ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HOLDITCH ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΟΥ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Π.Μ.Σ. ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HOLDITCH ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ ΙΩΑΝΝΑ-ΙΡΙΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΤΑΜΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2009 1

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Είμαι ιδιαίτερα ευγνώμων στον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Γ. Στάμου, χωρίς την πολύτιμη καθοδήγηση και συμπαράσταση του οποίου δεν θα ήταν δυνατή η εκπόνηση αυτής της εργασίας. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τους επίκουρους καθηγητές Π. Κολτσάκη-Κιλμπασάνη και Σ. Σταματάκη για τις εύστοχες και ουσιαστικές παρατηρήσεις τους. Η συνδρομή τους στην ολοκλήρωση της παρούσας εργασίας ήταν πραγματικά σημαντική. 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα μέσα του 19 ου αιώνα ο Hamnet Holditch, καθηγητής του κολεγίου Cajus στο Cambridge, ανακάλυψε μια αξιοσημείωτη ιδιότητα της καμπύλης που διαγράφει ένα σταθερό σημείο Y ενός ευθυγράμμου τμήματος ΧΧ, το οποίο κινείται στο Ευκλείδειο επίπεδο Ε 2 έτσι, ώστε τα άκρα του να διατρέχουν μια κλειστή καμπύλη. Πιο συγκεκριμένα, απέδειξε ότι το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται μεταξύ της αρχικής καμπύλης και του γεωμετρικού τόπου του σημείου Y δεν εξαρτάται από τη μορφή της αρχικής καμπύλης, αλλά μόνο από τη θέση του σημείου Y επί του ευθυγράμμου τμήματος. Ο Holditch οδηγήθηκε στο συμπέρασμα αυτό από το εξής γεγονός: Θεώρησε έναν κύκλο ακτίνας r και μια χορδή του, η οποία χωρίζεται μέσω ενός σημείου D σε δύο τμήματα σταθερού μήκους α και b, αντίστοιχα. Καθώς τα άκρα της χορδής διατρέχουν τον κύκλο, το σημείο D διαγράφει έναν κύκλο εσωτερικό του αρχικού. Το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται μεταξύ των δύο κύκλων είναι παb, δηλαδή είναι ανεξάρτητο της ακτίνας r του κύκλου. Παρατήρησε τότε, ότι αν ο αρχικός κύκλος αντικατασταθεί από μια «γενικότερη» καμπύλη, το αποτέλεσμα παρέμενε το ίδιο, δηλαδή το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται μεταξύ των δύο καμπυλών είναι πάλι παb. Το Θεώρημα αυτό αποτέλεσε εφαλτήριο για πλήθος «Θεωρημάτων τύπου Holditch», τόσο για το επίπεδο όσο και για τον τριδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Στην παρούσα εργασία θα αναφερθούμε αφενός στο κλασικό πλέον Θεώρημα του Holditch και αφετέρου σε ορισμένες γενικεύσεις του. Στο πρώτο Κεφάλαιο της εργασίας θα μελετήσουμε μια σύγχρονη διατύπωση του Θεωρήματος του Holditch αλλά και μια γενίκευσή του, μέσω των οποίων ξεπερνιούνται οι ασάφειες που προκύπτουν από την αρχική διατύπωση και απόδειξη του Θεωρήματος, την οποία δημοσίευσε ο ίδιος ο H. Holditch το 1858. Επίσης, θα δούμε και εφαρμογές των θεωρημάτων αυτών. Ακόμα, θα δούμε κάποια Θεωρήματα τύπου Holditch για το μήκος της περιβάλλουσας επίπεδων καμπυλών και για το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από επίπεδες καμπύλες. Το «ιδιαίτερο» των Θεωρημάτων αυτών είναι ότι, σε αντίθεση με το «κλασικό» Θεώρημα του Holditch, στα Θεωρήματα αυτά το σημείο Y δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Χ και Χ. Στο τέλος του Κεφαλαίου αυτού θα μελετήσουμε μια επέκταση του Θεωρήματος του Holditch στο επίπεδο και θα υπολογίσουμε το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από καμπύλες, οι οποίες προκύπτουν ως τροχιές σημείων κατά τη διάρκεια μιας επίπεδης μονοπαραμετρικής κίνησης. 3

Στο δεύτερο Κεφάλαιο θα δούμε μια «μεταφορά» του κλασικού Θεωρήματος του Holditch στην σφαιρική κινηματική, η οποία πρώτα μελετήθηκε από τον H.R. Müller [9]. Στην «μεταφορά» αυτή, το ευθύγραμμο τμήμα ΧΧ αντικαθίσταται από ένα τόξο μεγίστου κύκλου που συνδέει δύο σημεία Α και Β. Στόχος μας είναι να υπολογίσουμε το εμβαδό της επιφάνειας της σφαίρας που περικλείεται από την κλειστή καμπύλη, η οποία διαγράφεται από ένα σημείο Χ, το οποίο ανήκει στο τόξο μεγίστου κύκλου που συνδέει τα σημεία Α και Β κατά τη διάρκεια μιας κλειστής σφαιρικής μονοπαραμετρικής κίνησης. Στο επόμενο Κεφάλαιο θα ασχοληθούμε κυρίως με κλειστές ευθειογενείς επιφάνειες. Αρχικά θα δούμε Θεωρήματα τύπου Holditch για το γωνιακό άνοιγμα και την ολική στρέψη κλειστών ευθειογενών επιφανειών. Στη συνέχεια θα «μεταφέρουμε» τα Θεωρήματα αυτά σε κλειστές σφαιρικές καμπύλες και έτσι θα δούμε Θεωρήματα τύπου Holditch για το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από κλειστές σφαιρικές καμπύλες. Η «μεταφορά» αυτή γίνεται εύκολα, διότι η σφαιρική εικόνα των γενετειρών μιας κλειστής ευθειογενούς επιφάνειας είναι κλειστή σφαιρική καμπύλη. Επίσης, θα μελετήσουμε ένα Θεώρημα τύπου Holditch για το μήκος κλειστών σφαιρικών καμπυλών και με τη βοήθεια του Θεωρήματος αυτού θα αποδείξουμε ένα Θεώρημα τύπου Holditch για την ολική καμπυλότητα κλειστών ευθειογενών επιφανειών. Ακόμα, θα μελετήσουμε Θεωρήματα τύπου Holditch για το γραμμικό άνοιγμα κλειστών ευθειογενών επιφανειών. Στο τέλος του Κεφαλαίου αυτού θα δούμε ένα Θεώρημα τύπου Holditch για το «εμβαδό» της κλειστής καμπύλης που προκύπτει από την κίνηση ενός σημείου κατά μήκος δύο κλειστών ευθειογενών επιφανειών. Ως «εμβαδό» της κλειστής αυτής καμπύλης ορίζουμε το προσημασμένο εμβαδό της επιφάνειας που περικλείει η ορθή προβολή της καμπύλης αυτής κατά τη διεύθυνση ενός σταθερού διανύσματος σε ένα επίπεδο Π. Στο τελευταίο Κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με Θεωρήματα τύπου Holditch για το γωνιακό και γραμμικό άνοιγμα κλειστών ισοκλινών ευθειογενών επιφανειών. Ενώ στο τρίτo Κεφάλαιο η επιλογή των κλειστών ευθειογενών επιφανειών ήταν τυχαία, στο Κεφάλαιο αυτό οι ευθειογενείς επιφάνειες θα εκφυλίζονται στις κλειστές ευθειογενείς επιφάνειες των εφαπτομένων δυο επίπεδων κλειστών κυρτών καμπυλών, οι οποίες βρίσκονται σε ένα επίπεδο Π. Οι γενέτειρες των δύο αυτών ευθειογενών επιφανειών θα είναι οι εφαπτόμενες των επίπεδων καμπυλών που είναι οι λαιμοί των αναπτυκτών επιφανειών αφετηρίας. 4

Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι : ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HOLDITCH ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΥ HOLDITCH ΓΙΑ ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Σελίδα 1. Η αρχική διατύπωση του Θεωρήματος Holditch 1 2.Μια γενίκευση του Θεωρήματος Holditch 2 3. Εφαρμογές 6 4. Θεωρήματα τύπου Holditch για επίπεδες καμπύλες 10 Α. Θεωρήματα τύπου Holditch για το μήκος επίπεδων καμπυλών 10 α. Κίνηση B l1 (k, k ) 10 β. Κίνηση B l2 (k, k ) 13 γ. Κίνηση B l3 (k, k ) 17 B. Θεωρήματα τύπου Holditch για το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από επίπεδη καμπύλη 19 α. Κίνηση B F1 (k, k ) (κλασική κίνηση Holditch) 19 β. Κίνηση B F2 (k, k ) 21 Γ. Παραδείγματα 22 5. Μια επέκταση του Θεωρήματος Holditch 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ : ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ HOLDITCH ΓΙΑ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 1. Το διάνυσμα του Steiner για μια κλειστή, σφαιρική μονοπαραμετρική κίνηση 32 2. Ολοκλήρωμα γεωδαισιακής καμπυλότητας και εμβαδό σφαιρικής επιφάνειας 33 3. Το Θεώρημα Holditch 36 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ : ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ HOLDITCH ΓΙΑ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 1. Ευθειογενείς επιφάνειες 2. Θεωρήματα τύπου Holditch για το γωνιακό άνοιγμα κλειστών ευθειογενών επιφανειών και για το εμβαδόν της επιφάνειας που 38 περικλείεται από κλειστές σφαιρικές καμπύλες Α. Θεωρήματα τύπου Holditch για το γωνιακό άνοιγμα και την ολική στρέψη κλειστών ευθειογενών επιφανειών 39 Β. Θεωρήματα τύπου Holditch για το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από κλειστές σφαιρικές καμπύλες 39 3. Θεωρήματα τύπου Holditch για το μήκος κλειστών σφαιρικών καμπυλών και για την ολική καμπυλότητα κλειστών ευθειογενών επιφανειών 42 Α. Θεωρήματα τύπου Holditch για το μήκος κλειστών σφαιρικών καμπυλών 43 Β. Θεωρήματα τύπου Holditch για την ολική καμπυλότητα κλειστών ευθειογενών επιφανειών 43 4. Θεωρήματα τύπου Holditch για το γραμμικό άνοιγμα κλειστών ευθειογενών επιφανειών 45 Α. Κίνηση B l1 (R, R ) 46 Β. Κίνηση B 0 l2 (R, R ) 46 5. Θεώρημα τύπου Holditch για το «εμβαδό» κλειστής καμπύλης 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙV : ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ HOLDITCH ΓΙΑ ΙΣΟΚΛΙΝΕΙΣ ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 1. Θεώρημα τύπου Holditch για το γωνιακό άνοιγμα 56 2. Θεώρημα τύπου Holditch για το γραμμικό άνοιγμα 59 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 63 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ HOLDITCH ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΥ HOLDITCH ΓΙΑ ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 1. Η αρχική διατύπωση του Θεωρήματος Holditch Ένα Θεώρημα του Hamnet Holditch, το οποίο αποδείχτηκε το 1858 και έκτοτε παρέμεινε αναξιοποίητο για πάνω από έναν αιώνα, το επανέφεραν στην επικαιρότητα διάφοροι συγγραφείς από τη δεκαετία του 1970 και ύστερα. Έτσι, με αφορμή το Θεώρημα αυτό διατυπώθηκαν διάφορες γενικεύσεις του, Θεωρήματα τύπου Holditch, καθώς επίσης έγινε και μεταφορά του σε άλλους χώρους. Αρχικά θα δούμε πώς ο ίδιος ο Hamnet Holditch διατύπωσε το ομώνυμο Θεώρημα. Οι καμπύλες που μελετούνται στο κεφάλαιο αυτό θεωρούνται επίπεδες. ΘΕΩΡΗΜΑ 1.1. Αν μια χορδή μιας κλειστής καμπύλης Γ σταθερού μήκους aa + bb διαιρεθεί σε δύο τμήματα μήκους aa, bb, αντίστοιχα, τότε η επιφάνεια μεταξύ της κλειστής καμπύλης και του γεωμετρικού τόπου του σημείου διαίρεσης του ευθυγράμμου τμήματος κατά μια πλήρη περιστροφή θα έχει εμβαδό ππππππ. Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει τα όσα αναφέρθηκαν στο προηγούμενο Θεώρημα. Σχήμα 1 7

Τόσο η διατύπωση του παραπάνω Θεωρήματος όσο, και η απόδειξή του από τον ίδιο τον H.Holditch έχουν πολλές ασάφειες. Για περισσότερες λεπτομέρειες βλ. [2]. 2. Μια γενίκευση του Θεωρήματος Holditch Για να ξεπεραστούν οι ασάφειες του προηγούμενου Θεωρήματος, θα δούμε αρχικά μια σύγχρονη διατύπωση του Θεωρήματος του Holditch και στη συνέχεια μια γενίκευσή του. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.1 (Μια σύγχρονη διατύπωση του Θεωρήματος του Holditch). Θεωρούμε μια κλειστή κυρτή καμπύλη c και XX = XX(tt) και XX = XX (tt), 0 tt 1, δύο σημεία αυτής, τα οποία εκτελούν μια πλήρη περιστροφή επί της c, κινούμενα με φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ωρολογίου καθώς το tt αυξάνεται από το 0 στο 1. Υποθέτουμε ότι το μήκος της χορδής ΧΧXX παραμένει σταθερό κατά την κίνηση και ίσο με aa + bb. Έστω YY = YY(tt) το σημείο της χορδής ΧΧXX, για το οποίο έχουμε XXXX = aa. Ας είναι θθ = θθ(tt), 0 tt 1, η γωνία διεύθυνσης της χορδής ΧΧXX, για την οποία υποθέτουμε ότι είναι αύξουσα και συνεχής συνάρτηση του tt με θθ(1) = θθ(0) + 2ππ. Υποθέτουμε τέλος ότι το σημείο YY διαγράφει, μετά από μια πλήρη περιστροφή, μια απλή κλειστή καμπύλη d. Τότε, το εμβαδό της περιοχής που περικλείεται μεταξύ των καμπυλών c και d ισούται με ππππππ. Το Σχήμα 2 βοηθάει στην καλύτερη κατανόηση του παραπάνω Θεωρήματος. Σχήμα 2 Η απόδειξη του προηγούμενου Θεωρήματος δεν θα γίνει τώρα γιατί αυτό είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος 2.2, που θα διατυπωθεί και θα αποδειχθεί παρακάτω. Θυμίζουμε τον ακόλουθο ορισμό: 8

ΟΡΙΣΜΟΣ 2.1. Μια συνάρτηση f(t) ονομάζεται περατωμένης μεταβολής σε ένα διάστημα [u, v] αν υπάρχει θετικός αριθμός Μ τέτοιος, ώστε για κάθε διαμέριση {u=t 0 <t 1 <t 2 < <t n =v} του διαστήματος [u, v] το Μ να είναι ένα άνω φράγμα του αθροίσματος n i=1 f(t i ) f(t i 1 ). ΘΕΩΡΗΜΑ 2.2 (Μια γενίκευση του Θεωρήματος του Holditch). Θεωρούμε μια κλειστή, ευθειοποίησιμη καμπύλη με παραμετρικές εξισώσεις xx = xx(tt), yy = yy(tt), 0 tt 1 και θθ = θθ(tt), 0 tt 1, μια συνάρτηση περατωμένης μεταβολής με θθ(1) = θθ(0) + nn2ππ, όπου nnακέραιος, και xx, yy, θθ CC 1. Θεωρούμε επιπλέον το σημείο ΧΧ = ΧΧ(tt), 0 tt 1, το οποίο διατρέχει την καμπύλη, το σημείο XX = XX (tt) τέτοιο, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΧΧXX να έχει σταθερό μήκος aa + bb και γωνία διεύθυνσης θθ = θθ(tt), και το σημείο YY = YY(tt) με ΧΧΧΧ = aa. Ας είναι ββ και δδ οι καμπύλες που διαγράφονται από τα σημεία XX και YY, αντίστοιχα, όταν το σημείο ΧΧ διατρέχει την καμπύλη. Θέτουμε II = xx dddd, II ββ = xx dddd ββ, II δδ = xx dddd δδ. Τότε, ισχύει ΙΙ δδ = bb aa + bb II + aa aa + bb II ββ nnππaaaa. Το παρακάτω σχήμα αποτελεί μια απεικόνιση όσων αναφέρονται στο προηγούμενο Θεώρημα. Σχήμα 3 9

Πρώτα θα δούμε κάποιες παρατηρήσεις σχετικές με τη διατύπωση του παραπάνω Θεωρήματος και μετά θα προχωρήσουμε στην απόδειξή του. Παρατηρήσεις 1. Οι υποθέσεις, ότι η καμπύλη είναι ευθειοποίησιμη και ότι η γωνία θ είναι περατωμένης μεταβολής, έχουν σαν αποτέλεσμα ότι και οι καμπύλες β και δ θα είναι ευθειοποιήσιμες. 2. Η συνθήκη θ(1) = θ(0) + n2π σημαίνει ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΧX επανέρχεται στην αρχική του θέση μετά την πλήρη κίνηση του σημείου Χ κατά μήκος της καμπύλης. Ο ακέραιος αριθμός n είναι γνωστός ως αριθμός περιτύλιξης του ΧX. 3. Το Ι είναι το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από την απλή, κλειστή καμπύλη, η οποία είναι προσανατολισμένη αντίθετα με την κίνηση των δεικτών του ωρολογίου (βλ. Θεώρημα του Green). Αν η καμπύλη έχει αντίθετο προσανατολισμό, τότε το αντίστοιχο εμβαδό θα είναι -Ι. 4. Αν οι καμπύλες και β ταυτίζονται, τότε προκύπτει ότι Ι δ = Ι nπαb. 5. Ειδικότερα, αν ισχύει n=1, έχουμε Ι δ = Ι παb, δηλαδή προκύπτει το Θεώρημα 2.1. Στη συγκεκριμένη περίπτωση επιτρέπονται οι ανάδρομες κινήσεις καθώς τα σημεία X και X κινούνται πάνω στην καμπύλη, κάτι το οποίο δεν επιτρέπεται στο Θεώρημα 2.1 (Ανάδρομη κίνηση έχουμε, όταν η χορδή ΧX διατρέχει την καμπύλη και το ένα άκρο της αναγκαστεί να κινηθεί προς τα πίσω πάνω στη καμπύλη για να επιτρέψει στο άλλο άκρο να συνεχίσει την κίνησή του κανονικά). Απόδειξη του Θεωρήματος 2.2 Είναι Θέτουμε Ι β = x dy β = x dy δ = (x + b cos θ)d(y + b sin θ) δ + b xd(sin θ) + b cos θ dy δ δ = + b 2 cos θ d(sin θ) δ = x dy + b (xd(sin θ) + cos θ dy) + b 2 cos θ d(sin θ). δ δ δ = Ι 1 = (xd(sin θ) + cos θ dy) δ και Ι θ = cos θ d(sin θ) δ. Τότε, θα έχουμε 10

Ι β = Ι δ + bι 1 + b 2 Ι θ. Επίσης, θα είναι Ι = xdy = (x α cos θ)d(y α sin θ) = x dy α xd(sin θ) α cos θ dy δ δ δ = x dy δ = Ι δ αι 1 +α 2 Ι θ, = + α 2 cos θ d(sin θ) δ α (xd(sin θ) + cos θ dy) + α 2 cos θ d(sin θ) = δ δ = δηλαδή έχουμε Ι = Ι δ αι 1 +α 2 Ι θ. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της σχέσης (2.1α) με α και τα μέλη της σχέσης (2.1β) με b και στη συνέχεια τις προσθέτουμε κατά μέλη, οπότε προκύπτει η σχέση Όμως ξέρουμε ότι είναι bi + αi β = (α + b)ι δ + αb(α + b)i θ. Ι θ = cos θ d(sin θ) δ Άρα, σύμφωνα με τη σχέση (2.1γ), θα έχουμε που αποτελεί τη ζητούμενη σχέση. = cos 2 θ dθ = nπ. δ bi + αi β = (α + b)ι δ + αb(α + b)nπ (α + b)ι δ = bi + αi β αb(α + b)nπ Ι δ = b α + b I + α α + b I β nπαb, Στη συνέχεια θα δώσουμε μερικές ενδιαφέρουσες εφαρμογές του παραπάνω Θεωρήματος. 11

3. Εφαρμογές ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Να βρεθεί το εμβαδό της περιοχής που περικλείεται από την καμπύλη που διαγράφει το σημείο D κατά την κίνηση του παρακάτω εμβόλου. Σχήμα 4 Λύση. Το σημείο Α κινείται κατά την κίνηση του εμβόλου «πάνω-κάτω», άρα δημιουργεί μια ευθειοποίησιμη καμπύλη. Το σημείο Β κινείται πάνω στον κύκλο ακτίνας r και έτσι για την καμπύλη β θα ισχύει Ι β = πr 2, ενώ για το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη θα είναι Εφαρμόζουμε το Θεώρημα 2.2 και έχουμε Ι = 0. Ι δ = b α + b I + α α + b I β nπαb = b α + b 0 + α α + b πr2 0παb = α α + b πr2. Άρα, το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη δ είναι Ι δ = α α + b πr2. 12

Η επόμενη εφαρμογή έχει σχέση με το τρίγωνο του Reuleaux. Ως γνωστόν, ένα τέτοιο τρίγωνο σχηματίζεται ως εξής Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο. Με κέντρα τις κορυφές του τριγώνου και ακτίνα ίση με το μήκος της πλευράς του τριγώνου γράφουμε κυκλικά τόξα με άκρα κάθε φορά τις άλλες δύο κορυφές του τριγώνου. Η κλειστή καμπύλη που σχηματίζεται έχει σταθερό πλάτος και ονομάζεται τρίγωνο του Reuleaux. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Θεωρούμε ένα τρίγωνο του Reuleaux με σταθερό πλάτος w και μια κινούμενη χορδή μήκους w, της οποίας το μέσο D διαγράφει μια κλειστή καμπύλη δ (βλ. Σχήμα 5). Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη δ. Λύση Σχήμα 5 Θα χρησιμοποιήσουμε και πάλι το Θεώρημα 2.2. Το ρόλο των καμπυλών και β παίζει (σύμφωνα με το Σχήμα 5) το τρίγωνο του Reuleaux, άρα θα ισχύει I = I β. Για το I, σύμφωνα με τους τύπους που δίνουν το εμβαδό κυκλικού τομέα και το εμβαδό ισοπλεύρου τριγώνου, θα έχουμε I = 3 60 360 πw2 w2 3 4 + w2 3 4 = w2 π 3. 2 Επίσης, θεωρούμε ότι είναι n=1 και ότι η καμπύλη δ έχει αντίθετο προσανατολισμό από την καμπύλη, δηλαδή είναι αρνητικά προσανατολισμένη. Άρα, σύμφωνα με το Θεώρημα 2.2, θα είναι I δ = I π w w w2 = 2 3 π. 2 2 4 13

Επομένως, το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη δ είναι I δ = w2 2 3 π. 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Θεωρούμε ένα τρίγωνο και ένα ευθύγραμμο τμήμα κατάλληλα μικρού σταθερού μήκους α + b, μικρότερου από κάθε ύψος του τριγώνου, το οποίο να χωρίζεται από ένα σημείο D σε δύο ευθύγραμμα τμήματα σταθερών μηκών α, b, αντίστοιχα. Θεωρούμε ότι το παραπάνω ευθύγραμμο τμήμα κινείται έτσι, ώστε και τα δύο άκρα του να βρίσκονται πάνω στο τρίγωνο. Ας είναι d ο γεωμετρικός τόπος του σημείου D που προκύπτει από την παραπάνω κίνηση, για τον οποίο υποθέτουμε ότι είναι απλή καμπύλη που αποτελείται από τρία τόξα και τρία ευθύγραμμα τμήματα (η διακεκομμένη γραμμή του Σχήματος 6(α) ). Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδό της επιφάνειας Α που βρίσκεται μεταξύ του τριγώνου και του γεωμετρικού τόπου d (Το ζητούμενο εμβαδό είναι η γραμμοσκιασμένη επιφάνεια του Σχήματος 6(α) ). Λύση. (α) (b) Σχήμα 6 Για τον υπολογισμό του ζητούμενου εμβαδού δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 2.1, γιατί κατά την κίνηση του ευθυγράμμου τμήματος κατά μήκος του τριγώνου το ένα άκρο του αναγκάζεται να κινηθεί ανάδρομα. Άρα θα εφαρμόσουμε και πάλι το Θεώρημα 2.2. Σύμφωνα με το Θεώρημα αυτό, το ζητούμενο εμβαδό θα είναι παb. Στη συνέχεια, θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το ζητούμενο εμβαδό χωρίς τη χρήση του Θεωρήματος 2.2 αλλά με τη βοήθεια ολοκληρωμάτων. 14

Θεωρούμε, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ότι είναι α + b = 1 και ονομάζουμε Α φ το εμβαδό της αριστερά γραμμοσκιασμένης επιφάνειας του Σχήματος 6(α) και φ το σύνορό της. Με τη βοήθεια του Σχήματος 6(b), το οποίο παριστάνει μια θέση του ευθύγραμμου τμήματος καθώς κινείται κατά μήκος του τριγώνου κοντά στη γωνία φ, θα έχουμε για τις συντεταγμένες των σημείων A, Β, D x 2 = sin θ cot φ, y 2 = sin θ x 1 = cos θ + sin θ cot φ, y 1 = 0 x D = αx 1 + bx 2 = αcos θ + sin θ cot φ, y D = αy 1 + by 2 = b sin θ, αντίστοιχα. Άρα για το εμβαδό Α φ θα είναι π φ Α φ = x φ dy = = ( α cos θ + sin θ cot φ)b cos θ dθ + 0 0 y cot φ dy b sin φ = αb (π φ). 2 Ανάλογα με τον ορισμό του εμβαδού Α φ ορίζουμε και τα εμβαδά Α γ και Α ψ, για τα οποία, σύμφωνα με τον υπολογισμό του Α φ, θα είναι αντίστοιχα. Α γ = αb 2 (π γ) και Α ψ = αb (π ψ), 2 Άρα για το εμβαδό της επιφάνειας Α θα έχουμε Α = Α φ + Α γ + Α ψ = αb 2 Επομένως, καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα. Παρατηρήσεις αb [(π φ) + (π γ) + (π ψ)] = (3π π) = παb. 2 1. Αν γίνει απαλειφή της γωνίας θ μεταξύ των εξισώσεων που δίνουν τα x D, y D θα προκύψει ότι τα καμπυλόγραμμα τόξα είναι τόξα ελλείψεων. 2. Αν το παραπάνω τρίγωνο αντικατασταθεί από ένα τυχόν κυρτό πολύγωνο και το α + b είναι κατάλληλα μικρό, τότε θα ισχύει και πάλι Α = παb. 15

4. Θεωρήματα τύπου Holditch για επίπεδες καμπύλες Σε αντίθεση με το «κλασικό» Θεώρημα του Holditch, στο οποίο το σημείο Y που θεωρήσαμε βρίσκεται επί του ευθυγράμμου τμήματος XΧ, στα Θεωρήματα τύπου Holditch, τα οποία θα μελετήσουμε παρακάτω, το σημείο Y δεν θα βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία X και Χ. Α. Θεωρήματα τύπου Holditch για το μήκος επίπεδων καμπυλών α. Κίνηση BB ll11 (kk, kk ) Θεωρούμε δύο κλειστές ωοειδείς καμπύλες k και k (βλ. Σχήμα 7). Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι οι καμπύλες αυτές αναφέρονται στην ίδια παράμετρο. Τα μοναδιαία εφαπτόμενα διανύσματα στα αντίστοιχα σημεία τους S και S ας είναι α 1 και α 1. Οι φορείς των διανυσμάτων α 1 και α 1 τέμνονται στο σημείο T και υποθέτουμε ότι ισχύει α 1 (u) α 1 (u) = cos γ =σταθ. (γ zπ, z Z). Ας είναι D(α 1 (u), α 2 (u)) και D*(α 1 (u), α 2 (u)) τα συνοδεύοντα δίακμα των καμπυλών k και k, αντίστοιχα. Θεωρούμε το μοναδιαίο διάνυσμα ή α 1 (u) = cos α α 1 (u) + sin α α 2 (u) (α=σταθ). (4.1) α 1 (u) = cos(γ α) α 1 (u) + sin(γ α) α 2 (u). (4.2) Στο φορέα του διανύσματος α 1 και σε απόσταση ρk (u) (ρ = σταθ.) από το σημείο S θεωρούμε το σημείο Χ με διανυσματική ακτίνα Χ (u): = S (u) + ρk (u)α 1 (u), όπου k (u) είναι η απόσταση των σημείων Τ και S. Ομοίως, στο φορέα του διανύσματος α 1 και σε απόσταση ρ k (u) (ρ = σταθ.) από το σημείο S θεωρούμε το σημείο Χ με διανυσματική ακτίνα Χ (u): = S (u) + ρ k (u)α 1 (u), όπου k (u) είναι η απόσταση των σημείων Τ και S. 16

Στην ευθεία τώρα ΧΧ θεωρούμε ένα σημείο Y με διανυσματική ακτίνα Y (u) = μ S (u) + ρk (u)α 1 (u) + (1 μ) S (u) + ρ k (u)α 1 (u) (4.3) (μ = σταθ. ). Θεωρούμε, επίσης, την ευθεία g, η οποία διέρχεται από το σημείο Y και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης α 1. Προφανώς, μια διανυσματική παράσταση της ευθείας g είναι k (u, v) = μ S (u) + ρk (u)α 1 (u) + (1 μ) S (u) + ρ k (u)α 1 (u) +v cos α α 1 (u) + sin α α 2 (u), u I, v R. Την κίνηση της ευθείας g τη συμβολίζουμε με B l1 (k, k ). Ισχύουν οι σχέσεις f 1 f 1 = ρ 1 ρ, f 2 f 2 = ρ 1 ρ, f 3 f 3 = μ 1 μ. Σχήμα 7 17

Θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος l της κλειστής καμπύλης k. Είναι γνωστό (βλ. [6]), ότι το μήκος l μιας κλειστής καμπύλης k, την οποία περιβάλλει κατά την κίνηση της μια ευθεία g, ορίζεται από την κλειστή τροχιά ενός σημείου Χ της ευθείας g και από το μοναδιαίο διάνυσμα κατεύθυνσής της a. Ισχύει: l = dχ a. (4.4) Άρα, για το μήκος l της κλειστής καμπύλης k που προκύπτει από την κίνηση αυτή θα είναι l = dy α 1. Με τη βοήθεια των σχέσεων (4.1)-(4.3) και σύμφωνα με υπολογισμούς του L. Hering (βλ.[4, σελ. 95, 96 και σελ. 85-87]) προκύπτει από την παραπάνω σχέση l = μ cos α l + μρ sin α l cos γ l + (1 μ) cos(γ α) l sin γ +(1 μ)ρ l cos γ l sin(γ α), sin γ όπου l και l είναι τα μήκη των καμπυλών k και k, αντίστοιχα. Επομένως, για την κίνηση B l1 (k, k ) έχουμε το ακόλουθο ΘΕΩΡΗΜΑ 4.1. Θεωρούμε μια ευθεία, η οποία κατά τη διάρκεια της κίνησης BB ll1 (kk, kk ) περιβάλλει μια νέα κλειστή καμπύλη. Το μήκος ll της καμπύλης αυτής εξαρτάται, εκτός των σταθερών της κίνησης, μόνο από τα μήκη ll και ll των καμπυλών kk και kk, αντίστοιχα. Ισχύει: ll = μμ cccccc αα ll + μμμμ ssssss αα ll cccccc γγ ll ssssss γγ + (1 μμ) cccccc(γγ αα) ll +(1 μμ)ρρ ll cccccc γγ ll ssssss(γγ aa) ssssss γγ (μμ, γγ, αα, ρρ, ρρ = σσσσσσσσ. ). 18

β. Κίνηση BB ll22 (kk, kk ) Θα μελετήσουμε τώρα την κίνηση B l2 (k, k ), την οποία μελέτησε ο H.R.Müller (βλ. [10]). Θεωρούμε δύο κλειστές ωοειδείς καμπύλες k και k σε ένα επίπεδο (βλ. Σχήμα 8) και τα μοναδιαία εφαπτόμενα διανύσματα α 1 και α 1 σε αντίστοιχα σημεία τους, των οποίων η γωνία γ είναι σταθερή, δηλαδή ισχύει α 1 (u) α 1 (u) = cos γ =σταθ. (γ zπ, z Z). Ας είναι Τ το σημείο τομής των φορέων των διανυσμάτων α 1 και α 1 και D(α 1 (u), α 2 (u)) το συνοδεύον δίακμο της καμπύλης k. Στο φορέα του διανύσματος α 1 και σε απόσταση c 1 (c 1 = σταθ. ) από το σημείο Τ θεωρούμε το σημείο Χ με διανυσματική ακτίνα Χ (u) T (u) + c 1 α 1 (u). Στο φορέα του διανύσματος α 2 και σε απόσταση c 2 (c 2 = σταθ. ) από το σημείο X θεωρούμε το σημείο Y με διανυσματική ακτίνα Y (u) = T (u) + c 1 α 1 (u) + c 2 α 2 (u). Τότε, από το σημείο Y και σε απόσταση Α από το σημείο Τ θα διέρχεται μια ευθεία g με μοναδιαίο διάνυσμα κατεύθυνσης α 1 (u) = sin(γ α) α sin γ 1 (u) + sin α sin γ α 1 (u) (α = σταθ). Σχήμα 8 19

Mια διανυσματική παράσταση της ευθείας g είναι k (u, v) = T (u) + c 1 α 1 (u) + c 2 α 2 (u) + v cos α α 1 (u) + sin α α 2 (u), u I, v R. Την κίνηση της ευθείας g τη συμβολίζουμε με B l2 (k, k ). Για το μήκος l της περιβάλλουσας k της ευθείας g ισχύει, κατά τον H.R. Müller (βλ. [10]), η ακόλουθη σχέση: l = όπου l και l είναι τα μήκη των καμπυλών k και k. sin(γ α) l + sin α sin γ sin γ l + 2πA, (4.5) Θα μελετήσουμε τώρα τις οριακές περιπτώσεις γ 0 και γ π, οι οποίες προκύπτουν από τον περιορισμό γ zπ (z Z). Υποθέτουμε ακόμα, ότι είναι Α=0, οι καμπύλες k και k είναι θετικά προσανατολισμένες και ότι ο προσανατολισμός τους συμπίπτει με τον προσανατολισμό των εφαπτόμενων διανυσμάτων τους α 1 και α 1 στο εκάστοτε σημείο επαφής. Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Περίπτωση 1. Θεωρούμε ότι γ 0 και ότι οι καμπύλες k και k δεν ταυτίζονται. Τότε, τα εφαπτόμενα διανύσματα α 1 και α 1 θα είναι συγγραμμικά, δηλαδή το σημείο τομής των φορέων τους θα κινείται στο άπειρο και θα έχουν τον ίδιο προσανατολισμό. Επίσης, για να είναι αποδεκτή η σχέση (4.5), θα πρέπει να θεωρήσουμε α 0. Τότε η ευθεία g θα είναι παράλληλη προς τα διανύσματα α 1 και α 1. Ακόμα, η απόσταση μεταξύ των φορέων των διανυσμάτων α 1 και α 1 θα είναι μd (μ=σταθ., D εν γένει όχι σταθερό) ενώ η απόσταση μεταξύ των φορέων των διανυσμάτων α 1 και α 1 θα είναι (1-μ)D (βλ. Σχήμα 9). Άρα, θα έχουμε Σχήμα 9 sin(γ α) (1 μ)d lim = α,γ 0 sin γ D = 1 μ 20

και lim α,γ 0 sin α sin γ = μd D = μ. Οπότε, από τη σχέση (4.5) προκύπτει l = (1 μ)l + μl. Περίπτωση 2. Θεωρούμε ότι γ π και α 0. Τότε, τα εφαπτόμενα διανύσματα α 1 και α 1 θα είναι συγγραμμικά, αλλά θα έχουν αντίθετο προσανατολισμό. Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, η ευθεία g θα είναι παράλληλη προς τα διανύσματα α 1 και α 1 και η απόσταση μεταξύ των φορέων των διανυσμάτων α 1 και α 1 θα είναι μd ενώ η απόσταση μεταξύ των φορέων των διανυσμάτων α 1 και α 1 θα είναι (1-μ)D (βλ. Σχήμα 10). Άρα, θα είναι Σχήμα 10 sin(γ α) (1 μ)d lim = α 0 sin γ D γ π = 1 μ και sin α lim α 0 γ π Οπότε, από τη σχέση (4.5) θα έχουμε sin γ = μd D = μ. l = (1 μ)l μl. (4.6) 21

Περίπτωση 3. Θεωρούμε ότι οι καμπύλες k και k ταυτίζονται (βλ. Σχήμα 11). Άρα, γ π και α 0, οπότε, σύμφωνα με τη σχέση (4.6) και επειδή οι καμπύλες k και k ταυτίζονται (έχουν το ίδιο μήκος), θα είναι l = (1 2μ)l. Σχήμα 11 Περίπτωση 4. Θεωρούμε και πάλι ότι οι καμπύλες k και k ταυτίζονται, αλλά τώρα είναι γ 0 και α=σταθ.. Το ότι γ 0, σημαίνει ότι τα διανύσματα α 1 και α 1 είναι συγγραμμικά με ίδιο προσανατολισμό και το σημείο Τ βρίσκεται πάνω στην καμπύλη k (βλ. Σχήμα 12). Σχήμα 12 22

Άρα για το μήκος l, σύμφωνα με τη σχέση (4.5) και εφόσον l=l, θα είναι διότι sin(γ α) l = lim l = γ 0 sin γ sin γ cos α cos γ sin α + sin α = lim l = γ 0 sin γ cos γ sin α sin α = lim l(cos α ) = γ 0 sin γ =l cos α, cos γ sin α sin α sin γ sin α lim = lim = 0 γ 0 sin γ γ 0 cos γ 1 = 0. γ. Κίνηση BB ll33 (kk, kk ) Θεωρούμε τα άκρα Χ και Χ ενός ευθυγράμμου τμήματος ΧΧ (βλ. Σχήμα 13) σταθερού μήκους c, τα οποία διαγράφουν τις κλειστές επίπεδες καμπύλες k και k, αντίστοιχα. Θεωρούμε ακόμα, μια ευθεία g, η οποία είναι σταθερά συνδεδεμένη σε σχέση με το ευθύγραμμο τμήμα XX. Ας είναι D(α 1 (u), α 2 (u), α 3 ) το συνοδεύον τρίακμο της καμπύλης k, όπου α 3 είναι το μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα του επιπέδου και α 1 (u) X (u) X (u) c, α 2 (u) = α 3 α 1 (u). (4.7) Θεωρούμε το μοναδιαίο διάνυσμα α 1 (u) cos α α 1 (u) + sin α α 2 (u) (α = σταθ. ). (4.8) Πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΧΧ θεωρούμε ένα σημείο με διανυσματική ακτίνα μx (u) + (1 μ)x (u) (μ = σταθ. ) και σε απόσταση c 2 (c 2 =σταθ.) από το σημείο αυτό κατά τη διεύθυνση του διανύσματος α 2 θεωρούμε το σημείο Y με διανυσματική ακτίνα Y (u) μx (u) + (1 μ)x (u) + c 2 α 2 (u). (4.9) Θεωρούμε, επίσης, την ευθεία g, η οποία διέρχεται από το σημείο Y και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης α 1. 23

Για την απόσταση Α του σημείου Χ από την ευθεία g θα έχουμε Α (1 μ) sin α c 2 cos α. (4.10) Σχήμα 13 Μια διανυσματική παράσταση της ευθείας g είναι k (u, v) = μx (u) + (1 μ)x (u) + c 2 α 2 (u) + v cos α α 1 (u) + sin α α 2 (u), u I, v R. Τη κίνηση της ευθείας g τη συμβολίζουμε με B l3 (k, k ). Θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος l της κλειστής καμπύλης k. Από τη σχέση (4.4) θα είναι l = dy α 1. (4.11) Με τη βοήθεια των σχέσεων (4.7)-(4.9) και (4.4) και επειδή προκύπτει, από τη σχέση (4.11), dα 2 α 2 = 0 και dα 1 α 1 = 0, (4.12) l = cos α (l 1 2πvc 2 ) + sin α d X α 2 + c sin α(1 μ)2πν, (4.13) όπου l 1 είναι το μήκος της περιβάλλουσας των ευθειών XX και dα 1 α 2 = dα 2 α 1 = 2πν, (4.14) με ν να είναι ο αριθμός στροφής της κίνησης (βλ. [1]). 24

Κατά τους W. Blaschke και H.R. Müller (βλ. [1, σελ. 120 και 114f]) ισχύει 2F(X ) = c 2 ν2π 2c d X α 2 + 2F(X), (4.15) όπου F(X) και F(X ) είναι τα εμβαδά των επιφανειών που περικλείονται από τις κλειστές καμπύλες k και k, αντίστοιχα. Άρα, από τη σχέση (4.13) και με τη βοήθεια των σχέσεων (4.10) και (4.15) θα έχουμε l = cos α l 1 + sin α F(X) F(X ) + νπc + 2πνA. c Οπότε προκύπτει για την κίνηση B l3 (k, k ) το ακόλουθο ΘΕΩΡΗΜΑ 4.2. Θεωρούμε μια ευθεία, η οποία κατά τη διάρκεια της κίνησης BB ll3 (kk, kk ) περιβάλλει μια νέα κλειστή καμπύλη. Το μήκος της ll εξαρτάται, εκτός των σταθερών της κίνησης, μόνο από τα εμβαδά των επιφανειών FF(XX) και FF(XX ) που περικλείονται από τις κλειστές καμπύλες kk και kk, αντίστοιχα, και από το μήκος ll 1 της περιβάλλουσας των ευθειών ΧΧ *. Ισχύει: ll = cccccc αα ll 1 + ssssss αα FF(XX) FF(XX ) + vvvvvv + 2ππππππ (αα, ΑΑ, cc, vv = σσσσσσσσ. ). cc Β. Θεωρήματα τύπου Holditch για το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από επίπεδη καμπύλη α. Κίνηση BB FF11 (kk, kk ) (κλασική κίνηση Holditch) Θεωρούμε τα άκρα Χ και Χ ενός ευθύγραμμου τμήματος ΧΧ σταθερού μήκους c, τα οποία διαγράφουν τις κλειστές επίπεδες καμπύλες k και k, αντίστοιχα (βλ. Σχήμα 14). Ακόμα θεωρούμε το συνοδεύον τρίακμο D(α 1 (u), α 2 (u), α 3 ) της καμπύλης k, όπου α 3 είναι το μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα του επιπέδου και α 1 (u) X (u) + X (u) c, α 2 (u) = α 3 α 1 (u). (4.16) Πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΧΧ θεωρούμε ένα σημείο με διανυσματική ακτίνα μx (u) + (1 μ)x (u) (μ = σταθ. ) και σε απόσταση c 2 (c 2 =σταθ.) από το σημείο αυτό κατά τη διεύθυνση του διανύσματος α 2 θεωρούμε το σημείο Y με διανυσματική ακτίνα Y (u) μx (u) + (1 μ)x (u) + c 2 α 2 (u). (4.17) 25

Σχήμα 14 Είναι γνωστό, ότι το εμβαδό F(X) της επιφάνειας που περικλείεται από μια καμπύλη, η οποία προκύπτει από την κίνηση ενός σημείου Χ με διανυσματική ακτίνα X και βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο με μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα α 3 δίνεται από τον τύπο (βλ.[6]) F(X) 1 2 (α 3, X, dx ). (4.18) Άρα, για το εμβαδό F(Y) της επιφάνειας που περικλείεται από την κλειστή καμπύλη k, η οποία προκύπτει από την παραπάνω περιγραφείσα κίνηση B F1 (k, k ) του σημείου Y, θα έχουμε από τη σχέση (4.18) με τη βοήθεια των σχέσεων (4.4), (4.14), (4.16) και (4.17) ότι F(Y) μf(x) + (1 μ)f(x ) μ(1 μ)c 2 πv + c 2 (c 2 πv l 1 ) (μ, v, c, c 2 = σταθ. ), όπου F(X) και F(X ) είναι τα εμβαδά των επιφανειών που περικλείονται από τις κλειστές καμπύλες k και k, οι οποίες διαγράφονται από τα σημεία Χ και X, αντίστοιχα, και l 1 είναι το μήκος της περιβάλλουσας των ευθειών XX. Οπότε έχουμε το ακόλουθο ΘΕΩΡΗΜΑ 4.3. Κατά τη διάρκεια της κίνησης BB FF1 (kk, kk ) των άκρων ΧΧ και XX ενός ευθυγράμμου τμήματος XXXX σταθερού μήκους c κατά μήκος των κλειστών καμπυλών kk και kk, αντίστοιχα, το σημείο YY που είναι σταθερά συνδεδεμένο με το ευθύγραμμο τμήμα XXXX θα δημιουργήσει μια νέα κλειστή καμπύλη kk. Το εμβαδό FF(YY) της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη kk εξαρτάται, εκτός των σταθερών της κίνησης, μόνο από τα εμβαδά FF(XX) και FF(ΧΧ ) των επιφανειών που περικλείονται από τις κλειστές καμπύλες kk και kk, αντίστοιχα, και από το μήκος ll 1 της περιβάλλουσας των ευθειών ΧΧΧΧ. Ισχύει: FF(YY) = μμμμ(xx) + (1 μμ)ff(xx ) μμ(1 μμ)cc 2 ππππ + cc 2 (cc 2 ππππ ll 1 ) (μμ, vv, cc, cc 2 = σσσσσσσσ. ). Παρατήρηση Αν είναι c 2 =0, δηλαδή τα σημεία X, X και Y είναι συνευθειακά, τότε από το παραπάνω Θεώρημα προκύπτει μια γενίκευση του Θεωρήματος Holditch (βλ. [1]). Αν επιπλέον οι κλειστές καμπύλες k και k ταυτίζονται, τότε προκύπτει το ίδιο το Θεώρημα Holditch. 26

β. Κίνηση BB FF22 (kk, kk ) Η κίνηση B F2 (k, k ), την οποία θα μελετήσουμε τώρα, είναι συνδυασμός των προηγούμενων κινήσεων B F1 (k, k ) και B l2 (k, k ). Θεωρούμε δύο κλειστές ωοειδείς καμπύλες k και k σε ένα επίπεδο και τα μοναδιαία εφαπτόμενα διανύσματα α 1 και α 1 στα αντίστοιχα σημεία τους, οι φορείς των οποίων τέμνονται σε ένα σημείο Τ (βλ. Σχήμα 15). Έστω α 1 (u) α 1 (u) = cos γ =σταθ. (γ zπ, z Z) και D(α 1 (u), α 2 (u), α 3 (u)) το συνοδεύον τρίακμο που ορίσαμε προηγουμένως. Θεωρούμε ακόμα ένα σημείο Y, το οποίο απέχει απόσταση c 1 (c 1 = σταθ. ) από το φορέα του διανύσματος α 2 και απόσταση c 2 (c 2 = σταθ. ) από το φορέα του διανύσματος α 1. Η διανυσματική του ακτίνα είναι Y (u) T (u) + c 1 α 1 (u) + c 2 α 2 (u). (4.19) Σχήμα 15 Καθώς οι πλευρές της γωνίας γ ολισθαίνουν κατά μήκος των ωοειδών καμπυλών k και k το σημείο Y διαγράφει μια κλειστή καμπύλη k. Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδό F(Y) της επιφάνειας που περικλείεται από την κλειστή αυτή καμπύλη k. Από τη σχέση (4.18), με τη βοήθεια των σχέσεων (4.4), (4.12), (4.14) (για ν=1), (4.19) και σύμφωνα με υπολογισμούς του L. Hering (βλ. [4, σελ. 108-110]) θα έχουμε για το εμβαδό F(Y) ότι: F(Y) = F(T) + (c 1 2 + c 2 2 )π + 1 sin γ [(c 1 cos γ + c 2 sin γ)l c 1 l ] (c 1, c 2, γ = σταθ. ), 27

όπου F(T) είναι το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη, η οποία διαγράφεται κατά την κίνηση της κορυφής Τ και l, l είναι τα μήκη των καμπυλών k, k, αντίστοιχα. Έχουμε λοιπόν το ακόλουθο ΘΕΩΡΗΜΑ 4.4. Αν οι πλευρές μιας γωνίας σταθερού μέτρου γ κινούνται ως εφαπτόμενες σε δύο ωοειδείς καμπύλες kk και kk, τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης BB FF2 (kk, kk ) ένα σημείο YY σταθερά συνδεδεμένο με τη γωνία θα διαγράψει μια νέα κλειστή καμπύλη kk.το εμβαδό FF(YY) της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη kk εξαρτάται, εκτός των σταθερών της κίνησης, μόνο από τα μήκη ll και ll των καμπυλών kk και kk,αντίστοιχα, και από το εμβαδό FF(TT) της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη, η οποία διαγράφεται κατά την κίνηση της κορυφής ΤΤ. Ισχύει: FF(YY) = FF(TT) + (cc 1 2 + cc 2 2 )ππ + 1 ssssss γγ [(cc 1 cccccc γγ + cc 2 ssssss γγ)ll cc 1 ll ] (cc 1, cc 2, γγ = σσσσσσσσ. ). Παρατήρηση Από τις παραπάνω κινήσεις μπορούν να προκύψουν και άλλες κινήσεις, όταν οι καμπύλες k και k ταυτίζονται ή/και όταν ισχύουν άλλες συνθήκες, όπως π.χ. c 2 =0, ρ=ρ =0. Για τις νέες αυτές κινήσεις μπορούν προκύπτουν, άμεσα, από τα παραπάνω Θεωρήματα τα αντίστοιχά τους Θεωρήματα (βλ. [4, Kεφ. 4]). Γ. Παραδείγματα Ορισμένα παραδείγματα των κινήσεων που περιγράψαμε προηγουμένως δίνονται παρακάτω, όπου για καλύτερη εποπτεία θεωρούμε ότι οι δύο αρχικές καμπύλες αναφοράς k και k ταυτίζονται (βλ. [6, σελ. 47, 48]). Κίνηση BB ll22 (kk, kk ) 28

Κίνηση BB ll33 (kk, kk ) Κίνηση BB FF11 (kk, kk ) 29

Κίνηση BB FF22 (kk, kk ) 5. Μια επέκταση του Θεωρήματος Holditch Στην παράγραφο αυτή θα αποδείξουμε δύο ακόμα Θεωρήματα τύπου Holditch για το ευκλείδειο επίπεδο, τα οποία σχετίζονται με τον υπολογισμό του εμβαδού της επιφάνειας, που περικλείεται από καμπύλες που προκύπτουν ως τροχιές σημείων κατά μια κλειστή επίπεδη μονοπαραμετρική κίνηση. Θεωρούμε μια επίπεδη ευκλείδεια C 1 -μονοπαραμετρική κίνηση Ζ=Σ/Σ 0, όπου Σ 0 είναι το σταθερό και Σ το κινούμενο ευκλείδειο επίπεδο. Στο Σ 0 θεωρούμε το (σταθερό) σύστημα συντεταγμένων (Ο 0 ; x 0, y 0 ) και στο Σ το σύστημα συντεταγμένων (Ο; x, y). Η κίνηση Ζ ας περιγράφεται από τις σχέσεις x 0 = a 0 (t) + x cos φ(t) y sin φ(t), y 0 = b 0 (t) + x sin φ(t) + y cos φ(t), t I R, a 0, b 0, φ C 1. (5.1) Πρόκειται για μια συνεχώς διαφορίσιμη (μονοπαραμετρική) κίνηση ίσων σχημάτων με τον ίδιο προσανατολισμό. 30

ΟΡΙΣΜΟΣ 5.1. Μια επίπεδη μονοπαραμετρική κίνηση ονομάζεται κλειστή, όταν υπάρχει θετικός αριθμός Τ για τον οποίο να ισχύει a 0 (t + T) = a 0 (t) b 0 (t + Τ) = b 0 (t) φ(t + Τ) = φ(t) + 2πν, ν Z (5.2) όπου ν είναι ο αριθμός στροφής. Ο μικρότερος αριθμός Τ, για τον οποίο ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις, ονομάζεται περίοδος. Για σταθερές τιμές των x και y και με τη βοήθεια των σχέσεων (5.1) και (5.2) προκύπτει η κλειστή, προσανατολισμένη καμπύλη του σημείου X(x, y) στο επίπεδο Σ. Μεμονωμένα σημεία μπορούν, κατά τη διάρκεια μιας πλήρους κίνησης Ζ (δηλαδή όταν t [0, T]), να διατρέχουν περισσότερες από μια φορές την τροχιά τους. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε ένα Θεώρημα τύπου Holditch που μας βοηθάει να υπολογίζουμε το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται μεταξύ δύο κλειστών καμπυλών, οι οποίες προκύπτουν από δύο κλειστές επίπεδες ευκλείδειες C 1 -μονοπαραμετρικές κινήσεις. Πιο συγκεκριμένα, έχουμε το ακόλουθο ΘΕΩΡΗΜΑ 5.1. Θεωρούμε τα σημεία AA ii και BB ii δύο ευθειών gg ii (i= 1, 2), τα οποία κατά τη διάρκεια των κλειστών επίπεδων ευκλείδειων C 1 -μονοπαραμετρικών κινήσεων ZZ ii διατρέχουν με αριθμούς στροφής νν ii, με ίδιο προσανατολισμό και ίδιο αριθμό διαγραφής τις καμπύλες kk AA και kk BB, αντίστοιχα. Τότε, τα σημεία XX ii gg ii με AA ii XX ii = λλ ii αα και XX ii BB ii = λλ ii bb διαγράφουν κλειστές καμπύλες kk ii, για τις οποίες η διαφορά FF = FF 1 FF 2 των εμβαδών που περικλείουν είναι ανεξάρτητη των καμπυλών kk AA και kk BB. Ισχύει: FF = vv 2 λλ 2 2 vv 1 λλ 1 2 ππaaaa. Απόδειξη Από το Θεώρημα 4.3 (για c 2 =0, c=α+b, μc=λ 1 α, (1-μ)c=λ 1 b) για το εμβαδό F 1 της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη k 1 θα έχουμε F 1 = F(X 1 ) = αα α + b F(A 1) + b α + b F(B 1) λ 2 1 αbπν 1. ( ) Ομοίως, για το εμβαδό F 2 θα έχουμε F 2 = F(X 2 ) = α α + b F(A 2) + b α + b F(B 2) λ 2 2 αbπν 2. ( ) Αφαιρούμε τις σχέσεις ( ) και ( ) κατά μέλη, οπότε προκύπτει F = F 1 F 2 = v 2 λ 2 2 v 1 λ 1 2 παb, 31

διότι τα εμβαδά F(A 1 ) και F(A 2 ) (αντ. F(B 1 ) και F(B 2 ) ) είναι ίσα, επειδή και τα δύο ισούνται με το εμβαδό της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη k A (αντ. k B ). Παρατηρήσεις 1. Η υπόθεση ότι τα σημεία A i (i= 1, 2) διατρέχουν κατά τη διάρκεια των κινήσεων Ζ 1 και Ζ 2 την καμπύλη k A με ίδιο προσανατολισμό είναι αναγκαία, διότι στην παραπάνω απόδειξη δεν θα ίσχυε F(A 1 )=F(A 2 ). Το ίδιο συμβαίνει και για τα σημεία B i (i= 1, 2) και την καμπύλη k B. 2. Από το παραπάνω Θεώρημα προκύπτει το κλασικό Θεώρημα του Holditch, όταν ισχύουν τα εξής: οι καμπύλες k A και k B ταυτίζονται, είναι v 2 =1 και λ 1 =0 (δηλαδή και οι καμπύλες k 1 και k A ταυτίζονται). Υποθέτουμε τώρα, ότι οι καμπύλες k A και k B είναι σύνορα μη φραγμένων τμημάτων του Σ 0 (βλ. Σχήμα 16) και ισχύουν k Α = c A (R) με c Α : u R P A (u) R 2, k B = c B (R) με c B : u R P B (u) R 2, (5.3) και c A, c B C 1 με τα σύνολα των σημείων c A (R) και c Β (R) να μην είναι φραγμένα για u και u. Σχήμα 16 Θέλουμε ακόμα να υπάρχουν οι οριακές θέσεις των εφαπτομένων για τα σημεία των καμπυλών που προκύπτουν όταν u ή u. 32

Θεωρούμε τα ευθύγραμμα τμήματα AB 1 και AB 2 (ΑΑ A 1 = A 2 ) με B 1,B 2 k B και A k A και τα σημεία X 1 g 1 και X 2 g 2, όπου g 1 και g 2 είναι οι ευθείες που ορίζονται από τα σημεία A, B 1 και A, B 2, αντίστοιχα (βλ. Σχήμα 16). Κατά την κίνηση της γωνίας μεταβλητού μέτρου B 1 AB 2 πάνω στις καμπύλες k A και k B τα σημεία X 1 και X 2 διαγράφουν τις καμπύλες k 1 και k 2, αντίστοιχα. Ονομάζουμε k 2 την καμπύλη που έχει αντίθετο προσανατολισμό από την καμπύλη k 2 και θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδό F 12 = F 1 + F 2, όπου F 1 και F 2 είναι τα προσημασμένα εμβαδά των επιφανειών που περικλείονται μεταξύ των καμπυλών k 1 και k 2, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Θεωρούμε τώρα την επίπεδη ευκλείδεια, όχι κατ ανάγκην κλειστή, C 1 -μονοπαραμετρική κίνηση Ζ=Σ/Σ 0, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις (5.1). Θεωρούμε ακόμη ένα τυχόν σημείο Χ(x, y) του επιπέδου Σ και το ευθύγραμμο τμήμα Ο 0 X t (t ϵ Ι=[r, s]) του επιπέδου Σ 0, το οποίο κατά τη διάρκεια της κίνησης Ζ διαγράφει ένα τμήμα της επιφάνειας με προσημασμένο εμβαδό F (X) = 1 2 x 0 r s dy 0 dt dx 0 dt y 0 dt όπου x 0 (t) και y 0 (t) είναι οι C 1 -συναρτήσεις της κίνησης Ζ. Σύμφωνα με τους W. Blaschke και H.R. Müller (βλ. [1, σελ. 117]) για το προσημασμένο εμβαδό F (X) θα είναι F (X) = F (O) + δ 2 (x2 + y 2 + Cx + Dy), (5.4) όπου F (O) είναι το προσημασμένο εμβαδό του τμήματος της επιφάνειας που προκύπτει από την κίνηση του ευθύγραμμου τμήματος Ο 0 Ο t, Ο(0,0) είναι η αρχή του συστήματος συντεταγμένων του επιπέδου Σ, δ είναι η ολική γωνία στροφής της κίνησης Ζ, δηλ. δ = dφ dt dt, και C, D είναι κατάλληλες πραγματικές σταθερές. r s, 33

Για τον υπολογισμό του εμβαδού F 12 μας είναι χρήσιμο το ακόλουθο ΛΗΜΜΑ 5.1. Θεωρούμε τα σημεία ΑΑ και ΒΒ του επιπέδου Σ και τα ευθύγραμμα τμήματα OO 0 AA tt και OO 0 BB tt του επιπέδου Σ 0, τα οποία κατά τη διάρκεια της επίπεδης ευκλείδειας, όχι κατ ανάγκην κλειστής, C 1 -μονοπαραμετρικής κίνησης Ζ=Σ/Σ 0 διαγράφουν ένα τμήμα της επιφάνειας με προσημασμένο εμβαδό FF (ΑΑ) και FF (ΒΒ), αντίστοιχα. Τότε, ένα σημείο Χ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με AA ΧΧ = aa και ΒΒ ΧΧ = bb, aa, bb R +, διαγράφει ένα τμήμα της επιφάνειας με εμβαδό FF (XX) = aaff (BB) + bbff (AA) aa + bb aaaaδδ 2. Απόδειξη Έστω ότι τα συνευθειακά σημεία Α, Β, Χ του επιπέδου Σ έχουν συντεταγμένες Α(κ, λ), Β(κ + aa + b, λ), Χ(κ + aa, λ). Λόγω της σχέσης (5.4), για τα εμβαδά F (Α), F (Β), F (Χ) θα είναι F (Α) = F (O) + δ 2 (κ2 + λ 2 + Cκ + Dλ), (5.5α) F (Β) = F (O) + δ 2 [(κ + aa + b)2 + λ 2 + C(κ + aa + b) + Dλ], (5.5β) F (Χ) = F (O) + δ 2 [(κ + aa)2 + λ 2 + C(κ + aa) + Dλ]. (5.5γ) Πολλαπλασιάζoυμε τα μέλη της σχέσης (5.5γ) επί (aa + b) και από τη σχέση που προκύπτει αφαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις (5.5α) και (5.5β) πολλαπλασιασμένες αντίστοιχα επί b και aa. Μετά από πράξεις προκύπτει η ζητούμενη σχέση F (X) = aaf (B) + bf (A) aa + b aabδ 2. Παρατηρήσεις 1. Το παραπάνω Λήμμα είναι ανεξάρτητο της εκλογής της αρχής του συστήματος συντεταγμένων του επιπέδου Σ 0. 2. Αν η C 1 -μονοπαραμετρική κίνηση Ζ είναι κλειστή, τότε είναι δ = 2πν. 34

Για τον υπολογισμό του εμβαδού F 12 ισχύει το ακόλουθο ΘΕΩΡΗΜΑ 5.2. Θεωρούμε τη γωνία μεταβλητού μέτρου BB 1 AABB 2, της οποίας η κορυφή ΑΑ και τα σημεία BB ii (ii=1, 2) των πλευρών αυτής gg ii διατρέχουν τις καμπύλες kk AA και kk BB, αντίστοιχα, οι οποίες είναι σύνορα μη φραγμένων τμημάτων και περιγράφονται από τις σχέσεις (5.3). Τότε, τα σημεία XX ii AABB ii με AA XX ii = λλ ii αα και XX ii BB ii = λλ ii bb (αα, bb, λλ ii R + ) διαγράφουν τις καμπύλες k i με το εμβαδό της επιφάνειας που ορίζεται από αυτές να είναι FF 12 = λλ 1λλ 2 (ssssss γγ 2 ssssss γγ 1 ) + δδ 2 λλ 2 2 δδ 1 λλ 1 2 ααbb 2 όππππππ γγ 1 llllll tt + γγ(tt) κκκκκκ γγ 2 llllll tt γγ(tt), γγ(tt) = BB 1 tt AA tt BB 2 tt (5.6) και δ i είναι η ολική γωνία στροφής της ευθείας gg ii., Απόδειξη Περιορίζουμε τις επίπεδες ευκλείδειες C 1 -μονοπαραμετρικές κινήσεις Ζ i, που ορίζονται από τις ευθείες g i, στο διάστημα [-t, t] με t R + και θεωρούμε ότι οι, εν γένει, όχι κλειστές C 1 - μονοπαραμετρικές κινήσεις Z i (t) έχουν ολική γωνία στροφής δ i (t). Κατά τη διάρκεια των κινήσεων αυτών τα σημεία X 1 και X 2 διαγράφουν τις καμπύλες k 1 και k 2, αντίστοιχα, και έτσι προκύπτουν τμήματα της επιφάνειας με προσημασμένα εμβαδά F (X 1 ) και F (X 2 ), αντίστοιχα. Αν ενώσουμε τα σημεία X 1 t, X 2 t και τα σημεία X 1 t, X 2 t (βλ. Σχήμα 17), τότε προκύπτει ένα κλειστό τμήμα της επιφάνειας με προσημασμένο εμβαδό F Χ 12 = F (X 1 ) F (X 2 ). (5.7α) Συμβολίζουμε με S(t) το σημείο τομής των ευθειών X 1 t X 2 t και X 1 t X 2 t (βλ. Σχήμα 17). Σχήμα 17 35

Επίσης, θεωρούμε τα προσημασμένα εμβαδά Δ 1 (t) F SB 1 t B 2 t και Δ 2 (t) F SB 1 t B 2 t. Β Το προσημασμένο εμβαδό F 12 της επιφάνειας είναι F Β 12 (t) = F (B 1 ) F (B 2 ) + Δ 1 (t) Δ 2 (t). (5.7γ) Με τη βοήθεια του προηγούμενου Λήμματος και των σχέσεων (5.7α)-(5.7γ) θα έχουμε F Χ 12 (t) = α α + b F 12 Β (t) + Δ 2 (t) Δ 1 (t) + δ 2 (t)λ 2 2 δ 1 (t)λ 2 1 αb. (5.7δ) 2 Για τη διαφορά των εμβαδών Δ 1 και Δ 2 των τριγώνων SB 1 t B 2 t και SB 1 t B 2 t, αντίστοιχα, θα έχουμε α α + b [Δ 2(t) Δ 1 (t)] = λ 1λ 2 αb[sin γ( t) sin γ(t)] 2. (5.7ε) Έστω τ Bi (t), με τ Bi (t) [0, π], η γωνία της καμπύλης k B και του ευθύγραμμου τμήματος B t 1 B t 2 στο σημείο B t Β i. Για το εμβαδό F 12 θα έχουμε F Β 12 (t) (λ 1 + λ 2 ) 2 (α + b) 2 sin τ B1 (t) + sin τ B2 (t) + sin τ B1 ( t) + sin τ B2 ( t), t > t 0 R +. (5.7στ) Έχουμε Άρα, λόγω της σχέσης (5.7στ), θα είναι lim t + τ B i (t) = lim t + τ B i ( t) = 0. lim F 12 Β (t) = 0. t + (5.7ζ) Οπότε, από τη σχέση (5.7δ) και με τη βοήθεια των σχέσεων (5.6), (5.7ε) και (5.7ζ) θα έχουμε όπου δ i lim t δ i (t). Παρατηρήσεις F 12 lim F 12 X (t) = λ 1λ 2 (sin γ 2 sin γ 1 ) + δ 2 λ 2 2 δ 1 λ 2 1 αb t + 2 1. Κατά τη διάρκεια της κίνησης των σημείων A, B 1, B 2 κατά μήκος των δοσμένων καμπυλών k A και k B προκύπτουν τα εξής: ένας μηχανισμός με βαθμό ελευθερίας 1, δύο κινούμενα συστήματα Σ i, που είναι οι πλευρές g i της γωνίας μεταβλητού μέτρου B 1 AB 2, και το σταθερό σύστημα Σ 0., 36

2. Παρατηρούμε ότι το εμβαδό F 12 είναι ανεξάρτητο της παραμέτρου t και εξαρτάται μόνο από τον προσανατολισμό των καμπυλών k A και k B, που «μεταδίδεται» σ αυτές από την κίνηση Ζ i. Αν η κίνηση γίνει από το + στο, τότε τα γ 1 και γ 2 «εναλλάσσουν» τη σημασία τους και η ολική γωνία στροφής δ i αλλάζει πρόσημο. Οπότε, θα αλλάξει και το πρόσημο του προσημασμένου εμβαδού F 12, δηλαδή θα έχουμε ότι F 21 = F 12. 3. Για τις γωνίες γ i και δ i ισχύει γ 1 + δ 1 δ 2 γ 2 mod2π. 4. Υποθέτουμε ότι τα προσημασμένα εμβαδά που αθροίζονται για να προκύψει το εμβαδό F 12 υπάρχουν και δεν προκύπτει απροσδιόριστη μορφή του τύπου " ". 37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ HOLDITCH ΓΙΑ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ 1. Το διάνυσμα του Steiner για μια κλειστή, σφαιρική μονοπαραμετρική κίνηση Θεωρούμε μια μονοπαραμετρική σφαιρική κίνηση με κινούμενη σφαίρα Σ και σταθερή σφαίρα Σ. Οι σφαίρες αυτές ας αντιπροσωπεύονται από τα συνοδεύοντα τρίακμα (Ο; e 1, e 2, e 3 ) και (Ο; e 1, e 2, e 3 ), αντίστοιχα. Ας είναι ψ i (i=1, 2, 3) μορφές του Pfaff εξαρτόμενες από μια πραγματική μεταβλητή t και την περίοδο T (Τ > 0). Με τις εξισώσεις των παραγώγων de i = ψ j e k ψ k e j (i, j, k = 1, 2, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2) (1.1) περιγράφεται η κλειστή, σφαιρική μονοπαραμετρική κίνηση D Ι με περίοδο T. Θεωρούμε ακόμα το διάνυσμα του Pffaf ψ = ψ 1 e 1 + ψ 2 e 2 + ψ 3 e 3 και ένα σημείο X της Σ με διανυσματική ακτίνα Tο μοναδιαίο διάνυσμα ΟΧ = r = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3. p = p 1 e 1 + p 2 e 2 + p 3 e 3 στην διεύθυνση του στιγμιαίου διανύσματος στροφής ψ οδηγεί στον στιγμιαίο πόλο P. Οπότε, θα ισχύει ψ i = p i ψ με ψ 2 = ψ 1 2 + ψ 2 2 + ψ 3 2. Ολοκληρώνουμε τα ψ i από t=0 μέχρι t=t, δηλαδή κατά τη διάρκεια μιας περιόδου T. Θέτουμε v i = ψ i = p i ψ (1.2) και έτσι, προκύπτει το διάνυσμα b = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3. 38

Θεωρούμε ακόμα πάνω στη σφαίρα Σ την κλειστή κινούμενη πολική καμπύλη Β και έτσι, θα έχουμε ότι b = ψp = ψ. Από την προηγούμενη σχέση προκύπτει b ψ = ψp ψ, που είναι το κέντρο βάρους της κινούμενης πολικής καμπύλης Β με τη θεώρηση του στοιχείου μάζας ψ. Παρατηρήσεις 1. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το διάνυσμα b εξαρτάται από τη σφαίρα R αλλά είναι ανεξάρτητο της εκλογής του συνοδεύοντος τριάκμου (Ο; e 1, e 2, e 3 ). 2. Το διάνυσμα b της σφαιρικής κινηματικής μπορούμε να το «παραλληλίσουμε» με το σημείο Steiner της κινηματικής στο επίπεδο (βλ. [1, σελ. 114]) και έτσι, να το ονομάσουμε διάνυσμα του Steiner. 2. Ολοκλήρωμα της γεωδαισιακής καμπυλότητας και εμβαδόν σφαιρικής επιφάνειας Κατά την διάρκεια της κλειστής σφαιρικής μονοπαραμετρικής κίνησης D I, ένα σημείο Χ της σφαίρας Σ διαγράφει μια κλειστή καμπύλη γ πάνω στην σφαίρα Σ. Σε κάθε σημείο της καμπύλης αυτής ορίζουμε το δεξιόστροφο συνοδεύον τρίακμο (Χ; t, n, r ), όπου r = OX, t είναι το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης και n = r t είναι το μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα της σφαιρικής καμπύλης. Για το παραπάνω συνοδεύον τρίακμο έχουμε τις εξισώσεις παραγώγων dt = xn σr, dn = xt, dr = σt, (2.1) όπου σ είναι το γραμμικό στοιχείο τόξου και x = cσ είναι το στοιχείο της γεωδαισιακής καμπυλότητας c της τροχιάς του σημείου X. 39

Αν ολοκληρώσουμε από 0 μέχρι T, τότε το ολοκλήρωμα σ δίνει το μήκος της καμπύλης, ενώ το ολοκλήρωμα Γ = x = cσ (2.2) δίνει την ολική γεωδαισιακή καμπυλότητα της κλειστής τροχιάς. Χάριν ευκολίας και επειδή το κινούμενο τρίακμο (Ο; e 1, e 2, e 3 ) είναι τυχόν και σταθερά συνδεδεμένο με την κινούμενη σφαίρα R μπορούμε να θέσουμε Οπότε, θα έχουμε r = e 3. (2.3) t = cos τ e 1 + sin τ e 2 n = sin τ e 1 + cos τ e 2. Από την προηγούμενη σχέση και με τη βοήθεια των σχέσεων (1.1), (2.1) και (2.3) έχουμε dr = σt = ψ 2 e 1 ψ 1 e 2, dt = (ψ 3 + dτ)n + (ψ 1 sin τ ψ 2 cos τ)r, dn = (ψ 3 + dτ)t + (ψ 1 cos τ + ψ 2 sin τ)r. (2.4) Συγκρίνοντας τις σχέσεις (2.1) και (2.4) έχουμε σ = t dr = r dt = ψ 1 sin τ + ψ 2 cos τ, x = n dt = t dn = ψ 3 + dτ, (2.5α) (2.5β) 0 = r dn = n dr = ψ 1 cos τ + ψ 2 sin τ. (2.5γ) Θεωρούμε τώρα τις σφαιρικές πολικές συντεταγμένες, γεωγραφικό μήκος φ και πολική απόσταση θ, πάνω στη σφαίρα και έτσι για τη θέση του σημείου X και για το κινούμενο τρίακμο (Ο; e 1, e 2, e 3 ) σε σχέση με το σταθερό τρίακμο (Ο; e 1, e 2, e 3 ) έχουμε r = e 3 = sin θ cos φ e 1 + sin θ sin φ e 2 + cos θ e 3, e 1 = cos θ cos φ e 1 cos θ sin φ e 2 + sin θ e 3, e 2 = sin φ e 1 cos φ e 2. Από τη σχέση (1.1) και με την βοήθεια των παραπάνω σχέσεων έχουμε ψ 1 = e 3 de 2 = e 2 de 3 = sin θ dφ, ψ 2 = e 1 de 3 = e 3 de 1 = dθ, ψ 3 = e 2 de 1 = e 1 de 2 = cos θ dφ. (2.6α) (2.6β) (2.6γ) 40

Οπότε, με την βοήθεια των σχέσεων (2.2), (2.5β) και (2.6γ), έχουμε για την ολική γεωδαισιακή καμπυλότητα Γ = x = ( ψ 3 + dτ) = (cos θ dφ + dτ) (2.7) και, με τη χρήση των σχέσεων (1.2) και (2.6γ), προκύπτει Γ = v 3 + dτ. (2.8) Είναι όμως dτ = 2nπ, (2.9) όπου n είναι ο αριθμός περιτύλιξης της κινούμενης πολικής καμπύλης Β γύρω από το σημείο X. Το γεγονός ότι v 3 = b e 3 = b r σημαίνει ότι οι σχέσεις (2.8) και (2.9) είναι ανεξάρτητες της στροφής του κινούμενου τριάκμου. Οπότε, η ολική γεωδαισιακή καμπυλότητα Γ της κλειστής καμπύλης γ που διαγράφεται από το σημείο X είναι Γ = b r + 2nπ. (2.10) Αν γίνει χρήση ενός τύπου του Αρχιμήδη (βλ. [12, σελ.128]), το εμβαδό της σφαιρικής επιφάνειας F που περικλείεται από την τροχιά γ ενός σημείου Χ θα είναι F = (1 cos θ)dφ + 4kπ, (2.11) όπου k είναι ακέραιος αριθμός και ονομάζεται αριθμός κάλυψης του νότιου πόλου της σφαίρας, ο οποίος έχει διανυσματική ακτίνα e 3 και δεν βρίσκεται πάνω στην καμπύλη γ. Προσθέτουμε τώρα τις σχέσεις (2.7) και (2.11) κατά μέλη και έχουμε F + Γ = (dφ + dτ) + 4kπ. (2.12) Θεωρούμε τη στερεογραφική προβολή γ της καμπύλης γ, από το νότιο πόλο της σφαίρας στο «ισημερινό» επίπεδο x 3 = 0 της σφαίρας. Κατά τον H.R.Müller (βλ.[9, σελ. 46]), η γωνία μεταξύ του διανύσματος e 1 και της εφαπτόμενης της καμπύλης γ είναι φ + τ. Οπότε, η ολική καμπυλότητα της κλειστής, προσανατολισμένης, επίπεδης καμπύλης γ * είναι Γ = d(φ + τ). (2.13) 41

Άρα, με τη βοήθεια των σχέσεων (2.12) και (2.13), προκύπτει το ακόλουθο ΘΕΩΡΗΜΑ 2.1. Θεωρούμε το εμβαδό FF του τμήματος της σφαίρας Σ που περικλείεται από την καμπύλη γ, την ολική γεωδαισιακή καμπυλότητα ΓΓ της καμπύλης γ και την ολική καμπυλότητα ΓΓ της στερεογραφικής προβολής γγ της καμπύλης γ από το νότιο πόλο, ο οποίος δεν βρίσκεται πάνω στην καμπύλη γ, στο επίπεδο του ισημερινού xx 3 = 0. Το εμβαδό FF, η ολική γεωδαισιακή καμπυλότητα ΓΓ της γ και η ολική καμπυλότητα ΓΓ της γγ συνδέονται με τη σχέση FF + ΓΓ = ΓΓ + 4kkππ, (2.14) όπου kk είναι ακέραιος αριθμός και συμβολίζει τον αριθμό κάλυψης του νότιου πόλου της σφαίρας. Παρατήρηση Η προηγούμενη σχέση ταυτίζεται, υπό κάποιες προϋποθέσεις, με τον τύπο Gauss-Bonnet, όταν αυτός εφαρμοστεί για την επιφάνεια της σφαίρας Σ που περικλείεται από την καμπύλη γ. Είναι Κdo + x = 2π, με Κdo = do = F. 3. Το Θεώρημα του Holditch Με τη βοήθεια του Θεωρήματος 2.1 και της σχέσης (2.10) μπορούμε να γενικεύσουμε το «κλασικό» Θεώρημα του Holditch στη σφαιρική κινηματική. Θεωρούμε τα σταθερά σημεία Α και Β της σφαίρας Σ, τα οποία κατά τη διάρκεια μιας κλειστής μονοπαραμετρικής σφαιρικής κίνησης διαγράφουν πάνω στη σφαίρα Σ κλειστές καμπύλες, που περικλείουν επιφάνεια εμβαδού F Α και F B, αντίστοιχα. Πάνω στο τόξο του μεγίστου κύκλου που συνδέει τα σημεία Α και Β παίρνουμε ένα σημείο Χ, που απέχει σφαιρική απόσταση α και β από τα σημεία Α και Β, αντίστοιχα, και κατά τη διάρκεια της σφαιρικής μονοπαραμετρικής κίνησης διαγράφει την καμπύλη γ. Τότε θα είναι OX = r = α sin β + β sin α, (3.1) sin(α + β) όπου α και β είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α και Β, αντίστοιχα. 42