Συστήματα Επικοινωνιών Ι

+ Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών Ι Διαμόρφωση Συχνότητας Ευρείας Ζώνης Εύρος ζώνης μετάδοσης διαμορφωμένων κατά γωνία σημάτων Παραγωγή σημάτων FM

+ Περιεχόμενα Διαμόρφωση γωνίας ευρείας ζώνης διαμόρφωση από απλό τόνο συναρτήσεις Bessel διαμόρφωση από πολλούς τόνους φασματική ανάλυση Εύρος ζώνης μετάδοσης κυματομορφών FM ενεργό εύρος ζώνης κανόνας του Carso εύρος ζώνης σήματος FM εύρος ζώνης σήματος PM Παραγωγή σημάτων FM έμμεση μέθοδος άμεση μέθοδος

+ Σύνδεση με τα προηγούμενα Κατά τη διαμόρφωση γωνίας διαμορφώνεται η γωνία του φέροντος σήματος σύμφωνα με τα χαρακτηριστικά του σήματος πληροφορίας διαμόρφωση φάσης PM διαμόρφωση γωνίας FM Το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου κατά γωνία σήματος εν γένει υπερβαίνει το διπλάσιο του εύρους ζώνης του σήματος Β 2W Η διαμόρφωση γωνίας όμως προσφέρει καλύτερη συμπεριφορά ως προς το θόρυβο και την παρεμβολή Στην περίπτωση διαμόρφωσης γωνίας στενής ζώνης το διαμορφωμένο σήμα είναι παρόμοιο με το σήμα AM και το εύρος ζώνης μετάδοσης, όπως και στην ΑΜ διαμόρφωση είναι διπλάσιο του εύρους ζώνης του σήματος πληροφορίας Αν για το συντελεστή διαμόρφωσης β ισχύει β 1 rad τότε έχουμε διαμόρφωση γωνίας στενής ζώνης ενώ αν β > 1 έχουμε διαμόρφωση γωνίας ευρείας ζώνης

+ Διαμόρφωση φάσης/συχνότητας ευρείας ζώνης (Broadbad FM & PM Modulatio)

+ Φασματική ανάλυση διαμορφωμένων κατά γωνία σημάτων Λόγω της μη γραμμικότητας, η φασματική ανάλυση των διαμορφωμένων κατά γωνία σημάτων είναι δύσκολη διαδικασία Στην ειδική περίπτωση που το σήμα πληροφορίας m(t) είναι περιοδικό είναι εφικτή η ανάλυση σε αρμονικές συνιστώσες Η απλούστερη περίπτωση είναι αυτή του ημιτονικού σήματος διαμόρφωσης, όταν δηλαδή mt () = A cos(2 π ft) m m

+ Διαμόρφωση γωνίας ευρείας ζώνης διαμόρφωση από απλό τόνο Θεωρώ το εξής σήμα διαμόρφωσης mt () = Amcos(2 π ft m ) mt () = A si(2 π ft) για διαμόρφωση FM για διαμόρφωση PM Και στις 2 περιπτώσεις το διαμορφωμένο από απλό τόνο σήμα είναι το οποίο μπορεί να γραφτεί ως m m [ π β π ] st () = Acos2 ft+ si(2 ft) c c m 3 1 s1t2 Re3A c exp1j2pf c t jb si12pf m t224 Re3s ' 1t2 exp1j2pf c t24 το οποίο όμως είναι (εν γένει) μη περιοδικό 3 ' 1 2 1 24 Η μιγαδική περιβάλλουσα αυτού όμως είναι περιοδικό σήμα (με T m = 1/f m ) και μπορεί να αναλυθεί σε σειρά Fourier s () t = A exp j si(2 f t) c [ β π ] m

+ > Ανάλυση σε σειρά 3 1 Fourier 24 Αναπτύσσοντας τη 1 2μιγαδική περιβάλλουσα 1 1 2σε 2 σειρά Fourier έχουμε q ' 1 2 1 s 1t2 a c exp1j2pf 2 m t2 q 2 1 1>(2f > m ) > όπου c f m s' 11t2 2 exp1 j2pf 1 3 m 12 t2 dt 2 L 1>(2f > m ) > 3 1 1>(2f m )) 1 2 1 2 L > f m A c exp3jb 3 si12pf 1 m t2 2 j2pf m t4 dt L 1>(2f > m ) 1 2 3 1 1 > 3 1 > 2 3 1 1 > 3 1 24 3 1 1 2 1 2 3 1 24 > c A c 2p L p p 1 2 1 2 3 1 2 x 2pf m t ourier coeffi exp3j1b si x x24 dx 3 1 3 1 24 3 1 2

+ Ανάλυση σε 3 1 σειρά Fourier Συναρτήσεις Bessel 1 2 1 2 3 1 24 H -οστή τάξης συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και ορίσματος β ορίζεται ως 1 2 3 1 1 2 3 1 J 1b2 1 24 exp3j1b si x x24 dx 2p 1 2 L p Συνεπώς c A c J 1b2 1 2 a 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 και το διαμορφωμένο σήμα s(t) γράφεται ως s1t2 RecA c 1 2 p 3 1 24 we get, i terms 1 2 q ' s 1t2 Ac a J 1b2 exp1j2pf m t2 q a q 1 2 q c a 1 2 3 1 J 1b2 exp3j2p1f 1 2 3 c f m 2t4d A c a J 1b2 cos32p1f c f m 2t4 q 1 2 c 1 2 3 1 2 4 q Διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα με δείκτη διαμόρφωσης β 1 2

+ Φάσμα σήματος FM ευρείας ζώνης Το διαμορφωμένο 1 2σήμα είναι 1 2 3 1 2 4 s1t2 A c 2 1 2 q a q J 1b2 cos32p1f c f m 2t4 και ο Μ/Σ Fourier αυτού 1 2 1 2 S1f2 A q c 2 a J 1b23d1f 1 2 f c f m 2 d1f f c f m 24 1 23 1 q 2 1 2 1 2 1 23 2 1 1 2 L 13 21 2 1 24 1 2 3 1 ows 1 that 2 the s 1 2 f f c 3 1 f m 2f για 1 24 Άπειρος αριθμός συναρτήσεων δέλτα1στις 2 συχνότητες 0, 1, 2, Á. 1 2

Η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξης ε ( 1) k ( β 2 ) + 2 k J (β ) = k!( k + )! k =0 Besselκαι J(β) για μικρές τιμές του β + Ιδιότητες συναρτήσεων Bessel Ιδιότητες Ιδιότητες Bessel J(β) Ιδιότητες συναρτήσεων Bessel J (β ) επίσης Φάσμα WBFM (2/3) 2! Ιδιότητες Bessel J(β) 1. J ( β ) = ( 1) J ( β ) J ( β ) άρτιος Η1.συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξης ) = είναι J ( β ) = ( 1) J ( β ή αλλιώς J ( β ) 2. Αν 0 < β k β1 τότε: J J(β()β=)( 1)J (περιττός +2k 1. β) ( 1) ( ) 2 0β )<!β1 1 τότε: ) J=0 ( J2. ( βαν 2 2. Αν 0 < β 1 τότε:!( + )! k k ) =1 Φαίνεται, J ( βφάσμα, k =0 λοιπόν, ότι έχω άπειρο β J ( β )! 1 J 0 (β )! 1 β β = και για0 μικρές τιμές του β J ( β ) β Για J (μικρές βτου )! τιμές, J.του ( ββ: ) = J ( β ) =2! εξαιτίας 2 β β2 επίσης 1 1 1 J 1J( β()β!)! 0,,for J 1(>β1) = J 1 ( β ) = J (β ) άρτιος 2 2 J (β ) = 2 ()β=) 1for >περιττός J γραφική ( β J)!J( β0, 1 3. = των παράσταση 2 2 1 J ( βj) = (β ) = 1 συναρτήσεων = 3. Συστήματα Επικοινωνιών Ι Bessel= πρώτου βαθμού -οστής Συστήματα Επικοινωνιών Ι τάξης β β J 1 ( β )!, J 1 ( β ) = J 1 ( β ) = 2 2 J ( β )! 0, για for > 1 3. J 2 (β ) = 1 = Συστήματα Επικοινωνιών Ι

+ Παρατηρήσεις Το φάσμα FM περιέχει μια συνιστώσα που αντιστοιχεί στο φέρον και ένα άπειρο σύνολο πλευρικών συχνοτήτων συμμετρικά τοποθετημένων εκατέρωθεν του φέροντος σε διαστήματα f m Στην περίπτωση που β 1, J (β)! 0,. Δηλαδή η κυματομορφή FM αποτελείται από το φέρον και ένα μόνο ζευγάρι πλευρικών συχνοτήτων στις f. ± f 0. Η περίπτωση αυτή είναι η περίπτωση FM στενής ζώνης Το πλάτος της φασματικής συχνότητας που οφείλεται στο φέρον εξαρτάται από το δείκτη διαμόρφωσης και ισούται με J 0 (β) Η μέση ισχύς της κυματομορφής FM εξαρτάται από το πλάτος του φέροντος και είναι ίση με 2 2 Ac P = J 2 ( β ) = 2 = A c 2

+ Επίδραση πλάτους ημιτονικού σήματος διαμόρφωσης στην κυματομορφή FM Περίπτωση ημιτονικής διαμόρφωσης με σταθερή συχνότητα f m για τρεις διαφορετικές τιμές του πλάτους Α m

+ Επίδραση συχνότητας ημιτονικού σήματος διαμόρφωσης στην κυματομορφή FM Περίπτωση ημιτονικής διαμόρφωσης σταθερού πλάτους Α m για τρεις διαφορετικές τιμές της συχνότητας f m Όταν η Δf είναι σταθερή και ο δείκτης διαμόρφωσης β αυξάνει ο αριθμός των φασματικών γραμμών που συγκεντρώνονται στο σταθερό διάστημα συχνότητας f c Δf < f < f c + Δf Όταν το β, το εύρος ζώνης της κυματομορφής FM τείνει στην οριακή τιμή 2 Δf

+ Διαμόρφωση από πολλούς τόνους Στην πράξη το σήμα διαμόρφωσης αποτελείται όχι μόνο από έναν αλλά από πολλούς τόνους (ασυσχέτιστων ή αρμονικά συσχετισμένων) Έστω σήμα διαμόρφωσης που αποτελείται από 2 τόνους, f 1 και f 2 Το διαμορφωμένο FM σήμα είναι όπου mt () = Acos(2 π ft) + Acos(2 π ft) 1 1 2 2 f [ π β π β π ] s() t = A cos2 f t + si(2 f t) + si(2 f t) c c f 1 1 2 2 όπου kf A1 Δf kf A2 Δf β1 = =, β2 = = f f f f 1 2 1 1 1 2 δείκτης διαμόρφωσης 1 ου τόνου δείκτης διαμόρφωσης 2 ου τόνου Η ίδια διαδικασία ακολουθείται στην περίπτωση σήματος διαμόρφωσης με πάνω από 2 τόνους

+ Διαμόρφωση από πολλούς τόνους φασματική ανάλυση Ακολουθώντας διαδικασία παρόμοια με αυτή της διαμόρφωσης από απλό τόνο καταλήγουμε ότι [ ] st () = A J ( β ) J( β )cos 2 π( f + mf + f ) t c m 1 2 c 1 2 m= = Το φάσμα του ανωτέρω διαμορφωμένου FM σήματος αποτελείται από 1. Μια συνιστώσα φέροντος συχνότητας f c και πλάτους J 0 (β 1 ) J 0 (β 2 ) 2. Ένα σύνολο πλευρικών συχνοτήτων που αντιστοιχούν στην f 1 στις συχνότητες f. ± mf 5 με πλάτη J m (β 1 ) J 0 (β 2 ) 3. Ένα σύνολο πλευρικών συχνοτήτων που αντιστοιχούν στην f 2 στις συχνότητες f. ± f 7 με πλάτη J 0 (β 1 ) J (β 2 ) 4. Ένα σύνολο συχνοτήτων ετεροδιαμόρφωσης στις συχνότητες f. ± mf 5 ± f 7

+ Διαμόρφωση από πολλούς τόνους φάσμα διαμορφωμένου σήματος

+ Εύρος ζώνης μετάδοσης κυματομορφών FM

+ Εύρος ζώνης σήματος FM Όπως είδαμε, θεωρητικά, ένα σήμα FM περιέχει άπειρο αριθμό πλευρικών συχνοτήτων και άρα το απαιτούμενο για τη μετάδοση του εύρος ζώνης είναι και αυτό άπειρο Στην πράξη όμως, το πλάτος των συνιστωσών υψηλής τάξης είναι αμελητέο, δηλαδή πρακτικά το απαιτούμενο εύρος ζώνης μετάδοσης είναι πεπερασμένο Μπορεί να οριστεί ένα ενεργό εύρος ζώνης που περιέχει μόνο εκείνες τις πλευρικές συνιστώσες των οποίων τα πλάτη είναι σημαντικά (μεγαλύτερα από 1% του πλάτους φέροντος) Το ενεργό εύρος ζώνης ορίζεται ως 2 089 f 0 όπου f 0 η συχνότητα διαμόρφωσης και 089 ο μέγιστος ακέραιος για τον οποίο J (β) > 0.01=1%

+ Εύρος ζώνης σήματος FM Αριθμός σημαντικών πλευρικών συχνοτήτων για διάφορες τιμές του δείκτη διαμόρφωσης β

+ Εύρος ζώνης σηματος FM Παγκόσμια καμπύλη για τον υπολογισμό του 1% εύρους ζώνης μιας κυματομορφής FM

+ Κανόνας του Carso Σύμφωνα με τον κανόνα του Carso, το απαιτούμενο εύρος ζώνης μετάδοσης σήματος FM (που προέρχεται από διαμόρφωση απλού τόνου) είναι Δ f 2 1 fm 2 f 2f BT = 2( β + 1) fm = + = Δ + fm 2( Δ φ + 1) fm Το πλήθος αρμονικών συνιστωσών που περιέχονται σε αυτό είναι m 2 f a1 1 b b FM PM M c Δ f 2 3 FM 2 β 3 f + = + = m 2 Δ φ + 3 PM

+ Εύρος ζώνης σήματος FM Στη γενική περίπτωση οποιουδήποτε σήματος πληροφορίας m(t) ορίζουμε το λόγο απόκλισης D (αντίστοιχο του δείκτη διαμόρφωσης β) ως το λόγο D = Δf W όπου W η υψηλότερη συχνότητα διαμόρφωσης (η μέγιστη εκ των συχνοτήτων προς μετάδοση) Αντικαθιστώντας στον κανόνα του Carso έχουμε Β? = 2Δf 1 + 1 D = 2W(D + 1) Ο κανόνας του Carso υποτιμά το απαιτούμενο εύρος ζώνης σε σχέση με την παγκόσμια καμπύλη

+ Εύρος ζώνης σήματος FM Για διαμόρφωση στενής ζώνης: BT = 2W D 1 Για διαμόρφωση ευρείας ζώνης: B = 2Δ f = 2DW T D 1 Γενικά για οποιαδήποτε τιμή του D, σύμφωνα με τον κανόνα Carso B = 2( Δ f + W) = 2( D+ 1) W T

+ Εύρος ζώνης σήματος PM Κανόνας Carso BT, Carso = 2( Δ φ + W) Δφ: μέγιστη απόκλιση φάσης στην ακραία περίπτωση εύρους ζώνης

+ Παραγωγή σημάτων FM

+ Παραγωγή σημάτων FM Διακρίνουμε 2 βασικές μεθόδους παραγωγής κυματομορφών FM: την έμμεση μέθοδο, όπου το σήμα πληροφορίας διαμορφώνεται αρχικά ώστε να πάρουμε σήμα FM στενής ζώνης και στη συνέχεια χρησιμοποιείται πολλαπλασιαστής συχνότητας για να αυξηθεί η απόκλιση συχνότητας στο επιθυμητό επίπεδο εύκολη σταθεροποίηση της συχνότητας φέροντος η εμπορική ραδιοφωνία FM χρησιμοποιεί αυτήν την τεχνική την άμεση μέθοδο, όπου η συχνότητα του φέροντος μεταβάλλεται εξ αρχής σύμφωνα με το σήμα πληροφορίας

+ Έμμεση μέθοδος παραγωγής σήματος FM σε ένα στάδιο Για ημιτονικό σήμα διαμόρφωσης m(t): fc = f 1 β = β 1 A cos(2 π ft) 1 1

+ Έμμεση μέθοδος παραγωγής σήματος FM σε δύο στάδια αύξηση Δf και f c αύξηση Δf και f c A 1cos(2 π ft 1 ) A2 π 2 cos(2 ft) αμετάβλητη αύξηση Δf μείωση f c f = ( f f ) c 2 2 1 1 β = β 1 2 1

+ Άμεση μέθοδος παραγωγής σήματος FM μέθοδος εύκολη σε υλοποίηση η συχνότητα του φέροντος μεταβάλλεται μέσω ενός VCO (ταλαντωτής ελεγχόμενος από τάση) απλός VCO: συντονισμένο κύκλωμα με μεταβλητό πυκνωτή επιρρεπής σε αποσταθεροποίηση της συχνότητας φέροντος ανάγκη για χρήση διάταξης σταθεροποίησης 1 fc() t = 2 π LC( t) Ct () = C +ΔCmt () f 0 0 1 = 2π LC 0 1/2 ΔC fc = f0( 1 +ΔCm( t)/ C 0) f0 1 mt ( ) 2C 0

+ Άμεση μέθοδος παραγωγής σήματος FM διάταξη σταθεροποίησης συχνότητας

+ Σύνοψη Θεωρητικά το φάσμα ενός σήματος FM είναι άπειρο [ ] st () = A J ( β ) J( β )cos 2 π( f + mf + f ) t c m 1 2 c 1 2 m= = Στην πράξη ορίζουμε ένα ενεργό εύρος ζώνης (το οποίο περιέχει μόνο τις σημαντικές πλευρικές συχνότητες) και περιορίζουμε το απαιτούμενο εύρος ζώνης μετάδοσης J (β) > 0.01=1% Το εύρος μετάδοσης προσδιορίζεται είτε μέσω του κανόνα του Carso με χρήση του λόγου απόκλισης D είτε μέσω της παγκόσμιας καμπύλης B = 2( Δ f + W) = 2( D+ 1) W T