1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω µε 0 ο ω 180 ο ΘΕΩΡΙΑ 1. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξειών γωνιών ορθογωνίου τριγώνου Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο θυµίζουµε ότι απέναντι κάθετη ηµω = = ΑΓ υποτείνουσα ΒΓ προσκείµενη κάθετη συνω = = ΑΒ υποτείνουσα ΒΓ απέναντι κάθετη εφω = = ΑΓ προσκείµενη κάθετη ΑΒ Γ Α ω Β. Τρ/κοί αριθµοί γωνίας ω µε 0 ο < ω < 180 ο στο σύστηµα αξόνων Στο διπλανό σχήµα είναι Ο M = ω, όπου Μ (, ) και ΟΜ = ρ = + τεταγµένη του Μ Τότε ηµω = απόσταση του Μ από το Ο τετµηµένη του Μ συνω = απόσταση του Μ από το Ο τεταγµένη του Μ εφω = = τετηµένη του Μ = ρ = ρ Μ(, ) ρ O ω. Πρόσηµο των τριγωνοµετρικών αριθµών Αν η γωνία ω είναι οξεία, τότε όλοι οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί είναι θετικοί Αν η γωνία ω είναι αµβλεία, τότε είναι θετικό το ηµίτονο και αρνητικοί οι άλλοι 4. Ειδικές γωνίες : ω = 0 ο τότε ηµ0 ο = 0, συν0 ο = 1, εφ0 ο = 0 ω = 90 ο τότε ηµ90 ο = 1, συν90 ο = 0, εφ90 ο δεν ορίζεται ω = 180 ο τότε ηµ180 ο = 0, συν180 ο = 1, εφ180 ο = 0
. Υπενθύµιση: ω 0 ο 4 ο 60 ο ηµω συνω εφω 1 1 1 ΣΧΟΛΙΑ 1. Μέθοδος : Για να βρούµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς µιας γωνίας ω, τοποθετούµε τη γωνία σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων O έτσι ώστε η κορυφή της να είναι στο Ο και µία πλευρά της να είναι η ηµιευθεία Ο. Βρίσκουµε τις συντεταγµένες (, ) τυχαίου σηµείου Μ της άλλης πλευράς και µε τον τύπο ρ = + την απόσταση του Μ από το Ο. Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε τους τύπους του () της θεωρίας.. Πρόταση : Αν 0 ο ω 180 ο τότε 0 ηµω 1 και 1 συνω 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες Αν 0 ο < ω < 180 ο τότε εφω > 0 Λ Υπάρχει γωνία ω τέτοια ώστε συνω = κ + γ) συν 10 ο συν 7 ο < 0 Σ δ) ηµ 47 ο + ηµ 1 ο > 0 Σ ε) εφ1 ο εφ ο < 0 Σ στ) Αν ηµω > 0 τότε η ω είναι οξεία Λ Αν 90 ο < ω <180 ο τότε εφω < 0 άρα η πρόταση είναι λάθος Για κάθε πραγµατικό αριθµό κ είναι κ + Άρα η πρόταση είναι λάθος, όπου κ πραγµατικός αριθµός Λ > 1 δηλαδή συνω > 1 γ) συν 10 ο < 0 και συν 7 ο < 0 άρα συν 10 ο συν 7 ο < 0 Οπότε η πρόταση είναι σωστή δ) ηµ47 ο > 0 και ηµ1 ο > 0 άρα ηµ 47 ο + ηµ 1 ο > 0 Οπότε η πρόταση είναι σωστή ε) εφ1 ο < 0 και εφ ο > 0 άρα εφ1 ο εφ ο < 0 Οπότε η πρόταση είναι σωστή στ) Και αµβλεία να είναι η γωνία πάλι ηµω > 0. Άρα η πρόταση είναι λάθος. Σε κάθε τριγωνοµετρικό αριθµό της 1 ης γραµµής αντιστοιχίστε το ίσον του της ης γραµµής. 1.ηµ0 ο.ηµ90 ο.ηµ180 ο 4.συν0 ο.συν90 ο 6.συν180 ο 7.εφ0 8.εφ180 α. 1 β. 0 γ. 1 Θεωρία 4 Απάντηση ηµ0 = 0 άρα 1 β, ηµ90 ο = 1 άρα α, ηµ180 ο = 0 άρα β συν0 ο = 1 άρα 4 α, συν90 ο = 0 άρα β, συν180 ο = 1 άρα 6 γ εφ0 ο = 0 άρα 7 β, εφ180 ο = 0 άρα 8 β
4. Να βρείτε τη µεγαλύτερη και τη µικρότερη τιµή των παραστάσεων Α = 4ηµω + Β = συνω, όπου 0 ο ω 180 ο Σχόλιο Γνωρίζουµε ότι αν 0 ο ω 180 ο τότε 0 ηµω 1 0 4ηµω 4 4 ηµω + + 4 Α 7 Άρα Αmin = και Αma = 7 Οµοίως 0 ο ω 180 ο τότε 1 συνω 1 συνω + συνω + Β 1 Οπότε Βmin = 1 και Βma = 4. Να βρείτε τα µήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( Α = 90 ο ), αν ηµβ = και ΑΓ = 6 Θεωρία 1 ηµβ = ΑΓ ΒΓ άρα = 6 οπότε ΒΓ = 10 ΒΓ Πυθαγόρειο θεώρηµα : ΑΒ = ΒΓ ΑΓ = = 100 6 = 64 άρα ΑΒ = 64 = 8 Α Γ Β. Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας Ο M, όπου Ο η αρχή ορθοκανονικού συστήµατος αξόνων και Μ( 6, 8) Μ(1, ) γ) Μ(7, 0) Θεωρία ρ = ΟΜ = ( 6) + 8 = 6+ 64 = = 100 = 10 Άρα ηµ Ο M = ρ = 8 10 = 4 συν Ο M = ρ = 6 = 10 εφο M = = 8 = 6 = 4 Μ( -6, 8) -6 ρ 8 Ο Οµοίως ρ = 1, ηµ Ο M = 1, συν Ο M = 1 1, εφ Ο M = 1
γ) ρ = 7, ηµ Ο M = 0 7 = 0, συν Ο M = 7 7 = 1, εφ Ο M = 0 7 = 0 6. Στο διπλανό σχήµα, το τρίγωνο AΟΒ είναι ισοσκελές µε ΟA =. Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου A Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς τη γωνίας των 1 ο ηµ4 ο = AΓ ΑΟ άρα = AΓ οπότε ΑΓ = Εποµένως η τεταγµένη του Α είναι = Το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΓ είναι ισοσκελές, αφού έχει οξεία γωνία 4 ο. Άρα ΟΓ = οπότε η τετµηµένη του Α είναι = Είναι λοιπόν Α, ηµ1 ο = ρ = = συν1 ο = ρ = = και εφ1 ο = =. Γ = 1
6 7. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της ευθείας µε εξίσωση + = 6 Να προσδιορίσετε σηµείο Μ της ευθείας µε τεταγµένη 4. γ) Nα βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας Ο M Βρίσκουµε δύο σηµεία από τα οποία διέρχεται η γραφική παράσταση για = 0 έχουµε = ένα σηµείο είναι το (0, ) και για = 0 έχουµε = ένα άλλο σηµείο είναι το (, 0) η γραφική παράσταση φαίνεται δίπλα και Μ είναι η κόκκινη ευθεία 4 Αν = 4 τότε + 1 = 6 άρα = οπότε Μ(, 4) ρ γ) ρ = ΟΜ = ( ) + 4 = = - Ο ηµ Ο M = ρ = 4 συν Ο M = ρ = εφο M = = 4 8. Στο διπλανό σχήµα, στο σηµείο Α είναι ένας άνθρωπος που απέχει από την αρχή Ο απόσταση ΟΑ = m. Να βρείτε τις συντεταγµένες της θέσης Α του ανθρώπου. ηµ60 ο = ΑΚ ΟΑ οπότε = ΑΚ άρα ΑΚ = Εποµένως η τεταγµένη του Α είναι = συν60 ο = ΟΚ ΟΑ οπότε 1 = ΟΚ άρα OΚ = Λ Κ Οπότε η τετµηµένη του Α είναι = Άρα Α,
7 9. Αν Μ(α, 4) και ΟΜ =, να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας OΜ. ΟΜ = α + 4 άρα = α + 4 α + 16 = α = 9 οπότε α = ή α = Όταν α = τότε Μ(, 4) και ηµ OΜ = 4, συν OΜ =, εφ OΜ = 4 Όταν α = τότε Μ(, 4) και ηµ OΜ = 4, συν OΜ =, εφ OΜ = 4 10. i) Να σχεδιάσετε την ευθεία = και να βρείτε την τεταγµένη ενός σηµείου της Μ του οποίου η τετµηµένη είναι. ii) Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ω= OΜ. iii) Να βρείτε το µέτρο της γωνίας ω i) Η γραφική παράσταση της ευθείας = φαίνεται στο σχήµα. Για = 0 είναι = = 0 Για = είναι = = άρα Μ(, ) ii) ρ = ΟΜ = + = 8 = ηµ OΜ = = = συν OΜ = και εφ OΜ =1 iii) Επειδή 0 < OΜ < 90 ο και ηµ OΜ =, είναι OΜ = 4 ο O ρ = M(, )
8 11. Στο διπλανό σχήµα είναι συνω = 4 Να υπολογίσετε την τεταγµένη του Μ Να βρείτε το ηµω και την εφω συνω = OM άρα 4 = άρα ΟΜ = 4 OM Πυθαγόρειο στο ΟΜΚ : ΜΚ = ΟΜ ΟΚ = = 16 9 = 7 άρα ΜΚ = 7 Εποµένως η τεταγµένη του Μ είναι = 7 ηµω = OM = 7 και εφω = 4 = 7 Κ