Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/
Увод Имајући у виду поставку задатка и суштину проблема који треба решити, све са циљем систематизације постојећег стања у области осциловања молекула, изложен је алгоритам решавања кретања молекула који међусобно делују ''еластичним'' силама ( то су силе чије се дејство може представити моделом два молекула везаних опругом, а који се налазе под утицајем константног гравитационог поља. Проблем је посматран у тродимензионалном Еуклидовом простору из непокретног правоуглог Декартовог координатног система. Сваки молекул је представљен куглом познате масе. Сматра се да сваки молекул може деловати са свим осталим. То дејство је представљено опругом познате крутости која је једнака за све опруге у систему и обележена је са. На основу ових претпоставки формирано је диференцијалних једначина кретања система (што одговара броју степени слободе система. Том приликом је коришћен II Њутнов закон, а не Лагранжеве једначине друге врсте, из тог разлога што се на оба начина добијају исте диференцијалне једначине кретања, али је овај први природнији и са техничког аспекта погоднији ( ово је последица избора генералисаних координата то су све апсолутне координате!. Опште решење овако добијеног система диференцијалних једначина је, практично, немогуће наћи аналитичким путем. Међутим, ако систем има стабилно равнотежно стање и ако се посматра кретање система око равнотежног положаја, могуће је његове диференцијалне једначине кретања линеаризовати и тако налажење кретања свести на примену Лапласове трансформације и решавање система алгебарских једначина. Ово поједностављење нам омогућава налажење сопствених фреквенција осциловања молекула око свог равнотежног положаја, као и једно посебно тумачење добијеног решења. Диференцијалне једначине кретања гравитационе силе молекула под дејством m m u g m m u u m m сл.
Посматрајмо материјални систем који се састоји од кугли задатих маса ( m,,..., које су међусобно повезане опругама истих крутости (слика. Да бисмо написали диференцијалне једначине кретања система помоћу II Њутновог закона потребно је дефинисати силе које делују на елементе система (кугле. У том циљу уочимо куглу масе m и куглу масе m као на слици. Пложаји -те и -те кугле одређени су радијус векторима и у односу на непокретан пол О, следствено. Са обележена је дужина ненапрергнуте опруге која повезује уочене кугле. Сила којом - та кугла делује на -ту означена је са. Она се може написати у облику: F где је ( F F F F ( O F m ( ( ( сл. радијус вектор -те у односу на -ту куглу, а чији је интезитет означен са m m и износи m ( ( ( ( Укупна сила којом све друге кугле у систему делују на -ту може се записати као: ( F F ( Ако координатни систем поставимо тако да гравитационо убрзање има правац осе а супротно је орјентисано од ње, гравитациону силу која делује на -ту куглу можемо представити на следећи начин: (4 G mg Диференцијална једначина кретања -те кугле на основу ( и (4 има облик: (5 ma F G ( G а целог система: ma F G ( G,,..., или у скаларном облику:
(6 m && ( m && ( m mg && (,,..., Аналитичко решење овог система од диференцијалних једначина врло је тешко наћи или можда чак немогуће. Зато се прибегава физичком тумачењу нашег система од кугли. Наиме, кугле су апроксимација молекула или атома који чине структуру неког материјалног тела. Ако је тело чврсто молекули (атоми у њему не могу да се крећу хаотично, већ осцилирају у малом простору око својих равнотежних положаја. Претпоставимо да наш систем од кугли има равнотежни положај, који на неки начин можемо одредити, и да се систем у почетном тренутку налазио у равнотежном стању. Тада ће се кугле налазити у својим равнотежним положајима чије ћемо радијус векторе обележити са: (7,,..., Поставља се питање шта ће се десити ако неколико или све кугле изведемо на врло мало растојање од равнотежног положаја и пустимо да се систем креће. Претпоставимо да ће у том случају све кугле у систему почети да осцилују на врло малим растојањима од свог равнотежног положаја. То значи да ће се координате положаја кугли у току осциловања врло мало разликовати од својих равнотежних положаја. Узимајући у обзир ове претпоставке, систем (6 се може поједноставити развијањем нелинеарних функција на десној страни једнакости система (6 у Тејлоров ред првог степена. Овим ће се са нелинеарног система диференцијалних једначина прећи на линеаран. Нелинеарне функције на десној страни система (6 потичу од еластичних сила. Посматрајмо, зато, поново силу F којом -та маса делује на -ту. Пројектовањем те силе на Декартове координатне осе добићемо: (8 F ( o F ( o F ( o Свака од ових компонената силе F је функција од шест независних променљивих. Развијајући у Тејлоров ред првог степена компоненту F силе F добиће се: (9 F (,,,,, F ( ( ( ( ( ( где су употребљене следеће ознаке
( F F (,,,,, F F (,,,,, (,,,,, F F (,,,,, (,,,,, а чије вредности износе: F F (,,,,, (,,,,, 4 ( F ( ( ( ( ( ( ( Аналогно се добијају изрази и за остале две компоненте F и F. ( F (,,,,, F ( ( ( ( ( ( ( F (,,,,, F ( ( ( ( ( ( где одговарајући коефицијенти имају следеће вредности (4 F ( ( ( ( ( ( (
(5 F ( ( ( ( ( ( ( 5 Може се показати да важе и следеће једнакости: (6 Стављајући једначине (9, ( и ( у систем диференцијалних једначина (6 добија се (7 m && F ( ( ( ( ( ( m && F ( ( ( ( ( ( m && F ( ( ( ( ( ( mg,,..., Лако се закључује да је: (8 F F F mg,,..., јер једначне (8 управо представљају статичке једначине равнотеже система пошто је он, у положају са координатама,,,,...,, био у стању равнотеже. Уведемо ли следеће смене координата: (9,,..,
систем (7 добија следећи облик: 6 ( m && m && m &&,,..., Видимо да је добијени систем од диференцијалних једначина линеаран са константним коефицијентима. Он се, даље, може решавати применом Лапласове трансформације, али ми ћемо решење овог система претпоставити у следећем облику : Сменама: ( s( ωt γ s( ωt γ s( ωt γ,,..., ( γ γ γ,,..., (лако се показује користећи (6 да је: (' γ γ и уврштавањем ( у ( добиће се хомоген систем алгебарских једначина по коефицијентима,,,,..., m ω mω m ω
који се матрично може записати као: 7 m ω......... m ω...................................................................... m ω... m ω............... mω............................................................ m ω γ...... γ γ m ω... γ......... γ γ mω................................................ γ............ γ γ m ω или сажето: ( K O где је K - матрица система за коју се може показати да је симетрична у односу на своју главну дијагоналу, - матрица која садржи амплитуде осциловања кугли по којима се систем решава и O - нула матрица. Да би овај систем имао нетривијална решења, према једној од последица Кронекер- Капелијеве теореме потребно је и довољно да је: (4 det K на: Овај услов даје једну алгебарску једначину по угаоној учестаности система ω која се своди (5 a ( ω У општем случају постоји 6 решења ове једначине. Сваком решењу ω одговара бесконачно много решења система (, јер је ag K. Било које од бесконачно много решења система ( назива се амплитудни вектор кога ћемо обележавати са: (6 (......... Вредност ag K даје број међусобно независних компоненти амплитудног вектора који се могу изразити у функцији осталих компоненти. Разматраћемо случај када је ag K. Тада се, решавањем система (, компоненти амплитудног вектора могу изразити преко једне компоненте. Нека је то, на пример, прва компонента. За остале компоненте добиће се: T (7 c c c ( c c c,,...,
где су коефицијенти уз константни бројеви који се добијају решавањем добијеног система линеарно независних алгебарских једначина. Када се за неко ω добије амплитудни вектор са компонентама датим преко (7 добиће се да су решења система (:,,..., (8 s( ω s( s( t γ ω t γ ω t γ,,...,6 Треба приметити да за 6 решења једначине (5 постоји двоструких решења система ( (то је због тога што у систему ( фигурише ω. Значи, да ће међу 6 решења (8 по два имати исти смисао (систем ће у оба случаја исто осциловати само ће бити фазно померен у односу на та два случаја. Зато ћемо од два решења, по модулу иста али супротног знака, за ω узимати оно позитивно. Може се показати да се на основу решења (8 може добити опште решење система ( као њихова линеарна комбинација, односно: 8 (9 ω γ ω γ s( t c s( t ( c cosγ sω t c sγ cos ω t ( casω t cbcos ω t ω γ ω γ s( t c s( t ( c cosγ sω t c sγ cos ω t ( c a sω t c b cos ω t ω γ ω γ s( t c s( t ( c cosγ sω t c sγ cos ω t ( casω t cbcos ω t,,..., где се коефицијенти a и b уз синусе и косинусе одређују из почетних услова. На питање како тумачити негативне и парове имагинарних решења једначине (5 поω може се дати следећи одговор. Ако таква решења постоје онда не бисмо могли, у први мах, да им дамо неко физичко тумачење. На пример, тада би решавањем система ( добили амплитудне векторе са комплексним компонентама. Нека у разматрање узмемо само реалне кружне фреквенције. За случај да је број имагинарних фреквенција m, број реалних ће бити 6 - m, а број амплитудних вектора - m. Систем (9 има једначина и 6 коефицијената које треба одредити из почетних услова. Пошто је, у разматраном случају, број фреквенција које се узимају у обзир - m то је број коефицијената које треба одредити из почетних услова 6 - m за шта нам је потребно исто толико и алгебарских једначина. Тако налазимо решења за - m координата помоћу чијих почетних услова смо нашли потребне коефицијенте. Ти коефицијенти морају да задовоље преосталих m алгебарских једначина да би решења за преосталих m координата система кугли задовољавала систем диференцијалних једначина (. То условљава да почетни услови за ове преостале координате не могу бити било који већ тачно одређени са преосталих m једначина. Испада да осциловања m кугли са неким другим почетним условима нису дозвољена, боље рећи, према опису кретања система кугли са системом диференцијалним
једначинама ( таква осциловања не могу да се десе. Међутим, ми бисмо у суштини могли да поставимо систем у било који почетни положај око његовог равнотежног положаја и он би тада осциловао по неком закону који није обухваћен нашим диференцијалним једначинама. Закључак је следећи:. Нека постоје имагинарне фреквенције (самим тим и имагинарни амплитудни вектори које не разматрамо у општем решењу осциловања система. Закључује се: Уз претпоставку да су диференцијалне једначине осциловања система тачне, постоје почетни положаји у којима се систем не може наћи мада их је реално могуће остварити. Опште осциловање система се не може, у потпуности, описати Њутновим једначинама кретања.. Решење једначине (5 даје само реалне фреквенције: Њутновим једначинама се у потпуности може описати опште кретање система, а може се извести посебан закључак да за било које вредности карактеристика система (то су: слободне дужине опруга, коефицијенти крутости, масе кугли m и кугле са ограниченим степенима слободе; систем има онолико степена слободе са колико се Декартових координата описује његово кретање други случајеви се не могу описати диференцијалним једначинама ( он заузима такав равнотежни положај који омогућава да су сва решења једначине (5 реална. Од свих ових закључака је најреалнији заључак под бројем.. Ако је он тачан онда потребан и довољан услов да решења једначине (5 буду реална јесте да вредности карактеристика система и вредности координата његовог почетног положаја које су садржане у коефицијентима једначине (5 задовољавају систем једначина (8. Сличан начин дискусије може се спровести и за вредност броја ag K. Наиме, поставља се питање како наћи опште једначине осциловања система ако је могуће да се деси да је ag K < и да су све фреквенције реалне. У том случају ће одређивање коефицијената a и b у систему једначина (9 бити неодређено, јер се испоставља да има више непознатих него једначина. Сва ова разматрања су била чисто математичка, а случајеви који су помињани можда уопште не могу да се десе. Међутим, услед недостатка доказа да одређени случајеви не могу да се догоде, они су овде разматрани. Пример осциловања система са четири степена слободе Посматрајмо систем (слика који се налази у равнотежном стању. Претпостављено је да тада на кугле и не делују опруге, 8, 5 и да су опруге, 7, 6, 4 истегнуте. Овако дефинисано стање система у равнотежном положају омогућава да му је равнотежно стање стабилно, а такође и да се равнотежни положај релативно лако одреди. Дефинисаћемо следеће карактеристике система: 9 ( ( 8 8 5 7 7 6 4 6 4 ( ( F F 8 8 8 8 5 5 8 5 F F >, >, >, > 4 4 7 7 6 6 7 6, 4
Све опруге у систему су исте крутости, а кугле су истих маса. Гравитациона сила је истог правца а супротног смера са -осом. 7 6 6 8 8 F 7 m F mg 7 m F 6 F 4 mg 5 5 4 4 сл. Као што се види, наш систем је везан за шест непокретних тачака. Замислимо да су те тачке замењене са куглама, 4, 5, 6, 7 и 8 којима смо ограничили могућност кретања. Увођење ових фиктивних кугли даје нам могућност да применимо једначине изведене у претходном одељку. Први корак у решавању овог проблема је налажење равнотежног стања. У ту сврху применом система једначина (8 можемо писати: ( F F m g 7 F F m g 4 6 где су ( F ( ( јер је > Овде треба напоменути да, пошто се ради о раванском проблему, једначине (8 треба применити само за и осе с том разликом што код осе дуж које делује гравитациона сила једначине треба да имају облик једначина за - осу код система (8. Очигледно је да се за наш случај једначине пишу само за - осу. Аналогно се добија: (4 F 7 7 7 F 4 4 4 F 6 6 6
После уврштавања ( и (4 у ( и имајући у виду услове ( и ( добија се: mg ( 7 mg ( 6 4 (5 Налажење равнотежног положаја у општем случају није нимало лак посао. Међутим, ако се може направити физички модел система кугли, равнотежни положаји није тешко добити мерењем. Пошто смо одредили равнотежни положај система, постављамо систем алгебарских једначина (. Одмах се уочава да амплитудни вектор има четири компоненте,, и па систем добија облик (6 mω mω mω mω где је према ( и (' : (7 7 8 7 8 4 5 6 4 5 6 7 8 7 8 4 5 6 4 5 6 као: Коефицијенти,, и се израчунавају помоћу ( и (, а узимајући у обзир (6 (8 ( ( ( ( 7 ( 7 7 ( 7 7 7 7 8 ( 8 8 8 ( ( 4 4 4 4 4 4 4 ( ( 5 5 5 5 5 ( 5 ( ( 6 6 6 6 7 6 6 6
(9 ( ( ( ( ( ( 7 7 7 7 7 ( ( 8 8 8 8 8 ( ( 4 4 4 4 4 ( ( ( ( 5 5 5 5 5 5 ( 5 5 ( 5 ( ( 6 6 6 6 6 (4 7 7 8 8 4 4 ( ( 5 5 5 5 ( 5 ( 5 6 6 (4 ( ( 7 ( 7 7 7 8 ( 8 8 8 ( 4 4 4 4 ( ( 5 5 5 5 ( 5 5 ( 5 6 ( 6 6 6
7 4 6 За коефицијенте (7 се налази: ( 7 ( 7 (4 7 ( ( ( 4 4 5 6 6 4 ( 5 6 ( ( 5 5 ( 5 ( ( ( ( 5 5 5 5 Сада се систем (6 може записати у следећем облику: (4 mω mω mω mω Детерминанта система (4 даје фреквентну једначину четвртог степена по ω облика: 4 (44 ( ( ( ω ω ω ω 4 која се може решити Фераријевом методом. У сваком случају, она нам даје четири карактеристичне фреквенције помоћу којих налазимо одговарајуће амплитудне векторе као: (45 c c c,,, 4 Овде смо претпоставили да је прва једначина зависна од преостале три, тако да се коефицијенти у једнакостима (45 налазе на следећи начин: (46 c m ω m mω mω ω mω,,, 4
4 (47 c m ω m mω mω ω mω,,, 4 (48 c mω m ω m mω ω mω,,, 4 Решења ће према (9 имати следећи облик: (49 4 ( ω ω ( t c a s t c b cos t 4 ( ω ω ( t c a s t c b cos t 4 ( ω ω ( t c a s t c b cos t 4 ( ω ω ( t c a s t c b cos t где се коефицијенти a и b одређују из почетних услова на следећи начин (5 4 4 ( & ( ω a c b c 4 4 ( & ( ω a c b c 4 4 ( & ( ω a c b c 4 4 ( & ( ω a c b c Литература ( Вујичић А. Вељко: Теорија осцилација, Научна књига, Београд, 977. ( Русов Лазар: Механика III Динмика, Научна књига, Београд, 994. ( Миличић Милош, Бајковић Бранислава, Мирјана Ђорић, Вељковић Михаило, Лазаревић Ненад, Ћирић Нинослав: Линеарна алгебра и Аналитичка геометрија, Клуб НТ, Београд, 995.