ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς μορφής; o Εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς μορφής ονομάζεται η εξίσωση με α και β= ή γ= Επίλυση εξισώσεων ου βαθμού. Αν β= τότε. Αν αρνητικό τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Π.χ Αν θετικό τότε η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις) 4 5 5 5 5 6 6 6 Αδύνατη Αν γ= τότε a ή α+β= Π.χ 9 ( ) ή ( χ-= χ=) 6 6 (6 ) ή += =- Ασκήσεις.Να λυθούν οι εξισώσεις: ) 4 β) γ) -. Να λύσετε τις εξισώσεις: ) 5 β)6 γ)4 8.Να λυθούν οι εξισώσεις: 47

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ) 6 β)4 6 γ) 9 4.Να λύσετε τις εξισώσεις: ) 9 β) 4 γ) 4 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: a) β) 6 γ) - 6.Να λυθούν οι εξισώσεις: a) β) + ) 7 δ) - 4 ε) + Αν,, δηλαδή είναι της μορφής α τότε πρώτα υπολογίζουμε την Διακρίνουσα 4 και ανάλογα με το πρόσημο της βρίσκουμε, αν υπάρχουν, τις ρίζες(λύσεις ) της εξίσωσης: 4 Η εξίσωση α Δ> Έχει δύο ρίζες άνισες, Δ= Έχει μία διπλή ρίζα την Δ< Είναι αδύνατη στο Παράδειγμα 5 6 a β=-5 γ=6 Δ=β 4 5 46 5 4 Άρα η εξίσωση έχει ρίζες (λύσεις) άνισες 48

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 5 6 5 5, 5 4 Δηλαδή υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί, το χ= και το χ= που αν το αντικαταστήσουμε στη θέση του χ στην εξίσωση, τότε το αποτέλεσμα είναι. Παράδειγμα 7 a β=-7 γ= Δ=β 4 7 4 49 48 Άρα η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις) άνισες: 7 8 8:8 7 7 4 4 4:8, 4 7 6 6:6 4 4 4:6 4 Παράδειγμα a β= γ=- 4 4 4 [Προσέχω ότι δεν κάνω χρήση της ιδιότητας μπορεί η Δ να γραφτεί σαν τέλειο τετράγωνο] Άρα η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις ) άνισες τις:, για να Παράδειγμα 4 88 49

a β=-8 γ=8 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Δ=β 4 8 48 64 64 Άρα η εξίσωση έχει ρίζα (διπλή) την 8 8 4 Ασκήσεις.Να λύσετε τις εξισώσεις i) 6 8 ii) 5 iii)5φ 9 iv s s ) 4 v)9 4.Να λύσετε τις εξισώσεις i)9y y 64 y 9 y ii)9 ω 8 4 4 iii) 4 9 iv) +4.Να λύσετε τις εξισώσεις i 6 iv ) 9 ii) iii) )5 6 4.Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5 6 ii) 7 7 4 Παραγοντοποίηση τριωνύμου Τριώνυμο ονομάζεται η παράσταση Αν f ( ) a 4 θετική τότε η εξίσωση f()= έχει ρίζες άνισες, f ( ) a και τότε η f()= γράφεται: [προσέξτε μην ξεχνάτε το α μπροστά από τις παρενθέσεις] Αν 4 = τότε η εξίσωση f()= έχει ρίζα (διπλή) και η f() γράφεται f ( ) a a [προσέξτε μην ξεχνάτε το α μπροστά από τις παρενθέσεις] 5

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν 4 αρνητική τότε η εξίσωση f()= δεν έχει πραγματικές ρίζες και δεν παραγοντοποιείται. Παράδειγμα Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο f ( ) 6 5 a 6 β=-5 γ= Δ=β 4 5 46 5 4 Άρα το τριώνυμο έχει ρίζες άνισες τις: 5 6 6:6 5 5 :6, 6 5 4 4: 4 : 4 Επομένως f ( ) 6 5 6 Παράδειγμα Να γίνει γινόμενο παραγόντων το παρακάτω τριώνυμο g( ) 4 8 Θα λύσω την αντίστοιχη εξίσωση 7 a β=-4 γ=8 Δ=β 4 4 4 8 6 6 Άρα η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την 4 4 4 f ( ) 4 8 4 Ασκήσεις.Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f ( y) y 8y 5 g( ) Άρα το τριώνυμο γράφεται : h k y y y ( ) 5 ( ) 5. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f ( ) 5 g()=9 4 h y y ( ) 4 7 5 k(y)=y 4 5

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f ( ) g()=4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν οι εξισώσεις i)9 4 ii)- 5 iii) 5 iv ) 4 v) + 6 vi) - 6. Να λυθούν οι εξισώσεις i) 4 ii) iii ) 5 5 iv) 5 v ) 8 vi). Να λυθούν οι εξισώσεις a ) 5 5 β) 6 ) δ) 6 4. Να λυθούν οι εξισώσεις + a) β)7-6 5 4 ) δ) 4 6 6 5. Να λυθούν οι εξισώσεις i) 5 ii) - 7 iii) 7 5 6.Να λυθούν οι εξισώσεις 4 4 a) 5 4 β) 7 4 ) 5 4 δ)-5 6 )6 5 στ)4 7.Να λυθούν οι εξισώσεις: ) 4 9 ) ) 5 i) 6 ii iii iv 5

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 8.Να λυθούν οι εξισώσεις i) k k ii) k k iii k k a ) iv) 9.Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα: i) ii) 5 6 iii) 5 iv) 8 v) 5 vi) 4.Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα: i ) 6 9 ii) 4 8 iii). Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα:, 4 a a, a y y 7 5a 5a a, a a a.να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 4 4 8 9 4 i) ii) iii) 5 6 4 9 4 8 6 iv) v) vi) 4 7 6 8.Να απλοποιήσετε το κλάσμα: 4 4.Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν δύο άνισες λύσεις: a) a β)α a, α γ) ( a ) a δ)α a a 5. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία τουλάχιστον λύση: a)4 a a β)α a, α γ) a a δ) a 5a 6.Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές, τότε να αποδείξετε ότι και οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες: 5

i ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ) ii ) 7.Δίνεται η εξίσωση 4 α)να βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει μία διπλή λύση β)για την τιμή του λ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση. 8.Δίνεται η εξίσωση 5, λ α)να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει μία διπλή λύση β)για την τιμή του λ που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση 9.Για ποιες τιμές του οι εξισώσεις a και a έχουν κοινή ρίζα;.να βρείτε για ποιες τιμές του λ ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης 4.Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση έχει πάντοτε δύο ρίζες πραγματικές..δίνεται η εξίσωση 5 8 α)να βρείτε την τιμή του λ για την οποία ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης β)για την τιμή του λ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση. Αν η εξίσωση έχει διπλή ρίζα δείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για την εξίσωση : 4.Δίνεται η εξίσωση Αν η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, τότε να αποδείξετε ότι: α)οι αριθμοί λ και μ είναι αντίστροφοι β)η διπλή λύση της εξίσωσης είναι =μ. 5.Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού κ για τις οποίες η 4 6 k k έχει μία ρίζα διπλή. εξίσωση 54

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6.Αν μία ρίζα της εξίσωσης a 4 είναι ο αριθμός, να βρεθεί η άλλη ρίζα της. 7. Να λύσετε την εξίσωση 4 a 9 αν η εξίσωση αυτή έχει κοινή λύση με τη εξίσωση χ+=. 8.Δίνεται η εξίσωση 6 4. Να βρεθεί για ποιές τιμές του λ η εξίσωση α)έχει διαφορετικές ρίζες β)έχει μία διπλή ρίζα γ)δεν έχει ρίζες 9. Δίνεται η εξίσωση 8 8 Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση α)να έχει ρίζες άνισες β)να έχει μία ρίζα διπλή γ)να είναι αδύνατη.να βρείτε το λ, ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα και μετά να βρείτε τη διπλή ρίζα.. Να λύσετε την εξίσωση a για τις διάφορες τιμές των α,β..να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 8 για τις διάφορες τιμές του λ. 4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 5 για τις διάφορες τιμές του λ. 4. Να λυθεί η εξίσωση: 5.Να λυθεί η εξίσωση : 4 4 6.Η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό να βρείτε το λ και κατόπιν να βρείτε την άλλη λύση. 55

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 7.Να προσδιοριστεί ο ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες 8.Αν να δείξετε ότι η εξίσωση a είναι αδύνατη. Να εξετάσετε τι γίνεται στην περίπτωση που α=β. 9. Η εξίσωση 4 έχει διπλή ρίζα. Να βρεθεί το μ και μετά να βρείτε τη ρίζα. 4.Δίνεται η εξίσωση. Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει άνισες ρίζες; ) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: ) 4. Δείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πάντα ρίζα ) a 9, a ) a,α 4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της 9 a a 44.Δίνεται η εξίσωση,λ 4 Για ποια τιμή του λ η εξίσωση i) έχει άνισες ρίζες ii) διπλή iii)δεν έχει ρίζες. 45.(Τ.Θ)α.Να λύσετε την εξίσωση Β.Να σχηματίσετε την εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης του α ερωτήματος 46.(Τ.Θ)Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης :. Β)Να λύσετε την εξίσωση : 47.(Τ.Θ)α.Να βρείτε για ποιες τιμές του χ η παράσταση έχει νόημα πραγματικού αριθμού; 56

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Β)Για τιμές του χ που βρήκατε στο α ερώτημα να λύσετε την εξίσωση : 48.(Τ.Θ).Δίνεται το τριώνυμο 5 λ Α)Αν μια ρίζα του τριωνύμου είναι ο αριθμός χ= να προσδιορίσετε την τιμή του λ. Β)Για λ=, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. 49. (Τ.Θ)Δίνεται η εξίσωση :, λ Α)Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό -. Β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε 5.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση:,λ. Α)Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η εξίσωση είναι ου βαθμού. Β)Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ που βρήκατε στο α ερώτημα η εξίσωση παίρνει τη μορφή: Γ)Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ που βρήκατε στο α ερώτημα η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Δ)Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης, αν αυτή είναι ου βαθμού. 5.Δίνεται η εξίσωση: a a,α Α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι : Β)Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι : ρ Γ)Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε. 5. A.Να λύσετε τις εξισώσεις : 4 8 () και 8 4 () Β)Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης () είναι οι αντίστροφοι των ριζών της εξίσωσης () και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής : () και γ a (4) αγ Αποδείξτε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι: Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης () και τότε: i) 57

ii) o ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ επαληθεύει την εξίσωση (4). 5.(Τ.Θ).α)Να λύσετε την εξίσωση : 4 () β)δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α,β για τους οποίους ισχύει: 4 i) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης () ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ου ΒΑΘΜΟΥ. Να λυθούν οι εξισώσεις: 4 4 i)4 ii)9 5 4 4 4 iii) 5 6 iv) 4 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: 6 8 4 i) ii) iii. Να λυθούν οι εξισώσεις: ) 5 6 iv) 4 i) 4 45 ii) - 4 iii 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) -4 4 ) iv) iii 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: ) iv) 5 6 ) ii) +5 5 5 i iii) 5 7 5 7 iv) 8 5 8 6.Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 7 ii) 4 5 iii) 5 6 58

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΤΥΠΟΙ VIETA Έστω οι ρίζες της εξίσωσης a, α.αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα και με P το γινόμενο των ριζών αυτών τότε θα έχουμε: S και P (τύποι του Vieta ) Οι παραπάνω τύποι ονομάζονται τύποι του Vieta ( από τον Γάλλο μαθηματικό Franciscus Vieta(54-6)) με την βοήθεια των οποίων η εξίσωση a μπορεί να γραφεί στη μορφή, S P Παράδειγμα Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης 4 6 να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : i) ii) iii) iv) v) + vi) ) viii) vii Λύση 4 6 ) ii) 4 4 iii) 6 6 4 44 44 4 iv) 9 6 4 9 4 6 v) 6 vi) vii) 6 6 4 6 4 64 4 8 viii) 7 59

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση ου βαθμού της οποίας οι ρίζες είναι οι αριθμοί και. Λύση Αφού οι ρίζες είναι οι αριθμοί και άρα S=+=5 και P 6 οπότε η εξίσωση ου βαθμού είναι η S P 5 6 Παράδειγμα Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 9 και γινόμενο -5 Λύση Έστω α,β οι αριθμοί. Άρα 9 και α β=-5. Οπότε οι αριθμοί α,β είναι οι ρίζες μιας εξίσωσης ου βαθμού με S=9 και Ρ=-5. Δηλαδή είναι οι ρίζες της εξίσωσης S P 9 5 Με την χρήση της διακρίνουσας έχω ότι: 9 45 8 8 89. 9 89 9 7, Άρα 9 7 9-7 και β= 4 Ασκήσεις.Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών στις παρακάτω εξισώσεις: ) β) 4 6 γ)- 7.Η εξίσωση 5 6 έχει ρίζες,. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : ) ii) iii) iv) v).να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς )4 και β) και γ)-6 και 7 4.Να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς ) 4, ), ), 5. Να προσδιοριστεί η εξίσωση που έχει ρίζες : i) a, a ii), iii)a, 6

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6.Δίνεται η εξίσωση 8 με α. Αν το άθροισμα των ριζών είναι 6 να βρείτε το α και το γινόμενο των ριζών. 7.Δίνεται η εξίσωση a a η οποία έχει ρίζες υπολογίσετε το α αν γνωρίζετε ότι,. Να 8.Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί δευτεροβάθμια εξίσωση που να έχει ρίζες και ρ, 9. Αν είναι οι ρίζες 5, τότε χωρίς να βρεθούν οι ρίζες ι)να υπολογιστούν οι παραστάσεις:, ii)να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς. Για ποιες τιμές του α η εξίσωση αντίθετες..έστω η εξίσωση:, 4 5a a a έχει ρίζες. Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσετε το λ ώστε να ισχύει 7 7.Δίνεται η εξίσωση 6. Δείξτε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του. Βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζες α)αντίθετες β)αντίστροφες.να υπολογίσετε το α ώστε οι ρίζες της εξίσωσης 6a a 4a 7a να είναι α)αντίθετες β)αντίστροφες 4.Δίνεται η εξίσωση λ ώστε να ισχύει, με ρίζες,. Να βρεθεί ο 5.Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης 4 a. Να βρείτε το α αν γνωρίζετε ότι 6 6

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6.Δίνεται η εξίσωση a 7a με ρίζες την τιμή του α ώστε 8,. Να βρείτε 7. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η μια ρίζα της εξίσωσης a a να είναι διπλάσια της άλλης 8.Αν είναι ρίζες της 5 να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς ), ii),, 9.Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης,, να αποδείξετε ότι.αν μια ρίζα της, είναι διπλάσια της άλλης να δειχτεί ότι. Αν η εξίσωση a έχει ρίζες δύο διαδοχικούς ακεραίους, 4 να αποδειχθεί ότι 4. Αν μια ρίζα της, είναι τριπλάσια της άλλης να δειχτεί ότι 6.Δίνονται οι εξισώσεις, και S P, όπου S και P το άθροισμα και γινόμενο ριζών της (). Να αποδείξετε ότι S 4P 4.Δίνεται η εξίσωση και μ και λ, Α)Να δείξετε ότι έχει ρίζες ετερόσημες. Β)Αν P,S είναι το γινόμενο και το άθροισμα αντίστοιχα των ριζών της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε τις τιμές των λ,μ αν ισχύει P S 5 P S 5.Η εξίσωση 5 a 5 έχει ρίζες,, Να βρεθεί ο α αν 6 6.Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση 5 4 έχει 6

Α)μία διπλή ρίζα Β) ρίζες αντίστροφες Γ) ρίζες αντίθετες Δ) ρίζες ετερόσημες Ε) θετικές ρίζες στ) αρνητικές ρίζες ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 7. Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδό 6 τ.μ και περίμετρο μ. Να βρεθούν οι διαστάσεις του. 8.Δίνεται η συνάρτηση f ( ),λ Α)Αν η εξίσωση f()= έχει μοναδική ρίζα, να υπολογίσετε την τιμή του λ. Β)Αν i)να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει ρίζες άνισες. ii) Αν είναι οι ρίζες της f()=, να βρείτε το πεδίο, ορισμού της συνάρτησης g ( ) 7 iii)να λύσετε την εξίσωση : g() 84 9.(Τ.Θ)α.Να λύσετε την εξίσωση Β.Να σχηματίσετε την εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης του α ερωτήματος.(τ.θ).δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο Π= cm και εμβαδό Ε=4. Α)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου Β)Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου.(τ.θ).δίνονται οι αριθμοί : και Β= 7 7 Α)Να δείξετε ότι Α+Β= και Β)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς Α,Β. cm.(τ.θ) Έστω α,β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν : α+β= και α)να αποδείξετε ότι : 5 β)να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α,β και να τους βρείτε. 6

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ.(Τ.Θ) Δίνεται το τριώνυμο : 5 Α)Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες και Β)Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων :,, Γ)Να προσδιορίσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς και. 4.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση 4 λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης Β)Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. Γ)Αν είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει:, 5.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση 4,λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης Β)Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. Γ)Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: 5 6.(T.Θ) Θεωρούμε την εξίσωση, λ Α)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. Β)Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δύο ρίζες,, να προσδιορίσετε το λ ώστε να ισχύει : 7.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση:,λ Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες: Α)η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες Β)το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με. 8.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση: 4, λ Α)Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του λ η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες Β)Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης: i)να βρείτε το S. 64

ii)να βρείτε το ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ P ως συνάρτηση του πραγματικού λ. Γ)Αν η μια ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός τότε i) να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός ii) να βρείτε το λ. 9.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση:,λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ. Β)Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει δυο ρίζες ίσες; Γ)Να αποδείξετε ότι η παράσταση, όπου S,P το άθροισμα S P και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης αντίστοιχα, έχει νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε πραγματικό λ. 4.(Τ.Θ).Δίνεται η εξίσωση : 5,λ Α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης Β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ Γ)Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες ισχύει: 4 4.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση :,λ - Α)Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ είναι ανεξάρτητη του λ. Β)Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ Γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με μονάδες. 4.(Τ.Θ) Δίνεται η εξίσωση : 6,λ Α)Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του, η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. Β)Υποθέτουμε τώρα ότι μια από τις ρίζες της εξίσωσης είναι ο αριθμός ρ. i)να δείξετε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 6 ii)να δείξετε ότι: ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης 6 65

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 4.(T.Θ).Δίνεται η εξίσωση : 5,λ Α)Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. Β)Αν είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης τότε: i)να προσδιορίσετε τις τιμές του λ, για τις οποίες ισχύει: 4 8 7 ii)για λ=, να βρείτε την τιμή της παράστασης: 4, 44.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση,λ Α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, διαφορετικές μεταξύ τους. Β)Να δείξετε ότι: Γ)Αν για τις ρίζες ισχύει επιπλέον, τότε : i) Να δείξετε ότι: 4 ii)να προσδιορίσετε τις ρίζες και την τιμή του λ.,, 45.(Τ.Θ). Δίνεται η εξίσωση με β,γ πραγματικούς αριθμούς. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 4, τότε : Α)Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β. Β)Να αποδείξετε ότι γ<4. Γ)Δίνεται επιπλέον η εξίσωση () Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση () δεν έχει πραγματικές ρίζες. 46.(Τ.Θ).Δίνεται το τριώνυμο, α με ρίζες τους αριθμούς και. Α) Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα S και P των ριζών του τριωνύμου, να αποδείξετε ότι: γ= α και β=-α. Β)Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για κάθε, τότε: i)να αποδείξετε ότι α< ii)να λύσετε την ανίσωση a. 47.(Τ.Θ) Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο Δημήτρης τερμάτισαν σε έναν αγώνα δρόμου με αντίστοιχους χρόνους, 66

t, t, t, t A B ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : ta tb ta tb, t, ta t tb t ta tb Α)i)Να δείξετε ότι : t ii)να βρείτε τη σειρά με την οποία τερμάτισαν οι αθλητές. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Β)Δίνεται επιπλέον ότι ισχύει : ta tb 6 και t A tb 8 i)να γράψετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς t και t. A B Δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και α Δύο ρίζες ίσες και α Καμία πραγματική ρίζα Δ< Δύο ρίζες ετερόσημες Ρ< Δύο ρίζες ετερόσημες (θετική η Ρ< και S> μεγαλύτερη κατ απόλυτη τιμή) Δύο ρίζες ετερόσημες (αρνητική η Ρ< και S< μεγαλύτερη κατ απόλυτη τιμή) Δύο ρίζες θετικές και P και S> Δύο ρίζες θετικές και άνισες και P και S> Δύο ρίζες θετικές και ίσες και S> Μία ρίζα θετική και η άλλη και S> μηδέν Δύο ρίζες αρνητικές και Ρ και S< Δύο ρίζες αρνητικές και άνισες και Ρ> και S< Δύο ρίζες αρνητικές και ίσες και S< Μία ρίζα αρνητική και η άλλη και S< μηδέν Μία ρίζα το μηδέν P= Δύο ρίζες ίσες με μηδέν Δ= και Ρ= Δύο ρίζες αντίστροφες και Ρ= Δύο ρίζες αντίθετες Ρ< και S= Δύο ρίζες ομόσημες και Ρ> Δύο ρίζες ομόσημες και και Ρ> διαφορετικές Δύο ρίζες ομόσημες και ίσες Δ= και Ρ> 67