Πάτηµ 4 ΓΕΙΩΣΗ ΣΕ ΕΑΦΟΣ ΜΕ ΗΜΙΣΦΑΙΡΙΚΗ ΙΑΣΤΡΩΜΑΤΩΣΗ Π4. Πγωγή νλυτικών εκάσεων Πειοχή Ι Π4.. Οιοέτηση του οβλήµτος Σε κάε ειοχή του χώου µε ειδική ντίστση εδάους σε σηµείο της οοίς υάχει σηµεική ηγή στεού εύµτος ό την η εξίσωση του Mxwell ισχύει: Ε δ Π4.. κι E Π4..β t Όµως εειδή το εδίο δεν είνι χονοµετβλητό ισχύει. Εοµένως o t συνδυσµός των δύο άνω εξισώσεων δίνει: δ Π4. ΕιÜνει εδüουò Ι ΙΙ ΙΙΙ Σχήµ Π4.: Εδάη µε ηµισιική διστωµάτωση z ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 5
Θεωείτι η τιστωµτική δοµή του εδάους του σχήµτος Π4. [8]. Τ δύο οµόκεντ ηµισίι κτίνων κι χωίζουν το έδος σε τεις ειοχές κι οι οοίες έχουν ειδική ντίστση κι ντίστοιχ. Εξετάζετι η είτωση µίς σηµεικής ηγής εύµτος σε έν µέσο το οοίο χωίζετι σε τεις ειοχές ό δύο οµόκεντες σίες κι του οοίου το µισό είνι ές όως ίνετι στο σχήµ Π4.. Στην είτωση ου η ηγή εύµτος είνι στην ειοχή < οι µεικές διοικές εξισώσεις ου ισχύουν γι κάε ειοχή είνι [8]: δ γι < Π4.. γι << Π4..β γι > Π4..γ Ποκειµένου ν ειλυεί η ώτη εξίσωση του άνω συστήµτος εξισώσεων η οοί είνι oisso γίνετι η ντικτάστση [8 47 48]: 4 Π4.4 Γι το σύστηµ των σιικών συντετγµένων ισχύει ότι:! < ε! > > cos cos ] Π4.5 όου > Mx < Mi ενώ cos cos είνι τ ολυώνυµ ή συντήσεις Legede ώτου είδους [47 48] κι ε ο άγοντς του Neu [47] µε ε γι γι Έτσι το σύστηµ Π4. µεττέετι σε Lplce [47]: γι < Π4.6. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 5
γι << Π4.6.β γι > Π4.6.γ Π4.. Γενικές λύσεις των µεικών διοικών εξισώσεων Η Π4.6. έχει σε γενική µοή την κόλουη λύση: [ E cos G Q cos ] [ si cos ] Π4.7. Οι συντελεστές E G είνι οσδιοιστέοι. Όµως εειδή νζητούντι γµένες λύσεις οι συντήσεις Legede Q cos δευτέου είδους ου ειίζοντι έει ν µην εµνίζοντι στη λύση [47]. Ά γι τον ' ' συντελεστή ισχύει κι ειλέον εειδή ο όος - ειίζετι στο G G έει κι ο συντελεστής. ' Ά: E cos [ si cos ] E cos M ] { E M } cos ] Π4.7.β Στην εξγωγή της άνω σχέσης έχει ληεί υ όψιν ότι ισχύει ό την τιγωνοµετί: si cos M si[ ] M ] ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 54
' ' µε M κι cos M ενώ si. M Αντικιστώντς την Π4.7.β κι την Π4.5 στη Π4.4 οκύτει: cos ] Π4.7.γ < > > όου! ε cos Π4.7.δ 4! Όσον οά τη σχέση Π4.7.γ έει ν σηµειωεί ότι είνι < κι >. Ά η Π4.7.γ γάετι: cos ] Π4.7.ε Όµοι η Π4.6.β έχει λύση: [ cos E G Q cos ] [ si cos ] Π4.7.στ Ανάλογ µε οηγουµένως εειδή το ολυώνυµο Legede Q έει ο συντελεστής G. Ά η λύση γίνετι: cos ειίζετι E cos M ] { E M E M } cos ] Π4.7.ζ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 55
Τέλος η εξίσωση Π4.6.γ δέχετι ως λύση: [ E cos cos ] G Q [ si cos ] Π4.7.η Ανάλογ µε τ οεκτεέντ εειδή το ολυώνυµο Legede Q cos ειίζετι έει ο συντελεστής κι εειδή η ειίζετι γι έετι ότι. Εοµένως: G E cos M ] { E M } cos ] Π4.7. Ά τελικά οι εξισώσεις ου οκύτουν ό τις Π4.7.γ Π4.7.ζ κι Π4.7. λµβάνοντς υ όψιν ότι < είνι συγκεντωτικά οι εξής: cos ] Π4.8. cos ] Π4.8.β cos ] Π4.8.γ Π4.. Οικές συνήκες του οβλήµτος Στ σύνο κι έει ν ισχύουν οι εξισώσεις συνέχεις του δυνµικού οότε: Π4.9. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 56
Π4.9.β Είσης στ σύνο κι έει ν είνι ίσες κι οι ετοµενικές συνιστώσες οότε: Π4.. Π4..β Είνι εµνές ό τις οικές συνήκες ότι έει ν υολογιστούν οι µεικές άγωγοι των λύσεων ου οηγήηκν στις εξισώσεις Π4.8. Έτσι ισχύει: cos ] Π4.. cos ] Π4..β cos ] Π4..γ Αό την ώτη οική συνήκη Π4.9. κι µε τη βοήει των εξισώσεων Π4.8. κι Π4.8.β οκύτει ότι: { > } ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 57
] cos ] cos {Πολλλσιάζοντι κι τ δύο µέλη µε } cos ] cos cos ] cos cos ] cos cos d ] cos cos d ] d ] Π4.. Αό τη δεύτεη οική συνήκη Π4.9.β κι µε τη βοήει των εξισώσεων Π4.8.β κι Π4.8.γ λµβάνετι: { > ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 58
] cos ] cos Ακολουώντς την ίδι διδικσί µε την οοί οέκυψε η σχέση Π4.. λµβάνετι ό την άνω σχέση: Π4..β Αό τη οική συνήκη Π4.. οκύτει µε την βοήει των Π4.. κι Π4..β ότι: ] cos ] cos Ακολουώντς την ίδι διδικσί η οοί οδήγησε στις σχέσεις Π4.. κι Π4..β οκύτει ό την άνω σχέση: Ι Π4..γ Αό τη οική συνήκη Π4..β οκύτει µε τη βοήει των Π4..β κι Π4..γ ότι : ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 59
] cos ] cos Ακολουώντς την ίδι διδικσί η οοί κτέληξε στις σχέσεις Π4.. Π4..β κι Π4..γ οκύτει ό την άνω σχέση: Π4..δ Συγκεντωτικά δηµιουγείτι το σύστηµ: Σ Π4.9.δ Π4.9.γ Π4.9.β Π4.9. Π4. Π4..4 Είλυση του 4 εί 4 γµµικού συστήµτος Γι την είλυση του συστήµτος ου οέκυψε χησιµοοιήηκε το όγµµ Mthetic. Η λύση του οηγούµενου συστήµτος Σ είνι: 99 HL H H H L LH L H LHH L LL HL H LH L HH L LHH L L H LH L H L H L H LH L HHL LHH L L H L HH L L H L H LH L HH L LHH L L H L H L H LH L HH L LHH L L Π4.4 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 6
Η άνω γοντοοιηµένη λύση λοοιήηκε ειτέω ώστε ν είνι ιο εύχηστη. Π4.5 µε Π4.6 Π4..5 Εύεση της έκσης του δυνµικού σε κάε ειοχή Πκάτω γίνετι η νάλυση µε την οοί οι λύσεις της σχέσης Π4.8 µοούν ν δοούν µε τη βοήει των συντήσεων Legede λλά στην κνονικοοιηµένη τους µοή. Έτσι ό τις σχέσεις Π4.4 κι Π4.7.β οκύτει: ] cos 4 Π4.7 Αντικιστώντς στην άνω τις σχέσεις Π4.5 κι Π4.7.δ λµβάνετι: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 6
cos!! 4 ε ] cos Υ 4 ε Π4.8 όου Π4.9 Όµοι ό τις σχέσεις Π4.8.β Π4.5 κι Π4.7.δ οκύτει: 4 Υ ε Π4. όου Π4. Τέλος ό τις σχέσεις Π4.8.γ Π4.5 κι Π4.7.δ οκύτει: 4 Υ ε Π4. όου Π4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 6
Στην εξγωγή των άνω σχέσεων έχουν ληεί υ όψιν οι σχέσεις ου δίνουν τις κνονικοοιηµένες συντήσεις Legede οι οοίες είνι [47 48]: Y S cos S cos ] Π4.4 όου! S cos cos! Π4.5! S cos cos! Π4.6 Π4. Πγωγή νλυτικών εκάσεων Πειοχή ΙΙ Π4.. Πείτωση σηµεικής ηγής εύµτος στην ειοχή Στην άγο υτή εξετάζετι η είτωση ου η ηγή εύµτος βίσκετι στην ειοχή < <. Ότν η σηµεική ηγή είνι στην ειοχή οι µεικές διοικές εξισώσεις ου ισχύουν γι κάε ειοχή σε σιικές συντετγµένες λόγω της σιικής συµµετίς είνι: γι < Π4.7. δ γι << Π4.7.β γι > Π4.7.γ Ακολουώντς την ίδι διδικσί είλυσης όως στην είτωση ου η σηµεική ηγή βισκότν στην ειοχή Ι η οοί νλύηκε στην άγο Π4. η λύση είνι η εξής: cos ] Π4.8. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 6
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 64 > < ] cos ] cos γι γι Π4.8.β ] cos Π4.8.γ όου Π4.9 µε : Π4.