάνουμε μια μικρή επανάληψη σε κάποιες βασικές έννοιες της ρευστομηχανικής, θα δανειστούμε αυτές τις έννοιες και θα αναπτύξουμε μια θεωρία γνωστή ως η "θεωρία της αξονικής ορμής" για να υπολογίσουμε την ισχύ που περιέχει ο κινούμενος αέρας, δηλαδή ο άνεμος, αλλά και τη δύναμη και τη ροπή που ασκεί στα πτερύγια της ανεμογεννήτριας. Επίσης, θα δανεισθούμε και κάποιες έννοιες της αεροδυναμικής των αεροσκαφών τις οποίες θα εφαρμόσουμε στα πτερύγια των ανεμογεννητριών και θα αναπτύξουμε μια θεωρία γνωστή ως η "θεωρία της τομής των πτερυγίων" ώστε να υπολογίσουμε με ένα δεύτερο ανεξάρτητο τρόπο τη δύναμη και τη ροπή που ασκεί ο άνεμος στα πτερύγια της ανεμογεννήτριας. Τέλος συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των δυο παραπάνω θεωριών, θα καταλήξουμε σε δυο πολύ χρήσιμες και απλές εξισώσεις που βοηθούν στον σχεδιασμό των ανεμογεννητριών. Πυκνότητα του αέρα Ο αέρας προσεγγίζεται με πολύ καλή ακρίβεια από το ιδανικό αέριο και οπότε από την καταστατική εξίσωση έχουμε: όπου Ρ: πίεση (σε οποιεσδήποτε μονάδες) V: όγκος (σε οποιεσδήποτε μονάδες) Τ: θερμοκρασία αυστηρά σε Κέλβιν PV = nrt R = 8.314 J/mole K: η παγκόσμια σταθερά των αερίων (ίδια για όλα τα αέρια) n: ο αριθμός των γραμμομορίων

Το n σχετίζεται με την αντίστοιχη μάζα m μέσω της n = m/m Α όπου Μ Α = 8.97 g είναι το μοριακό βάρος του αέρα (κοντά στα 8 g που είναι το Μ.Β. του αζώτου) και έτσι μπορούμε να γράψουμε εύκολα μια σχέση για την πυκνότητα ρ = m/v συναρτήσει των περιβαλλοντικών παραμέτρων P και Τ: όπου P = ρr A T R A = R = 0.87 J M Α g K = 87 J kg K είναι η σταθερά αερίου του αέρα (ισχύει μόνο για τον αέρα). Προσέξτε ότι στην τελευταία έκφραση αυτής της σταθεράς μετατρέψαμε τα γραμμάρια σε κιλόγραμμα ώστε η πυκνότητα ρ στην παραπάνω καταστατική εξίσωση του αέρα να είναι σε μονάδες kg/m 3 του S.I. Μέσω της παραπάνω εξίσωσης, η πυκνότητα εξαρτάται άμεσα από τα P και Τ αλλά και έμμεσα από το ύψος αφού η πίεση πέφτει με το ύψος κατά ένα μικρό ποσοστό αλλά και το ίδιο και η θερμοκρασία. Έτσι λοιπόν υπάρχει η εξάρτηση της πυκνότητας ρ από το ύψος h που φαίνεται στην παρακάτω γραφική παράσταση στους 5 0 η οποία είναι χονδρικά γραμμική και σχετικά μικρής μεταβολής, π.χ. εάν ανεβούμε σε ένα υψόμετρο 400 m σε κάποια ορεινή περιοχή, η πυκνότητα θα μειωθεί από 1. σε 1.18 kg/m 3 :

ρ 1. h Βέβαια αφού ο αέρας συμπεριφέρεται ως ιδανικό αέριο, η πυκνότητά του εξαρτάται και από τη θερμοκρασία όπως φαίνεται και στην παρακάτω γραφική παράσταση που δείχνει μετρήσεις στην επιφάνεια της θάλασσας: ρ θ Σε αυτό το μάθημα, εκτός εάν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, θα λαμβάνουμε την πυκνότητα σε μηδενικό ύψος ως ρ = 1. kg/m 3 που αντιστοιχεί στην τιμή μιας μέτριας θερμοκρασίας 0 0 C, πίεση 1 atm στο ίδιο ύψος όπως αυτό της επιφάνειας της θάλασσας. Ρευστομηχανική - Διατήρηση της μάζας και της ορμής

Είναι χρήσιμο σε αυτό τη σημείο να κάνουμε μια μικρή επανάληψη σε δυο πολύ χρήσιμες έννοιες από την μηχανική των ρευστών, τις γνωστές "διατήρηση της μάζας και "διατήρηση της ορμής". Θεωρήστε ότι στο παρακάτω σχήμα κάποιο ρευστό κινείται κατά τον άξονα x αλλά έχει και μια μικρή συνιστώσα σε διεύθυνση κάθετη στην κίνηση ώστε να εκτονώνεται η να συρρικνώνεται κατά αυτή τη διεύθυνση. Θεωρήστε ένα κυλινδρικό τμήμα αυτού του ρευστού σε μορφή λεπτού δίσκου που σε κάποια χρονική στιγμή έχει εμβαδό βάσης A 1 και πάχος dx 1. Εάν η πυκνότητα του ρευστού σε αυτή τη θέση είναι ίση με ρ 1, τότε η μάζα του δίσκου αυτού θα είναι ίση με dm 1 = ρ 1 Α 1 dx 1 όπου Α 1 dx 1 είναι ο αντίστοιχος όγκος του δίσκου. Έστω ότι η ταχύτητα του ρευστού σε αυτή τη θέση είναι ίση με v 1. Τότε σε χρόνο dt τέτοιο ώστε dx 1 = v 1 dt, όλη η μάζα από το δίσκο με εμβαδό Α 1 θα έχει διαπεράσει το πάχος dx 1. Ο ρυθμός μεταφοράς της μάζας αυτής είναι ίσος με m 1 = dm 1 dt = ρ 1Α 1 dx 1 dt = ρ 1Α 1 v 1 Η μάζα dm 1 δεν χάνεται αλλά έχει μεταφερθεί στο επόμενο πάχος dx, δηλαδή τώρα θα σχηματίζει ένα νέο λεπτό δίσκο με εμβαδό Α (π.χ. εάν το ρευστό εκτονώνεται τότε Α > Α 1 ) το οποίο θα έχει μάζα dm = ρ Α dx όπου ρ η πυκνότητα του ρευστού στη νέα θέση. Από τη διατήρηση της μάζας του ρευστού μπορούμε να γράψουμε για τις δυο μάζες dm 1 = dm => ρ 1 Α 1 dx 1 = ρ Α dx Διαιρώντας με το χρονικό διάστημα dt, μπορούμε να γράψουμε μια αντίστοιχη έκφραση για τον ρυθμό μεταφοράς της μάζας m 1 = m => ρ 1 Α 1 v 1 = ρ Α v δηλαδή το γινόμενο ραv = σταθερό κατά μήκος της κίνησης του ρευστού. Αυτή είναι και η έκφραση που θα χρησιμοποιήσουμε. Προσέξτε ότι εάν η πυκνότητα του ρευστού δεν μεταβάλλεται (όπως γίνεται με τα περισσότερα υγρά που θεωρούνται "ασυμπίεστα") τότε παίρνουμε το γνωστό αποτέλεσμα ότι η ταχύτητα του ρευστού είναι αυξημένη εκεί που μειώνεται η διατομή του ρευστού (π.χ. στενά στόμια). v A v 1 x A 1 dx dx 1

Οι διατομές εισόδου Α 1 και εξόδου Α δε χρειάζεται να είναι γειτονικές. Στην ρευστομηχανική χρησιμοποιούμε μερικές φορές την έννοια του "όγκου ελέγχου" που είναι ένας σταθερός όγκος μέσα στον οποίο εισέρχεται εξέρχεται (μεταφέρεται) μάζα και μέσω αυτής, ορμή και ενέργεια. Έτσι π.χ. στο παρακάτω σχήμα έχουμε μια μονοδιάστατη μεταφορά μάζας κατά μήκος του άξονα x με ένα όγκο ελέγχου σε μορφή καμπυλοειδούς κώνου, δηλαδή η πλευρά του κώνου είναι μια καμπύλη και όχι μια ευθεία. Αυτό το σχήμα του ρευστού μπορεί να προκύπτει είτε από τον περιορισμό του σε ένα δοχείο τέτοιου σχήματος ή μπορεί να είναι ένα ρεύμα ρευστού το οποίο για κάποιο λόγο εκτονώνεται κατά την κίνησή του. Αφού όπως είδαμε παραπάνω, το γινόμενο ραv είναι σταθερό, τότε θα ισχύει αυτός ο κανόνας και για τις δυο βάσεις Α 1 και Α του κώνου. A v x v 1 A 1 όγκος ελέγχου Παρόμοια με την διατήρηση της μάζας, μπορούμε να εργαστούμε και με την διατήρηση της ορμής. Αυτό είναι πολύ σημαντικό επειδή οι εξισώσεις της ορμής περιέχουν και τις εξωτερικές δυνάμεις που στην περίπτωση της ανεμογεννήτριας είναι η δύναμη αλληλεπίδρασης του αέρα με τα πτερύγια και η οποία μας ενδιαφέρει άμεσα. Από την ρευστομηχανική, η ολοκληρωτική εξίσωση της διατήρησης της ορμής στην μια διάσταση (κατά μήκος του άξονα x) για ένα όγκο ελέγχου V ο οποίος περιβάλλεται από μια επιφάνεια S είναι η εξής t (ρv)dv + ρvv SdS = PdS x + F τρ + F V S όπου το πρώτο ολοκλήρωμα είναι χωρικό ενώ τα άλλα δυο επιφανειακά, το πρώτο σε όλη την επιφάνεια S ενώ το δεύτερο μόνο στην επιφάνεια S x που είναι κάθετη στον άξονα x, v η ταχύτητα του ρευστού κατά μήκος του άξονα x, v S η συνιστώσα της ταχύτητας του ρευστού κάθετη στην επιφάνεια S, F τρ η S

δύναμη τριβής του ρευστού επάνω στην επιφάνεια S και F η εξωτερική δύναμη. Για λόγους ευκρίνειας, παραλείψαμε στα επιφανειακά ολοκληρώματα ένα μοναδιαίο διάνυσμα που στη μια διάσταση παίρνει τιμές ±1 ανάλογα με το εάν η εξωτερική μεριά της επιφάνειας είναι προς την κατεύθυνση ±x αντίστοιχα, αλλά θα το χρησιμοποιήσουμε παρακάτω. Θα εφαρμόσουμε την παραπάνω εξίσωση της ορμής για τον όγκο ελέγχου του παραπάνω σχήματος. Για στάσιμη κατάσταση, δεν υπάρχει μεταβολή ως προς τον χρόνο και έτσι / t = 0 και το πρώτο ολοκλήρωμα μηδενίζεται. Στο δεύτερο ολοκλήρωμα, υπάρχει η συνιστώσα v S της ταχύτητας του ρευστού κάθετη στην επιφάνεια και αυτή είναι μη μηδενική μόνο στις διατομές Α 1 και Α και ίση εκεί με την ταχύτητα του ρευστού v. Έτσι, χρησιμοποιώντας τον προαναφερθέντα κανόνα προσήμου, αυτό το ολοκλήρωμα καταλήγει στο εξής απλό αποτέλεσμα: ρvv S ds = ρ 1 v 1 A 1 ρ v A S Το τρίτο ολοκλήρωμα το χωρίζουμε σε τρία ολοκληρώματα, δυο επάνω στις επιφάνειες Α 1 και Α και το τρίτο στην παράπλευρη επιφάνεια (ΠΕ) του κώνου PdS x = PdS x + PdS x + PdS x S Α 1 Εάν θεωρήσουμε ότι η πίεση στα όρια του όγκου ελέγχου δεν αλλάζει (δείτε παρακάτω) αλλά παραμένει σταθερή στην τιμή P 0 (ατμοσφαιρική) και χρησιμοποιήσουμε και πάλι τον προαναφερθέντα κανόνα προσήμου, καταλήγουμε στο εξής απλό αποτέλεσμα: Α ΠΕ PdS x = P 0 A 1 P 0 A + P 0 A x S όπου A x είναι το εμβαδό της προβολής της παράπλευρης επιφάνειας του κώνου, κάθετα στον άξονα x, δηλαδή το εμβαδό που βλέπει κάποιος κοιτώντας κατά τον άξονα x. Όπως όμως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, ο παρατηρητής προς αυτή τη διεύθυνση βλέπει στην ουσία δυο κύκλους, τον κύκλο εισόδου και κύκλο εξόδου του ρευστού οπότε A x = A A 1 και το παραπάνω ολοκλήρωμα μηδενίζεται! Αυτό δεν πρέπει να αποτελεί έκπληξη αφού στην ουσία αυτό το ολοκλήρωμα είναι η δύναμη που δέχεται ο όγκος ελέγχου λόγω της πίεσης τριγύρω του. Εάν η πίεση είναι σταθερή κατά μέτρο, η συνολική αυτή "υδροστατική" δύναμη μηδενίζεται. κύκλος εξόδου κύκλος εισόδου

Εάν αγνοήσουμε και τις δυνάμεις τριβής (δείτε παρακάτω) τότε η ολοκληρωτική εξίσωση της διατήρησης της ορμής καταλήγει στο εξαιρετικά απλό αποτέλεσμα: F = ρ 1 Α 1 v 1 ρ Α v Θεωρία αξονικής ορμής Α Υπολογισμός ισχύος και δύναμης Στο παρακάτω σχήμα (απεικόνιση 3-Δ) μια ανεμογεννήτρια απεικονίζεται ως ένα σύνολο τριών πτερυγίων (γνωστά ως " στροφείο" ή "ρότορας") που περιστρέφονται σε ένα κύκλο εμβαδού Α το οποίο καθορίζεται από το μήκος των πτερυγίων. Ο κύκλος αυτός είναι κάθετος στην ροή του ανέμου την οποία την λαμβάνουμε κατά μήκος του άξονα x. Από εδώ και στο εξής, αυτή τη διεύθυνση θα την ονομάζουμε "αξονική". Η ροή του αέρα (γραμμές ροής) πολύ πριν από την γεννήτρια ξεκινάει αρχικά ως μια κυλινδρική μάζα αέρα διατομής Α 1 < Α και η οποία αργότερα εκτονώνεται επειδή τα πτερύγια της ανεμογεννήτριας προσδίδουν στον αέρα μια μικρή συνιστώσα κάθετη προς την ταχύτητα του ανέμου (λόγω του αεροδυναμικού σχεδιασμού τους, δείτε παρακάτω). Ο αέρας στο πίσω μέρος της γεννήτριας καταλήγει πάλι σε ένα κυλινδρικό σχήμα με εμβαδό βάσης Α > Α. Στο υπόλοιπο της διαδρομής, η ροή αυτή του αέρα σχηματίζει γενικά ένα καμπυλοειδή κώνο όπως αυτόν που εξετάσαμε στην προηγούμενη ενότητα, ο οποίος παίζει το ρόλο του όγκου ελέγχου. Ο υπόλοιπος αέρας που βρίσκεται εκτός του κώνου αυτού, δεν διαταράσσεται καθόλου μιας που δεν έρχεται σε επαφή με τα πτερύγια της ανεμογεννήτριας και άρα προσεγγιστικά η πίεση του αέρα εκτός του κώνου αλλά και στα όριά του είναι ίση με την ατμοσφαιρική Ρ 0. Στο παρόν εδάφιο θα υπολογίσουμε την δύναμη αλλά και την ισχύ που αποδίδει ο αέρας στο στροφείο, χρησιμοποιώντας τις απλές εξισώσεις της ρευστομηχανικής που είδαμε στο προηγούμενο εδάφιο. Όπως φαίνεται και στην πλαϊνή όψη του παρακάτω σχήματος, εκτός από τις δυο διατομές "1" και "" εισόδου εξόδου του κώνου, θα εστιάσουμε και σε δυο ακόμη κατά μήκος του άξονά του, τις "+" και "-" που βρίσκονται απειροστά πριν και απειροστά μετά το στροφείο. επίπεδο στροφείου 3-Δ v x v 1 Εμβαδό A Εμβαδό A 1 πτερύγιο όγκος ελέγχου

επίπεδο στροφείου Πλαϊνή όψη v 1 v x 1 + Έστω λοιπόν ότι ο αέρας έχει ταχύτητα εισαγωγής στον όγκο ελέγχου ίση με v 1 επάνω στην διατομή A 1 και αντίστοιχα ταχύτητα εξόδου v στο πίσω μέρος του κώνου στην διατομή Α. Έστω επίσης ότι η ταχύτητα πρόσκρουσης του ανέμου επάνω στα πτερύγια του στροφείου είναι v. Ιδανικά θα θέλαμε όλη η κινητική ενέργεια του ανέμου να μετατραπεί σε περιστροφική ενέργεια του στροφείου που θα σήμαινε ότι v = 0 αλλά δυστυχώς αυτό δεν είναι εφικτό στην πράξη επειδή τότε θα συσσωρεύονταν όλος ο αέρας μπροστά από το στροφείο και θα εμπόδιζε παραπέρα την μεταφορά επιπλέον μάζας και άρα και μεταφοράς ενέργειας στο στροφείο. Επομένως αυτό που γίνεται στην πραγματικότητα είναι μια απλή μείωση της ταχύτητας του ανέμου δηλαδή v < v 1. Επίσης η μείωση αυτή είναι συνεχής, περιμένουμε δηλαδή ότι v < v < v 1. Από την διατήρηση της μάζας που είδαμε στο προηγούμενο εδάφιο ισχύει ότι ρ 1 Α 1 v 1 = ραv = ρ Α v όπου ρ 1 Α 1 v 1 είναι ο ρυθμός μεταβολής της μάζας m 1 στην επιφάνεια Α 1 και ομοίως και οι άλλοι δυο όροι. Όπως προαναφέρθηκε, στο όριο του κώνου, η πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιρική Ρ 0 (μόνο στο εσωτερικό του κώνου και κοντά στο στροφείο οι διακυμάνσεις είναι μεγάλες, δείτε παρακάτω) και επίσης λόγω απουσίας θέρμανσης ή ψύξης μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο αέρας διερχόμενος από το στροφείο δεν αλλάζει θερμοκρασία. Επομένως από την καταστατική εξίσωση P = ρr A T που είδαμε σε προηγούμενο εδάφιο, περιμένουμε η πυκνότητα στις δυο βάσεις του κώνου να έχει την ίδια τιμή, δηλαδή ρ 1 = ρ και έτσι η διατήρηση της μάζας μεταξύ αυτών των σημείων λαμβάνει την εξής απλούστερη μορφή: Α 1 v 1 = Α v Τι μπορούμε να πούμε όμως για την πυκνότητα ρ στο επίπεδο του στροφείου; Κοντά σε αυτό, οι διακυμάνσεις της πίεσης είναι σχετικά μεγάλες αλλά έχουν την συμμετρική μορφή του παρακάτω σχήματος, δηλαδή το περιστρεφόμενο στροφείο παίζει τον ρόλο του εμποδίου στη φυσική ροή του ανέμου, παγιδεύοντας πριν από αυτό επάνω στη διατομή "+" ένα μέρος του αέρα και έτσι η τοπική πυκνότητα και άρα και η πίεση (από την καταστατική εξίσωση είναι ανάλογες ποσότητες) αυξάνει σε μια μέγιστη τιμή έστω Ρ + = Ρ 0 + ΔΡ. Αντιθέτως, αμέσως μετά το στροφείο επάνω στη διατομή "-", δημιουργείται ένα τοπικό κενό αέρος και έτσι η πίεση πέφτει σε μια ελάχιστη τιμή Ρ = Ρ 0 ΔΡ. Αφού αυτή η κατανομή είναι συμμετρική, τότε επάνω στο επίπεδο του στροφείου η πίεση είναι ίση με τον μέσο όρο (Ρ + Ρ_)/ = Ρ 0 δηλαδή ίση με την ατμοσφαιρική, και κατά συνέπεια και η πυκνότητα ρ είναι κατά μέσο όρο η ίδια με αυτή που βρίσκεται μακριά από τη γεννήτρια δηλαδή ρ = ρ 1 = ρ. Επομένως μπορούμε να προσθέσουμε και ένα τρίτο όρο στη διατήρηση της μάζας

Α 1 v 1 = Α v = Αv Πίεση Ρ P + P 0 Οριακή τιμή (ατμόσφαιρα) Επίπεδο στροφείου P 0 x Η κίνηση του αέρα επιβραδύνεται λόγω πρόσκρουσής του επάνω στα πτερύγια. Χρησιμοποιώντας το τελευταίο αποτέλεσμα και την έκφραση της δύναμης που βρήκαμε στην προηγούμενη ενότητα, μπορούμε να γράψουμε για την δύναμη F x που ασκεί το στροφείο επάνω στον αέρα (η οποία λόγω δράσης-αντίδρασης είναι ίση κατά μέτρο με τη η δύναμη που ασκεί ο αέρας στο στροφείο) το εξής F x = ρ 1 Α 1 v 1 ρ Α v = ραv(v v 1 ) όπου οι τρεις παράγοντες μπροστά από την παρένθεση αναφέρονται στο επίπεδο του στροφείου. Από την άλλη μεριά, θα μπορούσαμε να δούμε την δύναμη που δρα στα πτερύγια ως το γινόμενο της επιφάνειας Α του κύκλου περιστροφής των πτερυγίων επί την διαφορά πίεσης λίγο πριν λίγο μετά τον κύκλο αυτό, δηλαδή F x = A(P + P ) Από την διατομή "1" έως την διατομή "+" δεν υπάρχουν εμπόδια στην ροή του ανέμου και έτσι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας. Επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση του Bernouli, η οποία παίζει το ρόλο της διατήρησης της ενέργειας, για να συνδέσουμε την πίεση P + με την πίεση P 1 στην επιφάνεια Α 1 η οποία δεχθήκαμε ότι είναι ίση με την ατμοσφαιρική Ρ 0. P 0 + ρ 1v 1 = P + + ρv Κατά τη διέλευση του αέρα μέσα από το στροφείο, υπάρχει μεγάλη απώλεια ενέργειας και έτσι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση του Bernouli μεταξύ των διατομών "+" και "-" όμως

μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε μεταξύ των διατομών "-" και "" ώστε να συσχετίσουμε την πίεση P με την P στην επιφάνεια Α η οποία δεχθήκαμε ότι είναι και αυτή ίση με την ατμοσφαιρική Ρ 0. Έτσι P 0 + ρ v = P + ρv Αφού ρ = ρ 1 = ρ, μπορούμε να πάρουμε τη διαφορά μεταξύ των τελευταίων δυο εξισώσεων και να τη χρησιμοποιήσουμε στην εξίσωση της δύναμης F παραπάνω, καταλήγοντας εύκολα στο αποτέλεσμα: F x = A(P + P ) = 1 ρα(v 1 v ) Εξισώνοντας αυτή την δύναμη με την αντίστοιχη δύναμη που βρήκαμε προηγουμένως μέσω της διατήρησης της ορμής, οδηγεί στο αποτέλεσμα ή 1 Αρ 1 (v 1 v ) = ραv(v v 1 ) v = 1 (v + v 1 ) Δηλαδή η ταχύτητα πρόσκρουσης του αέρα στα πτερύγια είναι η μέση τιμή των δυο ταχυτήτων εισόδου και εξόδου. Μας ενδιαφέρει να δούμε κάτω από ποιες συνθήκες επιτυγχάνεται η μέγιστη μεταφορά ισχύος από τον άνεμο στην ανεμογεννήτρια. Για το λόγο αυτό θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε όλες τις ταχύτητες συναρτήσει της ταχύτητας εισόδου v 1, ορίζοντας μια νέα αδιάστατη παράμετρο (καθαρός αριθμός) το a ως εξής a = v 1 v v 1 η οποία εκφράζει την σχετική μείωση της ταχύτητας επάνω στο στροφείο σε σχέση με την ταχύτητα εισόδου στον κώνο v 1. Λύνοντας ως προς v 1 μας οδηγεί στο v = (1 a)v 1 και από την παραπάνω μέση τιμή παίρνουμε επίσης v = (1 a)v 1 Όσον αφορά την ενέργεια, όταν μια μάζα αέρα m 1 κινείται με ταχύτητα v 1 τότε διαθέτει κινητική ενέργεια Ε 1 = 1 m 1v 1 Αφού το m 1είναι ο εισερχόμενος ρυθμός μεταφοράς της μάζας του αέρα στον όγκο ελέγχου, τότε και η έκφραση P ΕΙΣ = 1 m 1v 1 = 1 (ραv)v 1

είναι ο ρυθμός εισόδου της κινητικής ενέργειας, δηλαδή η ισχύς (ενέργεια / χρόνος) εισόδου του αέρα. Παρομοίως, η παρακάτω εξίσωση μας δίνει την ισχύ εξόδου του αέρα P ΕΞΟ = 1 m v = 1 (ραv)v Επομένως η ωφέλιμη ισχύς P ΩΦ είναι η παραμένουσα ισχύς στη γεννήτρια (αγνοώντας τις τριβές) που είναι η διαφορά των δυο παραπάνω αποτελεσμάτων δηλαδή P ΩΦ = P ΕΙΣ P ΕΞΟ = 1 ραv(v 1 v ) όπου στο τελευταίο βήμα έγινε χρήση και πάλι της διατήρησης της μάζας ρα v = ρα 1 v 1 = ραv. Συναρτήσει του a, η ωφέλιμη ισχύς γράφεται ως P ΩΦ = 1 ραv 1 3 4a(1 a) Ο παράγοντας 4a(1 a) μεγιστοποιείται στο a = 1/3 με τιμή 16/7 επομένως η βέλτιστη τιμή της ωφέλιμης ισχύος είναι η P ΩΦ = 16 3 ραv 1 7 Ο όρος P ΕΙΣ = ραv 1 3 / είναι γνωστή ως η "διαθέσιμη ισχύς" του ανέμου και είναι κάτι σαν την πραγματική εισερχόμενη ισχύ υπολογίζοντας όμως και τον αέρα γύρω από την αρχική κυλινδρική μάζα διατομής Α Α 1 που πάει χαμένος (δείτε το παρακάτω σχήμα), αφού αυτός φεύγει εκτός του όγκου ελέγχου (κάτι σαν καύσιμο που δεν χρησιμοποιείται). Επίπεδο στροφείου κύκλος εμβαδού A A v v 1 A 1 v "Αχρησιμοποίητο καύσιμο" (αέρας) Ορίζουμε ως συντελεστή ισχύος της γεννήτριας τον λόγο C P = P ΩΦ P ΕΙΣ που είναι κάτι σαν συντελεστής απόδοσης. Έτσι από την παραπάνω ανάλυση βλέπουμε ότι η μέγιστη θεωρητική τιμή του συντελεστή ισχύος της γεννήτριας είναι ο αριθμός

C P = 16 7 59% που είναι και γνωστός ως το "όριο του Betz". Στην πράξη βέβαια το C P είναι μικρότερο από αυτή τη τιμή αλλά τιμές κοντά στο 40% επιτυγχάνονται εύκολα. Εάν αυτός ο συντελεστής είναι γνωστός, τότε γράφουμε P ΩΦ = C P P ΕΙΣ Παρότι που τα P ΩΦ και P ΕΙΣ εξαρτώνται από τις ιδιότητες του ανέμου που είναι βασικά τα v 1 και ρ (το δεύτερο από τα οποία, όπως είδαμε σε προηγούμενη ενότητα, εξαρτάται άμεσα από την πίεση Ρ και τη θερμοκρασία Τ και έμμεσα και από το υψόμετρο h), το C P εξαρτάται μόνο από τα σχεδιαστικά χαρακτηριστικά της γεννήτριας. Μπορούνε να εκφράσουμε και τη δύναμη F συναρτήσει του a: Στο όριο του Betz a = 1/3 αυτή η δύναμη γίνεται F x = 1 ρα(v 1 v ) = 4a(1 a) Αρv 1 F x = 8 Αρv 1 9