ιπλωµατική Εγασία Μοντέλα Ταχέως Πειστεφόµενων Αστέων Νετονίων Πασχαλίδης Βασίλειος Α.Ε.Μ.: 1188 Κατεύθυνση Αστονοµίας Αστοφυσικής Επιβλέποντες Καθηγητές: Κ. Κόκκοτας, Ν. Στεγιούλας 8 Ιουλίου 3
Πλάνο Παουσίασης Ιστοική Αναδοµή Βασική Θεωία Πειστεφόµενων Αστέων Ανάπτυξη της Μεθόδου Αυτοσυνεπούς Πεδίου του Izumi Hachisu (Hachisu Self-Consistent Field Method, HSCF) Παουσίαση Αποτελεσµάτων Επεκτάσεις της Μεθόδου
Ιστοική Αναδοµή (1687) Isaac Newton: Μαθηµατικές Αχές Φυσικής Φιλοσοφίας - Πώτες συζητήσεις Σφαιοειδών (1737-1743) 1743) Alexis-Claude Clairaut & Colin Maclaurin: Πώτες σωστές υποθέσεις για συνθήκες ισοοπίας (1755) Leonard Euler: Γενικές εξισώσεις κίνησης ευστού χωίς ιξώδες (1773-1793) 1793) Andrieu-Marie Legendre: : Εισαγωγή του βαυτικού δυναµικού, Marquis Pierre-Simon de Laplace: : Εισαγωγή βαότοπων και λύση σφαιικού πολύτοπου µε δείκτη Ν1. P K (189) Denis Poisson: Εξίσωση Poisson Φ 4 π G
Ιστοική Αναδοµή (1834) Karl Jacobi: Καταστάσεις ισοοπίας αποτελούν όχι µόνο τα σφαιοειδή αλλά και τα τιαξονικά ελλειψοειδή (1854-191) 191) Henri Poincare: Θεµελίωση της θεωίας ισοοπίας και ευστάθειας των ελλειψοειδών δοµών Alexandr Mikhailovich Liapunov: Ύπαξη δοµών µε σχήµα αχλαδιού (pear-shaped configurations) (1896-1949) 1949) Rolin Wavre: Βασικά θεωήµατα και τεχνικές ταχέως πειστεφόµενων αστέων Pierre Dive: Πώτες µελέτες της διαφοικής πειστοφής
Θεωία Πειστεφόµενων Αστέων Βασικές Υποθέσεις Ο αστέας είναι αποµονωµένος στο χώο και πειστέφεται γύω από ένα καθοισµένο άξονα µε κάποια ακαθόιστη γωνιακή ταχύτητα. Το σύστηµα είναι στατικό όταν παατηείται από αδανειακό σύστηµα αναφοάς και η πυκνότητα της κάθε στοιχειώδους µάζας (mass( mass- element) πααµένει σταθεή καθώς ακολουθούµε την κίνησή της. Τα φαινόµενα ιξώδους είναι αµελητέα Τα ηλεκτοµαγνητικά φαινόµενα είναι αµελητέα Ο αστέας βίσκεται σε κατάσταση Μόνιµης Πειστοφής
Μόνιµη Πειστοφή> Αξονική Συµµετία Μόνιµη Πειστοφή> Αξονική Συµµετία Κυλινδικές Συντ/νες: Κυλινδικές Συντ/νες: ϖ, φ, z Ταχύτητα Ταχύτητα: Εξίσωση συνέχειας: Εξίσωση συνέχειας: (1),, Ω z υ ϖ υ υ φ ϖ + + + υ υ υ div grad t div Dt D t Dt D ΩΩ Ω Ω ), ( ), ( z z grad div ϖ ϖ φ φ υ υ
Μεικοί Οισµοί Βαότοπο: PP() π.χ. 1 + 1 / P K Ν Βαοκλινές: PP(,Τ,α,β,γ,λ,µ,Τ,α,β,γ,λ,µ, ), ) Ψεύδο-βαότοπο: PP(,Τ,α,β,γ,λ,µ,Τ,α,β,γ,λ,µ, ), ) και ΩΩ(ϖ) Θα ασχοληθούµε µε: βαότοπο: PP() και ΩΩ(ϖ)
ύο Βασικά Θεωήµατα Θεώηµα Poincaré-Wavre Wavre: Για έναν αστέα σε κατάσταση µόνιµης πειστοφής κάθε µια από τις ακόλουθες ποτάσεις συνεπάγεται τις άλλες τείς: (i) η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθεή πάνω σε κυλινδικές επιφάνειες µε άξονα τον άξονα πειστοφής του αστέα (ii) η ενεγός επιτάχυνση της βαύτητας µποεί να ποέχεται από δυναµικό (iii) η ενεγός επιτάχυνση της βαύτητας είναι κάθετη στις ισόπυκνες επιφάνειες (iv) οι ισοβαείς, ισόπυκνες και ισοδυναµικές επιφάνειες ταυτίζονται Θεώηµα Lichtenstein: Ένας διαφοικά (ή µη) πειστεφόµενος βαοτοπικός αστέα θα έχει πάντοτε επίπεδο συµµετίας κάθετο στον άξονα πειστοφής του, αν η γωνιακή του ταχύτητα είναι ανεξάτητη από το z
Τα µοντέλα µας για τους αστέες νετονίων Μόνιµη Πειστοφή Είναι βαότοπα PP() Η γωνιακή ταχύτητα είναι συνάτηση µόνο της απόστασης από τον άξονα πειστοφής ΩΩ(ϖ) Εποµένως Έχουν αξονική συµµετία Παουσιάζουν ισηµεινό επίπεδο συµµετίας
Καθοισµός Μοντέλου Από (i) Συνολική Μάζα (ii) Συνολική Στοφοµή ή (iii) Πεδίο Πειστοφής τ Τ W (i) Λόγος αξόνων (ii) Μέγιστη πυκνότητα (iii) Πεδίο Πειστοφής
Μεικές Ανισώσεις Παάγων Ευστάθειας τ Βαθµωτό Θεώηµα Virial: Όµως Άα Γωνιακή Ταχύτητα Για τα σφαιοειδή Maclaurin αποδεικνύεται: Θεωητικά από την εξίσωση Poisson: Αιθµητικά p d 3 r T τ W Ω Ω.5 max T W + 3 p d 3 r.45 G Ω < π G
εν είναι το ολοκλήωµα του Bernouli Σύντοµη Πειγαφή της Μεθόδου HSCF Από τις εξισώσεις Euler Du Dt f p Φ p 1 dp 1 + Φ Ω ϖdϖ C, H dp Καταστατική Εξίσωση Πολυτοπική: P K 1 + 1 / Ν Σχέση πυκνότητας ενθαλπίας K ( H N + 1) N
Σύντοµη Πειγαφή της Μεθόδου HSCF Νόµοι Πειστοφής (i) πειστοφή ως στεεο Ω Ω ( σταθ (ii) ιαφοική υ-σταθεή υ Πειστοφή Ω d υ + Ο ολοκληωτικός όος στην εξίσωση ισοοπίας γάφεται, όπου Τελικά η εξίσωση ισοοπίας γάφεται: ϖ Ω ϖdϖ h Ψ ( ϖ ) ϖ /, ( στεε ό) Ψ( ϖ) (1/ )ln( 1+ ϖ / d ), H.), ( υ σταθε ή) C Φ h Ψ ( ϖ ) h Ω, υ, ( στεε ό) ( υ σταθε ή)
Συνοιακές συνθήκες Στην επιφάνεια P άα και Η. Τότε για το επιφανειακό ισηµεινό σηµείο Α και πολικό σηµείο Β του αστέα θα ισχύει Η(Β) C - Φ(Β) - h Ψ(Α) Ψ(Β) Αν λύσουµε το πααπάνω σύστηµα ποκύπτει h Η(Α) C - Φ(Α)- h C Φ(Α(- h Φ(Α)- Φ(Β) Ψ(Α( - Ψ(Β) Ψ(Α) Οπότε µποούµε να υπολογίσουµε την ενθαλπία από την εξίσωση ισοοπίας. και
Βήµατα της Μεθόδου HSCF 1) Καθοισµός του µοντέλου: ίνουµε τη µέγιστη πυκνότητα, το λόγο των αξόνων και το νόµο πειστοφής
Βήµατα της Μεθόδου HSCF ) Εισαγωγή δοκιµαστικής κατανοµής πυκνότητας 3) Υπολογισµός του βαυτικού δυναµικού ( r ) 3 Φ( r) G d r r r 4) Υπολογισµός των C, h από τις συνοιακές συνθήκες και υπολογισµός της ενθαλπίας Φ(Α)- Φ(Β) h Ψ(Α( - Ψ(Β) 5) Υπολογισµός της βελτιωµένης κατανοµής πυκνότητας H K ( N + 1) N C Φ(Α(- h H C - Φ - h Ψ(Α) Ψ( ϖ ) 6) Επαναλαµβάνουµε τα βήµατα 1-51 5 µέχι επιθυµητής ακίβειας
Αιθµητικά Αποτελέσµατα Πειστοφή ως στεεό r_b Ω_{}^ M V J T -W W 3Π3 Pmax ------------------------------------------------------------ ----------------------- N. ----------------------------------------------------------------------------------- --- 1.. 4.17 4.18.. 1.47 1.77.187.5 1.369.7.7.94.54 3.163.11.89.333 1.46 1.34 1.3.68.368 1.433.78.497.5 1,34.91.96.383..79.71.38.167.38.9.439.33.8.8.5.1.83.139.57.319..4.3.1....31.16.5..1.1.93
Αστικά Ποφίλ N., r_b.5 N.1, r_b.411 N1.5, r_b.65 N4., r_b.917
ιάγαµµα Ω-J
ιάγαµµα J-τ
ιαφοική Πειστοφή r_b υ_{}^ M V J T -W W 3Π 3 Pmax ------------------------------------------------------------------------------------- --- N. ------------------------------------------------------------------------------------- ---.75.194 3.71 3.681 1.11.35 8.17 7.463 1.431.667.369 3.173 3.7 1.14.54 7.134 6.11 1.189.333.46.375.3 1.163.668 4.433 3.78.897.5 1,34.91.96.383..79.71.38.167.354.111.569 4.7E- 1.6E- 1.E- 8.5E-3 1.4E-1
Αστικά Ποφίλ Ν., r_b.333 Ν1.5, r_b.333
Επεκτάσεις της µεθόδου HSCF Λευκοί Νάνοι Μηδενικής Θεµοκασίας Ποσοµοίωση δακτυλίων - ακολουθία Dyson-Wong Τισδιάστατη µέθοδος HSCF > Μελέτη διπλών συστηµάτων Μελέτη πειστεφόµενου δίσκου ποσαύξησης
Συνθήκη Ισοοπίας H C Φ 1 Ω ϖ
Κίσιµη Πειστοφή Όταν στην επιφάνεια του αστέα στο ύψος του ισηµεινού η ανά µονάδα µάζας φυγόκεντος δύναµη γίνει ίση µε την ανά µονάδα µάζας βαυτική δύναµη τότε φτάνουµε στο όιο της κίσιµης πειστοφής. Πααγωγίζοντας τη συνθήκη ισοοπίας ως πος r Φ' H ' +Ω r(1 µ ) Κίσιµη Πειστοφή Ω C Φ '( A) R e Ω C [ Ω R H '( A)] R e e