Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο με λεπτά κελύφη και θα περιοριστούμε στις παραμορφώσεις αυτών των κελυφών που είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα. ΕΙΔΟΣ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Το κέλυφος υπό περιστροφή του Σχ.1 σχηματίζεται με περιστροφή μιας επίπεδης καμπύλης (του μεσημβρινού) γύρω από έναν άξονα, που βρίσκεται στο επίπεδο της καμπύλης. Η ακτίνα καμπυλότητας του μεσημβρινού (δηλ. της επίπεδης καμπύλης που περιστρέφεται) συμβολίζεται με r 1 και φυσικά μεταβάλλεται κατά μήκος του μεσημβρινού. Αυτή η ακτίνα καμπυλότητας ορίζεται από δύο γραμμές κάθετες στην επιφάνεια του κελύφους στα σημεία Β και C του ίδιου μεσημβρινού, όταν τείνουν να γίνουν ένα σημείο. Μια άλλη παράμετρος, η r 2 παριστάνει την ακτίνα καμπυλότητας της επιφάνειας του κελύφους σε διεύθυνση κάθετη στο μεσημβρινό. Αυτή η ακτίνα καμπυλότητας ορίζεται με κάθετες στην επιφάνεια του κελύφους στα σημεία Α και B, όταν αυτά τείνουν να γίνουν ένα σημείο ενώ η ΑΒ παραμένει κάθετη στο μεσημβρινό. Το κέντρο καμπυλότητας που αντιστοιχεί στην r 2 βρίσκεται πάνω στον άξονα συμμετρίας του κελύφους, ενώ το κέντρο καμπυλότητας που αντιστοιχεί στην r 1 κατά κανόνα δε βρίσκεται πάνω στον άξονα. Μια εσωτερική πίεση p, που δρα κάθετα στην καμπύλη επιφάνεια του κελύφους, αυξάνει τις διαμήκεις τάσεις σ φ και τις περιφερειακές τάσεις ή τάσεις δακτυλίου σ θ, που φαίνονται στο Σχ.1. Αυτές οι τάσεις είναι κάθετες μεταξύ τους και δρουν στο επίπεδο του στοιχείου του κελύφους (δηλ. στο επίπεδο που εφάπτεται της επιφάνειας από περιστροφή). Άξονας Συμμετρίας Στοιχείο Κελύφους Στοιχείο Κελύφους Μεσημβρινός Άξονας Συμμετρίας Σχήμα 1 1
Άξονας Συμμετρίας Άξονας Συμμετρίας Σχήμα 2 Στο σχήμα 2 φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται σε ένα στοιχείο του κελύφους, σε κάτοψη και πλάγια όψη. Η πίεση p δρα πάνω σε επιφάνεια ( r0 d )( r1 d) και έτσι η εξίσωση ισορροπίας των δυνάμεων στην κάθετη διεύθυνση γίνεται: hr1 dd sin hro dd pro dr1 d r o r 2 sin 0 r r 1 2 p h Αυτή η θεμελιώδης εξίσωση έχει εφαρμογή στις αξονοσυμμετρικές παραμορφώσεις όλων των λεπτότοιχων κελυφών που καταπονούνται λόγω περιστροφής. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Ο λόγος του πάχους του κελύφους προς οποιαδήποτε ακτίνα καμπυλότητας δεν πρέπει να υπερβαίνει το 0.10 περίπου. Επίσης δεν πρέπει να υπάρχουν ασυνέχειες στην κατασκευή. Η απλοποιημένη παρουσίαση, που γίνεται εδώ, δεν επιτρέπει την εξέταση δακτυλίων ενίσχυσης σε ένα κυλινδρικό κέλυφος, ούτε δίνει μια σαφή εικόνα των τάσεων και των παραμορφώσεων στην περιοχή των επίπεδων κλειστών άκρων των κυλινδρικών δοχείων πίεσης. Παρόλα αυτά η παρουσίαση είναι ικανοποιητική για αρκετά προβλήματα. Τα προβλήματα που ακολουθούν έχουν σχέση με τις τάσεις που αναπτύσσονται εξαιτίας ομοιόμορφων εσωτερικών πιέσεων, που εξασκούνται σε λεπτά κελύφη. Οι τύποι για τις διάφορες τάσεις είναι σωστοί και με αντίθετο πρόσημο, δηλ. αν χρησιμοποιηθούν για εξωτερικές πιέσεις. Δεν αρκεί να εξεταστεί μόνο η κατανομή των τάσεων, αλλά πρέπει να γίνει και μια άλλη, τελείως διαφορετική, μελέτη για να προσδιοριστεί το φορτίο κάτω από το οποίο το κέλυφος θα υποστεί λυγισμό εξαιτίας της συμπίεσης. Η αστοχία από λυγισμό ή αστάθεια μπορεί να συμβεί ακόμη και 2
όταν οι αναπτυσσόμενες τάσεις είναι μικρότερες από τη μέγιστη επιτρεπόμενη τάση λειτουργίας του υλικού. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Τα δοχεία και οι δεξαμενές αποθήκευσης υγρών, οι σωλήνες του νερού, τα καζάνια, η επένδυση των υποβρυχίων και πολλά τμήματα των αεροσκαφών είναι μερικά συνηθισμένα παραδείγματα λεπτότοιχων δοχείων πίεσης. Οι εναλλάκτες θερμότητας (αυλών κελύφους, διπλού σωλήνα) οι ατμοπαραγωγικές εγκαταστάσεις αποτελούν σημαντικές εφαρμογές του σχεδιασμού και ελέγχου των δοχείων πίεσης. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Θεωρούμε ένα λεπτότοιχο κύλινδρο που είναι κλειστός στα άκρα από επίπεδες πλάκες και καταπονείται από ομοιόμορφη εσωτερική πίεση p. Το πάχος του τοιχώματος είναι h και η εσωτερική ακτίνα r. Υπολογίστε τη διαμήκη και την εφαπτομενική τάση, που αναπτύσσονται στα τοιχώματα εξαιτίας της φόρτισης. Αγνοήστε την παρεμπόδιση των παραμορφώσεων από τις ακραίες πλάκες. Σχήμα 3 (α) (β) (γ) Για να υπολογίσουμε την περιφερειακή τάση σ c, ας φανταστούμε ένα τμήμα του κυλίνδρου μήκους L, που έχει αποχωριστεί από το δοχείο. Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος αυτού του τμήματος φαίνεται στο Σχ. 3(α). Ας σημειωθεί ότι ο κύλινδρος κόπηκε με τέτοιο τρόπο, ώστε η αρχικά εσωτερική τάση σ c να εμφανίζεται τώρα σαν εξωτερική τάση σ' αυτό το ελεύθερο σώμα. Το Σχ. 3(β) δίνει τις δυνάμεις που δρουν σε μια τομή. Οι οριζόντιες συνισταμένες της ακτινικής πίεσης αλληλοεξουδετερώνονται εξαιτίας της συμμετρίας ως προς την κεντρική κατακόρυφη. Στην κατακόρυφη διεύθυνση έχουμε την εξίσωση ισορροπίας: F c 2 hl 0 pr( d )(sin ) L 0 3
Με ολοκλήρωση βρίσκουμε: 2 hl c prl[cos Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας ] 0 Για να υπολογίσουμε τη διαμήκη τάση σ l, ας φανταστούμε μια τομή κάθετα στο γεωμετρικό άξονα του κυλίνδρου. Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος του τμήματος του κυλίνδρου που μένει φαίνεται στο Σχ. 3(γ). Για να ισορροπεί πρέπει να είναι c pr h F h 2 rh l pr 2 0 l pr 2h Άρα η εφαπτομενική τάση είναι διπλάσια από τη διαμήκη τάση. Έτσι, αν το νερό σε κάποιο κλειστό σωλήνα ύδρευσης παγώσει, ο σωλήνας θα σπάσει κατά μήκος μιας γραμμής παράλληλης προς τον άξονα του. Αυτές οι μάλλον απλές εκφράσεις των τάσεων δεν ισχύουν στην περιοχή των ακραίων πλακών. 2. Θεωρούμε ένα κλειστό λεπτότοιχο σφαιρικό κέλυφος, που καταπονείται με ομοιόμορφη εσωτερική πίεση p. Η εσωτερική ακτίνα του κελύφους είναι r και το πάχος του τοιχώματος h. Βρείτε μια έκφραση για την εφελκυστική τάση που αναπτύσσεται στο τοίχωμα. Σχήμα 4 Ας θεωρήσουμε ακριβώς τη μισή σφαίρα, για να φτιάξουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος. Σ' αυτό το σώμα δρουν η εσωτερική πίεση p και οι δυνάμεις του άλλου μισού της σφαίρας, που έχει αποκοπεί. Εξαιτίας της συμμετρίας της φόρτισης και των παραμορφώσεων αυτές οι δυνάμεις μπορούν να παρασταθούν με περιφερειακές εφελκυστικές τάσεις σ c όπως φαίνεται στο Σχ. 4. Αυτό το διάγραμμα ελεύθερου σώματος δίνει τις δυνάμεις που δρουν στο ημισφαίριο σε προβολή σε κατακόρυφο επίπεδο. Στην πραγματικότητα η πίεση p δρα πάνω σε όλη την εσωτερική επιφάνεια του ημισφαίριου και κάθετα σ' αυτή σε όλα τα σημεία. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η δύναμη εξασκείται με την ίδια τιμή της πίεσης πάνω στην προβολή αυτής της επιφάνειας, που σ' αυτήν την περίπτωση είναι η κατακόρυφη κυκλική τομή α~α. Αυτό είναι δυνατό, επειδή το ημισφαίριο είναι συμμετρικό ως προς τον οριζόντιο άξονα και οι κατακόρυφες συνισταμένες της πίεσης 4
αλληλοεξουδετερώνονται. Μόνο οι οριζόντιες συνισταμένες προκαλούν εφελκυστικές τάσεις σ c. Από την ισορροπία έχουμε: F h 2 rh c pr 2 0 c pr 2h Επειδή υπάρχει συμμετρία η εφαπτομενική τάση είναι η ίδια σε όλες τις διευθύνσεις και σε οποιοδήποτε σημείο του τοιχώματος της σφαίρας. 5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15