ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Σχετικά έγγραφα
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

Kόλλιας Σταύρος 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

( ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) λx + 2 λ y + λ + 4 = 0. Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. Ενδεικτικές Λύσεις

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΣΥΝΕΙΡΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

(Έκδοση: )

(Έκδοση: )

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΡΑΝΙΑΣ - ΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ. Έστω σημεία Α,Β,Γ του επιπέδου και Ο σημείο αναφοράς.αν ισχύει 2, 2

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

Transcript:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ www.thetiko.gr 1. Λάθος. Λάθος 3. Σωστό. Λάθος 5. Λάθος 6. Λάθος 7. Σωστό 8. Λάθος 9. Λάθος 10. Λάθος 11. Λάθος 1. Σωστό 13. Σωστό 1. Σωστό 15. Σωστό 16. Σωστό 17. Λάθος 18. Σωστό 19. Σωστό 0. Σωστό 1. Σωστό. Λάθος 3. Λάθος. Λάθος 5. Σωστό 6. Λάθος 7. Λάθος 8. Λάθος 9. Σωστό 30. Λάθος 31. Σωστό 3. Σωστό 33. Σωστό 3. Σωστό 35. Λάθος 36. Λάθος 37. Σωστό 38. Λάθος 39. Λάθος 0. Λάθος 1. Σωστό. Λάθος 3. Σωστό. Λάθος 5. Λάθος 6. Σωστό 7. Σωστό 8. Σωστό 9. 50. Σωστό ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ AM AB BM AM AΓ ΓΜ (+) AM AB AΓ (BM ΓΜ) AM. AB AΓ Ισχύει: ΚΛ ΛΝ ΟΛ OK (ON OΛ) OΛ OK ON OΛ 3OΛ ON OK 3. 7KA KB 3KΓ 0 KA 3KA KB 3KΓ 0 KA KB 3KA K 0 BA 3 0 3 BA 3ΓΑ BA ΓΑ BA ΓΑ Και επειδή έχουν κοινό άκρο,το Α,τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. [1]

. Είναι AB OB OA (α β ) (5α β ) α β και ΒΓ ΟΓ OB (3α 6β ) (α β ) α β Άρα, AB 5. BΓ και Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (x )α 5 α (x ) α 5 α x 5 ύ 0 x 5 x 3 x 5 x 7 6. Είναι: AB OB OA (3α 7β γ) (α 3β γ) α β 5γ (1) και BΓ OΓ OB (7α 15β 1γ) (3α 7β γ) α 8β 10γ () (1), () BΓ = AB BΓ AB άρα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 7. α (3λ+μ+1, λ-μ+7) Πρέπει :3λ+μ+1=0 (1) και λ-μ+7=0 () (1)+() λ+8=0 λ=- Και 3 (-)+μ+1=0 μ=5 Άρα, (λ,μ)=(-,5) 8. Eίναι: α β ( 3,1) (5,) (6, ) (5,) (6 5, ) (11,0) 9. α) ( συνθ)ι +(ημθ)j ( συνθ) (ημθ) 1 β) 1 1 ι j []

1 1 3 16 8 8 8 10. α) v (,5) άρα 11. β) α (8, ) άρα λ v λ 5 Είναι Α (1,3), Β (0,), Γ (1,0) και α 1 8 AB (X X ) (y y ) (0 1) ( 1) 11 B A B A Γ B Γ B BΓ (X X ) (y -y ) (1 0) 0 1 5 AΓ (X -Χ ) (y -y ) (1 1) (0 3) 0 9 3 Γ Α Γ A Άρα, το ΑΒΓ δεν είναι ισοσκελές αφού AΒ BΓ ΓΑ Ούτε ορθογώνιο διότι : ΓΑ AB BΓ 1. Είναι Α (1,), Β (-1,9 ), Δ ( 5,-3) Έστω Γ(x,y). Για να είναι το ABΓΔ παραλληλόγραμμο θα πρέπει AB ΔΓ (x AB, y AB) (x ΔΓ, y ΔΓ) x x x x x x 11 x 5 x 3 AB ΔΓ Β A Γ Δ yab yδγ yb ya yγ yδ 9 y 3 y Άρα, Γ (3,). 13. Είναι α ( 3,1), β (,1) και γ (1,) Έχουμε α β γ ( 3,1) (,1) (1,) ( 3 1,1 ) ( 6,3) Άρα, α β γ ( 6) 3 36 9 5 3 5 [3]

1. α) α 3β (, ) α 3β ( 7,8) 3α (, ) ( 7,8) 1 3α ( 3,6) α ( 3,6) α ( 1,) 3 Για α ( 1,) έχουμε : ( 1,) 3β ( 7,8) 1 3β ( 7,8) ( 1,) 3β ( 6,6) β ( 6,6) β (, ) 3 β) Είναι (κα β) (α 3β) Έχουμε κα β ( 1,) (, ) (, ) (, ) (, ) Άρα, λ1, όπου λ1ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος κα. Επίσης, α με λ 3β ( 1,) 3(, ) (,) (6, 6) (, ), 1, όπου λ ο συντελεστής διεύθυνσης του α 1 Πρέπει λλ 1 1 ( ) 1 6 3 1 κ-= -κ+ κ=6 κ= 15. Έστω M(0, y M) το ζητούμενο σημείο του yy. 3β. Είναι: MA (xa xm, ya y M) ( 0,3 y M) (,3 y M) β με λ MA Είναι : 3 y M MB (3 0, y M). Άρα, λ MB y 3 M. Επειδή ΑΜΒ = 90 θα ισχύει : []

3 y y 3 M M λ λ 1 1 MA MB (3 y )( y ) 6 1 3y y y 6 M M M M M M y y 6 0 M ym ή ym 3 Άρα, M(0,) ή M(0, 3) 16. α) 1 α β α β συν (α β) 6 6 β) α α 17. α β 3 ( ) 1 6 18. Είναι 5 α β αβ 5 3 α β αβ 5 11 αβ 5 αβ (1) Έχουμε κ v (α β)(α β) α αβ αβ β α αβ β 3 3 1 1 1 1 19. Είναι α+β α β α αβ β α αβ β αβ 0 α β 0 [5]

0. Eίναι Και α β α β συν(α,β) 1 β α συν(β α,α) β-α α β α α α β α β α 0 1 Άρα () 1. Έχουμε συν(β α,α) 0 (β α,α) α β 3 α β 3 Π α αβ β 3 α β αβ 3 1 αβ 3 αβ αβ 1 (1) Άρα α β α β αβ α β αβ 116 1 Επομένως α β 1. Αν α 0ή β 0η σχέση είναι προφανής. Έστω και α 0καιβ 0 Είναι : α β α β α β α β α β αβ α β α β α β αβ α β α β [6]

α β α β α β συν α,β α β www.thetiko.gr 0 συν (α,β) 1 (α,β) 0 α β ΕΥΘΕΙΑ 3. Είναι :. ( ) : y y A ( ( ) : y ( x 1) ή ( ) : y x A ) ή AB B A AB B A B ( ) : x y 0 y y y 1 1 x x x 3 7 ά : ( ) : y y (x x )* ( ) ( ) : y y (x x ) A *ή ( ) : 7y 1 x 3 (AB) : x 7y 11 0 5. Βρίσκουμε την ευθεία (ΑΒ) λ ΑΒ = = y- = (x+1) y- =x + -x+y-=0 άρα (ΑΒ) : -x+y- =0 Έχουμε -Χ Γ + yγ - = - +8-=0 άρα το Γ επαληθεύει την (ΑΒ) και Α,Β,Γ είναι συνευθειακά 6. Λύνουνε το σύστημα : y 3x 1 y 3x 1 y x 8 3x 1 x 8 1 y 3x 1 y 1 y x 7 x 7 5 Το κοινό σημείο των είναι το Μ 7 5, 7. Έχουμε λε =- και αν Α το ζητούμενο συμμετρικό είναι AA AA : 1 [7]

1 AA 1 : y y x x ή 1 : y 1 ( x ) ή : y x ή : x y 0 Λύνουμε το σύστημα την (ε) και (Α Α ) y x 3 0 y x 6 0 ( ) 5x 10 0 x x y 0 y x 0 y ( ) 3 0 y 1 Ά (,1) έ (,1). ώ ή ( ) ύ 8. α)έχουμε ά ( ) // ά (ε) :y - = (x+1) y-=x+ ή (ε) : x y +6=0 3 β) ( ) 1 1 3 3 άρα η εξίσωση της (ε): 3 y ( x 1) y 8 3( x 1) y 8 3x 3 άρα η (ε) : 3x+y-5=0 γ) Έχουμε λε = εφ5 0 = 1 άρα (ε) :y- = x+1 ή (ε) :x-y +5 =0 9. α) Είναι Α(-1,-3), Β(0,), Γ(3,) και Δ(8,3) B Γ λβγ = 3 λαδ= 3 Επειδή λβγ και λαδ είναι ίσα τότε ΒΓ//ΑΔ. Επίσης: AB 1 5 6, 5 1 6 Α Μ Ν Δ άρα ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο β) λαγ= 7 (ΑΓ) : y- = 7 (x 3) y 16 7x 1 (AΓ): 7x y 5 = 0 [8]

(BΔ) : y- = 1 8 (x 0) (BΔ): 8y 16 = x (BΔ) : -x+8y-16=0 5 7 30. α) Έχουμε ΑΔ ΒΓ λαδ λβγ 1 με λβγ 3 1 7 Άρα λαδ 1 λαδ. 7 Η εξίσωση της ΑΔ είναι η y x 1 7 7y 1 x x 7y 1 0. 3 1 5 3 β) Το μέσο Μ της ΒΓ έχει συντεταγμένες M, M,. Άρα η διάμεσος ΑΜ έχει εξίσωση: 3 1 y x 1 y x 1 6y 1 x 1 1 3 x 6y 11 0. γ) Το εμβαδόν είναι : (ΑΒΓ) = 1 det(ab,aγ) = 1 3 = 11 τ.μ διότι ΑΒ 3 1, 5,3 και ΑΓ 11,,. 31. Είναι λ1= 1 μ, μ 0 και λ= -μ. Επειδή (ε1)//(ε) πρέπει λ1=λ=> - 1 μ = - μ=>μ=±1. Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(-1,0) της (ε1).είναι d(ε1,ε)=d(μ,ε)= μ ( 1)+ 0+λ (μ) + = μ+λ μ +1 = Για μ = 1 => +λ = => -+λ =8=> -+λ=±8 => λ=10 ή λ= -6. Για μ = -1 => +λ = => +λ =8 => +λ= ±8 => λ=6 ή λ= -10. Άρα (μ, λ) = (1,10) ή (1,-6) ή (-1,6) ή (-1,-10). 3. y -1+xy+x =0 (y+x) -1=0 (y+x+1) (y+x-1)=0 Άρα, y+x+1=0 ή y+x-1=0. Έχουμε δύο ευθείες παράλληλες με ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. 33. Είναι (λ -9)x+(λ+3)y-λ+=0 Αν λ -9=0 λ= ±3 και λ+3=0 λ= -3 [9]

Άρα η εξίσωση εκφράζει ευθεία για κάθε λ R-{-3}. 3. Λύνουμε το σύστημα: y = x 3 x + y 1 = 0 y = x 3 x + (x 3) 1 = 0 x= 3 y= 1 3 Πρέπει το σημείο Α(, 1 ) να επαληθεύει την τρίτη ευθεία: 3 3 (μ-13) + (μ-) ( 1 1 )+3=0 μ=. 3 3 3 35. Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία Α(0,3) και Β(0,1) των (ε1) και (ε) αντίστοιχα. Το μέσον του ΑΒ είναι Μ ( 0+0 ) ή Μ(0,). Έχουμε λ1=λ= -., 3+1 Άρα, η μεσοπαράλληλη θα είναι: (μ): y-ym=λ(x-xm) ή (μ): y-= -(x-0) ή (μ): y= -x+. 36. Για λ=0: (ε1): x-y-=0 και για λ=1 είναι (ε): x-6=0 δύο τυχαίες ευθείες. Οι (ε1),(ε) τέμνονται στο σημείο Μ(3,-1) το οποίο επαληθεύει την αρχική εξίσωση για κάθε λ R, διότι: (λ +1)3+(λ-1)(-1)-3λ +λ-= 3λ +3-λ+1-3λ +λ-=0. Άρα, όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο Μ(3,-1). 37. Έστω Γ(x,-3x) σημείο της (ε). Θα ισχύει ΒΑ = ΒΓ ( 3) + ( + 1) = (x 3) + ( 3x + 1) 10=x -6x+9+9x -6x+1 10x -1x=0 x(5x-6)=0 x=0 ή x= 6 5. 38. Είναι (ε): x+y-3=0 και d(p,ε)= ( 1)+1 3 +1 = 3 5 = 3 5 39. Έστω Μ(0,1) τυχαίο σημείο της (ε1). Είναι d(ε1,ε)=d(μ,ε)= 1 0+1 1 3 ( 1) +1 = =. 5 0. Είναι ΑΒ =(+1,1-3)=(3,-) και ΑΓ =(+1,-1-3)=(5,-) det(αβ, ΑΓ )= 3 5 = και = -1+10= -. Άρα, (ΑΒΓ)= 1 det (ΑΒ, ΑΓ ) = 1 = 1 τ.μ. [10]

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ 1. i. (C): x +y =3 ii. Είναι: ΟΑ = (1 0) + ( 0) = 5 = ρ Άρα, (C): x +y =5.. Έστω Κ(3y+1,y) σημείο της ευθείας x-3y-1=0. Θα ισχύει ΚΑ = ΚΒ, για να είναι το Κ κέντρο του κύκλου. Άρα, έχουμε: (1 (3y + 1)) + (3 y) = (3 (3y + 1)) + (5 y) 9y +9-6y+y =-1y+9y +5-10y+y y = 5 και από την ευθεία x-3 5-1=0 x= 19. Άρα, Κ( 19, 5 ). Επίσης είναι: ρ= ΚΑ = (1 19 ) + (3 5 ) = 7 Άρα, (C): (x 19 ) +(y 5 ) = 7 16 = 137 8. 3. Είναι x +y -x+6y-3=0 (x -x+1)+(y +6y+9)=3+1+9 (x-1) +(y+3) =13. Άρα, είναι κύκλος με κέντρο Κ(1,-3) και ακτίνα ρ= 13.. Έστω Μ(x1,y1) το σημείο επαφής. Έχουμε εφαπτομένη στο Μ: (μ): xx1+yy1= με λμ= - x 1 y 1, y1 0. Επειδή (μ)//(ε) θα είναι λμ=λε - x 1 y 1 = -1 x1=y1 (1). Επίσης Μ (C) x 1 +y 1 = (1) x 1 = x1=±. Άρα οι εφαπτομένες είναι: (μ): x +y = και (μ ): x(- )+y(- )=. 5. Ο κύκλος (C1) έχει κέντρο Κ(-3,-) και ακτίνα ρ1=3 και ο (C) έχει κέντρο Λ (1,-5) και ακτίνα ρ=. Είναι: ΚΛ = (1 + 3) + ( 5 + ) =5 και ρ1+ρ=3+=5. Επειδή ΚΛ =ρ1+ρ οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. 6. Είναι (C): y =px i. Έχουμε Ε ( p, 0) άρα p = p=8. Επομένως, (C): y = 8x ή (C): y =16x. ii. Είναι (δ): x= p άρα - p y =1x. =-3 p = 6. Επομένως, (C): y = 6x ή (C): [11]

iii. Μ (C) 3 = p 1 p= 9. Επομένως, (C): y = 9 x ή (C): y =9x. 7. Είναι y = x (p=). Η εφαπτομένη (μ) στο σημείο της Μ(x1,y1) είναι: yy1=(x+x1) με λμ= y 1,y1 0. Είναι (ε)//(μ) λε=λμ = y 1 y1=. Επίσης, Μ (C) y 1 =8x1 =8x1 x1= 1. Άρα, (μ): y =(x + 1 ) ή xy+1=0. 8. Έστω Α(x1,y1) το σημείο επαφής. Η εφαπτομένη στο Α είναι (μ): yy1=(x+x1). Αλλά Μ (μ) 1 y1=(-+x1) ή y1=x1-16 (1) M (C ) y (1) 1 =8x1 (x1-16) =8x1 16(x1-) =8x1 (x1-) =x1 x 1-17x1+3=0 x1= 17+ 33 Για x1= 17+ 33 (1) y1=1+ 33, x= 17 33 Άρα (μ): y(1+ 33)=(x + 17+ 33 ) Για x= 17 33 (1) y=1-33 Άρα (μ ): y(1-33)=(x + 17 33 ). 9. Είναι (C): x α + y β =1 i. Είναι (ΕΕ )=γ 10=γ γ=5 και α=16 α=8. Ισχύει α =β +γ 6=β +5 β =39 Άρα, (C): x 6 + y 39 =1 ii. Είναι (ΕΕ )=γ 10=γ γ=5 και ε= 5 6 γ α =5 6 5 α =5 6 α=6. 50. Είναι (C): x Επίσης α =β +γ 36=β +5 β =11. Άρα, (C): x 36 +y 11 =1 + y 9 =1, με α=3,β=. Άρα μεγάλος άξονας: ΑΑ =α=6, και μικρός άξονας ΒΒ =β=. Κορυφές: Α(3,0), Α (-3,0) και Β(0,), Β (0,-) Είναι γ =α -β =9-=5 γ= 5 [1]

Εστίες: Ε1(γ,0), Ε(-γ,0) ή Ε1( 5,0), Ε(- 5,0) Εκκεντρότητα: ε= γ α = 5 3 51. Είναι (C): x xx 1 +yy1=1 x1x+y1y= +y =1 και η εφαπτομένη στο Μ(x1,y1) είναι (μ): με λμ= - x 1 y 1, y1 0. Επειδή (μ) (ε) είναι λμ λε= -1 - x 1 y 1 3 = -1 3x1=y1 x1= 3 y1 (1) Μ (C) x 1 +y 1 =1 (1) 16 y 9 1 +y 1 = y 1 = 9 y1=± 9 17 Για y1= 9 (1) x1= 9 και 17 3 17 (μ): 9 x+ 9 9 y= ή (μ): x+3 9 y=3 3 17 17 17 17 Για y1= - 9 9 όμοια (μ ): - x-3 9 y=3 17 17 17 5. Είναι (C): x - y =1, με α=,β= 9 Άξονες: ΑΑ =α=6 και ΒΒ =β= Είναι γ =α +β γ =9+=13 γ = 13 Εστίες: Ε1(γ,0),Ε(-γ,0) ή Ε1( 13,0), Ε(- 13,0) Εκκεντρότητα: ε= γ α = 13 3. 53. Είναι α=β και γ = α γ=α Άρα η εκκεντρότητα είναι: ε= γ α =α α = 17 Επιμέλεια: Μακρίδης Ηλίας [13]