FM & PM στενής ζώνης Narrowband FM & PM
Διαμόρφωση γωνίας στενής ζώνης Το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα μπορεί να γραφεί ως [ π φ ] st () = Acos2 ft+ () t c όπου η στιγμιαία φάση είναι φ() t c Δφxt () PM = t 2 πδf x( ) d FM τ τ Εάν φ() t 1 έχουμε διαμόρφωση στενής ζώνης
Διαμόρφωση γωνίας ως ζωνοπερατό σήμα Αναπαράσταση ως ζωνοπερατό σήμα [ π φ ] st () = Acos2 ft+ () t c = Ac cos(2 π ft c )cos φ( t) sin(2 π ft c )sin φ( t) = m()cos(2 t π ft) m()sin(2 t π ft) όπου οι ορθογώνιες συνιστώσες είναι c ( ) ( ) c c s c 1 ( ) 2 mc() t = Accos φ() t = Ac 1 φ () t + Ac 2! 1 m t = A φ t = A φ t φ t + Aφ t 3! ( ) 3 s() csin () c () () c ()
Διαμόρφωση γωνίας στενής ζώνης Στην περίπτωση διαμόρφωσης στενής ζώνης mc() t Ac m () t Aφ() t s c οπότε το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα στενής ζώνης είναι [ π φ π ] st () A cos(2 ft) ()sin(2 t ft) c c c
Φάσμα σήματος στενής ζώνης Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος στενής ζώνης είναι Ac ja S( f) = ( f fc) + ( f + fc) + Φ( f fc) Φ ( f + fc) 2 2 όπου c [ δ δ ] [ ] Δφ X( f) PM Φ ( f ) = jδf X ( f ) FM f
Διαμόρφωση στενής ζώνης από απλό τόνο Έστω mt () Acos(2 π fmt) FM = Asin(2 π fmt) PM Διαμόρφωση φάσης s( t) = A cos(2 π f t) Δφsin(2 π f t)sin(2 π f t) [ ] c c m c = Ac cos(2 π fct) βpsin(2 π fmt)sin(2 π fct) Διαμόρφωση συχνότητας Δf s( t) = Ac cos(2 π fct) sin(2 π fmt)sin(2 π fct) f m = Ac cos(2 π fct) β f sin(2 π fmt)sin(2 π fct)
Διαμόρφωση στενής ζώνης από απλό τόνο που τελικά απλοποιείται στην 1 1 st ( ) = Ac cos(2 π ft c ) + βcos 2 π( fc + fm) t cos π fc fm) t 2 2 Όπου β 1 ο εκάστοτε δείκτης διαμόρφωσης Δ φ = kpam PM β = Δf kf Am = FM fm fm [ ] β [ 2 ( ]
Αναπαράσταση με φασιθέτες FM AM
Συμπέρασμα Το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα στενής ζώνης είναι παρόμοιο με το σήμα AM Έχει εύρος ζώνης 2W διπλάσιο του σήματος προς διαμόρφωση
FM & PM ευρείας ζώνης Broadband FM & PM
Φασματική ανάλυση Η μαθηματική αναπαράσταση του φάσματος στη γενική περίπτωση, ακόμη και για απλά σήματα, είναι δυσχερής λόγω των εμπλεκομένων μη γραμμικοτήτων Επίσης, το διαμορφωμένο σήμα FM ή PM ευρείας ζώνης, εν γένει, δεν είναι περιοδικό Εντούτοις, είναι δυνατή η ανάλυση σε αρμονικές συνιστώσες όταν το m(t) είναι περιοδική συνάρτηση Η απλούστερη περίπτωση είναι αυτή του ημιτονικού σήματος
Διαμόρφωση από απλό τόνο Όπως πριν για σήματα FM mt () = A cos(2 π ft) m Ενώ για σήματα PM mt () = A sin(2 π ft) m m m Έτσι και στις δύο περιπτώσεις το διαμορφωμένο σήμααπόαπλότόνοθαείναι [ π β π ] st () = Acos2 ft+ sin(2 ft) c c m
Μιγαδική περιβάλλουσα Το διαμορφωμένο κατά FM σήμα που προκύπτει από απλό τόνο σήμα δεν είναι περιοδικό (πλην εξαιρέσεων) [ π β π ] st () = Acos2 ft+ sin(2 ft) c c m = Ac Re exp j2π fct+ jβ sin(2 π fmt) = Re ( )exp( 2 ) ( ) [ st jπ ft] όμως η μιγαδική του περιβάλλουσα είναι περιοδικό σήμα, άραμπορείνααναλυθείσεσειρά Fourier s () t = A exp j sin(2 f t) c [ β π ] c m s() t s () t
Ανάλυση σε σειρά Fourier Ανάπτυξη της μιγαδικής περιβάλλουσας σε σειρά Fourier s () t = cnexp( j2 π nfmt) με συντελεστές 1 1 2 fm 2 fm n = 1 ()exp( 2 π m ) = m c 1 exp βsin(2 π m ) 2π m 2 f 2 f m [ ] [ ] c s t j nf tdt f A j f t j nf tdt A π = = n= c exp j( βsin x nx) dt AcJ n( β) 2π π όπου J η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξης n με ( n β ) όρισμα το β m
Φάσμα σήματος FM ευρείας ζώνης Άρα st () = A c Jn( β)exp( j2 πnft m ) n= και επομένως s() t = Ac Re Jn( β)exp j2 ( fc + nfm) t n= [ π ] [ π ] = A J ( β)cos 2 ( f + nf ) t c n c m n= οπότε το φάσμα σήματος FM είναι S( f) = AcRe Jn( β)exp[ j2 π( fc + nfm) t] n= Ac = Jn( β) δ( f fc nfm) + δ( f + fc + nfm) 2 n= [ ]
Ιδιότητες συναρτήσεων Bessel ΗσυνάρτησηBessel πρώτου είδους τάξης n είναι k β n+ 2k ( 1) ( 2 ) J n( β ) = k= 0 k!( k + n)! και για μικρές τιμές του β επίσης J n n= ( β ) J 2 n J = J ( β ) = 1 n n ( β ) n άρτιος ( β ) n περιττός n J n ( β ) β n 2 n!
Ισχύς σήματος FM ευρείας ζώνης Αφού επομένως 2 c 2 c 2 n [ π ] s() t = A J ( β)cos2 ( f + nf ) t P = = A 2 A 2 c n c m n= n= J ( β )
Τιμές συναρτήσεων Bessel
Τιμές συναρτήσεων Bessel
Φάσμα σήματος FM ευρείας ζώνης Οι περιττές συνιστώσες είναι ορθογώνιες προς το φέρον και προκαλούν την επιθυμητή διαμόρφωση συχνότητας και κάποια ανεπιθύμητη παραμόρφωση πλάτους Οι άρτιες συνιστώσες είναι συμφασικές με το φέρον και διορθώνουν την παραμόρφωση πλάτους
Διαμόρφωση από πολλούς τόνους Έστω ότι mt ( ) = Acos(2 π ft) + Acos(2 π ft) 1 1 2 2 και οι συχνότητες f 1 και f 2 δεν σχετίζονται αρμονικά (πολλαπλάσιο η μία της άλλης), τότε s( t) = A cos 2π f t + β sin(2 π f t) + β sin(2 π f t) c [ ] 1 1 2 2 όπου kf A1 Δf kf A2 Δf β1 = =, β2 = = f f f f c 1 2 1 1 2 2
Διαμόρφωση από πολλούς τόνους Μετά από πολλές (προφανείς) πράξεις [ ] st () = A J ( β ) J( β )cos2 π( f + mf + nf) t c m 1 n 2 c 1 2 m= n=
Φάσμα σήματος FM από πολλούς τόνους Το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος FM από πολλούς τόνους περιλαμβάνει όλες τις πλευρικές συχνότητες που προκύπτουν από την f 1, δηλαδή, f c ±mf 1 όλες τις πλευρικές συχνότητες που προκύπτουν από την f 2, δηλαδή, f c ±nf 2 όλες τις συχνότητες ενδοδιαμόρφωσης, δηλαδή, f c ±mf 1 ±nf 2
Φάσμα σήματος FM από πολλούς τόνους Έστω f 1 <f 2 και β 1 >β 2
Διαμόρφωση από περιοδικό σήμα Έστω ότι m(t) είναι περιοδικό σήμα, τότε η μιγαδική περιβάλλουσα του s(t) θα είναι και αυτή περιοδικό σήμα s () t = A exp j m() t οπότε μπορεί να αναλυθεί σε σειρά Fourier με συντελεστές c [ β ] s ( t) = cnexp( j2 π nfmt) n= T m 1 2π x cn = exp [ jβm( fm) j2πnfmt] = exp j βm nx) dx 0 2π 0 2π fm
Φάσμα σήματος FM από περιοδικό σήμα Άρα st () = Ac Re cnexp j2 ( fc + nfm) t n= [ π ] [ π ] = A c cos 2 ( f + nf ) t+ c c n c m n n= οπότε το φάσμα σήματος FM που προκύπτει από διαμόρφωση με περιοδικό σήμα περιέχει μόνο τις αρμονικές f c ±nf m που προκαλούνται από την f m Ac S( f ) = cn ( f fc nfm)exp( j cn) + ( f + fc + nfm)exp( j cn) 2 n= [ δ δ ]
Φάσμα σήματος FM από περιοδικό σήμα
Σύνθεση FM Τι συμβαίνει στο φάσμα, εάν f m > f c? Η ανάλυση σε σειρά Fourier με συντελεστές συναρτήσεις Bessel ισχύει Εμφανίζονται συχνότητες γύρω από την f c που απέχουν κατά f m f c +f m,f c +2f m,f c +3f m,f c +4f m,... (θετικές) μεγαλύτερες της f c f c -f m,f c -2f m,f c -3f m,f c- -4f m, (αρνητικές) μικρότερες της f c που όμως αναδιπλώνονται στις θετικές f m -f c,2f m -f c,3f m -f c, 4f m -f c, Από ακουστικής πλευράς, οι αναδιπλωμένες συχνότητες εμφανίζουν αντιστροφή φάσης
Σύνθεση FM Οι συχνότητες που προκύπτουν μπορεί να έχουν αρμονική σχέση με την f c, ανάλογα με την τιμή του κλάσματος f c / f m Π.χ., εάν f c / f m = ½, το διαμορφωμένο σήμα FM περιέχει τις συχνότητες f c,, 3f c,, 5f c,, 7f c διότι οι αναδιπλωμένες συχνότητες ταυτίζονται με τις θετικές Το σήμα FM που προκύπτει περιέχει όλες τις περιττές αρμονικές του φέροντος! Π.χ., εάν f c / f m = 1, το διαμορφωμένο σήμα FM περιέχει τις συχνότητες f c,, 2f c,, 3f c,, 4f c και μια συνιστώσα dc (συχνότητα 0) Το σήμα FM που προκύπτει περιέχει όλες τις αρμονικές του φέροντος!
Σύνθεση FM ΗσύνθεσηFM είναι ανακάλυψη του John Chowning, Stanford University (1966) παρατήρησε ότι το βιμπράτο (περιοδική μεταβολή της συχνότητας μιας μουσικής νότας) εξαφανίζονταν από το διαμορφωμένο σήμα, όταν η συχνότητα του σήματος διαμόρφωσης μεγάλωνε πέρα από ένα όριο στην πραγματικότητα πειραματίζονταν με διαμόρφωση FM, μόνο που οι συχνότητες ήταν χαμηλές και μπορούσε να τις ακούσει το Stanford προσέγγισε αμερικανούς κατασκευαστές για την εμπορική υλοποίηση της ιδέας, που όμως δεν διείδαν τιςδυνατότητεςτηςσύνθεσηςfm μετά στράφηκε στην Yamaha και τα υπόλοιπα είναι ιστορία
Εύρος ζώνης για μετάδοση FM Εύρος ζώνης σήματος FM
Εύρος ζώνης σήματος FM στενής ζώνης Για μικρές τιμές του δείκτη διαμόρφωσης β J ( β ) 1 0 β β J1( β), J 1( β) 2 2 J ( ) 0, 1 n β n> και επομένως μόνο η πρώτη πλευρική του διαμορφωμένου σήματος FM έχει σημασία (FM στενής ζώνης) οπότε B = 2f = 2W T m
Φάσμα σήματος FM ευρείας ζώνης
Φάσμα σήματος FM ευρείας ζώνης Έστω ότι διατηρούμε το W σταθερό Μεταβάλλουμε το β αυξάνοντας την απόκλιση συχνότητας Δf Ηαπόστασητων γραμμών σταθερή στο f m Το εύρος ζώνης μεγαλώνει
Φάσμα σήματος FM ευρείας ζώνης Έστω ότι διατηρούμε την Δf σταθερή Αυξάνουμε το β Μειώνεται η απόσταση των γραμμών (f m ) Μειώνεται το W Το εύρος ζώνης παραμένει περίπου σταθερό 2Δf
Εύρος ζώνης σήματος FM ευρείας ζώνης Το φάσμα του σήματος FM ευρείας ζώνης περιέχει άπειρες συνιστώσες Το πλάτος των υψηλής τάξης συνιστωσών είναι αμελητέο Πρακτικά το φάσμα είναι πεπερασμένο!
Εύρος ζώνης σήματος FM ευρείας ζώνης Μπορεί να ορισθεί ένα ενεργό εύρος ζώνης που να περιλαμβάνει μόνο τις σημαντικές συνιστώσες Για μεγάλες τιμές του β μπορούμε να διατηρήσουμε μόνο τις M πρώτες συνιστώσες που περιλαμβάνουν π.χ. το 99% της ολικής ισχύος M 1 M 2 2 Jn β Jn n= M+ 1 n= M ( ) < 0,99, ( β) 0,99 B = 2 M( β) f = 2 M( β) W T m
Εύρος ζώνης σήματος FM ευρείας ζώνης Μια εναλλακτική προσέγγιση είναι να κρατήσουμε μόνο τους όρους του αναπτύγματος Fourier που θεωρούμε σημαντικούς Π.χ. μόνο αυτούς για τους οποίους (με τιμές του ε στην περιοχή 0,01 με 0,1) J M ( β ) > ε, J ( β) < ε M+ 1 Η πρώτη προσέγγιση ε=0,01 είναι ιδιαίτερα συντηρητική Η δεύτερη ε=0,1 αντιστοιχεί σε μια μικρή παραμόρφωση (και σχεδόν ταυτίζεται με το κριτήριο του 99% της ολικής ισχύος)
Πίνακας τιμών συναρτήσεων Bessel Οτελευταίος σημαντικός όρος Μ(β)=[β+1]
Μια άλλη άποψη των συναρτήσεων Bessel Όπως πριν, ο τελευταίος σημαντικός όρος Μ(β)=[β+1]
Ο αριθμός Μ των σημαντικών όρων ως συνάρτηση του β Η προσέγγιση Μ(β)=β+2 για β>2 είναι μια ικανοποιητική ενδιάμεση λύση Μ J ( β ) > 0,01 M J ( β ) > 0,1 M Μ(β)=β+2 για β>2
Κανόνας Carson Το απαιτούμενο εύρος ζώνης για μετάδοση σήματος FM (που προέρχεται από διαμόρφωση απλού τόνου) είναι Δ f 2 + 1 fm = 2 Δ f + 2fm FM BT = 2( β + 1) fm = fm 2( Δ φ + 1) fm PM με το αντίστοιχο πλήθος αρμονικών που περιέχονται σε αυτό να είναι Κανόνας Carson M c Δ f 2 3 FM 2 β 3 f + = + = m 2 Δ φ + 3 PM
Εύρος ζώνης σήματος FM Στηνπερίπτωσηαυθαίρετουσήματοςm(t) ο λόγος απόκλισης D παίζει τον ρόλο του δείκτη διαμόρφωσης β Ο λόγος απόκλισης ορίζεται ως Η μέγιστη απαίτηση για εύρος ζώνης προκαλείται από το μέγιστο πλάτος της μέγιστης εκ των προς μετάδοση συχνοτήτων Το εύρος ζώνης κατ αναλογία με τη διαμόρφωση απόαπλότόνοείναι BT = 2 M( D) W D = Δf W
Εύρος ζώνης σήματος FM Για διαμόρφωση στενής ζώνης = 2W BT Για διαμόρφωση ευρείας ζώνης B = 2Δ f = 2DW T Κανόνας Carson B = 2( Δ f + W) = 2( D+ 1) W, T Για 2<D<10 καλύτερη προσέγγιση είναι B = 2( Δ f + 2 W) = 2( D+ 2) W, D > 2 T D 1 D 1
Εύρος ζώνης σήματος PM Χρήση κανόνα Carson παρόμοια με το FM Η στιγμιαία συχνότητα είναι k p fi = fc + m () t 2π η μέγιστη απόκλιση συχνότητας είναι Δ f = k p 2 π { mt } max ( )
Εύρος ζώνης σήματος PM Ο λόγος απόκλισης D είναι η μέγιστη απόκλιση φάσης του σήματος FM στην ακραία περίπτωση εύρους ζώνης Άρα η ανάλυση FM ισχύει για διαμόρφωση PM αρκεί να αντικατασταθεί το D με την Δφ Κανόνας Carson B T = 2( Δ φ + W) Όμως, σε αντίθεση με το FM ο όροςδφ δεν εξαρτάται από το W