ιαφορισιµότητα στον R n Χρήστος Χατζηφούντας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης

Περιεχόµενα Εισαγωγή 5 Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood 7 2 Η weak type ανισότητα 3 Το ϑεώρηµα διαφορισιµότητας του Lebesgue 7 4 Η µεγιστική συνάρτηση σε χώρους Lebesgue 23 Παρατηρήσεις 3 Βιβλιογραφία 33 3

Εισαγωγή Εστω µια συνεχής συνάρτηση f : R R. Τότε ορίζουµε την µέση τιµή της στο διάστηµα [x r, x + r] να είναι η ποσότητα A r f(x) = 2r x+r x r f(y) dy. Αφού η f είναι συνεχής, γνωρίζουµε ότι η A r f(x) είναι µια καλή προσέγγιση της f(x) για πολύ µικρά r > 0, δηλαδή lim A rf(x) = f(x) x R. r 0 + Η ιδιότητα αυτή των συνεχών συναρτήσεων ισχύει και σε ανώτερες διαστάσεις. Αν έχουµε µια f : R n R τότε κατ αντιστοιχία µε την µια διάσταση ϑέτουµε A r f(x) = f(y) dy, B(x, r) B(x,r) όπου έχουµε αντικαταστήσει το διάστηµα [x r, x + r] R µε την µπάλα B(x, r) R n κέντρου x και ακτίνας r, και το µήκος του διαστήµατος µε το µέτρο Lebesgue στο R n, το οποίο συµβολίζεται µε. Ισχύει όπως και στο R ότι για κάθε x R n. lim A r(x) = f(x) r 0 + Απόδειξη Εστω τυχόν ɛ > 0. Αφού η f είναι συνεχής στο x, υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για όλα τα r µε 0 < r < δ να ισχύει Εποµένως για κάθε τέτοιο r > 0 A f (x) f(x) y B(x, r) f(x) f(y) < ɛ. f(x) f(y) dy ɛ. B(x, r) B(x,r) Η υπόθεση της συνέχειας της f είναι απαραίτητη. Πράγµατι αν ϑέσουµε A = {(x, x 2,... x n ) R n : x n 0} 5

και f(x) = X A (x) τότε για κάθε x στο σύνορο του A έχουµε A r f(x) = A B(x, r) B(x, r) = 2 2 = f(x). Παρατηρούµε ότι το σύνορο, δηλαδή εκεί ακριβώς όπου η A r f αποτυγχάνει να συγκλίνει στην f, έχει µέτρο 0. Αυτό µας δίνει το έναυσµα να αναρωτηθούµε σε τί ϐαθµό η µέση τιµή µπορεί να προσεγγίσει «αυθαίρετες» (όχι κατ ανάγκη συνεχείς) συναρτήσεις. Στο προηγούµενο παράδειγµα, το σύνολο των προβληµατικών σηµείων είναι µέτρου µηδέν. Μήπως λοιπόν, γενικότερα, η µέση τιµή λειτουργεί καλά για σχεδόν όλα τα x; Αν η απάντηση είναι «ναι», µήπως απλά αρκεί η συνάρτηση να είναι ολοκληρώσιµη πάνω σε κάθε µπάλα (f L loc ); Αυτή είναι η ελάχιστη απαίτηση που µπορούµε να έχουµε από µια συνάρτηση για να ορίζεται η µέση τιµή της. Η έρευνα πάνω σε αυτά τα ερωτήµατα - τα οποία όπως ϑα δούµε λαµβάνουν καταφατικές απαντήσεις - ϑα είναι και ένας από του στόχους στο υπόλοιπο αυτής της διπλωµατικής εργασίας. Θα ξεκινήσουµε στο επόµενο κεφάλαιο µε µια προσεκτική µελέτη των ποικίλων εκφράσεων της µέσης τιµής και ειδικότερα του τελεστή M : L loc R, Mf = sup A r f. r>0 Ο τελεστής αυτός ονοµάζεται µεγιστική συνάρτηση των Har dy & Littlewood. Στο κεφάλαιο 2 ϑα δείξουµε πως δρα πάνω σε ολοκληρώσιµες συναρτήσεις, αποδεικνύοντας την ϑεµελιώδη ιδιότητά του, την λεγόµενη weak type ανισότητα. Στο κεφάλαιο 3 ϑα χρησιµοποιήσουµε την ανισότητα αυτή για δείξουµε ότι η προσέγγιση από την µέση τιµή είναι εφικτή (ϑεώρηµα διαφορισιµότητας του Lebesgue). Στο τελευταίο κεφάλαιο ϑα παρουσιάσουµε διάφορες ιδιότητες της µεγιστικής συνάρτηση οι οποίες έχουν ανεξάρτητο ενδιαφέρον. 6

Κεφάλαιο Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood είναι ένας υπογραµµικός τελεστής στον χώρο των τοπικά Lebesgue ολοκληρώσιµων πραγµατικών συναρτήσεων. ίνεται από τον τύπο : Mf(x) = sup f(x y) dy, r>0 B(0, r) B(0,r) όπου f L loc (Rn ). Στην πορεία ϑα χρειαστούµε δύο ακόµα ϐοηθητικές συναρτήσεις µε παρόµοιες εκφράσεις. Την µεγιστική συνάρτηση πάνω σε κύβους : M f(x) = sup r>0 (2r) n f(x y) dy, Q r όπου µε Q r συµβολίζουµε τους κύβους της µορφής [ r, r] n, και την δυαδική µεγιστική συνάρτηση η οποία ορίζεται ως εξής. Για κάθε k Z έστω Q k το σύνολο όλων των k-δυαδικών κύβων, δηλαδή Q k = { n i= [ ji 2 k, j ) } i + 2 k : j,..., j n Z. Θέτουµε E k f(x) = Q Q k ( ) f X Q (x) Q Q και ορίζουµε τη δυαδική µεγιστική συνάρτηση να είναι M d f(x) = sup E k f(x). k Παρατηρούµε ότι οι Mf και M f είναι κατά σηµείο συγκρίσιµες. Πιο συγκεκριµένα, έχουµε το ακόλουθο αποτέλεσµα. 7

(α ) B(r, 0) [ r, r] n Σχήµα.: Συγκρισιµότητα µπάλας - κύβου (ϐ ) B(r, 0) [ r/ n, r/ n] n Πρόταση. Υπάρχουν ϑετικές σταθερές c n, C n, οι οποίες εξαρτώνται µόνο από τη διάσταση n, έτσι ώστε Mf c n M f και M f C n Mf. Απόδειξη Εστω r > 0 τότε B(0, r) [ r, r] n = Q r (σχήµα.(α )). Αφού η ολοκληρωτέα ποσότητα είναι ϑετική το ολοκλήρωµα ϑα είναι µεγαλύτερο στο µεγαλύτερο χωρίο : B(0,r) f(x y) dy f(x y) dy. [ r,r] n Εποµένως, αν v n είναι ο όγκος της µοναδιαίας µπάλας, τότε έχουµε f(x y) dy = 2n f(x y) dy 2n f(x y) dy. B(0, r) B(0,r) v n Q r B(0,r) v n Q r Q r Συνεπώς Mf(x) 2n v n M f(x). Από το σχήµα.(ϐ ) παρατηρούµε επίσης ότι B(0, r) [ r/ n, r/ n] n = Q r/ n. Εποµένως, όπως πριν, έχουµε f(x y) dy = v Q n r/ n Q r/ n ( ) n n f(x y) dy 2 B(0, r) Q r/ n ) n f(x y) dy. B(0, r) v n ( n 2 B(0,r) 8

Άρα ( ) n n M f(x) v n Mf(x). 2 Θα δούµε τώρα κάποιες στοιχειώδεις ιδιότητες της µεγιστικής συνάρτησης. Πρόταση.2 Η M f είναι µετρήσιµη για κάθε f τοπικά ολοκληρώσιµη. Απόδειξη Θα δείξουµε ότι το σύνολο A λ = {x : Mf(x) > λ} είναι µετρήσιµο για τυχόντα πραγµατικό αριθµό λ. Πράγµατι αν υποθέσουµε ότι x A λ τότε f(x y) dy > λ. B(0, r) sup r>0 Άρα υπάρχει r 0 > 0 τέτοιο ώστε B(0, r 0 ) B(0,r) B(0,r 0 ) f(x y) dy > λ. Με αλλαγή µεταβλητής έχουµε f(y) dy > λ. B(x, r 0 ) B(x,r 0 ) Επιλέγουµε ɛ > 0 έτσι ώστε f(y) dy > λ. B(x, r 0 + ɛ) B(x,r 0 ) Παρατηρούµε ότι για κάθε x B(x, ɛ) έχουµε B(x, r 0 + ɛ) B(x, r 0 ), όπως ϕαίνεται και στο σχήµα.2. Άρα Mf(x ) B(x f(y) dy >, r 0 + ɛ) B(x,r 0 +ɛ) f(y) dy > λ B(x, r 0 + ɛ) B(x,r 0 ) Τελικά συµπεραίνουµε ότι B(x, ɛ) A λ και ότι το A λ είναι ανοιχτό, άρα µετρήσιµο. Με παρόµοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι η M f είναι µετρήσιµη. Η µετρησιµότητα της M d f είναι άµεση συνέπεια της µετρησιµότητας των E k f. Παρολαυτά, σε ότι αφορά την ολοκληρωσιµότητα, η M αποτυγχάνει. Πράγµατι αν η f δεν είναι ταυτοτικά µηδέν τότε υπάρχουν R > 0 και ɛ > 0 τέτοια ώστε να ισχύει B(0,R) f ɛ. Τώρα για κάθε x µε x > R έχουµε B(0, R) B(x, 2 x ). Άρα Mf(x) f B(x, 2 x ) 2 n v n x n B(x,2 x ) 9 B(0,R) f ɛ 2 n v n x n.

Σχήµα.2: B(x, r 0 ) B(x, r 0 + ɛ) Εποµένως Mf R n x >R Mf(x)dx ɛ 2 n v n x >R dx x n = +. ηλαδή, η Mf δεν είναι ποτέ στον L, εκτός και αν η f είναι ταυτοτικά µηδέν. 0

Κεφάλαιο 2 Η weak type ανισότητα Οπως είδαµε το αποτέλεσµα της δράσης της µεγιστικής συνάρτησης πάνω στον L δεν είναι ποτέ ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Εχουµε όµως µια λίγο ασθενέστερη ιδιότητα, τη λεγόµενη weak (,) ανισότητα. Ορισµός 2. Εστω (X, µ), (Y, ν) δύο χώροι µέτρου και T ένας τελεστής από τον L p (X, µ) στον χώρο των µετρήσιµων συναρτήσεων από τον Y στο R. Θα λέµε ότι ο T είναι weak (p, q), p, q <, αν υπάρχει σταθερά C > 0 τέτοια ώστε να ισχύει για κάθε λ > 0. ( C f p ν({y Y : T f(y) > λ}) λ ) q, Οταν οι δύο χώροι (X, µ), (Y, ν) ταυτίζονται και p = q η weak ανισότητα είναι η γνωστή ανισότητα του Chebychev. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η M d είναι weak (,). Θεώρηµα 2. Η M d είναι weak (,). Απόδειξη Εστω f L. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι f 0. Για λ > 0, ορίζουµε τα σύνολα Ω = {x R n : M d f(x) > λ}, και Ω k = {x R n : E k f(x) > λ και E j f(x) λ αν j < k}, k Z. Αν k k 2 τότε τα σύνολα Ω k2 και Ω k2 είναι ξένα µεταξύ τους. Πράγµατι, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας υποθέτουµε ότι k > k 2. Τότε αν x Ω k έχουµε E k2 f(x) < λ x / Ω k2.

Οµοια αν x Ω k2 τότε E k f(x) > λ x / Ω k και τελικά Ω k Ω k2 =. Παρατηρούµε ότι κάθε Ω k µπορεί να γραφτεί σαν ένωση k-δυαδικών κύβων, και ότι Ω = k Ω k. Πράγµατι, η σχέση Ω k Ω k είναι προφανής. Αντίστροφα, αν x Ω, τότε υπάρχει µια ακολουθία δυαδικών κύβων Q x k Q k τέτοια ώστε x Q x k. Προφανώς Ekf(x) = Q x k f. Q x k Εφόσον τώρα M d f(x) > λ, το σύνολο I = {k Z : E k f(x) > λ} είναι µη κενό. Εφόσον f L, έχουµε ότι lim k Q x k f = 0, Q x k άρα το I είναι κάτω ϕραγµένο. Θέτουµε k(x) = min I. Τότε x Ω k(x). Εποµένως {x R n : M d f(x) > λ} = Ω = Ω k = Ω k E k f λ k k k Ω k = ( ) f X Q λ k Ω k Q Q Q Q k = ( ) Q Ωk f λ k Q Q Q Q k = f = f = λ Q λ Ω k λ k Q Q k Q Ω k k S k Ω k f λ f Η τελευταία σχέση είναι η weak (,) ανισότητα µε C =. 2

Η weak (,) ανισότητα για την µεγιστική συνάρτηση είναι αµεση συνέπεια της weak (,) ανισότητας για την δυαδική, που µόλις αποδείξαµε, και του παρακάτω λήµµατος. Λήµµα 2. Αν η f είναι ολοκληρώσιµη τότε {x R n : M f(x) > 4 n λ} 2 n {x R n : M d f(x) > λ} Απόδειξη Μπορούµε να υποθέσουµε ότι η f είναι µη αρνητική. Με το συµβολισµό της προηγούµενης απόδειξης έχουµε {x R n : M d f(x) > λ} = k Ω k = j Q j, όπου οι Q j είναι δυαδικοί κύβοι. Για τον τυχόντα Q j ϑεωρούµε τον αντίστοιχο κύβο µε το ίδιο κέντρο και διπλάσιο µήκος πλευράς, τον οποίο συµβολίζουµε µε 2Q j. Σταθεροποιούµε τώρα ένα x 0 / j 2Q j. Αν ο Q είναι ένας κύβος µε κέντρο το x 0 και µήκος πλευράς l(q) τότε υπάρχει κάποιος ακέραιος k τέτοιος ώστε 2 k+ l(q) < 2 k. Αφού το µήκος πλευράς του Q είναι το πολύ 2 k, τέµνει το πολύ 2 n το πλήθος k-δυαδικούς κύβους τους οποίους ϑα συµβολίσουµε µε R, R 2,..., R m. Αν οποιοσδήποτε από αυτούς τους κύβους περιεχόταν σε κάποιο Q j ϑα είχαµε ότι R i i j 2Q j x 0 j 2Q j, το οποίο έρχεται σε αντίθεση µε την υπόθεση. Αφού δυο δυαδικοί κύβοι είτε είναι ξένοι, είτε περιέχεται ο ένας στον άλλον, συµπεραίνουµε ότι R i Q j = για κάθε i, j. Άρα f λ, R i R i για κάθε i. Συνεπώς f = Q Q Q 2 n m i= m i= f Q R i R i m i= R i Q R i R i f 2 n mλ 4 n λ, R i f όπου στη δεύτερη ανισότητα χρησιµοποιήσαµε την εκτίµηση R i Q = 2 kn l(q) n 3 2 kn 2 (k+)n = 2n.

Αυτό σηµαίνει ότι M f(x 0 ) 4 n λ Άρα {x R n : M f(x) > 4 n λ} j 2Q j. Εποµένως {x R n : M f(x) > 4 n λ} 2Q j j 2Q j = 2 n Q j j j = 2 n Q j = 2n {x R n : M d f(x) > λ} j Τώρα έχουµε τα απαραίτητα εργαλεία για την Hardy & Littlewood weak (,) ανισότητα. Πόρισµα 2. Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood είναι weak (,). Απόδειξη Από το προηγούµενο κεφάλαιο γνωρίζουµε ότι Mf 2n v n M f. Εποµένως συνδυάζοντας τα αποτελέσµατα αυτού του κεφαλαίου παίρνουµε { {x R n : Mf(x) > λ} x R n : M f(x) > λ v } n 2 n το οποίο είναι και το Ϲητούµενο. 2 n { x R n : M d f(x) > λ v n 8 n } 6 n v n f λ, Θα δώσουµε τώρα µια εναλλακτική απόδειξη της weak type ανισότητας. Θέτουµε E = {x R n : Mf(x) > λ}, και έστω K E συµπαγές. Για κάθε x K υπάρχει µια µπάλα B x µε κέντρο x έτσι ώστε f > λ. B x B x Αφού το K είναι συµπαγές υπάρχει πεπερασµένη οικογένεια F {B x : x K} τέτοια ώστε K B. B F Επιλέγουµε µια ξένη υποοικογένεια D F ως εξής. Το πρώτο στοιχείο της D είναι η µεγαλύτερη µπάλα στην F, έστω B. Αφαιρούµε από την F την B και όλες τις µπάλες οι οποίες την τέµνουν. 4

Το δεύτερο στοιχείο της D είναι η µεγαλύτερη µπάλα ανάµεσα σ αυτές που έχουν µείνει στην F, έστω B 2. Οπως πριν, αφαιρούµε από την F την B 2 και όλες τις µπάλες οι οποίες την τέµνουν. Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο µέχρι να εξαντλήσουµε την F. Προφανώς, η D είναι ξένη και επί πλέον B 3B, B F B D διότι στο k-ϐήµα, όλες οι µπάλες που τέµνουν την B k έχουν ακτίνα µικρότερη από την ακτίνα της B k και άρα περιέχονται στην 3B k. Ετσι έχουµε K B 3B 3B = 3 n B < 3n λ B F B D B D B D = 3n λ S f 3n B D B λ f. B D B f Η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε συµπαγές υποσύνολο του E, άρα από την κανονικότητα του µέτρου Lebesgue έχουµε E = sup K 3n K E λ f. K συµπαγές Ο λόγος που επιλέξαµε να δώσουµε µια έµµεση και «περίπλοκη» απόδειξη της weak (,) ανισότητας ενώ υπάρχει η παραπάνω απλούστερη, ϑα γίνει κατανοητός στο επόµενο κεφάλαιο. 5

Κεφάλαιο 3 Το ϑεώρηµα διαφορισιµότητας του Lebesgue Είµαστε έτοιµοι να χρησιµοποιήσουµε τώρα την weak (,) ανισότητα και στοιχειώδη εργαλεία ανάλυσης για να αποδείξουµε το ϑεώρηµα διαφορισιµότητας του Lebesgue. Θεώρηµα 3. (Θεώρηµα διαφορισιµότητας του Lebesgue.) Αν η f είναι µια ολοκληρώσιµη πραγ- µατική συνάρτηση στον R n τότε ισχύει lim r 0 f(y) dy = f(x) για σχεδόν όλα τα x. B(x, r) B(x,r) Ισοδύναµα, αν χρησιµοποιήσουµε το συµβολισµό για τη µέση τιµή από την Εισαγωγή lim A rf = f r 0 σχεδόν παντού. Απόδειξη Εστω λοιπόν µια f L. Ορίζουµε δύο ϐοηθητικούς τελεστές και T r f(x) = f(y) f(x) dy B(x, r) B(x,r) T f(x) = lim sup T r f(x). r 0 Θα δείξουµε ότι T f(x) = 0 για σχεδόν όλα τα x. Γνωρίζουµε ότι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων µε συµπαγή ϕορέα είναι πυκνό στον L. Αυτό σηµαίνει ότι για τυχόν k N υπάρχει g C 0 (R n ) µε f g < /k. Θέτουµε h = f g. Τότε T r f T r h + T r g. 7

Άρα T f T h + T g. Παρατηρούµε ότι T r g(x) = A r ( g g(x) )(x). Αφού για σταθεροποιηµένο x η g g(x) είναι συνεχής, έχουµε από την Εισαγωγή ότι Εποµένως το οποίο σηµαίνει ότι lim A r( g g(x) )(z) = g(z) g(x) για κάθε z. r 0 T g = 0, T f T h (3.) Επίσης T r h(x) = h(y) h(x) dy B(x, r) B(x,r) Mh(x) + h(x). h(y) dy + h(x) B(x, r) B(x,r) Άρα Συνδυάζοντας τις (3.) και (3.2) παίρνουµε T h Mh + h. (3.2) T f Mh + h. Εστω τώρα λ > 0. Θα εκτιµήσουµε το µέτρο του συνόλου όπου T f > 2λ. Αν για κάποιο x έχουµε T f(x) > 2λ, τότε Mh(x) + h(x) > 2λ, άρα είτε Mh(x) > λ, είτε h(x) > λ. Συνεπώς {x R n : T f(x) > 2λ} {x R n : Mh(x) > λ} {x R n : h(x) > λ}. Άρα {x R n : T f(x) > 2λ} {x R n : Mh(x) > λ} + {x R n : h(x) > λ}. (3.3) Η weak (,) ανισότητα δίνει Ενώ η Chebychev {x R n : Mh(x) > λ} 6n v n λ h. {x R n : h(x) > λ} λ h. 8

Συνδυάζοντας µε την (3.3) παίρνουµε {x R n : T f(x) > 2λ} 6n + v n h 6n + v n v n λ v n λ k. Η ανισότητα αυτή είναι αληθής για κάθε ϕυσικό αριθµό k, άρα το αριστερό µέλος πρέπει να είναι µηδέν {x R n : T f(x) > 2λ} = 0 Αφού εκτιµήσαµε το µέτρο του {x R n : T f(x) > 2λ} όταν λ > 0 µπορούµε εύκολα να ϐγάλουµε συµπέρασµα και όταν λ = 0. Παρατηρούµε ότι Εποµένως {x R n : T f(x) > 0} = {x R n : T f(x) > 0} j= { x R n : T f(x) > 2 }. j { x R n : T f(x) > 2 } = 0. j j= Το οποίο σηµαίνει ότι η T f είναι σχεδόν παντού µηδέν. Τα σηµεία που η T f είναι µηδέν ονοµά- Ϲονται σηµεία Lebesgue. Παρατηρήσεις. Στο ϑεώρηµα διαφορισιµότητας υποθέσαµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη για να µπορέσουµε να εφαρµόσουµε την weak type ανισότητα. Παρολαυτά το ϑεώρηµα εξακολουθεί να ισχύει για οποιαδήποτε τοπικά ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Πράγµατι, αν f L loc και ϑέσουµε f k = fx B(0,k), k N, τότε f k L. Εποµένως υπάρχει E k R n µε E k = 0 έτσι ώστε lim A rf k (x) = f k (x) για κάθε x / E k. r 0 Άρα lim A rf(x) = f(x) για κάθε x / r 0 E k. k= 2. Κάθε f L p, p <, είναι τοπικά ολοκληρώσιµη, διότι για κάθε K R n συµπαγές η ανισότητα Hölder δίνει Εποµένως από την προηγούµενη παρατήρηση K f K /p f p < όπου p = p p. lim A rf = f r 0 σχεδόν παντού. 9

3. Μια προφανής παραλλαγή του ϑεωρήµατος διαφορισιµότητας είναι η εξής : Για κάθε x R n έστω {U k (x) : k N} µια οικογένεια από µπάλες ή κύβους τέτοια ώστε x U k (x) και lim k diam(u k(x)) = 0, όπου diam είναι η διάµετρος του συνόλου. Τότε για κάθε f L loc έχουµε lim f(y)dy = f(x) για σχεδόν όλα τα x. k U k (x) U k (x) 4. Μια άλλη παραλλαγή του ϑεωρήµατος διαφορισιµότητας είναι η ακόλουθη : Αν f L p, p <, τότε lim r 0 f(y) f(x) p dy = 0 για σχεδόν όλα τα x. B(x, r) B(x,r) Πράγµατι, για κάθε t Q υπάρχει E t R n µε E t = 0 έτσι ώστε lim f(y) t p dy = f(x) t p για κάθε x / E t. r 0 B(x, r) B(x,r) Εστω τώρα x / t Q E t, και ɛ > 0. Επιλέγουµε t 0 Q τέτοιο ώστε f(x) t 0 < ɛ. Τότε από την ανισότητα Minkowski έχουµε Άρα ( B(x, r) B(x,r) lim sup r 0 ( f(y) f(x) p dy B(x, r) και το συµπέρασµα έπεται. B(x,r) ) /p ( B(x, r) B(x,r) f(y) t 0 p dy) /p + f(x) t 0. f(y) f(x) p dy) /p 2 f(x) t 0 < 2ɛ, 5. Αν A R n είναι ένα Lebesgue µετρήσιµο σύνολο και εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα διαφορισιµότητας στη συνάρτηση X A παίρνουµε και A B(x, r) lim = για σχεδόν όλα τα x A, r 0 B(x, r) A B(x, r) lim = 0 για σχεδόν όλα τα x / A. r 0 B(x, r) Το αποτέλεσµα αυτό συνήθως ονοµάζεται ϑεώρηµα πυκνότητας του Lebesgue. ιαισθητικά σηµαίνει ότι από µετροθεωρητική άποψη, ένα µετρήσιµο σύνολο «µοιάζει» µε διάστηµα σε πολύ µικρές κλίµακες. 20

Μια πολύ σηµαντική εφαρµογή του ϑεωρήµατος διαφορισιµότητας στην Ανάλυση είναι η λεγόµενη διάσπαση Calderón-Zygmund. Η απόδειξη χρησιµοποιεί ιδέες που αναπτύχθηκαν σ- το προηγούµενο κεφάλαιο. Θεώρηµα 3.2 ( ιάσπαση Calderón-Zygmund σε ύψος λ.) Εστω f µια µη αρνητική ολοκληρώσιµη συνάρτηση, και λ > 0. Τότε υπάρχει µια ακολουθία {Q j } ξένων ανά δύο δυαδικών κύβων τέτοια ώστε :. Q j j λ f. 2. λ < f 2 n λ για κάθε j. Q j Q j 3. f(x) λ για σχεδόν όλα τα x / j Q j. Απόδειξη Θεωρούµε τα σύνολα Ω k και τους αντίστοιχους δυαδικούς κύβους Q j του προηγούµενου κε- ϕαλαίου. Η πρώτη ανισότητα είναι ακριβώς η weak (,) για την M d. Αν τώρα Q j Ω k είναι ένας k-δυαδικός κύβος και Q j είναι ο µοναδικός (k )-δυαδικός κύβος ο οποίος τον περιέχει, τότε από τον ορισµό των συνόλων Ω k έχουµε λ < f Q j Q j και Q f λ. j eq j Αλλά Q j = 2 n Q j και έτσι παίρνουµε τη δεύτερη ανισότητα. Τέλος αν x / j Q j είναι ένα σηµείο Lebesgue της f, και {R i } είναι µια ϕθίνουσα ακολουθία δυαδικών κύβων τέτοια ώστε x R i, τότε από τον ορισµό των συνόλων Ω k έχουµε ότι f λ. R i R i Παίρνοντας όριο καθώς i, έχουµε την τελευταία ανισότητα. Στο επόµενο κεφάλαιο ϑα δούµε µια τυπική εφαρµογή αυτής της διάσπασης. 2

Κεφάλαιο 4 Η µεγιστική συνάρτηση σε χώρους Lebesgue Στα προηγούµενα κεφάλαια είδαµε τον σηµαντικό ϱόλο που έχει η weak type (,) ανισότητα. Η ανισότητα αυτή αντανακλά τον τρόπο µε τον οποίο ο µεγιστικός τελεστής δρα πάνω σε L συναρτήσεις. Τώρα ϑα εξετάσουµε µερικές επιπλέον ιδιότητες ξεκινώντας µε τον τρόπο που δρα πάνω σε L p συναρτήσεις. Για το επόµενο ϑεώρηµα που ϑα δείξουµε ϑα χρειαστούµε την ϐοήθεια της παρακάτω πρότασης. Πρόταση 4. Για κάθε πραγµατική συνάρτηση f L p ισχύει ότι f p p = p Απόδειξη 0 λ p { f > λ} dλ. Εστω f L p. Με εφαρµογή του ϑεµελιώδους ϑεωρήµατος του απειροστικού λογισµού παρατηρούµε ότι f p p = f(x) p dx = R n R n f(x) 0 pλ p dλ dx Το Ϲητούµενο προκύπτει µε µια αλλαγή στη σειρά της ολοκλήρωσης : R n 0 f(x) pλ p dλ dx = = p = p R n 0 0 0 pλ p X { f >λ} (x) dλ dx λ p R n X { f >λ} (x) dx dλ λ p {x R n : f(x) > λ} dλ. Με χρήση τώρα του προηγούµενου αποτελέσµατος ϑα δείξουµε το παρακάτω ϑεώρηµα. 23

Θεώρηµα 4. Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood είναι ϕραγµένος τελεστής από τον L p στον L p για κάθε p µε < p. Απόδειξη Εστω f L p. ιασπάµε την f σε δύο συναρτήσεις. f 0 = fx { f >λ/2}, f = fx { f λ/2}. Είναι προφανές ότι f = f 0 + f. Επιπλέον το χωρίο πάνω στο οποίο η f είναι µεγαλύτερη του λ/2 έχει πεπερασµένο µέτρο διαφορετικά ϑα είχαµε f p = +. Άρα από την ανισότητα Hölder f 0 = f X { f >λ/2} { f > λ/2} /q f p < +, R n όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p. ηλαδή η f 0 είναι L. Η f από την άλλη είναι προφανώς L. Από την υπογραµµικότητα τώρα του M έχουµε Mf Mf 0 + Mf. Άρα { Mf > λ} { Mf 0 > λ/2} + { Mf > λ/2} = { Mf 0 > λ/2}. Εφαρµόζοντας την weak (,) ανισότητα για την M και την προηγούµενη πρόταση παίρνουµε Mf p p = p λ p { Mf > λ} dλ p λ p { Mf 0 > λ/2} dλ 0 0 p C n λ p 2 f 0 dλ = p C n λ p 2 f(x) X { f >λ/2} (x) dxdλ 0 0 R n 2 f(x) = p C n f(x) λ R p 2 X { f >λ/2} (x) dλdx = p C n f(x) λ n 0 R p 2 dλdx n 0 = 2p p C n p f(x) p p, όπου C n η σταθερά της weak (,) ανισότητας. Η σταθερά που εµφανίζεται στην προηγούµενη L p L p εκτίµηση εξαρτάται από την αντίστοιχη weak type σταθερά, η οποία µε τη σειρά της, αν παρατηρήσει κανείς τις αποδείξεις του κεφαλαίου 2, εξαρτάται εκθετικά από τη διάσταση n. Θα δώσουµε τώρα µια απόδειξη η οποία ϐελτιώνει την εξάρτηση αυτή από εκθετική σε γραµµική. Για τις ανάγκες της απόδειξης εισάγουµε τις παρακάτω ϐοηθητικές συναρτήσεις. Εστω h L loc (R).Για x R ορίζουµε την µονοδιάστατη Hardy-Littlewood µεγιστική συνάρτηση : M h(x) = sup r>0 2r 24 r r h(x t) dt.

Αν x R n τότε για ξ S n και f C 0 (R n ) ορίζουµε την Hardy-Littlewood µεγιστική συνάρτηση στην κατεύθυνση ξ: r M ξ f(x) = sup f(x tξ) dt. r>0 r 0 Τέλος για τυχούσα f : R n R και για x R n ορίζουµε την f x : R R µε τύπο f x (x) = f(x, x). Εστω λοιπόν µια f στον L p για < p < + και ένα ξ S n. Τότε υπάρχει συνάρτηση στροφής A ξ : R n R n µε την ιδιότητα A ξ (ξ) = e = (, 0, 0,..., 0). ηλαδή η A ξ ταυτίζει το ξ µε το µοναδιαίο e του R n. Παρατηρούµε ότι ( M ξ f A ξ ) (x) = sup r>0 r = sup r>0 r r 0 r 0 ( f ( A ξ f A ξ r ) (x tξ) dt = sup r>0 r 0 ( )x (x t) dt 2M ( f A ξ ) f A ξ ) (x te ) dt x (x ), όπου x η πρώτη συντεταγµένη στο διάνυσµα x. Εφόσον το µέτρο Lebesgue είναι αναλλοίωτο στις στροφές έχουµε ( (M ξ f(x)) p dx = M ξ f R n R n 2 p R n ( A R p ξ (x))) dx ( ) (M f A ξ Για την µονοδιάστατη Hardy-Littlewood έχουµε ήδη δείξει την ανισότητα ) p (x ) dx dx x M f P C p f p, C p > 0. Συνδυάζοντας την µε την τελευταία ανισότητα παίρνουµε R n (M ξ f(x)) p dx 2 p C p p f A ξ p p = 2 p C p p f p p. Τώρα µε αλλαγή σε πολικές συντεταγµένες έχουµε f(x y) dy = r B(0, r) B(0,r) v n r n t n Mf(x tξ) dσ(ξ) dt 0 S n r Mf(x tξ) dσ(ξ) dt v n r 0 S n = r Mf(x tξ) dt dσ(ξ) v n S n r 0 M ξ f(x) dσ(ξ), v n S n 25

όπου dσ είναι το επιφανειακό µέτρο Lebesgue στην µοναδιαία σφαίρα S n. Άρα Mf(x) M ξ f(x) dσ(ξ). v n S n Εποµένως από την ανισότητα Minkowski για ολοκληρώµατα έχουµε ( R n (Mf(x)) p dx ) p [ v n v n = v n R n S n ( ) p p M ξ f(x) dx] S ( n ) p (M ξ f(x)) p dx dσ(ξ) R n S n M ξ f(x) p dσ(ξ) 2C p v n σ ( S n ) f p. Επιπλέον για το v n έχουµε v n = dx = r n dσ(ξ) dr = σ ( S n ) B(0,) 0 S n 0 Τελικά καταλήγουµε ( Mf p = = 2nC p f p, το οποίο είναι και το Ϲητούµενο. ) p R n (Mf(x)) p dx 2C p σ ( S n ) f p = v n r n dr = σ ( S n ) n 2nC p σ (S n ) σ ( S n ) f p Οπως έχουµε δεί το παραπάνω ϑεώρηµα δεν ισχύει αν p =. Παρόλαυτα µπορούµε να κάνουµε κάποιες εκτιµήσεις για την L νόρµα της Mf αν επιβάλλουµε κάποιους περιορισµούς στην f. Το ϑεώρηµα που ακολουθεί µετά το παρακάτω λήµµα έχει ακριβώς αυτό τον σκοπό. Λήµµα 4. Υπάρχουν ϑετικές σταθερές C, C 2 και c έτσι ώστε για κάθε f L και κάθε λ > 0. {x : Mf(x) > 2λ} C f(x) dx. λ { f >λ} 2. {x : Mf(x) > cλ} C 2 f(x) dx. λ Απόδειξη. Θέτουµε f = fx { f >λ}. Τότε { f >λ} {x : Mf(x) > 2λ} {x : Mf (x) > λ} και η weak (,) ανισότητα δίνει {Mf > 2λ} {Mf > λ} C λ f (x) dx = C λ { f >λ} f(x) dx. 26

Σχήµα 4.: Q j B(x, l(q j ) n) 2. Εστω {Q j } µια διάσπαση Calderón-Zygmund της f σε ύψος λ. Για τυχόν x Q j ϑέτουµε B j = B(x, l(q j ) n). Οπως ϕαίνεται και στο σχήµα 4., έχουµε Q j B j, άρα λ < f(x) dx B j f(x) dx Q j Q j Q j B j B j c Mf(x). όπου /c = B j / Q j. Αυτό ισχύει για όλους τους κύβους Q j άρα Q j {x R n : Mf(x) > cλ} j j Q j {x R n : Mf(x) > cλ} Q j {x Rn : Mf(x) > cλ} Από τις ιδιότητες της διάσπασης γνωρίζουµε ότι f(x) λ για σχεδόν όλα τα x / j Q j. Εποµένως f(x) dx S f(x) dx = f(x) dx { f >λ} j Q j j Q j = Q j f(x) dx Q j j Q j 2 n λ Q j = 2 n λ Q j j j 2 n λ {x : Mf(x) > cλ} Το προηγούµενο λήµµα λέει ότι, κατά µια έννοια, η weak type ανισότητα µπορεί να αντιστραφεί. Είµαστε τώρα σε ϑέση να αποδείξουµε το ακόλουθο : 27

Θεώρηµα 4.2 Εστω B R n µια µπάλα και έστω f L µια συνάρτηση στον R n µε ϕορέα το B. Τότε Mf L (B) όπου log + f = max{0, log f }. αν και µόνο αν f log + f < +, B Απόδειξη Για απλότητα ϑα συµβολίζουµε όλες τις σταθερές µε C. Εστω ότι f log + f < +. B Τότε B Mf(x) dx = 2 Οµως ισχύει ότι = 2 + 0 0 0 {x B : Mf(x) > 2λ} dλ {x B : Mf(x) > 2λ} dλ + 2 {x B : Mf(x) > 2λ} dλ + 0 {x B : Mf(x) > 2λ} dλ. B dλ = B και από το προηγούµενο λήµµα ότι + + {x B : Mf(x) > 2λ} dλ C f(x) dx. λ {x B: f(x) >λ} Το Ϲητούµενο έπεται συνδυάζοντας τα παραπάνω : + Mf(x) dx B + C f(x) dxdλ 2 B λ {x B: f(x) >λ} + = B + C f(x) X {x B: f(x) >λ} (x) dλ dx B λ max{, f(x) } dλ = B + C f(x) B λ dx = B + C f log + f < +. B Αντίστροφα, έστω ότι Ισχυριζόµαστε ότι B Mf(x) dx < +. Mf(x) dx < +. 3 2 B Πράγµατι αν ϑέσουµε B(x 0, r 0 ) = B τότε για x 3 2 B \ B και r > x x 0 r 0 από το σχήµα 4.2 έχουµε B(x, r) B(x, 3r), 28

Σχήµα 4.2: B(x, r) B(x, 3r) όπου x είναι το συµµετρικό σηµείο του x ως προς την επιφάνεια της B. Άρα, αφού ο ϕορέας της f είναι το B έχουµε Mf(x) = sup r>0 C f(y) dy = B(x, r) B(x,r) sup r> x x 0 r 0 B(x, 3r) B(x,3r) sup f(y) dy r> x x 0 r 0 B(x, r) B(x,r) f(y) dy CMf(x ). Εποµένως, χρησιµοποιώντας πολικές συντεταγµένες, παίρνουµε 3 2 r 0 r n Mf(x) dx = Mf(x 0 + rξ) dσ(ξ) dr B\ 3 2 B r 0 S n 3 2 r 0 C r n Mf(x 0 + (2r 0 r)ξ) dσ(ξ) dr r 0 S n r0 = C (2r r 0 r) n Mf(x 0 + rξ) dσ(ξ) dr 02 S n r0 C r n Mf(x r 0 + rξ) dσ(ξ) dr 02 S n = C Mf(x)dx < +. B\ 2 B Το συµπέρασµα είναι ότι Mf(x) dx < +. 3 2 B 29

Μπορούµε να επαναλάβουµε τα ϐήµατα της απόδειξης µε το 3/2B στη ϑέση του B και επαγωγικά να καταλήξουµε στο ότι για κάθε k N Mf(x)dx < +. ( 3 2) k B ηλαδή η M f είναι τοπικά ολοκληρώσιµη. Παρατηρούµε επίσης ότι Mf(x) 0 καθώς x +. Πράγµατι, αν ɛ > 0 τότε επιλέγουµε R > 0 έτσι ώστε B B(0, R) και /R < ɛ. Τότε για κάθε x µε x > 2R έχουµε Mf(x) = sup r>0 f = sup B(x, r) B(x,r) r>r Αφού το ɛ είναι αυθαίρετο έπεται ότι f C f B(x, r) B(x,r) R n < C f ɛ n. lim Mf(x) = 0. x + Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει µια αρκετά µεγάλη µπάλα B 0 τέτοια ώστε {x R n : Mf(x) > C} B 0. Άρα {x R n :Mf(x)>C} Mf(x) dx Mf(x) dx < + B 0 διότι η M f είναι τοπικά ολοκληρώσιµη. Ετσι από το προηγούµενο λήµµα έχουµε + > C {x R n :Mf(x)>C} + λ Mf(x) dx {x R n : f(x) >λ} + C f(x) dx dλ = C {x R n : Mf(x) > λ} dλ B f log + f. Το σύνολο των συναρτήσεων που ικανοποιούν τη συνθήκη του προηγούµενου ϑεωρήµατος λέγεται «χώρος L log L» και ϐρίσκεται µεταξύ του L και όλων των υπόλοιπων L p, p >. 30

Παρατηρήσεις Ο µεγιστικός τελεστής για n = εισήχθη από τους Hardy και Littlewood [3] οι οποίοι έδωσαν και την πρώτη απόδειξη της weak type ανισότητας. Η απόδειξη που παρουσιάσαµε, µέσω δυαδικών κύβων, στηρίζεται σε ιδέες των Calderón και Zygmund [] στους οποίους οφείλεται και η οµώνυµη διάσπαση. Η εναλλακτική απόδειξη στο τέλος του κεφαλαίου 2 δόθηκε από τον Wiener [6]. Το ϑεώρηµα 4. είναι ειδική περίπτωση του ϑεωρήµατος παρεµβολής του Marcinkiewicz, το οποίο µας επιτρέπει να περνάµε από weak type ανισότητες σε L p ανισότητες. Η τεχνική µέσω της οποίας ϐελτιώσαµε τη σταθερά στο ϑεώρηµα 4. ονοµάζεται «µέθοδος των περιστροφών» και οφείλεται στους Calderón και Zygmund [2]. Στην πραγµατικότητα, η εν λόγω σταθερά αποδεικνύεται [5] ότι δεν εξαρτάται από την διάσταση n. Είναι ανοιχτό πρόβληµα αν ισχύει το ίδιο και για την weak type σταθερά. Το ϑεώρηµα 4.2 ονοµάζεται «L log L-ϑεώρηµα». Το ευθύ οφείλεται στον Stein [4]. Το αντίστρο- ϕο στον Wiener [6]. 3

Βιβλιογραφία [] A. Calderón and A. Zygmund. On the existence of certain singular integrals, Acta Math. 88 (952) 85-39. [2] A. Calderón and A. Zygmund. On singular integrals, Amer. J. Math. 8 (956) 289-309. [3] G. H. Hardy and J. E. Littlewood. A maximal theorem with function-theoretic applications, Acta Math. 54 (930) 8-6. [4] E. M. Stein. Note on the class L log L, Studia Math. 32 (969) 305-30. [5] E. M. Stein and J. O. Strömberg. Behavior of maximal functions in R n for large n, Ark. Mat. 2 (983) 259-269. [6] N. Wiener. The ergodic theorem, Duke Math. J. 5 (939) -8. 33