ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας.
Περιεχόμενα ενότητας. Έννοια Τυχαίας Μεταβλητής.. Συναρτήσεις Μάζας ή Πυκνότητας Πιθανότητας. i. Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ii. Συνεχής Τυχαία Μεταβλητή. Αθροιστική Συνάρτηση Πιθανότητας i. Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ii. Συνεχής Τυχαία Μεταβλητή iii. Ιδιότητες Αθροιστικής Συνάρτησης Κατανομής F(x) 4. Μικτή Τυχαία Μεταβλητή 5
6 η Διάλεξη
Ασκήσεις Άσκηση Άσκηση Fx ( ) x e x, 0 0, x 0 f( x) c x x,0 x (4 ) 0, ύ P( x ) P( x ) F() ( e ) e 0 f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx 0 0 f ( x) dx 0 c (4x x ) dx x 6 c[x ] 0 c[8 ] c 8 x 4 P( x ) f ( x) dx (4x x ) dx [x ] 8 8 8
Άσκηση 4 α) Να βρεθούν οι τιμές α και β για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. η Εξίσωση η Εξίσωση 6 f ( t) dt a t dt dt 0dt 0 6 t 6 [ ] 0 [ t] a 4 a 4 0,5 4 8 8 8 5
β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα x>6, ος τρόπος ος τρόπος 6 P x P x t dt ( 6) ( 6) 5 t 6 6 [ ] 0 0,975 5 5 6 P( x 6) t dt dt... 0,975 5 8 6 0 Px ( 6)?
Άσκηση 5 Δοθείσα της αθροιστικής συχνότητας να βρούμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. 0, x Fx ( ) x, x 4 0,5, x Πάντοτε τη σχεδιάζουμε για να βρούμε τις ασυνέχειες για να μη παραγωγίσουμε, εκεί αντιστοιχούν μάζες πιθανότητας.
5_συνέχεια... : x : x : x d( F( x)) x dx 4 P( x ) P( x ) P( x ) F( ) F( ) ( 0,5) 0 0,5 4 P( x ) P( x ) P( x ) F() F( ) ( 0,5) 0, 75 0, 5 4 Άρα: f( x) Px ( ) 0, 5 x 4 Px ( ) 0, 5, x, x, x 0, ύ
5_συνέχεια... Για να διαπιστώσουμε αν όντως είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, πρέπει να δούμε αν ισχύουν οι ιδιότητες: i) Είναι όντως θετική. ii) Το άθροισμά της από το έως το + είναι ίσο με τη μονάδα. Px ( ) 0, 5 x x dx [ ] ( ) 4 4 4 Px ( ) 0, 5 Το άθροισμα ίσο με.
Πρόβλημα Δοθείσας της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας να υπολογιστεί η αθροιστική. fx ( x) = x 400 70 x 050 ax a x b,0 x 40,40 x 70 0, x70 x0
Πρόβλημα συνέχεια... - Σχεδιάζουμε την f X (x). Για να βρούμε την αθροιστική κατανομή ολοκληρώνουμε: Fx ( ) x 0 0, u x du 400 800 40 x u 70 u 4 70x x du ( ) 400 du 050 7 050 00 0 40, x 0 0 x 40 40 x 70 x 70
Πρόβλημα συνέχεια... Υπολογισμός Πιθανότητας μεταξύ 0 με 60. Δηλαδή: P(0 X 60) F(60) F(0) 4 70 60 60 0 ( )... 7 050 00 800
Άσκηση βιβλίου σελ. 58 Το άθροισμα δύο ζαριών: Όλα τα πιθανά ζεύγη=6 =6: {,,4,...,} P( X ) P{(,)} 6 P( X ) P{(,),(,)} 6 P( X 4) P{(,),(,),(,)} 6 4 P( X 5) P{(,4),(4,),(,),(,)} 6 5 P( X 6) P{(,5),(,4),(,),(4,),(5,)} 6 P( X 7) P{(,6),(,5),(,4),(4,),(5,),(6,)}... 6 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Καρανάσιος Αναστάσιος- Νικόλαος Θεσσαλονίκη, Εαρινό Εξάμηνο 0-04