ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 14: Επαναληπτικά Θέματα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (18 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2014)
ΑΣΚΗΣΗ 1 (1) α) Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα αν γνωρίζετε ότι η κατανομή των βαθμών είναι συμμετρική από 0 έως 100: ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΕΣ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΘΜΟΙ ΠΛΗΘΟΣ ΦΟΙΤΗΤΩΝ 0-25 25-50 35 50-75 75-100 15 ΣΥΝΟΛΟ 100 ΠΟΣΟΣΤΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ
ΑΣΚΗΣΗ 1 (2) β) Να δημιουργήσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων. γ) Να βρείτε αριθμητικό μέσο και διάμεσο.
ΑΣΚΗΣΗ 2 Αν ο αριθμητικός μέσος μιας κατανομής μισθών είναι και η διακύμανση της κατανομής 56, να βρείτε πως θα επηρεαστούν ο αριθμητικός μέσος και η διακύμανση αν όλοι οι υπάλληλοι υποστούν μείωση 25 στον μισθό τους.
ΑΣΚΗΣΗ 3 Ο αριθμός των ωρών ανά εβδομάδα που περνούν στη βιβλιοθήκη οι φοιτητές Τ.Ε.Ι. Πειραιά ακολουθεί μια κανονική κατανομή με μέσο 4 και τυπική απόκλιση 2 ώρες. 1. Να υπολογίσετε τια ακόλουθες πιθανότητες: 2. Κάποιος φοιτητής να περνά στη βιβλιοθήκη πάνω από 3 ώρες εβδομαδιαίως. 3. Κάποιος φοιτητής να περνά στη βιβλιοθήκη ως και 3 ώρες εβδομαδιαίως.
ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε έναν διαγωνισμό μετέχουν 6 άνδρες και 4 γυναίκες. Υποθέτοντας ότι κανένας διαγωνιζόμενος δεν ισοβάθμησε με κάποιον άλλο και θέλουμε να τους κατατάξουμε ανάλογα με τον βαθμό που πήραν: α) Πόσες βαθμολογικές κατατάξεις μπορούν να γίνουν; β) Αν κατατάξουμε ξεχωριστά άνδρες και γυναίκες σε ξεχωριστές λίστες, πόσες κατατάξεις μπορούν να γίνουν τότε;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010)
ΑΣΚΗΣΗ 1 Αν γνωρίζουμε ότι η κατανομή των μισθών σε μια εταιρία είναι συμμετρική με τους μισούς εργαζόμενους να λαμβάνουν πάνω από 820 ευρώ, ενώ το 25% αυτών λαμβάνει πάνω από 1000 ευρώ, να υπολογίσετε: το μέσο μισθό, το διάμεσο μισθό, τον επικρατών μισθό, το μισθό κάτω από τον οποίο λαμβάνει το 25% των εργαζομένων, τον συντελεστή ασυμμετρίας των μισθών.
ΑΣΚΗΣΗ 2 Στο μάθημα της Στατιστικής επιτυγχάνουν το 98% όσων συμμετέχουν στις εργασίες του μαθήματος. Αν στις εξετάσεις του Μαθήματος έλαβαν μέρος 115 φοιτητές ου συμμετείχαν στις εργασίες, να υπολογίσετε τις πιθανότητες: Να αποτύχουν 5 από αυτούς. Να επιτύχουν όλοι οι εξεταζόμενοι. Να βρείτε το μέσο αριθμό επιτυχόντων.
ΑΣΚΗΣΗ 3 Πόσοι είναι οι τριψήφιοι αριθμοί που δεν περιέχουν το ψηφίο 1;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (24 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011)
ΑΣΚΗΣΗ 1 Η κατανομή των μισθών που καταβάλλει μια επιχείρηση στους υπαλλήλους βρέθηκε ότι είναι συμμετρική. Αν ο μέσος μισθός υπολογίστηκε ότι είναι 875 ευρώ, ενώ ένας στους 4 υπαλλήλους λαμβάνει μισθό κάτω από 720 ευρώ και ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι 10%, να υπολογίσετε τα ακόλουθα: α) Ο διάμεσος μισθό. β) Ο μισθός πάνω από τον οποίο αμείβεται το 25% των υπαλλήλων. γ) Η διακύμανση των μισθών. δ) Η τυπική απόκλιση των μισθών. ε) Ο επικρατών μισθό.
ΑΣΚΗΣΗ 2 (1) «Πόσο κινδυνεύουμε από τη νέα γρίπη; Kαταρχάς να διευκρινίσουμε ότι οι γνώσεις μας έχουν έναν βαθμό αβεβαιότητας, καθώς πρόκειται για μια νέα ασθένεια. Mε αυτά που γνωρίζουμε σήμερα, ο καθένας μας έχει πολύ μικρή πιθανότητα να νοσήσει σοβαρά: Περίπου 1% όσων αρρωσταίνουν με τη νέα γρίπη χρειάζονται νοσοκομείο. Ακόμη μικρότερη είναι η πιθανότητα θανάτου: Περίπου 1 στους 1.000 που νοσούν.
ΑΣΚΗΣΗ 2 (2) Όμως, αυτά τα μικρά ποσοστά -και ο μικρός κίνδυνος για τον καθένα μας χωριστά- μπορεί να μεταφραστεί σε έναν όχι ευκαταφρόνητο αριθμό ατόμων που θα αρρωστήσουν σοβαρά ή και θα καταλήξουν, στη φάση της μεγάλης εξάπλωσης της νέας γρίπης. Kαι πρέπει να είμαστε έτοιμοι γι' αυτό -σαν άτομα, σαν κοινωνία και σαν υγειονομικό σύστημα.» Τάκης Παναγιωτόπουλος - Επιδημιολόγος ΗΜΕΡΗΣΙΑ ON LINE (1-8-2009)
ΑΣΚΗΣΗ 2 (3) Στηριζόμενοι στα στατιστικά στοιχεία του άρθρου να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα: α)σε σύνολο 1000 άρρωστων από τη νέα γρίπη ατόμων, ποια η πιθανότητα περισσότεροι από 10 ασθενείς να χρειαστούν νοσηλεία σε νοσοκομείο; β) Πόσοι από τους 1000 αρρώστους αναμένεται να νοσηλευτούν; δ) Πόσοι από τους 1000 αρρώστους αναμένεται να πεθάνουν;
ΑΣΚΗΣΗ 3 (1) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: x i f i (απόλυτη συχνότητα) f i % (σχετική συχνότητα) F i (αθροιστική συχνότητα) F i % (σχετική αθροιστική συχνότητα) 2 20% 5 21 7 76% 8 12 Σύνολο 50
ΑΣΚΗΣΗ 3(2) α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή της παραπάνω κατανομής. β) Να υπολογίσετε την διακύμανση της παραπάνω κατανομής. γ) Να δημιουργήσετε το κατάλληλο γράφημα για να περιγράψετε την παραπάνω κατανομή.
ΑΣΚΗΣΗ 4 (1) Ένας πωλητής διενεργεί τηλεφωνικές πωλήσεις για το προϊόν της εταιρείας στην οποία εργάζεται. Από ιστορικά στοιχεία που τηρούνται στο τμήμα πωλήσεων της εταιρείας προκύπτει ότι η πιθανότητα επίτευξης πώλησης για το συγκεκριμένο πωλητή είναι 28%. Έστω ότι ο πωλητής σε μια τυχαία επιλεγμένη ημέρα τηλεφωνεί σε 12 άτομα.
ΑΣΚΗΣΗ 4(2) Να υπολογισθούν: i) Η πιθανότητα να επιτύχει 4 πωλήσεις. ii) Η πιθανότητα να μην επιτύχει καμία πώληση. iii) Η πιθανότητα να επιτύχει το πολύ 2 πωλήσεις. iv) Η πιθανότητα να επιτύχει τουλάχιστον 3 πωλήσεις. v) Ο αναμενόμενος αριθμός και η τυπική απόκλιση των πωλήσεων.
ΑΣΚΗΣΗ 5 Ένας όμιλος 12 επιχειρήσεων έχει μέσα κέρδη πρώτου τετραμήνου 2011, 43200 ευρώ και τυπική απόκλιση κερδών 1620 ευρώ. Αν αποφασίσει να ξοδέψει για κάθε επιχείρηση το ποσό των 1200 για διαφημιστικά έξοδα, πώς θα μεταβληθεί το μέσο κέρδος και η τυπική απόκλιση κερδών του πρώτου τετραμήνου;
ΑΣΚΗΣΗ 6 (1) Ο στρατός κάποιας χώρας χρησιμοποιεί σωματομετρικά στοιχεία των νεοσυλλέκτων ώστε να παραγγέλνει επαρκείς ποσότητες από τα απαιτούμενα μεγέθη στολών. Τα στοιχεία αυτά δίνουν ότι το ύψος των νεοσυλλέκτων (σε μέτρα) ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(μ=1.78,σ=0.05).
ΑΣΚΗΣΗ 6 (2) α) Ποιό ποσοστό (επί τοις εκατό) των νεοσυλλέκτων έχει ύψος μεταξύ 1.70 και 1.92 μέτρα; β) Ο στρατός παραγγέλνει τέτοια μεγέθη στολών ώστε κάθε νεοσύλλεκτος εκτός από αυτούς που ανήκουν στο υψηλότερο 1% του πληθυσμού να βρίσκει στολή στο μέγεθός του. Μέχρι ποιό ύψος πρέπει συνεπώς να έχει ένας νεοσύλλεκτος ώστε να βρει στολή στο μέγεθος του;
ΑΣΚΗΣΗ 7 (1) Σε στατιστική έρευνα για τα μηνιαία έξοδα φοιτητών που νοικιάζουν σπίτι στον τόπο φοίτησής τους, ερωτήθηκαν 40 φοιτητές και τα δεδομένα ταξινομήθηκαν σε 6 κλάσεις πλάτους 100 ευρώ. Ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων που προέκυψε είναι ο ακόλουθος:
ΑΣΚΗΣΗ 7 (2) Μηνιαία έξοδα φοιτητών σε ευρώ Πλήθος φοιτητών 200-300 2 300-400 4 400-500 8 500-600 13 600-700 9 700-800 4
ΑΣΚΗΣΗ 7 (3) Να σημειώσετε στην κόλλα σας ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος, αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας. α) Η κατανομή των εξόδων είναι συμμετρική. β) Τα μέσα έξοδα συμπίπτουν με τη διάμεση και την επικρατούσα τιμή τους. γ) Στην έρευνα δύο φοιτητές αρνήθηκαν να απαντήσουν. δ) Η αθροιστική συχνότητα της κλάσης 500-600 είναι 27. ε) Η κεντρική τιμή της 1 ης κλάσης είναι 2.
ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ