ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1-

ΣΥΝΤΟΜΟ CV. Ο Χρήστος Ταραντίλης είναι Αναπληρωτής Καθηγητής στο Τμήμα Διοικητικής Επιστήμης και Τεχνολογίας του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών. Η ερευνητική δραστηριότητά του εντάσσεται στην επιστημονική περιοχή της Βελτιστοποίησης στη Διοίκηση της Παραγωγής και των Υπηρεσιών, στη Διοίκηση των Logistics των Μεταφορών και στη Διαχείριση της Εφοδιαστικής Αλυσίδας. Ειδικότερα, δραστηριοποιείται ερευνητικά στον σχεδιασμό, την ανάπτυξη και την εφαρμογή μαθηματικών μοντέλων, τεχνικών επιχειρησιακής έρευνας και αλγορίθμων υπολογιστικής ευφυΐας και τεχνητής νοημοσύνης σε Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων με εφαρμογές κυρίως στον επιχειρηματικό και βιομηχανικό κλάδο. Έχει συνολικά άνω των 130 επιστημονικών εργασιών σε διεθνή περιοδικά και συνέδρια γνωστών επιστημονικών συλλόγων και εκδοτικών οίκων, όπως της INFORMS των ΗΠΑ, του Operational Research Society της Μεγ. Βρετανίας, του Institute of Electrical and Electronics Engineers των ΗΠΑ, Elsevier, Wiley, Springer και Taylor & Francis. O Χρήστος Ταραντίλης έχει, επίσης, εκτελέσει καθήκοντα εκδότη ειδικών τευχών (special issues) σε διεθνή επιστημονικά περιοδικά κύρους, προέδρου σε επιστημονικές συνεδρίες διεθνών και εθνικών συνεδρίων, μέλους εκδοτικών συμβουλίων σε διεθνή επιστημονικά περιοδικά, προέδρου σε επιστημονικά συνέδρια, μέλους επιστημονικών και οργανωτικών επιτροπών σε διεθνή και εθνικά συνέδρια και κριτή σε υψηλού επιπέδου διεθνή περιοδικά (INFORMS, IEEE, κ.λπ.). Επιπλέον, έχει λάβει, πάνω από 15 φορές, τα βραβεία "Υψηλής Διδακτικής Επίδοσης" και "Μαθήματος με την Υψηλότερη Αξιολόγηση" για τα προπτυχιακά και τα ΜΒΑ μαθήματα (Executive MBA) που διδάσκει στο Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 2-

ΣΚΟΠΟΣ. ΣΚΟΠΟΣ του μαθήματος είναι να εκπαιδεύσει τους φοιτητές μας στο σχεδιασμό αλγοριθμικών /υπολογιστικών στρατηγικών επίλυσης των προβλημάτων που παρουσιάζονται στο χώρο της διοικητικής επιστήμης και μοντελοποιούνται ως προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης Με άλλα λόγια να διδάξει πώς να διοικούνται οι οργανισμοί και οι επιχειρήσεις λύνοντας τα προβλήματα τους ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 3-

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Ως αλγόριθμος ορίζεται μια πεπερασμένη σειρά βημάτων- ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο, που στοχεύουν στην επίλυση ενός προβλήματος Ένας αλγόριθμος ονομάζεται εξαντλητικός όταν το σύνολοτωνλύσεωνπουεξετάζειείναιίσομετοχώρο τωνεφικτώνλύσεων. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 4-

Η ΑΧΙΛΛΕΙΟΣ ΠΤΕΡΝΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ Έστωότισχεδιάζετεμετουςφίλουςσαςέναταξίδι στηνευρώπηκαιθέλετεναπάτεσετουλάχιστον15 μεγάλεςπόλεις(συμπεριλαμβανομένηςτηςαθήνας), ξεκινώνταςκαιεπιστρέφονταςστηναθήνα. Πόσεςλύσειςπρέπειναεξεταστούνγιαναβρεθείτο μικρότερηςαπόστασηςταξίδιμεταξύτων15 πόλεων, δεδομένων όλων των αποστάσεων μεταξύ των κάθε ζεύγους πόλεων; Υποθέτουμε ότι χρησιμοποιούμε ένα PC που εξετάζει1 εκατομμύριολύσειςανάδευτερόλεπτο. Πόσοχρόνοχρειάζεταιουπολογιστήςγιαναβρειτη βέλτιστη λύση(ελάχιστο κόστος); ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 5-

Η ΑΧΙΛΛΕΙΟΣ ΠΤΕΡΝΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ (n-1)!=(15-1)!=14!= 8,7178 X 1010 = 88 δισεκατομμύρια λύσεις περίπου 8,8*10 10 διαδρομές/10 6 διαδρομές/δευτερόλεπτο= 88.000 δευτερόλεπτα 88.000 δευτερόλεπτα* 1λεπτό/60 δευτερόλεπτα*1ώρα/60λεπτά = 24,44 ώρες ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 6-

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Για ένα Διοικητικό Επιστήμονα, τόσο σε προπτυχιακό όσο και σε μεταπτυχιακό επίπεδο, δεν είναι το σημαντικότερο πράγμα να μάθει να επινοεί σύνθετες μη-γραμμικές εξισώσεις, ειδικά διαμορφωμένεςγιαναεπιλύουνσυγκεκριμέναπροβλήματα. Αντίθετα είναι πολύ σημαντικό να διδαχθεί να αναγνωρίζει την υπολογιστική φύση(μορφή λύσης) του κάθε προβλήματος και στη συνέχεια να εκπαιδευτεί να σχεδιάζει υπολογιστικά πλαίσια επίλυσης που να μπορούν να αντιμετωπίζουν μεγάλο πλήθος προβλημάτων, απόδιαφορετικάπεδίαεφαρμογής(παραγωγή, Υπηρεσίες, Logistics, Μεταφορές, ΑνθρώπινοΔυναμικόκτλ). Στόχος είναι, μέσω της χρήσης των υπολογιστικών/αλγοριθμικών μεθόδων, η εύρεση υψηλής ποιότητας λύσεων σε ρεαλιστικής κλίμακας εφαρμογές διοικητικής επιστήμης, εντός αποδεκτών χρονικώνδιαστημάτων. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 7-

ΕΠΙΛΥΣΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Οι κλασικές τεχνικές της Επιχειρησιακής Έρευνας(ακέραιος και γραμμικός προγραμματισμός) αδυνατούν να επιλύσουν τα ρεαλιστικά(δηλαδήταμεσαίαςκαιμεγάληςκλίμακας) προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης λόγω του τεράστιου αριθμού λύσεων που χρειάζεται να εξεταστούν καθώς και πράξεων που απαιτούνται να γίνουν για την εύρεση τηςβέλτιστηςλύσηςκαιτουκόστουςήτουοφέλουςαυτής. Η αποτελεσματική επίλυση(αποδεκτός χρόνος) αυτών των προβλημάτων απαιτεί τη χρήση των προσεγγιστικών αλγορίθμων. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 8-

ΕΠΙΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Οι προσεγγιστικοί αλγόριθμοι επιχειρούν(προσεγγίζουν) την εύρεση του παγκόσμιου βέλτιστου, ή τουλάχιστον την εύρεση μιας λύσης που παρουσιάζει μικρή απόκλιση από το παγκόσμιο βέλτιστο, σε αποδεκτό υπολογιστικό χρόνο. Μια από τις σημαντικότερες κατηγορίες των προσεγγιστικών αλγορίθμωνείναιοιευρετικοίαλγόριθμοι. Οι Ευρετικοί Αλγόριθμοι μπορούν να διαχωριστούν στις εξής κατηγορίες: Κλασικοί Eυρετικοί Aλγόριθμοι(Classic heuristic algorithms). Μεταευρετικοί Αλγόριθμοι(Metaheuristic algorithms). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 9-

ΕΥΡΕΤΙΚΟΙ & ΜΕΤΑΕΥΡΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Κοινά χαρακτηριστικά των δυο αυτών τύπων αλγορίθμων: Εξετάζουν ένα υποσύνολο του συνόλου όλων των πιθανών λύσεων του υπό-εξέταση προβλήματος Διατυπώνουν κανόνες βάσει των οποίων αφενός επιλέγουν τις λύσεις που εξετάζουν και αφετέρου απορρίπτουν τις λύσεις που δεν εξετάζουν. Επιλύουν οποιασδήποτε κλίμακας προβλήματα εντός αποδεκτών χρονικών διαστημάτων ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 10-

ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Μια πρόσφατη έρευνα(2009) της Accenture σε 254 managers μεγάλων εταιρειών στις ΗΠΑ ανέδειξε ότι το 60% των διοικητικών αποφάσεων που πάρθηκαν βασίστηκαν στη χρήση υπολογιστικών στρατηγικών επίλυσηςκαιμεθόδωνανάλυσηςδεδομένων. Μια άλλη έρευνα καθηγητών γνωστών πανεπιστημίων των ΗΠΑ (Coghlan et al. 2010) που αφορούσε συνεντεύξεις ανώτατων στελεχών 16 μεγάλων επιχειρήσεων δημοσιοποίησε την ομόφωνη παραδοχή τουςσχετικάμετηνμεγάληκαιαυξανόμενησημασίαπουέχειηχρήση των υπολογιστικών στρατηγικών επίλυσης στη λήψη διοικητικών αποφάσεων. Η IBM αναδιοργάνωσε πρόσφατα τις συμβουλευτικές επιχειρηματικές δραστηριότητεςτης, προωθώνταςένανέοοργανισμό4000 εργαζομένων που έχει ως στόχο την εφαρμογή υπολογιστικών στρατηγικώνεπίλυσηςστηλήψηδιοικητικώναποφάσεων. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 11-

ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Το φημισμένο αμερικάνικο περιοδικό Business Week κατατάσσει τα κορυφαία MBA μεταπτυχιακά προγράμματα ανάλογα με τη ικανότητα αυτών των προγραμμάτων να εμφυσήσουν υπολογιστικές μεθόδους στους αποφοίτους τους (Merritt and Chambers 2004). Το φημισμένο περιοδικό Harvard Business Review περιγράφει τη συνεχώς αυξανόμενη χρήση υπολογιστικών μεθόδων από τις επιχειρήσεις με σκοπό την απόκτηση ανταγωνιστικού πλεονεκτήματος(davenport 2006). Το Business Week υπογραμμίζει την συνεχώς αυξανόμενη σημασία της χρήσης υπολογιστικών μεθόδων στον κόσμο των επιχειρήσεων(baker and Leak 2006). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 12-

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Επιχειρησιακές Αποφάσεις: Αποφάσεις που επηρεάζουν τη τη καθημερινή δραστηριότητα μιας επιχείρησης ή ενός οργανισμού Χαρακτηριστικά Επιχειρησιακών Αποφάσεων: Έχουν βραχυπρόθεσμο ορίζοντα (χρειάζονται να ναλαμβάνονται σε σεκαθημερινή βάση). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 13-

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Παραδείγματα Επιχειρησιακών Αποφάσεων: Αποφάσεις δρομολόγησης υπηρεσιακών οχημάτων Διαχείριση και Προγραμματισμός Ανθρωπίνου Δυναμικού Διαχείριση Ουρών Αναμονής ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 14-

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Στρατηγικές Αποφάσεις: Αποφάσεις που έχουν μεγάλη επίδραση στη γενικότερη πορεία και κατεύθυνση μιας επιχείρησης ή ενός οργανισμού Χαρακτηριστικά Στρατηγικών Αποφάσεων: Έχουν μακροπρόθεσμο ορίζοντα. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 15-

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ Παραδείγματα Στρατηγικών Αποφάσεων: Αποφάσεις χωροθέτησης εγκαταστάσεων (αποθηκών, σημείων πώλησης) Αποφάσειςανάθεσηςπρομηθευτώνσεεργοστάσια, εργοστασίων σε σεκέντρα διανομής, κέντρων διανομής σε σεπελάτες Αποφάσεις χωροθέτησης κινητών μονάδων υπηρεσιών (ασθενοφόρων, πυροσβεστικών) Αποφάσειςκαθορισμούστόλουυπηρεσιακώνοχημάτων: ιδιόκτητος ή μη μη ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 16-

ΚΟΙΝA ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚA ΜΕΤΑΞΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΌΛΑ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΘΑ ΕΞΕΤΑΣΤΟΥΝ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΟΥ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΧΟΥΝ ΕΝΑ ΚΟΙΝΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ Ή ΜΙΑ ΚΟΙΝΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ: Η ΜΟΡΦΗ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΔΟΜΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 17-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Μια επιχείρηση διανομής πετρελαίου θέρμανσης έχει ιδιόκτητο στόλο 10 οχημάτων, γνωστής χωρητικότητας, το καθένα από τα οποία χρησιμοποιείταιγιανακαλυφθείηδεδομένηζήτηση500 πελατώντης. Οι αποστάσεις για κάθε ζεύγος πελατών και για κάθε ζεύγος επιχείρησηπελάτη είναι δεδομένες. H επιχείρηση επιθυμεί την εύρεση της ελάχιστης απόστασης δρομολογίου για την βέλτιστη εξυπηρέτηση των 500 πελατώντηςαπότονυπάρχωνστόλο. Περιορισμοί της επιχείρησης: Τα οχήματα ξεκινούν από την επιχείρηση και αφού εξυπηρετήσουν του πελάτες επιστρέφουν σε αυτή. Πρέπει να εξυπηρετηθούν όλοι οι πελάτες. Η καλυπτόμενη ζήτηση των πελατών που εξυπηρετούνται από ένα όχημαδενμπορείναυπερβαίνειτηχωρητικότητατουοχήματος. Κάθε πελάτης εξυπηρετείται μια φορά από ένα όχημα. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 18-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΠΟΙΑ Η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΑΥΤΟΥΤΟΥΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ;;;;; ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 19-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Κάθε ιστοσελίδα ενός φημισμένου ιστότοπου έχει έναν προκαθορισμένο χώρο δεδομένης διάστασης, εντός του οποίου προβάλλονται δεδομένης διάστασης πλαίσια των διαφημίσεων. Θεωρώνταςότιοιστότοποςέχεινα προβάλλει200 διαφημιστικάπλαίσια, ζητείται να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός ιστοσελίδων που θα χρησιμοποιηθούν γιατηνπροβολήτων200 διαφημιστικών πλαισίων. Δεν υπάρχει περιορισμός στον αριθμό ιστοσελίδων που θα χρησιμοποιηθούν. ΠΟΙΑ Η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΑΥΤΟΥΤΟΥΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ;;;;; ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 20-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Ηδιοίκησημιαςνοσοκομειακήςκλινικήςκαθορίζει, κάθεπρωί, το πρόγραμμα επίσκεψης των(διαφόρων ειδικοτήτων) γιατρών στους500 ασθενείςτης. Ανάλογα με την πάθηση του κάθε ασθενούς, διαφορετικά επιτελεία διαφορετικών ειδικοτήτων γιατρών επισκέπτεται καθημερινάγιαένατέταρτοτονκάθεασθενήμεσκοπόνα εξετάσειτηνπρόοδοτηςθεραπείαςτου. Συγκεκριμέναταδιαστήματατωνεπισκέψεωνείναιταεξής: 8.00-8.15, 8.15-8.30, 8.30-8.45, 8.45-9.00, 9.00-9.15, 9.15-9.30, 9.30-9.45, 9.45-10.00, 10.00-10.15, 10.15-10.30, 10.30-10.45, 10.45-11.00, 11.00-11.15, 11.15-11.30, 11.30-11.45, 11.45-12.00. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 21-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Στόχος της διοίκησης είναι να οργανωθούν οι επισκέψεις των επιτελείων των γιατρών με τέτοιο τρόπο ώστε η πραγματοποίηση του συνόλου των επισκέψεων να διαρκέσει τον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Επιπλέον, υπάρχουν περιορισμοί σχετικά με το γεγονός ότι κάποιοι ασθενείς δεν είναι δυνατό να εξετασθούν ταυτόχρονα το ίδιο τέταρτο(γιατί τα εμπλεκόμενα επιτελεία θα αποτελούνται από κοινούς γιατρούς). Για παράδειγμα, ο ασθενής που βρίσκεται στο κρεβάτι 1 (ασθενής 1 για συντομία) δεν μπορεί να εξετασθεί τηνίδιαώραπουθαεξετασθούνοιασθενείς5 και6, οασθενής2 δενμπορείναεξετασθείεντόςτηςώραςπουθαεξετασθούνοι ασθενείς3 και5 κτλ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 22-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 ΠΟΙΑ Η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ;; ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 23-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Μεγάλες εταιρείες που επιθυμούν να διαφημιστούν αγοράζουν μεγάλο αριθμό από τα διαθέσιμα χρονικά διαστήματα(slots) ενός τηλεοπτικού καναλιού για να προβληθούν οι διαφημίσεις τους. Το πρόβλημα που προκύπτει είναι να(χρόνο)τοποθετηθούν τα διαφημιστικά στα διάφορα χρονικά διαστήματα(slots) που έχουν αγοραστεί. Θεωρούμε ότι ένα τηλεοπτικό κανάλι προβάλλει 36 διαφημίσεις εντός κάθε ημέρας(7πμ-2πμ) οι οποίες θεωρούμε ότι κρατάνε ίδια χρονικάδιαστήματα. Γιατις36 διαφημίσειςυπάρχουν36 αντίστοιχα χρονικά slots. Με άλλα λόγια, ένα διαφημιστικό προβάλλεταιεντόςενόςslot. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 24-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των φορών που θα προβληθούν τα διαφημιστικά κάθε εταιρείας. Βάση του πίνακα το διαφημιστικό της εταιρείας Α θα προβληθεί 3 φορές. Δηλαδή το διαφημιστικό τηςεταιρείαςαθατοποθετηθείσε3 απότα 36 slots. Στόχος είναι να τοποθετούνται τα διαφημιστικά κάθε εταιρείας σε όσο το δυνατόν πιο ισοκατανεμημένα slots. Εταιρεία Α Εταιρεία Β Εταιρεία Γ Εταιρεία Δ Εταιρεία Ε Εταιρεία Ζ Εταιρεία Η Εταιρεία Θ Εταιρεία Ι Εταιρεία Κ Εταιρεία Λ Εταιρεία Μ Σύνολο Διαφημιστικά 3 φορές 1 4 3 5 1 2 1 2 5 3 6 36 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 25-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 ΠΟΙΑ Η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ;;;;; ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 26-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Θεώρησε ότι είσαι διοικητικός επιστήμονας και καλείσαι να επιλύσειςτοακόλουθοπρόβλημα: Δεδομένου ενός συνόλου 500 πραγμάτων, καθένα από τα οποίαμεένασυγκεκριμένοόγκοκαιμιασυγκεκριμένηαξία, καθόρισε τον αριθμό των πραγμάτων που θα επιλεγούν να μεταφερθούν με ένα container, συγκεκριμένης χωρητικότητας, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η συνολική αξία των πραγμάτων που μπορούν να μεταφερθούν. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 27-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗΛΥΣΕΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 ΠΟΙΑ Η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ;;;;; ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 28-

ΚΛΑΣΙΚΟΙ ΕΥΡΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Οι κλασικοί ευρετικοί αλγόριθμοι είναι στρατηγικές που έχουν ως βασικό στόχο τη μείωση του πλήθους των εξεταζόμενων λύσεων για την εύρεση του παγκόσμιου βέλτιστου με προφανή εξοικονόμηση χρόνουεπίλυσηςτουπροβλήματος. Οι κλασικοί ευρετικοί αλγόριθμοι μπορούν να χωριστούν σε παρακάτω βασικές κατηγορίες: Ευρετικοί Κατασκευής ή Κατασκευαστικοί Αλγόριθμοι (Construction Heuristics ή Construction Algorithms): π.χ. Πλεονεκτικοί και Στοχαστικοί Ευρετικοί Κατασκευής Ευρετικοί Επαναληπτικής Βελτίωσης ή Αλγόριθμοι Επαναληπτικής Βελτίωσης(Iterative Improvement Algorithms) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 29-

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ο σχεδιασμός ενός Κατασκευαστικού Αλγορίθμου απαιτεί: τονκαθορισμό τημορφήςτηςλύσηςτουπροβλήματοςπουπάμε ναλύσουμε, μεάλλαλόγια, τηνκατανόησητιακριβώςπάμενα λύσουμε για να πετύχουμε τον αντικειμενικό στόχο του προβλήματος, εξετάζοντας και κατανοώντας τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του προβλήματος που θέλουμε να επιλύσουμε. τον καθορισμό των κριτηρίων και των στρατηγικών με βάση τις οποίες θα περιγραφεί ο τρόπος που θα κατασκευάζεται η λύση του προβλήματος που θέλουμε να επιλύσουμε τον καθορισμό του τρόπου αξιολόγησης της μιας και μοναδικής λύσης που κατασκευάζεται(δηλαδή υπολογίζει το κόστος ή το όφελος της λύσης). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 30-

ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΠΛΕΟΝΕΚΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Η εκπαίδευση στο σχεδιασμό ενός πλεονεκτικού κατασκευαστικού αλγορίθμου(πκα) δίνει τη δυνατότητα στο διοικητικό στέλεχος να υπολογίσει μια λύση στο πρόβλημα που αντιμετωπίζει(όχι απλά να αναλύσειήναπροτείνειμεάναρχοτρόποιδέεςπουπιθανώςνα υποστηρίζει ότι θα επιλύσουν το εξεταζόμενο πρόβλημα...) χωρίς να απαιτείται η ανάπτυξη πολύπλοκων μαθηματικοποιημένων μοντέλων και η γνώση σύνθετων ποσοτικών μεθόδων. Επιπλέον, η εκπαίδευση ενός διοικητικού στελέχους στο σχεδιασμό ενός ΠΚΑ, του/της δίνει τη δυνατότητα να επικοινωνήσει και να περιγράψει επακριβώς τον τρόπο επίλυσης του εξεταζόμενου προβλήματος στα στελέχη της πληροφορικής. Τα στελέχη της πληροφορικής είναι αυτά που θα ασχοληθούν στη συνέχεια με το τεχνικό κομμάτι υλοποιώντας (κάνοντας κώδικα) τον προτεινόμενο ΠΚΑ(που εσείς θα έχετε σχεδιάσει). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 31-

ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΠΛΕΟΝΕΚΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ένας ΠΚΑ αποτελεί ένα αποτελεσματικό τρόπο μέσω του οποίου ένα διοικητικό στέλεχος μπορεί να δομήσει με συγκεκριμένο τρόπο τις ιδέες που έχει για την επίλυση ενός προβλήματος(λόγω της πολυετούς εμπειρίας πουέχειωςpractitioner) καιναμετατρέψειαυτέςτιςιδέεςσεμια αποτελεσματικήμέθοδοεπίλυσηςτουυπόεξέτασηπροβλήματος. ΣεαντίθεσημετιςκλασικέςτεχνικέςτηςΕπιχειρησιακήςΈρευνας(π.χ. ακέραιος και γραμμικός προγραμματισμός) οι οποίες αδυνατούν να επιλύσουνταρεαλιστικά(δηλαδήταμεσαίαςκαιμεγάληςκλίμακας) προβλήματα λόγω του τεράστιου αριθμού λύσεων που χρειάζεται να εξεταστούν καθώς και των πράξεων που απαιτούνται να γίνουν για την εύρεση της θεωρητικά βέλτιστης λύσης, κάθε ένας ΠΚΑ έχει τη δυνατότητα να κατασκευάζει ΜΙΑ υψηλής ποιότητας λύση του υπό εξέταση προβλήματοςεντόςελάχιστωνδευτερολέπτων. Ηεπίλυσηενόςπροβλήματος, μέσωενόςπκα, εντόςλίγωνδευτερολέπτων, δίνει τη δυνατότητα στο διοικητικό στέλεχος να επιλύσει και να λάβει αποφάσεις τόσο για στατικά όσο και για δυναμικά προβλήματα σε πραγματικό χρόνο. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 32-

ΤΡΟΠΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΝΟΣ ΠΚΑ Επανάληψη 1 Επανάληψη 2 Επανάληψη 3 Θεωρώντας το πρόβλημα της διαφάνειας 5... Επανάληψη 4 Επανάληψη 5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 33-

ΤΡΟΠΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΝΟΣ ΠΚΑ Επανάληψη 1 Επανάληψη 2 Επανάληψη 3 Επανάληψη 4... Επανάληψη 5 Θεωρώντας το πρόβλημα της διαφάνειας 5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 34-

ΔΟΜΗ ενός ΠΚΑ ΈναςΠΚΑπαρουσιάζεταιγενικάωςεξής: Καθόρισε τη«μορφής της Λύσης» του εξεταζόμενου προβλήματος Καθόρισε το«στοιχείο της Λύσης» Καθόρισε το«κριτήριο Επιλογής» του στοιχείου της λύσης Καθόρισε το«κριτήριο Αξιολόγησης» της λύσης Επανέλαβε Διέταξε τα υποψήφια στοιχεία της λύσης του προβλήματος, κατά σειράβασισμένηστο«kριτήριοeπιλογής». Πρόσθεσε στη δομή της ημιτελούς λύσης το«στοιχείο της Λύσης» που ικανοποιεί με τον καλύτερο τρόπο το«κριτήριο Επιλογής» μέχρι να συμπληρωθεί η λύση s του προβλήματος Αξιολόγησετηλύσηπουκατασκευάστηκε. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 35-

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Η συνδυαστική βελτιστοποίηση αφορά στην εύρεση της βέλτιστης διάταξης(ordering), ή αντιστοίχησης(assignment) ή επιλογής(selection) ή ομαδοποίησης(grouping) ενός διακριτού και πεπερασμένου συνόλου στοιχείων. Στόχος ενός προβλήματος συνδυαστικής βελτιστοποίησης είναι η βελτιστοποίηση των παραπάνω συνδυαστικών δομών. Ο προσδιορισμός«συνδυαστική» στη διαδικασία«βελτιστοποίηση» προκύπτει λόγω της ύπαρξης πεπερασμένου αριθμού διαφορετικών λύσεων που παράγονται κάθε φορά που τα στοιχεία της λύσης συνδέονται μεταξύτουςμεδιαφορετικότρόπο. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 36-

ΛΟΓΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ενός ΠΚΑ Αρχικά η λύση S δεν αποτελείται από κανένα«στοιχείο». Ένας ΠΚΑ κατασκευάζει μια λύση προσθέτοντας σε κάθε επανάληψη ένα καινούργιο«στοιχείο της λύσης» στην ημιτελή λύση S. Τα«στοιχεία της λύσης» που επιλέγονται θα πρέπει ταυτόχρονα να ικανοποιούν τους περιορισμούς του προβλήματος να προκαλούν το μεγαλύτερο πρόσθετο όφελος ή το ελάχιστο πρόσθετο κόστος στην ημιτελή λύση, όπως αυτό θα καθορίζεται από το«κριτήριοεπιλογής»τουστοιχείουτηςλύσης. Μεάλλαλόγια, σεκάθεεπανάληψηενόςπκαπροστίθεταιέναμόνο «στοιχείο της λύσης» μέχρι το σημείο που θα κατασκευασθείμια ολοκληρωμένηλύση. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 37-

ΣΗΜΑΣΙΑ του ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Όσο αποτελεσματικότερο είναι το«κριτήριο επιλογής» τόσο ποιοτικότερη είναι η λύση που θα κατασκευαστεί στον τερματισμό του ΠΚΑ. Αυτό συμβαίνει γιατί το«στοιχείο τη λύσης» που επιλέγεται σε κάθε επανάληψη είναι αυτό που ικανοποιεί με βέλτιστο τρόπο το «κριτήριο επιλογής». Άρα αν το«κριτήριο επιλογής» δεν είναι επιτυχημένα ορισμένο τότε καιτοστοιχείοτηςλύσηςπουθαεπιλέγεταισεκάθεεπανάληψητου ΠΚΑ δεν θα αποτελεί καλή επιλογή στη διαδικασία κατασκευής της λύσης. Το«κριτήριο επιλογής» αποτελεί το συστατικό του ΠΚΑ που επιχειρεί ναβελτιστοποιήσειτοναντικειμενικόστόχοτουπροβλήματος. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 38-

ΒΑΣΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ενός ΠΚΑ Συμπερασματικά, ένας ΠΚΑ αποτελείται από: Ένα σύνολο«υποψηφίων στοιχείων της λύσης», από τα οποία θα κατασκευαστεί η λύση. Ένα«κριτήριο επιλογής», η βέλτιστη ικανοποίηση του οποίου θακρίνειποιοθαείναιτουποψήφιο«στοιχείοτηςλύσης»που τελικά θα επιλεγεί και θα προστεθεί στην«ημιτελή» λύση του προβλήματος. Ένα«κριτήριο αξιολόγησης» που αξιολογεί την ολοκληρωμένη λύση του προβλήματος με βάση τον αντικειμενικό στόχο του υπό εξέταση προβλήματος. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 39-

1 η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ: ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 40-

1 η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ: ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ Ένα πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης καλείται πρόβλημα διάταξηςότανηδομήτηςλύσηςτου προβλήματος εκφράζεται ως ένα σύνολο διατάξεων στοιχείων(μιας ή περισσοτέρωνδιατάξεων).. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 41-

1 η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ: ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ Η έννοια της«διάταξης στοιχείων» είναι διαφορετική από αυτή της έννοιας του«συνόλου στοιχείων», λόγω του γεγονότος ότι τα στοιχεία μιας διάταξης(θα μπορούσε να ειπωθεί και ως ακολουθία στοιχείων) εμφανίζονταιπάνταδιατεταγμένα(δηλαδήυπάρχειτο1 ο στοιχείοτης διάταξης, το2 ο στοιχείοτηςδιάταξηςπουβρίσκεταιαμέσωςμετάτο1 ο στοιχείοκτλ). Αντιθέτως, ταστοιχείαενόςσυνόλου δενπαρουσιάζουνκαμίαδιάταξη. Π.χ. τα{1, 2, 3} και{3, 2, 1} αποτελούνδυοτρόπουςναπαρουσιάσειςτοίδιο σύνολοστοιχείων. Διαφορετικές διατάξεις στοιχείων παράγουν διαφορετικές δομές λύσεων (δηλαδή διαφορετικές λύσεις), που αξιολογούνται από μια αντικειμενική συνάρτηση, βασισμένη σε ένα σύνολο περιορισμών... ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 42-

2 η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ: ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ Ένα πρόβλημα ορίζεται ως πρόβλημα αντιστοίχισης όταν η δομή της λύσης του εκφράζεται ως αντιστοιχίσεις των στοιχείων (a 1, a 2,, a n ) ενόςσυνόλουαμεταστοιχεία (b 1, b 2,, b n ) ενόςάλλουσυνόλουβκαι αντίστροφα. Διαφορετικές αντιστοιχίσεις μεταξύ των στοιχείων του συνόλου Α και των στοιχείων του συνόλου Β παράγουν και διαφορετικές λύσειςτουυπόεξέτασηπροβλήματος. a 1 a 2 a 3...... a n b 1 b 2 b 3 b m ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 43-

2 η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ: ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ a 1 a 2 b 1 b 2 b 3 Ο σκοπός των προβλημάτων αντιστοίχισης είναι να βρεθεί η βέλτιστη αντιστοίχιση μεταξύ των στοιχείων του συνόλου Α και των στοιχείων του συνόλου Β, σύμφωνα με τον αντικειμενικό στόχο του προβλήματος a 3... a n... b m Ενδεικτικά Παραδείγματα: Αντιστοίχιση κιβωτίων σε αποθήκες Αντιστοίχιση αποθηκών σε τοποθεσίες Αντιστοίχιση ανθρωπίνου δυναμικού σε χρονικές περιόδους ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 44-

3 η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ: ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Προβλήματα Επιλογής: Δεδομένου ενός συνόλου στοιχείων, καλείσαι να επιλέξεις κάποια από τα στοιχεία με σκοπό να βελτιστοποιήσεις κάποιο αντικειμενικό στόχο. Λόγω της ύπαρξης περιορισμών δεν είναι δυνατό να επιλεγούν όλα ταστοιχείατουσυνόλου. Ενδεικτικάπαραδείγματα: Προβλήματα Εφοδιαστικής: Μεταφορικές εταιρίες που θέλουν να επιλέξουν ποια από ταcontainersήτακιβώτιαήτακουτιάθα μεταφερθούν με ένα φορτηγό ή καράβι ή αεροπλάνοήτρένομεσκοπότη μεγιστοποίηση του κέρδους που θα επιφέρει αυτή η επιλογή. ΠροβλήματαΔιαχείρισηςΧαρτοφυλακίου: Επιλογή των«καλύτερων» μετοχών με βάση ένασυγκεκριμένοδιαθέσιμοποσό. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 45-

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣΠΑΡΑΚΑΛΩ;;;;; tarantil@aueb.gr 210-8203805, Πατησίων 95, 3 ος όροφος ΏρεςΓραφείου: Παρασκευή 11.00-14.00 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 46-