Κεφάλαιο 1 Το τελευταίο που κάναµε ήταν µια ιαπραγµάτευση στην οποία υπάρχουν ύο παίκτες, κάνει ο ένας µια προσφορά, ο άλλος τη έχεται ή όχι. Αν εν την εχτεί κάνει αντιπροσφορά την οποία ο πρώτο παίχτης τη έχεται ή όχι. Μετά σταµατά το παιγνίι αν εν υπάρχει συµφωνία πετυχαίνουνε και οι ύο µηέν. Αυτό είχαµε αναλύσει. Ας πούµε όµως, ότι τώρα τα πράγµατα είναι παρόµοια, εκτός από µια ιαφορά. Ότι αν στο τελευταίο στάιο εν συµφωνήσουνε µπαίνει κάποιος τρίτος/ κάποιος µεσολαβητής, ο οποίος καθορίζει πως θα µοιραστεί η πίτα ή το πλεόνασµα µεταξύ των ύο. Άρα έχουµε τον παίχτη και. Και ας πούµε ότι το πλεόνασµα είναι ίσο µε το 1 (αυτό εν αλλάζει τα πράγµατα καθόλου). Κάνει λοιπόν, µια προσφορά ο την οποία ο είτε αποέχεται, είτε απορρίπτει. Αν την εχθεί τελειώνει το παιγνίι και έχουµε τα κέρη (x, 1 x). Αν την απορρίψει τότε ο παίχτης κάνει µια προσφορά y όπου το y είναι το µερίιο του, όπου ο παίκτης είτε έχεται, είτε απορρίπτει. Αν τη εχθεί θα έχουµε (y, (1 y)) (γιατί θα παρθεί µια περίοο αργότερα και έχουµε προεξόφληση). Αν την απορρίψει, τότε το παίγνιο µπαίνει σε ένα τρίτο στάιο όπου ένας µεσολαβητής µοιράζει τα πράγµατα µε ένα τρόπο ο οποίος είναι αυθαίρετος (s, 1 s) και τα ποσά αυτά λαµβάνονται µια περίοο αργότερα: Μπορούµε να φανταστούµε τι συµβαίνει στις ιαπραγµατεύσεις των εργατικών συνικάτων και των επιχειρήσεων. Γίνονται οι ιαπραγµατεύσεις, αν εν βρεθεί καµία λύση στο τέλος µπαίνει στη µέση η κυβέρνηση / το υπουργείο εργασίας και προσιορίζει τον τρόπο µε τον οποίο θα ιαµοιραστούν τα κέρη, τι θα είναι οι µισθοί κλπ. Αυτό λοιπόν είναι το µοντέλο, άρα στο τέλος σε περίπτωση απόρριψης της προσφοράς, ο µεσολαβητής εν αφήνει την πίτα να χαθεί. Θα 168
προσιοριστεί το s εξωγενώς, αλλά σε ένα τρίτο στάιο. Ποια είναι η ισορροπία εώ σε αυτό το παιγνίι; Καταρχήν γιατί εξετάσαµε αυτό το παίγνιο; Σαν προετοιµασία για να ούµε τι θα συµβεί στο παίγνιο που υπάρχουνε άπειρες προσφορές και αντιπροσφορές. Και θα ούµε γιατί αυτό το πράγµα είναι ισούναµο µε το άλλο. Η ισορροπία στο πιο πάνω παίγνιο είναι η εξής: Πότε θα αποεχτεί την προσφορά ο παίκτης στον τελευταίο κόµβο: : έχεται y : s y Το είναι η προσφορά από τον παίχτη στον παίχτη. Παίρνει ο y Απορρίπτει y :s > y και ο παίρνει (1 y). Άρα ο θα ώσει στο, y*=s ηλαή βλέπουµε ότι ο θα κάνει αµέσως την προσφορά y*=s έτσι ώστε ο να είναι αιάφορος µεταξύ του να αποεχτεί y και να απορρίψει y (οπότε να αποεχτεί). Σε αυτό το παιγνίι εν έχουµε µόνο ένα κόµβο, σε κάθε ιαπραγµάτευση. ιότι το x [0, 1] άρα µπορεί να πάρει οποιανήποτε τιµή. Άρα πρέπει να πούµε ποιες προσφορές απορρίπτει και ποιες αποέχεται. Γι αυτό και η στρατηγική του στον τελευταίο κόµβο ίνεται από: : έχεται y : s y Απορρίπτει y :s > y Άρα αυτός είναι ένας τρόπος συνοπτικός για να περιγράψουµε όλη τη στρατηγική του. Ο, λοιπόν, στην πιο πάνω στρατηγική του θα κάνει µια προσφορά y*=s (* είπαµε ότι όταν ο παίχτης είναι αιάφορος µεταξύ του να αποεχτεί ή να απορρίψει µια προσφορά τότε θα την αποεχτεί *). Άρα για να ούµε τι θα συµβεί στον κόµβο b εοµένου ότι ο παίχτης θα αποεχτεί στον κόµβο c την προσφορά του παίχτη y*=s Απορία: Γιατί y*=s; ιότι στην ανισότητα : έχεται y : s y, Απορρίπτει y :s > y ο θα αποεχτεί οποιονήποτε προσφορά y έτσι ώστε s y. Άρα το y πρέπει να είναι µεγαλύτερο ή ίσο του s. Το µικρότερο y που θα εχθεί ο είναι το y*=s. Η προσφορά [y, (1 y)] σηµαίνει: το y είναι το πόσο που ίνει ο παίχτης στον παίχτη από την πίττα/ το πλεόνασµα. Έτσι το ορίσαµε. Μπορούσαµε να το ορίσουµε: [(1 y), y], τίποτα εν θα άλλαζε. Άρα εοµένού ότι y*=s τι θα κάνει ο παίχτης στον κόµβο b; 169
Ο περιµένοντας µπορεί να πετύχει (1 s). Άρα ο παίχτης θα ακολουθήσει την στρατηγική: Αποέχεται x, x (1 s) : Απορρίπτει x, x < (1 s) Άρα τελικά ο τι θα κάνει; Θα προσφέρει x*=[1 (1 s)] Οπότε η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων ίνεται από: Αποέχεται y, s y Αποέχεται x, x (1 s) x* = (1 s),,, y* = s Απορρίπτει y, s > y Απορρίπτει x, x < (1 s) 144444444 444444444 31444444444444 3 Στρατηγική Παίκτη Στρατηγική του Παίκτη Ποιο είναι το αποτέλεσµα; Το αποτέλεσµα είναι το εξής: Σε αυτό το µοντέλο έχουµε ήη υποθέσει ότι και οι ύο παίκτες έχουν τον ίιο συντελεστή προεξόφλησης. Αυτό που θα µπορούσαµε να κάνουµε είναι να ούµε πάνω στο ίιο ιάγραµµα τι θα συµβεί αν οι ύο παίκτες έχουν ιαφορετικό συντελεστή προεξόφλησης. Αν οι παίχτες, λοιπόν, έχουνε ιαφορετικούς συντελεστές προεξόφλησης, τότε το ιάγραµµα µας γίνεται: 170
Όπου είναι ο συντελεστής προεξόφλησης για τον πρώτο παίχτη και είναι ο συντελεστής προεξόφλησης για τον εύτερο παίχτη. Σηµείωση: στο προηγούµενο παίγνιο όπου οι συντελεστές προεξόφλησης ήταν οι ίιοι το [x*=1 (1 s), (1 s)] είναι το αποτέλεσµα. Αυτά παίρνουν στην ισορροπία οι ύο παίχτες. Το x είναι το πως ιαµοιράζεται η πίτα. ηλαή πλεόνασµα=x+1 x=1. Πάντοτε ο αντίπαλος θα προσφέρει ένα ποσό έτσι ώστε να κάνει τον άλλο παίκτη να είναι αιάφορος µεταξύ του να αποεχτεί ή να απορρίψει την προσφορά. Το παιγνίι θα τελειώσει στον κλάο (i) Γιατί; Γιατί θα γίνει µια προσφορά, η προσφορά: x*=1 (1 s) την οποία θα εχθεί ο άλλος κατευθείαν, και θα τελειώσει το παιγνίι. Άρα εν υπάρχει καθυστέρηση στην συµφωνία. Η συµφωνία είναι άµεση/ αυτόµατη. Απορία: εν υπάρχει περίπτωση να απορριφθεί η συµφωνία και εντούτοις να είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash; Σε αυτό το παίγνιο όχι. Αν την απορρίψει εν θα είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash. Στα µοντέλα ιαπραγµατεύσεων που θα ούµε που είναι απλά, επειή έχουµε τέλεια πληροφόρηση / ξέρει ο κάθε παίχτης καλά και το πως είναι το παιγνίι και τι συντελεστή προεξόφλησης έχει ο αντίπαλος του κλπ, ξέρουν ηλαή τα πάντα, πάντοτε η συµφωνία επιτυγχάνεται την πρώτη περίοο και αφού επιτυγχάνεται την πρώτη περίοο, σηµαίνει ότι την έχεται ο παίχτης για τον οποίο γίνεται η προσφορά; ΠΑΝΤΟΤΕ. Στις ιαπραγµατεύσεις µε ατελή πληροφόρηση τα πράγµατα γίνονται πολύπλοκα και υπάρχει περίπτωση να µην γίνει αυτόµατα την πρώτη στιγµή η συµφωνία και να υπάρχει καθυστέρηση στη συµφωνία 171
Πριν προχωρήσουµε στην περίπτωση µε ιαφορετικούς συντελεστές προεξόφλησης ας ούµε στο: τι συµβαίνει. Προφανώς το αποτέλεσµα εξαρτάται από το πως µοιράζεται η πίττα στο τέλος. Αν: {[1 (1 s)], [ (1 s)]} το s=0 τότε θα έχουµε {(1 ), }. Που σηµαίνει ότι αυτός που κάνει τελευταίος την πρόταση πετυχαίνει το µεγαλύτερο ποσοστό. Αντίθετα αν s=1 τότε παίρνουµε το αντίθετο αποτέλεσµα όπου: [1 (1 ), (1 )] Αν τώρα το s=½, ηλαή υπάρχει µια κυβέρνηση η οποία µοιράζει τα πράγµατα εξίσου θα ούµε ότι το αποτέλεσµα εξαρτάται από το ποιος κινείται πρώτος /από το ποιος κάνει πρώτος την προσφορά. Το αποτέλεσµα εν εξαρτάται από το γιατί είπαµε ότι το στην πραγµατικότητα είναι γύρω στο 0.90 (0.85, 0.95). Τώρα αν είναι πολύ µικρό το (π.χ. =1/4). Εώ πέρα φαίνεται ότι αν είναι κανείς πολύ ανυπόµονος θα χάσει. Αλλά το είναι συνήθως κοντά στο 0.90. Το είναι βαρύτητα που προσίει το άτοµο στα κέρη του µέλλοντος. Όσο µεγαλύτερο είναι το τόσο σηµαντικότερα είναι τα κέρη του µέλλοντος για το άτοµο/ τόσο πιο υποµονετικός είναι. Υποµονετικός µε την έννοια ότι εν τον ενιαφέρει να τα πάρει σήµερα ή σε 10 χρόνια (αναβάλλει κατανάλωση για το µέλλον). Αν =1 είτε πάρει κανείς σήµερα την προσφορά είτε το 3500 εν τον ενιαφέρει. Επειή όµως το άτοµο εν ζει επ άπειρο το εν µπορεί να είναι ένα. 17
Αν s=0 τότε: [(1 ), ], άρα ο εύτερος κερίζει και αυτό είναι λογικό γιατί όταν s=0, υπάρχει καθαρή µεροληψία από µέρους του µεσάζοντα για τον εύτερο παίχτη, και το αντίθετο όταν s=1 και υπάρχει µεροληψία υπέρ του πρώτου παίχτη. Το ποιο ενιαφέρον είναι όταν η πίττα µοιράζεται εξίσου. ηλαή το s=½. Οπότε αν βάλουµε s=½ ας ούµε τι θα προκύψει: 1 1, 1 Ας ούµε τώρα αν 1 1 > 1? (ιερωτόµαστε) 1 + > 1 + > 0 (1 ) > 0 το οποίο ισχύει, ηλαή το (1 ) είναι πράγµατι µεγαλύτερο του µηενός. Οπότε αν s =½ τότε ο πρώτος που κάνει την προσφορά έχει πλεονέκτηµα. Για να πάµε τώρα στην περίπτωση όπου οι ύο συντελεστές προεξόφλησης είναι ιαφορετικοί για τους παίχτες και να ούµε τι συµβαίνει/ τι αλλάζει. Οι στρατηγικές των παικτών τώρα είναι: : Αποέχεται y, s Απορρίπτει y, s > y y Άρα ο θα του κάνει µια προσφορά έτσι ώστε: y*= s Ο τότε λέει: Αποέχεται x, x (1 s) : Απορρίπτει x, x < (1 s) 173
Άρα ο θα του προσφέρει: x*=1 (1 s) H τέλεια ισορροπία κατά Nash του παιγνίου είναι (A): Αποέχεται y, s y Αποέχεται x,1 x (1 s) x* = (1 s),,, y* = s Απορρίπτει y, > y Απορρίπτει x, x < (1 s) Και το αποτέλεσµα που παίρνουµε είναι: [{1 (1 s)}, { (1 s)}] (B) Οπότε βλέπουµε ότι είναι πολύ εύκολο, αυτόµατο σχεόν να βρούµε την τέλεια την τέλεια ισορροπία όταν. Είναι η ίια η ανάλυση. Τα πάντα εξαρτώνται από το τελευταίο βήµα, τα άλλα είναι αυτόµατα. Στο τελευταίο βήµα συγκρίνουµε τι θα κάνει ο άρα το παν εξαρτάται από το. Και συγκρίνονται τους υο κλάους συγκρίνουµε το y και το s. Άρα το y*= s για να είναι αιάφορος ο µεταξύ του να απορρίψει ή να αποεχτεί την προσφορά οπότε θα την αποεχτεί. Ο προσφέρει y*= s και κάνει το αιάφορο µεταξύ του να εχτεί και να µην εχτεί. Γι αυτό και στο y* εµφανίζεται το. Tου αιάφορου παίκτη το θα εµφανιστεί. Μετά από τον κόµβο (c) το µόνο που κάναµε είναι να αντικαταστήσουµε όπου το y το ίσον του y*= s. Οπότε στον κόµβο (b) ο παίχτης έχει να επιλέξει µεταξύ του (1 x) και του (1 s). Και όταν ξέρουµε τι συµβαίνει στην συνέχεια του παίγνιου µπορούµε να γράψουµε την στρατηγική του και να πάρουµε αµέσως το x*. Eίναι πολύ απλό να επεκτείνει κανείς το παίγνιο µε ιαφορετικά από το παίγνιο µε τα ίια. Ωραία, τι είπαµε, λοιπόν, σε αυτό το παίγνιο; Ότι όταν ο παίχτης κάνει την πρώτη προσφορά, ο παίχτης κάνει αντιπροσφορά αν εν την εχθεί και αν ο εν την εχθεί στο τέλος υπάρχει κάποιος µεσάζοντας ο οποίος ιαµοιράζει το πλεόνασµα µε ένα συγκεκριµένο τρόπο αυθαίρετο. Η ισορροπία είναι το (Α) και το (Β) είναι το αποτέλεσµα. Και είπαµε το πως θα µοιραστεί στο τέλος η πίττα, εξαρτάται από τον µεσάζοντα και από τους συντελεστές προεξόφλησης των ύο ατόµων. Το s είναι ο τρόπος µε τον οποίο θα µοιραστεί η πίττα από τον µεσάζοντα, µε αυθαίρετο τρόπο. Για παράειγµα, τι κάνει η κυβέρνηση ή το υπουργείο εργασίας; Λέει θα µπει ο µισθός w αν τα ύο µέρη εν συµφωνήσουν. Αν επιβληθεί ένας µισθός, ο µισθός αυτός καθορίζει πως 174
ιαµοιράζεται το πλεόνασµα µεταξύ των ύο. Αυτό είναι ένα µοντέλο το οποίο έχει αντίκρισµα στην πραγµατικότητα. Τώρα ας ούµε καλά αυτό το µοντέλο για να ούµε πως θα περάσουµε στο τελευταίο µοντέλο το οποίο είναι και το περισσότερο χρησιµοποιούµενο στην βιβλιογραφία. Το µοντέλο όπου οι προσφορές και οι αντιπροσφορές συνεχίζονται µέχρι το άπειρο. εν είναι λογικό να πούµε ότι θα γίνει µια προσφορά και µια αντιπροσφορά και εώ θα τελειώσει το παιγνίι. Στην πραγµατικότητα ίσως να γίνουνε πολλές προσφορές και αντιπροσφορές µέχρι να υπάρξει κάποια συµφωνία. Και ο λογικός τρόπος να µοντελοποιήσουµε την κατάσταση αυτή είναι να υποθέσουµε ότι έχουµε άπειρες προσφορές και αντιπροσφορές. Βέβαια άπειρες στρατηγικές εν µπορούν να παρασταθούν. Άρα εώ υπάρχει ένα κόλπο το οποίο θα µας ώσει το αποτέλεσµα πολύ γρήγορα. Το άπειρο όσον και αν φαίνεται ύσκολο είναι το πιο εύκολο από όλα για να ουλέψουµε. Γιατί; Είναι πολύ πιο εύκολο να λύνουµε προβλήµατα µε άπειρες περιόους παρά να είναι πεπερασµένες. Το πρόβληµα πιο κάτω: επαναλαµβάνεται µε περιοικότητα. Κάνει ο πρώτος την προσφορά του. Ο παίχτης αποέχεται ή απορρίπτει. Ο εύτερος κάνει αντιπροσφορά. Ο παίχτης έχεται ή απορρίπτει. Τι θα συµβεί στην συνέχεια; Ο πρώτος ξανά θα κάνει µια προσφορά. Ο εύτερος έχεται ή απορρίπτει, και αν απορρίψει ο κάνει µια προσφορά. Ο παίχτης τότε έχεται ή απορρίπτει... Οπότε βλέπουµε ότι το παίγνιο/ η ιαπραγµάτευση µπορεί να χωριστεί σε κοµµατάκια. Ανά ύο περιόους επαναλαµβάνεται. Όχι µόνο αυτό, αλλά ας πούµε ότι συγκρίνουµε την περίοο 1 µε την περίοο 3. Πόσοι περίοοι µένουνε για να τελειώσει η ιαπραγµάτευση όταν ξεκινήσουµε από την περίοο 1; Άπειρες. Αν ξεκινήσουµε από την περίοο 3; πάλι άπειρες. Άρα ας πούµε ότι είµαστε την περίοο 1 και περιµένουµε µια λύση. Μια λύση είναι ας πούµε για παράειγµα η [ν, (1 ν)]. Τι λύση θα περιµένουµε από την περίοο τρία και µετά. Την ίια λύση αλλά µε προεξόφληση. Τι γίνεται στο παίγνιο: 175
όπου αντί για (s, 1-s) θα βάλουµε (ν, 1-ν). Οπότε µπορούµε να επαναλάβουµε όλη την ανάλυση, αντικαθιστώντας το s που ήταν εξωγενές µε το ν που τώρα είναι ενογενές. Αυτό που θα κάνουµε είναι να βάλουµε στη θέση του s το ν. Ας πούµε ότι το v είναι ο τρόπος που ο µεσάζοντας θα ιαµοιράσει την πίττα στον τελευταίο κόµβο. Το ν εώ είναι ενογενές ενώ το s πριν ήταν εξωγενές, γιατί το ν είναι η λύση. Το (v, 1 v) είναι η λύση την οποία περιµένουµε την περίοο 1 και επίσης θα είναι ο τρόπος που θα λυθεί το παίγνιο αν ξεκινήσει από την περίοο 3. εν αλλάζει το παιγνίι, είναι το ίιο πράγµα. Είναι σαν να παίρνουµε µια φωτοτυπία του παιγνίου από την περίοο 1 και το βάζουµε στην περίοο 3. Είναι το ίιο πράγµα. Το παίγνιο επαναλαµβάνεται κάθε ύο περιόους. Άρα εν µπορεί να έχει ιαφορετική λύση, εκτός από το γεγονός ότι θα το προεξοφλήσουµε µε. Γιατί αν ξεκινήσουµε το παίγνιο από την περίοο 3, τα λεφτά θα τα πάρουµε µετά από ύο περιόους. Άρα θα είναι προεξοφληµένα. Αυτό που θα κάνουµε τώρα είναι να βάλουµε στη θέση του s το v όπου το v θα είναι και η λύση του αρχικού παίγνιου. ηλαή θα πούµε ας υποθέσουµε ότι είναι η λύση: Αν το (v, 1 v) είναι λύση/ είναι το αποτέλεσµα της ισορροπίας, τότε ο µεσάζοντας την τρίτη περίοο θα µοιράσει την πίττα µε τον ίιο τρόπο ας πούµε. Άρα θα λύσουµε το πρόβληµα µε το v, θα φτάσουµε στην αρχή και θα εξισώσουµε το αποτέλεσµα µε το v. 176
Απορία: ηλαή όταν έχουµε άπειρες περιόους λύνουµε το πρόβληµα για άπειρες περιόους; εν είναι ακριβώς ότι το λύνουµε για άπειρες περιόους. Υποθέτουµε ότι το (v, 1 v) είναι η λύση του. Ξέρουµε ότι όποια λύση έχει το παιγνίι που αρχίζει από την περίοο 1 έχει και το παιγνίι που αρχίζει από την περίοο 3. Λύνουµε µε τον ίιο τρόπο, φτάνουµε στην λύση στον κόµβο (α) και µετά εξισώνουµε το (v, 1 v) µε αυτό που βρήκαµε. Βασικά εξισώνουµε τη λύση που βρήκαµε στο προηγούµενο παίγνιο µε το v για τον παίχτη και µε (1 v) για τον παίχτη. ηλαή η λύση είναι η παλιά απλώς εξισώνουµε. Αν αυτό που περιµένουµε οι παίχτες είναι (v, 1 v) που βασικά θα είναι ο τρόπος που θα λυθεί το πρόβληµα από την τρία περίοο µέχρι το άπειρο, που είναι ο ίιος µε τον τρόπο που θα λυθεί το παιγνίι από την πρώτη περίοο µέχρι το άπειρο, τότε τα ποσά που θα πάρουνε θα είναι [ ν, (1 ν )]. Άρα το v εν είναι προεξοφληµένο ήη. Καθώς πάµε προς το άπειρο, εν µηενίζεται το v, αλλά µηενίζεται η προεξόφληση. ηλαή µπορούµε να σκεφτούµε ότι το παιγνίι την περίοο 1 και την περίοο 3.700511 είναι το ίιο αλλά µε ένα το οποίο είναι υψωµένο σε µια τεράστια ύναµη. Η προεξόφληση λειτουργεί µέσω του και όχι µέσω του v. Το v είναι το ίιο. Απλώς είναι ένα v που θα πάρει κανείς πολύ αργότερα. Άρα οι στρατηγικές των παικτών τώρα είναι: : Αποέχεται y, v y Απορρίπτει y, v > y Άρα ο θα ώσει y*= ν : ( ν ) Αποέχεται x, x ii Άρα ο θα του ώσει x*=1 (1 ν) Απορρίπτει x, x p ii (1 v) Αν ο υποτιθέµενος µεσάζοντας που εν υπάρχει τώρα ιαχωρίσει την πίττα ως [v, (1 v)] τότε ξέρουµε µέσω της προηγούµενης ανάλυσης ότι η ισορροπία κατά Nash είναι: 177
Αποέχεται y, v y Αποέχεται [ x* 1 (1 v)],, Απορρίπτει y, > Απορρίπτει v y και το αποτέλεσµα της ισορροπίας αυτής είναι: X, 1 x (1 ν ), y* = ν X, 1 x < (1 ν ) = {[1 (1 ν)], [ (1 ν)]} Όµως το [1 (1 ν)] είναι αυτό που περιµένει ο παίκτης την περίοο 1. Είναι ουσιαστικά το v. Άρα το 1 (1 ν) εν είναι τίποτε άλλο παρά το ν και το (1- ν) εν είναι τίποτα άλλο παρά το (1-ν). Τα v τα γνωρίζουν οι ύο παίκτες και επειή είναι ορθολογικοί, η συµφωνία θα γίνει την πρώτη περίοο. Απλώς, µε αυτό το κόλπο βρίσκουµε ποιο είναι το v γιατί το 1 (1 ν)=v είναι µια εξίσωση µε ένα άγνωστο. Η εξίσωση είναι πολύ απλή και λύνοντας την έχουµε: 1 (1 ν)=v v= Αν το παιγνίι ξεκινούσε την τρίτη περίοο η συµφωνία θα γινόταν την τρίτη περίοο. Αυτό που λέµε εµείς είναι το εξής: εοµένο ότι οι περίοοι προσφορών και αντιπροσφορών είναι άπειροι, είτε αρχίζουµε από την πρώτη περίοο, είτε από την τρίτη, είτε από την πέµπτη κλπ, η συνέχεια του παιγνιιού είτε από την πρώτη, είτε από την τρίτη, είτε από την πέµπτη, µας ίνει την ίια αξία/ την ίια προσοκώµενη αξία (v το value του παιγνιιού). Τώρα αν το πάρουµε την τρίτη περίοο το προεξοφλούµε. Αν το πάρουµε την πρώτη εν το προεξοφλούµε. Στο το v και το (1 v) εν είναι προεξοφληµένα. Όµως στο τέλος στον κόµβο (d) στο v και στο (1 v) γίνεται προεξόφληση. Αυτό που κάναµε είναι να πούµε αφού είναι έτσι τα πράγµατα ας πούµε, λοιπόν, ότι τα άτοµα την τρίτη περίοο περιµένουµε ν και (1 v). Και ας ούµε εοµένου αυτού τι θα συµβεί στο παιγνίι που ξεκινάει την πρώτη περίοο. Ξέρουµε ότι παίχτες περιµένουν τα [ ν, (1-ν)] την τρίτη περίοο, θα είχαµε µια ισορροπία η οποία περιγράφεται από τη σχέση: 178
Αποέχεται y, v y Αποέχεται [ x* 1 (1 v)],, Απορρίπτει y, > Απορρίπτει v y και έχει το αποτέλεσµα [1 (1 ν)], [ (1 ν)] Άρα, όταν µπαίνουµε στο παιγνίι τι περιµένουνε. Περιµένουνε v=1 (1 ν)] και 1 v = (1 ν) v= x, 1 x (1 ν ), y* = ν x, 1 x < (1 ν ) = To v είναι η αξία που έχει το παιγνίι/ η ιαπραγµάτευση για τον πρώτο παίχτη. Το (1 v) είναι η αξία που έχει η ιαπραγµάτευση για τον εύτερο παίχτη. Ας αντικαταστήσουµε στο [v, (1 v)] το v τότε θα έχουµε: (1 ), (*) Άρα, αν υπάρχουνε ιαπραγµατεύσεις που ιαρκούνε υνάµει άπειρες περιόους, τότε το αποτέλεσµα της τέλειας κατά Nash ισορροπίας υποπαιγνίων είναι το (*). Ο πρώτος παίχτης περιµένει: (1 ), και ο εύτερος παίκτης περιµένει υπόλοιπο που είναι:. Με αυτό το κόλπο που κάναµε λύσαµε και βρήκαµε το αναµενόµενο αποτέλεσµα της ιαπραγµάτευσης /την ισορροπία αυτής της ιαπραγµάτευσης απείρων περιόων. Στο αποτέλεσµα της ισορροπίας, εν έχουµε κανένα v, το λύσαµε το v και το βρήκαµε. Βρήκαµε ποια είναι η αξία που έχει η ιαπραγµάτευση για κάθε ένα από τους παίκτες, χρησιµοποιώντας αυτό το κόλπο του απείρου που µας ίνει εύκολες λύσεις. Τώρα, ας πούµε ότι έχουµε ύο ιαπραγµατεύσεις. Η µια ξεκινάει σήµερα και η άλλη ξεκινάει µεθαύριο. Οι ιαπραγµατεύσεις έχουν ακριβώς την ίια οµή. Όταν µπει κανένας σε µια ιαπραγµάτευση σήµερα (ο παίχτης ) περιµένει το v. Αν ο παίχτης µπει στην ίια ιαπραγµάτευση µετά από ύο µέρες θα περιµένει v. Ο παίχτης ξέρει ότι αν µπει στην ιαπραγµάτευση µεθαύριο περιµένει την ποσότητα v και ο αντίπαλος του /ο παίχτης ξέρει ότι περιµένει την ποσότητα (1 ν ). Άρα λέµε: οι παίκτες έχουν τη υνατότητα να µπουν µεθαύριο ή να µπουν από σήµερα. ηλαή οι παίχτες έχουν τη υνατότητα να αρχίσουν µια ιαπραγµάτευση µετά από ύο περιόους. Το v εν µπορεί να αλλάξει οπότε εν θα αλλάξει η ισορροπία. Αν παίξουµε ένα παιγνίι σήµερα ή το παίξουµε µεθαύριο πάλι την ίια ισορροπία θα έχει. 179
Άµα ξεκινήσουµε ιαπραγµατεύσεις απείρων περιόων µεθαύριο ή απείρων περιόων σήµερα εν θα αλλάξει τίποτα. Άρα ότι θα πάρουµε µεθαύριο θα το πάρουµε και σήµερα (σε πραγµατικούς όρους). Το v είναι σε πραγµατικούς όρους (είναι ποσό, χρήµα). Η µόνη ιαφορά είναι αν το πάρουµε µεθαύριο θα είναι λιγότερη η αξία για µας. Αυτό λέει. Αν το πάρουµε µεθαύριο θα πάρουµε το ίιο πράγµα που θα πάρουµε και σήµερα αλλά προεξοφληµένο. Απορία: Άρα θα το πάρουµε από σήµερα; Αυτό θα το ούµε όταν τελειώσουµε την ανάλυση. Το πρώτο πράγµα που ιαπιστώνει κανείς είναι ότι είτε σήµερα είτε µεθαύριο θα πάρουµε τα ίια χρήµατα /το ίιο ποσό. Απλώς το µεθαύριο θα είναι προεξοφληµένο, το σήµερα εν είναι. Άρα ξέρουµε ότι αν περιµένουµε σήµερα [v, (1 v)], µεθαύριο θα πάρουµε στα χέρια µας [v, (1 v)] προεξοφληµένο [ v, (1 v)]. Άρα αυτό είναι εοµένο όπως ήταν εοµένο το (s, 1 s). Εφόσον το [ v, (1 v)] είναι εοµένο η ανάλυση είναι η ίια. Ο θα εχθεί µια προσφορά [ y, (1 y)] µόνο αν περιµένοντας και µπαίνοντας ξανά στις ιαπραγµατεύσεις την εποµένη περίοο εν µπορεί να πετύχει παραπάνω. έχεται αν το y v κλπ. Άρα αναλύουµε το παιγνίι µε τον ίιο τρόπο προς τα πίσω και φτάνουµε στην πρώτη περίοο. Την πρώτη περίοο εοµένου [v, (1 v)] το αποτέλεσµα του παιγνιιού είναι: [1 (1 ν), (1- ν)]. Μα αυτό το αποτέλεσµα πρέπει να είναι [v, 1 v]. Γιατί; Γιατί έτσι υποθέσαµε από την αρχή. Άρα εξισώνουµε το v=1 (1 ν) και βρίσκουµε το v συνάρτηση των. v= Το v σε χρηµατικό ποσό /σε λίρες. Απορία: Αν ξεκινούσαµε από την τέταρτη περίοο και πηγαίναµε πίσω; εν πάει γιατί την τέταρτη περίοο ο παίχτης θα κάνει την προσφορά. Άρα εν είναι το ίιο παιγνίι όταν κάνει πρώτος την προσφορά ο και όταν κάνει πρώτος την προσφορά ο. Αν ήταν η πέµπτη περίοος, τότε το πρόβληµα θα ούλευε. Για να ούµε, λοιπόν, τις ιιότητες της ισορροπίας: (1 ), 180
Τι θα συµβεί αν τα ύο είναι τα ίια στην ισορροπία; = =. ηλαή οι ύο παίχτες έχουν την ίια υποµονή. Γιατί όταν είναι άπειροι οι περίοοι προσφορών και αντιπροσφορών, ο συντελεστής προεξόφλησης /η υποµονή των παιχτών είναι πολύ σηµαντικός παράγοντας. Αν τα ύο είναι τα ίια µπορούµε να ούµε ότι έχουµε: (1 ), (1 ), (1 )(1 + ) (1 )(1 + ) 1 +, Αν λοιπόν, οι ύο παίχτες έχουν τον ίιο συντελεστή προεξόφλησης αυτός 1 1+ που κάνει πρώτος την προσφορά κερίζει περισσότερα: 1 >, < 1 1+ 1+ Άρα υπάρχει first mover advantage. Αυτό εν ισχύει στην ακραία περίπτωση όπου το =1 γιατί έχουµε: 1 1, Εώ µοιράζονται εξίσου την πίτα. Τώρα µπορούµε να ιορθώσουµε το πλεονέκτηµα αυτού που κάνει πρώτος την προσφορά, βάζοντας µια πιθανότητα (½, ½) να αρχίζει ο παίχτης ή ο παίχτης. Οπότε αν το κάνουµε αυτό θα ούµε ότι το αποτέλεσµα θα είναι (½, ½) χωρίς να χρειαστεί να πούµε ότι το =1. 181