CROSS-OVER ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΙ, ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΕΣ ΕΠΙ ΡΑΣΕΙΣ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Σχετικά έγγραφα
ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗΣ ΔΥΟ ΑΓΩΓΕΣ ΤΡΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Οαλγόριθµος καθόδου κατά την µέγιστη κλίση (Steepest-descent)

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν

και Y εάν και 4. Να βρεθούν οι κατανομές των υπό συνθήκη τ.μ. [ Y Y ] και [ ] p x x p x p x Po x Po x e

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

x y max(x))

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνολο τιµών Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Ισότητα συναρτήσεων Πράξεις µε συναρτήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ...

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΦΥΕ34 Λύσεις 6 ης Εργασίας Ασκήσεις

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

( e ) 2. 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ÈÅÌÅËÉÏ ÅËÅÕÓÉÍÁ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία (θεώρηµα Fermat) σχολικό βιβλίο, σελ Α2. Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ Α3.

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ˆ Αποτελείται από σωµατίδια, τα οποία πληρούν το µέσο χωρίς διάκενα. ˆ Τα σωµατίδια αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε ελαστικές δυνάµεις.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

) = 2lnx lnx 2

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

e είναι ακέραια ρίζα του Ρ(χ), να βρεθούν

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

6. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L p (T) Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(x) = δ(x) π(x) + υ(x)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

2.3 Στάσιμο κύμα. ημ 2π. συν = 2A. + τα οποία T. t x. T λ T λ ολ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΤΟ EWMA ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΜΕ ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

x y x z για κάθε x, y, . Ένας δακτύλιος R καλείται μεταθετικός αν

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

Transcript:

Εηνικό τατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 7 ου Πεηνίου υνεδρίου τατιστικής 00 σε 5-5 CROSS-OVER Ε ΙΜΟΙ ΜΕΤΦΕΡΟΜΕΝΕ ΕΠΙ ΡΕΙ ΕΞΡΤΗΜΕΝΕ ΠΡΤΗΡΗΕΙ τρατής Κουνιάς * και Μιτιάδης αικιάς* Τµήµα Μαθηµατικών Πεπιστήµιο θηνών ΠΕΡΙΛΗΨΗ αυτή την εργασία εξετάζονται σχεδιασµοί διασταύρωσης Coss-Ov sgs δύο αγωγών και τριών περιόδων όπου µετέχουν πειραµατικές µονάδες πµ ίνονται οι βέτιστοι σχεδιασµοί για την εκτίµηση: α των άµεσων επιδράσεων t ts β των µεταφερόµενων επιδράσεων a ov ts στην περίπτωση που οι παρατηρήσεις είναι εξάρτητες µε σταθερή διασπορά και το µοντέο είναι σταθερών επιδράσεων την περίπτωση αυτή ο βέτιστος σχεδιασµός είναι ίδιος στις α και β για 3 περιόδους όχι όµως για περιόδους Ότ οι παρατηρήσεις είναι εξαρτηµένες µε τη µορφή σύνθετης συµµετρίας ompou smmt και συντεεστή συσχέτισης ρ δείχνεται ότι οι βέτιστοι σχεδιασµοί δεν διαφέρουν από αυτούς των εξάρτητων παρατηρήσεων µόνο είναι ποαπασιασµένη µε -ρ η διασπορά των εκτιµητριών Η περίπτωση παρατηρήσεων µε µορφή εξάρτησης R θα ακοινωθούν σε επόµενο συνέδριο του ΕΙ ΕΙΓΩΓΗ Υπάρχει πούσια βιβιογραφία στο θέµα αυτό µετά το 950 ηµτική είναι η συµβοή των: EJWllams 95 tso a Luas 959 96 ενώ η µεέτη των βέτιστων σχεδιασµών άρχισε µε τους: Haat a saja 975 97 Για σχεδιασµούς µε δύο αγωγές και σφάµατα εξάρτητα ή οµοιόµορφα εξαρτηµένα έχουν ασχοηθεί οι Chg a Wu 90 Laska a Msm 95 Maths 97 επίσης είναι γνωστοί οι σχεδιασµοί Balaa 96 Ένα βιβίο που καύπτει ικοποιητικά το θέµα είναι των Jos a Ka 003 Η υπόθεση της εξαρτησίας των παρατηρήσεων είναι µια πρώτη προσέγγιση του προβήµατος και εφαρµόζεται στις περιπτώσεις που σε κάθε περίοδο δίνεται ένα χρονικό διάστηµα ashout po µέχρι να εφαρµοστεί η επόµενη αγωγή ώστε να αποσβεστεί η επίδραση της προηγούµενης αγωγής Οι µεταφερόµενες επιδράσεις δεν συµβάουν στο αποτέεσµα της πρώτης περιόδου την υπάρχουσα βιβιογραφία το µοντέο διαµορφώνεται ως οι * Η εργασία αυτή υποστηρίχτηκε από τον ΕΛΚΕ του Πεπιστηµίου θηνών αριθµός 70//56 και το πρόγραµµα ΗΡΚΛΕΙΤΟ 5

µεταφερόµενες επιδράσεις να επιδρούν και στην πρώτη περίοδο υτή η εσφαµένη διαδικασία δεν δίνει πάντα αποδεκτούς σχεδιασµούς την εργασία αυτή δίνουµε βέτιστους σχεδιασµούς για την εκτίµηση της διαφοράς: α των κύριων επιδράσεων β των µεταφερόµενων επιδράσεων το 6 ο συνέδριο του ΕΙ 003 ακοινώσαµε τους βέτιστους Coss-ov σχεδιασµούς για την εκτίµηση των κύριων επιδράσεων για δύο αγωγές και ή τρεις περιόδους ν έχουµε εξάρτητες παρατηρήσεις και είναι οι δύο αγωγές U U U είναι οι πειραµατικές µονάδες πµ τ τ οι κύριες επιδράσεις των τότε οι βέτιστοι σχεδιασµοί που εαχιστοποιούν τη διασπορά της διαφοράς τ τ είναι: α ύο περίοδοι : ι άρτιος: Εφαρµόζουµε την ακοουθία σε κ πειραµατικές µονάδες πµ την ακοουθία σε κ πµ την ακοουθία σε k πµ και την ακοουθία σε k πµ µε k 0 και τότε va τ τ σ / ιι περιττός: Εφαρµόζουµε σε πµ την ακοουθία σε πµ την ακοουθία και τότε va τ τ σ / έτιστοι είναι και οι σχεδιασµοί που προκύπτουν τιµεταθέσουµε τις αγωγές και β Τρεις περίοδοι 3 : ι άρτιος: Εφαρµόζουµε την ακοουθία σε πµ και την ακοουθία σε πµ µε va 3 τ τ σ / ιι περιττός: Εφαρµόζουµε την ακοουθία σε σε πµ µε va τ τ 3σ / πµ την ακοουθία ΕΚΤΙΜΗΗ ΜΕΤΦΕΡΟΜΕΝΩΝ ΕΠΙ ΡΕΩΝ Μοντέο δύο αγωγών δύο περιόδων πειραµατικών µονάδων µε εξάρτητες παρατηρήσεις µ γ α τ j j j j j j όπου γ η επίδραση της ακοουθίας που εφαρµόζεται επί της ι-στής πµ a j η επίδραση της περιόδου j τ j η κύρια επίδραση t t της αγωγής που εφαρµόστηκε στην µονάδα την περίοδο j τ j { τ τ } j η µεταφερόµενη επίδραση a-ov o sual t της αγωγής που εφαρµόστηκε στην µονάδα την περίοδο j- j { } 5

Η επίδραση γ από µερικούς ερευνητές θεωρείται ότι είναι επίδραση της - στής πµ όµως ο βέτιστος σχεδιασµός και για τις δύο περιπτώσεις είναι ο ίδιος αυτή την εργασία δεχόµαστε: ι την πρώτη περίοδο ότι οι µεταφερόµενες επιδράσεις είναι ίσες µε 0 ιι τα σφάµατα είναι εξάρτητα και ακοουθούν την κονική κατοµή N0 σ j ύο αγωγές δύο περίοδοι ν η αγωγή εφαρµόζεται σε πµ η αγωγή σε πµ η αγωγή σε πµ και η αγωγή σε πµ καούµαστε να βρούµε τα µε ώστε οι µεταφερόµενες επιδράσεις να εκτιµώνται κατά το βέτιστο τρόπο Για τη µοναδικότητα του µοντέου στην θέτουµε τους περιορισµούς: τ 0 α 0 γ 0 εν έχουµε περιορισµούς για τα ν γράψουµε το µοντέο για τις πµ και τις δύο περιόδους για κάθε πµ παίρνουµε το επόµενο σύστηµα εξισώσεων µε άγνωστες παραµέτρους µ τ α γ γ } { Y όπου ο πίνακας που τιστοιχεί στις παραµέτρους ο πίνακας που τιστοιχεί στις παραµέτρους { µ τ α γ γ } Για να τιηφθούµε τη µορφή του µοντέου αρκεί να γράψουµε πχ τις δύο σχέσεις που τιστοιχούν στην εφαρµογή της ακοουθίας στην ι-στή πµ µ τ α µ τ γ υτό επααµβάνεται για τις πµ που εφαρµόζεται η ακοουθία µε τον ίδιο τρόπο γράφουµε τις σχέσεις για τις ακοουθίες Οι στήες του πίνακα σχεδιασµού δεν είναι γραµµικά εξάρτητες διότι το άθροισµα των στηών που τιστοιχούν στις παραµέτρους a έχει όα τα στοιχεία ίσα µε είναι δηαδή ίσο µε τη στήη που τιστοιχεί στο γενικό µέσο µ εποµένως δεν είναι όες οι παράµετροι εκτιµήσιµες Η εκτίµηση µε τη µέθοδο εαχίστων τετραγώνων των παραµέτρων που µας ενδιαφέρουν δίνεται από τις σχέσεις: γ Τ Ι Y 3 όπου είναι ο πίνακας ορθής προβοής pojto mat στο γραµµικό χώρο των στηών του Παρατηρούµε ότι: I 5 53

όπου είναι το διάνυσµα του που τιστοιχεί στην παράµετρο Εποµένως µπορούµε να εκτιµήσουµε µόνο τη διαφορά οπότε: Y I / va / σ έτιστος είναι ο σχεδιασµός που εαχιστοποιεί τη διασπορά του ή ισοδύναµα που µεγιστοποιεί την ποσότητα Θεώρηµα ν είναι η ποσότητα που δίνεται στη σχέση 5 τότε ο βέτιστος σχεδιασµός που εαχιστοποιεί τη / va σ είναι: ι άρτιος: ρησιµοποιούµε σε / πµ την ακοουθία και σε / πµ την ακοουθία µε / va σ ιι περιττός: ρησιµοποιούµε σε -/ πµ την ακοουθία και σε / πµ την ακοουθία µε / / va σ πόδειξη Ο υποογισµός του πίνακα ορθής προβοής που δίνεται στη σχέση δίνει: > µε ν β µε ν α 0 ] [ 0 6 Παρατηρούµε ότι: ς περιττ και ρτιος ό ά τότε στην περίπτωση β έχουµε: ς περιττ ρτιος ό ά / την περίπτωση α έχουµε: άρτιος ] [ [ ς περιττ ό ] [ ] [ ε κάθε περίπτωση η ισότητα πετυχαίνεται µόνο µε το σχεδιασµό ι ιι που δίνεται σ αυτό το Θεώρηµα Όπως αφέρθηκε ο σχεδιασµός παραµένει βέτιστος τιµεταθέσουµε τις αγωγές ΟΕ 5

Παρατηρούµε ότι για περιόδους ο βέτιστος σχεδιασµός για την εκτίµηση των κύριων επιδράσεων δεν είναι ίδιος µε αυτόν για τις µεταφερόµενες επιδράσεις ύο αγωγές τρεις περίοδοι την περίπτωση αυτή υπάρχουν ακοουθίες που µπορεί να εφαρµοστούν: B B B B B B B B B B B B a g h Οι τρεις πρώτες γραµµές δίνουν τις αγωγές που εφαρµόζονται στις τρεις περιόδους η τέταρτη γραµµή δίνει το πήθος των πµ που εφαρµόζεται η τίστοιχη ακοουθία έτσι η ακοουθία εφαρµόζεται σε a πµ κπ Το µοντέο δίνεται στη και εδώ ενδιαφερόµαστε για την εκτίµηση των µεταφερόµενων επιδράσεων Οι κονικές εξισώσεις για την εκτίµηση αυτών των παραµέτρων αυτών δίνονται στην 3 Ο πίνακας είναι 3 και τιστοιχεί στις παραµέτρους ο πίνακας είναι 33 και τιστοιχεί στις παραµέτρους µ τ α α γ γ γ δηαδή του γενικού µέσου της αγωγής των δύο πρώτων περιόδων και των - πρώτων πµ έχουµε θέσει για τη µοναδικότητα του µοντέου τ α 3 γ 0 Παρατηρούµε ότι το άθροισµα των στηών που τιστοιχούν στις παραµέτρους a είναι το µοναδιαίο 3 διάνυσµα που τιστοιχεί στο γενικό µέσο µ Ο πίνακας σχεδιασµού δεν είναι πήρους βαθµού Ισχύει και εδώ η σχέση που δίνεται στην 5 και εποµένως µπορούµε να εκτιµήσουµε µόνο τη διαφορά Τότε I 3 Y / 3 va σ / F F I I 3 το διάνυσµα είναι η στήη του πίνακα που τιστοιχεί στην παράµετρο Θεώρηµα ν F είναι η ποσότητα που δίνεται στη σχέση 7 τότε ο βέτιστος σχεδιασµός που εαχιστοποιεί τη va σ / F είναι: ι άρτιος: ρησιµοποιούµε σε / πµ την ακοουθία BB και σε / πµ την ακοουθία µε va σ / ιι περιττός: ρησιµοποιούµε σε -/ πµ την ακοουθία BB και σε / πµ την ακοουθία µε va σ / / πόδειξη Ο υποογισµός της ποσότητας F δίνει: όπου F 3 R 7 55

a a / / 3 3 h a R / / 3 g g Η µεγιστοποίηση της ποσότητας F ως προς agh µε ag πετυχαίνεται για τις τιµές που δίνονται στο Θεώρηµα δηαδή: ι άρτιος: agh0 / τότε F/ ιι περιττός: agh0 -/ / τότε F-// ΟΕ Παρατηρούµε ότι ότ έχουµε τρεις περιόδους ο βέτιστος σχεδιασµός για την εκτίµηση της διαφοράς των κύριων επιδράσεων τ τ είναι ίδιος µε το βέτιστο σχεδιασµό για την εκτίµηση της διαφοράς των µεταφερόµενων επιδράσεων 3 ΕΞΡΤΗΜΕΝΕ ΠΡΤΗΡΗΕΙ τα προβήµατα επααµβόµενων µετρήσεων ότ δεν υπάρχει χρόνος απόσβεσης οι παρατηρήσεις είναι εξαρτηµένες διότι είναι παρατηρήσεις πάνω στην ίδια πειραµατική µονάδα σε διαδοχικές περιόδους την περίπτωση αυτή συµβοίζουµε µε τον πίνακα διασποράς των σφαµάτων δηαδή va ν είναι το πήθος των περιόδων και το πήθος των πµ τότε το διάνυσµα των σφαµάτων είναι και ο πίνακας διασποράς είναι Το µοντέο είναι Y 9 Ενδιαφερόµαστε για το βέτιστο σχεδιασµό που αφορά την εκτίµηση των παραµέτρων Η µέθοδος εαχίστων τετραγώνων µας δίνει: Υ Τ I 0 όπου Τ Τ Με va Τ σ ν θέσουµε και Υ Υ Y I Ι Τ που έχουν την ίδια µορφή µε τις σχέσεις 3 56

ΥΝΘΕΤΗ ΥΜΜΕΤΡΙ την περίπτωση που ο πίνακας διασποράς των σφαµάτων παρατηρήσεων σε κάθε πµ και για περιόδους είναι της µορφής: ρ ρ ρ ρ ρ σ ρ σ [ ρ Ι ρ J ] < ρ < ρ ρ ρ τότε έχουµε σύνθετη συµµετρία ompou smmt o uom p Ένας τρόπος να πάρουµε σύνθετη συµµετρία είναι ότ έχουµε εξάρτητες τυχαίες µεταβητές Z Z Z µε va Z σ va Z τ και Z Z Z Z Z Z ο πίνακας διασποράς V των σφαµάτων είναι: ρ ρ ρ σ V σ τ ρ σ τ ρ ρ ρ ρ / ρ [ ρ I ρ J ] Ι J ρ ρ ρ Τέτοια είναι η περίπτωση που η επίδραση κάθε πµ είναι τυχαία µεταβητή µε διασπορά τ εξάρτητη από τα σφάµατα Παρατηρούµε ότι ο πίνακας / έχει τον ίδιο γραµµικό χώρο στηών µε του πίνακα τότε Εποµένως ο βέτιστος σχεδιασµός για τις κύριες επιδράσεις ή τις µεταφερόµενες επιδράσεις σε µοντέο σύνθετης συµµετρίας είναι ο ίδιος µε αυτόν που παίρνουµε σε µοντέα µε εξάρτητα σφάµατα Η µόνη διαφορά είναι ότι η διασπορά των εκτιµητριών στο βέτιστο σχεδιασµό µε τη σύνθετη συµµετρία είναι ποαπασιασµένη µε -ρ δηαδή: va τ τ ρ va τ τ και va ρ va Μία άη µορφή εξάρτησης είναι ότ τα σφάµατα ακοουθούν ένα µοντέο R της µορφής: ρ u όπου τα u είναι εξάρτητες τµ µε διασπορά σ ρ τότε va σ 57

την περίπτωση αυτή ο βέτιστος σχεδιασµός εξαρτάται από την τιµή του ρ και η περίπτωση αυτή χρειάζεται να µεετηθεί περισσότερο BSRC I th pst pap am optmal oss-ov sgs th to tatmts to o th pos a pmtal uts h optmal sgs a pst o th stmato o a t ts sual o a-ov ts o to a th pos a pt os I th as o pt o stutu t s pov that h th mol has ompou smmt th th optmal sgs a th sam as th pt os ut th vaa o th stmat ots s small a ato -ρ h as th mols th oth o stutus a aom ts s uth sah ΝΦΟΡΕ Balaa LN 96: to po sg th t pmtal uts Bomts 6-73 Chg CS & Wu CF 90: Bala pat masumts sgs als o Statsts 7-3 39 Jos B & Ka M 003: Dsg a alss o Coss-Ov als Haat S & saja K 975: Rpat masumts sgs I I Svastava JN to suv o Statstal Dsg a La Mols 9- Noth-Holla: mstam Haat S & saja K 97: Rpat masumts sgs II als o Statsts 6 69-6 Laska EM a Msm M 995: vaatoal appoah to optmal totatmt ossov sgs: applato to a-ov t mols Joual o th ma Statstal ssoato 0 70-70 Matths JNS 97: Optmal ossov sgs o th ompaso o to tatmts th ps o aov ts a autoolat os Bomtka 7 3-30 atso HD & Luas HL 96: Chag-ov sgs Noth Caola gultual Epmtal Stato h Bull No 7 Wllams EJ 950: Epmtal sgs ala o pas o sual Fts ustala Joual o St Rsah 3 35-363 5