ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΡΥΘΜΟ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΡΟΩΝ

Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (8), σελ 6-7 ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΡΥΘΜΟ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΡΟΩΝ Αντζουλάκος Δημήτριος, Ρακιτζής Αθανάσιος Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης, Πανεπιστήμιο Πειραιά Email: danz@unii.gr, araiz@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το χι-τετράγωνο διάγραμμα ελέγχου (CSCC) αποτελεί το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο διάγραμμα για την παρακολούθηση μεταβολών στο διάνυσμα των μέσων τιμών m ( m ) ποιοτικών χαρακτηριστικών. Πρόσφατα οι Kouras e al. (6) πρότειναν ένα πολυμεταβλητό διάγραμμα ελέγχου με κανόνες ροών το οποίο αυξάνει την ευαισθησία του CSCC στην ανίχνευση μικρών ή/και μεσαίων μετατοπίσεων στο διάνυσμα των μέσων τιμών. Ωστόσο, η απόδοση των διαγραμμάτων ελέγχου μπορεί να αυξηθεί και με τη χρήση μεταβλητού ρυθμού δειγματοληψίας. Τα πολυμεταβλητά διαγράμματα με κανόνες ροών στα οποία χρησιμοποιείται μεταβλητός ρυθμός δειγματοληψίας δεν έχουν μελετηθεί μέχρι τώρα στη βιβλιογραφία. Στην παρούσα εργασία μελετάται η απόδοση τριών τροποποιήσεων του / CSCC διαγράμματος των Kouras e al. (6) στις οποίες εφαρμόζεται μεταβλητός ρυθμός δειγματοληψίας. Δίνονται αναλυτικοί τύποι για τον υπολογισμό των βασικών μέτρων απόδοσης των διαγραμμάτων καθώς και πίνακες απόδοσης των διαγραμμάτων όταν οι ρυθμοί δειγματοληψίας είναι δεδομένοι.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα πολυμεταβλητά διαγράμματα ελέγχου χρησιμοποιούνται όταν η ποιότητα των παραγόμενων προϊόντων μιας παραγωγικής διεργασίας εξαρτάται από m ( m ) ποιοτικά χαρακτηριστικά. Το πιο γνωστό πολυμεταβλητό διάγραμμα ελέγχου είναι το Chi-Square διάγραμμα ελέγχου (CSCC). Το CSCC είναι ένα διάγραμμα τύπου Shewhar με αποτέλεσμα να μην είναι ευαίσθητο στην ανίχνευση μικρών ή/και μεσαίων μεταβολών στο διάνυσμα των μέσων. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή για το εκτός ελέγχου μέσο μήκος ροής ARL ou δεν είναι αρκετά μικρή. Το μέσο μήκος ροής εκφράζει τον αναμενόμενο αριθμό σημείων που πρέπει να απεικονιστούν στο διάγραμμα μέχρι αυτό να δώσει ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας. Πρόσφατα οι Kouras e al. (6) Η έρευνα υποστηρίχθηκε από το Ίδρυμα Κρατικών Υποτροφιών - 6 -

πρότειναν το / CSCC το οποίο εφαρμόζει ένα κανόνα ροών στο CSCC με αποτέλεσμα τη γρηγορότερη ανίχνευση μικρών ή/και μεσαίων μετατοπίσεων. Για την αύξηση της ευαισθησίας ενός διαγράμματος εκτός από τους κανόνες ροών έχει προταθεί (Reynolds e al. (988)) και η χρήση του μεταβλητού ρυθμού δειγματοληψίας (variable samlg erval, συμβ. VSI). Ως μέτρο απόδοσης των διαγραμμάτων VSI χρησιμοποιείται ο μέσος χρόνος σήματος ATS (average ime o signal) ο οποίος είναι ο αναμενόμενος χρόνος μέχρι να δώσει το διάγραμμα ένδειξη εκτός ε- λέγχου διεργασίας. Το ATS σε ένα διάγραμμα χωρίς το χαρακτηριστικό VSI ταυτίζεται με την τιμή του ARL. Η συνήθης πρακτική που εφαρμόζεται στα VSI διαγράμματα ελέγχου είναι να επιλέγεται το διάστημα δειγματοληψίας, δηλαδή ο χρόνος που μεσολαβεί μέχρι τη λήψη του επόμενου δείγματος βάση της τιμής του πιο πρόσφατου. Μια τιμή κοντά στα (αντίστ. μακριά από τα) όρια έλεγχου, αλλά εντός αυτών, συνεπάγεται μικρό (μεγάλο) χρονικό διάστημα μέχρι τη λήψη του επόμενου δείγματος. Στην πράξη χρησιμοποιούνται μόλις δύο ρυθμοί δειγματοληψίας, ένας ταχύς ρυθμός a ( a ) και ένας βραδύς ρυθμός ( ) αφού διαφορετικά η λειτουργία του διαγράμματος γίνεται πολύπλοκη ενώ η χρήση περισσότερων ρυθμών δειγματοληψίας δε συνεισφέρει σημαντικά στην αύξηση της ευαισθησίας αυτού. Σημειώνουμε πως τα a και εκφράζονται σε χρονικές μονάδες. Ένα βασικό μειονέκτημα της επιλογής του ρυθμού δειγματοληψίας βάση της τιμής του πιο πρόσφατου δείγματος είναι η μεγάλη τιμή του μέσου αριθμού εναλλαγών ANSW (average number of swiches) μεταξύ των δύο ρυθμών δειγματοληψίας. Οι Am and Lesger (99) και Am and Hemashima (993) πρότειναν κανόνες ροών προκειμένου να επιλεγεί ρυθμός δειγματοληψίας που να διατηρεί σε χαμηλά επίπεδα το ANSW, κυρίως όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου. Οι Bai and Lee () πρότειναν ένα διαφορετικό κανόνα ροών για εναλλαγή μεταξύ των διαφορετικών ρυθμών δειγματοληψίας ο οποίος μειώνει την τιμή για το ANSW έναντι του προτεινόμενου κανόνα των Am and Lesger (99). Πολυμεταβλητά διαγράμματα με κανόνες ροών και μεταβλητό ρυθμό δειγματοληψίας δεν έχουν μελετηθεί έως τώρα στη βιβλιογραφία. Στην παρούσα εργασία μελετάμε την απόδοση τριών τροποποιημένων διαγραμμάτων / CSCC σε καθένα από τα οποία χρησιμοποιείται το χαρακτηριστικό VSI. Για την επιλογή του ρυθμού δειγματοληψίας θα χρησιμοποιείται ένας από τους επόμενους τρεις κανόνες: (i) επιλογή του ρυθμού δειγματοληψίας βάση της τιμής του πιο πρόσφατου δείγματος (sandard VSI, συμβ. STD VSI), (ii) κανόνας -από-3 των Am and Lesger (99) (συμβ. ΑL) και (iii) κανόνας r συνεχόμενων σημείων των Bai and Lee () (συμβ. BL). Στο Μέρος παρουσιάζονται τα τροποποιημένα διαγράμματα καθώς και η μεθοδολογία ανάπτυξής τους ενώ δίνονται και αναλυτικοί τύποι για τα μέτρα απόδοσης που πρόκειται να χρησιμοποιηθούν. Στο Μέρος 3 εξετάζεται η απόδοση των τροποποιημένων διαγραμμάτων Chi-Square και συγκρίνονται με το συνήθες CSCC και το / CSCC. - 6 -

. ΤΟ VSI / CSCC Έστω ότι η ποιότητα των παραγόμενων προϊόντων καθορίζεται από το διάνυσμα X [ X, X,, X m ] το οποίο ακολουθεί την m -διάστατη κανονική κατανομή με παραμέτρους μ και Σ. Για εντός ελέγχου διεργασία ( μ μ, Σ Σ ) η απεικονιζόμενη ποσότητα στο CSCC είναι η Di n( xi μ ) Σ ( xi μ ) ~ m, όπου με n έ- χουμε συμβολίσει το μέγεθος των δειγμάτων και με x το δειγματικό μέσο του i δείγματος. Αν συμβεί μετατόπιση στο διάνυσμα των μέσων από την τιμή τιμή D i μ i στην τότε η διεργασία βρίσκεται εκτός ελέγχου και η απεικονιζόμενη ποσότητα ακολουθεί μια μη-κεντρική χι-τετράγωνο κατανομή με β.ε. και παράμετρο μη-κεντρικότητας n ( μ μ ) Σ ( μ μ ) ( D ~ i m ( )). Το άνω όριο ελέγχου UCL του συνήθους διαγράμματος CSCC καθορίζεται από την τιμή c του εντός ελέγχου μέσου μήκους ροής ARL και είναι ίσο με UCL m; / c. Στη συνέχεια περιγράφονται τρεις τροποποιήσεις του / CSCC. Τα εν λόγω διαγράμματα δίνουν ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας όταν συνεχόμενα σημεία βρεθούν πάνω από ένα άνω όριο ελέγχου L. (α) STD CSCC: Αν η πιο πρόσφατη τιμή της απεικονιζόμενης ποσότητας βρεθεί πάνω από ένα προειδοποιητικό όριο w τότε μέχρι τη λήψη του επόμενου δείγματος μεσολαβεί χρόνος a, διαφορετικά μεσολαβεί. (β) AL CSCC: Αν εμφανιστούν -από-3 συνεχόμενα σημεία μεταξύ του άνω ο- ρίου L και του προειδοποιητικού ορίου w ή ένα σημείο πάνω από το άνω όριο L, τότε μέχρι τη λήψη του επόμενου δείγματος μεσολαβεί χρόνος a, διαφορετικά μεσολαβεί. Ο κανόνας αυτός είναι αντίστοιχος του κανόνα των Am and Lesger (99) (γ) BL, r CSCC: Αν εμφανιστούν r συνεχόμενα σημεία κάτω από το προειδοποιητικό όριο w τότε μέχρι τη λήψη του επόμενου δείγματος μεσολαβεί χρόνος, διαφορετικά μεσολαβεί a. Ένα τυπικό CSCC με δύο προειδοποιητικά όρια, ένα για τον κανόνα ροών / (L) και ένα για την εφαρμογή του VSI χαρακτηριστικού (w) δίνεται στο ακόλουθο σχήμα. L w D i Εικόνα. Το VSI / CSCC m μ 5 5 5 3 35 4 45 5 i - 63 -

Από το Σχήμα βλέπουμε ότι το διάγραμμα χωρίζεται σε 3 περιοχές με πιθανότητες εμφάνισης ενός σημείου σε καθεμία από αυτές ίσες με P( Di ), P( w Di ), P( Di ). L L w Για τον υπολογισμό των μέτρων ATS και ANSW χρησιμοποιήθηκε η μεθοδολογία της εμφύτευσης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα ανάλογη με αυτή των Anzoulaos e al. (8). Στη συνέχεια θα περιγράψουμε εν συντομία τον τρόπο ανάπτυξης του BL, r CSCC. Έστω X, X, μια ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών με δυνατά αποτελέσματα στο σύνολο {,, } τα οποία εμφανίζονται με πιθανότητες,, αντίστοιχα. Ορίζουμε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα { Y, } με πεπερασμένο χώρο καταστάσεων {,,..., r } η οποία εξελίσσεται παράλληλα με μια ακολουθία δοκιμών X X,,, X ως εξής: (i) Εάν X τότε Y ; (ii) Εάν X X X και X για i r τότε i ; i i i X i X i X i X (iii) Εάν X και X για i r τότε r ; (iv) Εάν X και X για i τότε Y r i. Για τον ορισμό των καταστάσεων της αλυσίδας υποθέτουμε ότι στην ακολουθία των δοκιμών X, X,, X δεν έχουν εμφανιστεί συνεχόμενα σημεία πέραν του άνω ορίου L. Ο χώρος καταστάσεων συμπληρώνεται εισάγοντας την απορροφητική κατάσταση r στην οποία εισέρχεται η αλυσίδα μόλις εμφανιστεί το ενδεχόμενο που σηματοδοτεί εκτός ελέγχου διεργασία. Με αυτό τον τρόπο ορίζεται μια ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα με διάνυσμα αρχικών πιθανοτήτων i i i Y Y {, } π, [ P( Y ), P( Y ),, P( Y r )] e e er Y στον και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης Q μεταξύ των μεταβατικών καταστάσεων ίσο με Q Q Q, Q, Q Q ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) - 64 -

Q, Q, ( ) ( ) ( ) ( r ) ενώ ο πίνακας Q είναι ένας ( r ) ( ) με όλα του τα στοιχεία μηδέν εκτός από τα στοιχεία της πρώτης στήλης τα οποία είναι ίσα με. Ο μέσος χρόνος σήματος ATS και ο μέσος αριθμός εναλλαγών ANSW θα δίνονται από τις σχέσεις (Bai and Lee ()) ATS a α( I Q) v, ANSW e ( I Q u ) όπου I είναι κατάλληλος μοναδιαίος πίνακας, e το μοναδιαίο διάνυσμα (γραμμή) του χώρου i r R ενώ το διάνυσμα α δίνεται από τη σχέση α P( Y ), P( Y ),, P( Y )]. [ r r ( ) r Το διάνυσμα v περιέχει τους ρυθμούς δειγματοληψίας όταν η αλυσίδα βρίσκεται στη δεδομένη κατάσταση και προτού μεταβεί στην επόμενη. Οι συνιστώσες του v είναι όλες ίσες με a εκτός από την r -οστή συνιστώσα η οποία είναι ίση με. Το διάνυσμα u περιέχει την πιθανότητα αλλαγής (swichg) μεταξύ των διαφορετικών ρυθμών και ισούται με u e e. Δοθέντος του πίνακα Q και των διανυσμάτων α, v και u οι παραπάνω εκφράσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της απόδοσης και των υπόλοιπων VSI / CSCC. Η διαδικασία για το στατιστικό σχεδιασμό ενός VSI / CSCC είναι η ακόλουθη και περιγράφεται σε δύο στάδια. Στο πρώτο προσδιορίζεται η τιμή του άνω ορίου ελέγχου L ώστε η τιμή του ARL να είναι δεδομένη στο / CSCC (χωρίς το VSI χαρακτηριστικό), ενώ στο δεύτερο προσδιορίζεται η τιμή του προειδοποιητικού ορίου w ώστε ATS = ARL. Προφανώς θα πρέπει να είναι w L. Σημειώνουμε ότι το ARL για το / CSCC ισούται με ARL = ( )/(( ) ) (Kouras e al. (6)). Στάδιο. Βήμα.: Επιλέγουμε ένα θετικό ακέραιο ARL, έστω ARL c. Βήμα.: Υπολογίζουμε στο διάστημα (, ) τη μοναδική ρίζα )/(( ) ) c. ( και την επιθυμητή τιμή για το της εξίσωσης Βήμα.3: Βρίσκουμε την τιμή του L από τη σχέση P( D L ~ ). i D i m - 65 -

Στάδιο. Βήμα.: Επιλέγουμε τους ρυθμούς δειγματοληψίας a και καθώς και την τιμή της παραμέτρου r (μόνο για το BL, r CSCC). Βήμα.: Υπολογίζουμε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης ATS c στο διάστημα (, ). Βήμα.3: Βρίσκουμε την τιμή του w από τη σχέση P( Di w D i ~ m). Βήμα.4: Κατασκευάζουμε ένα CSCC με δύο όρια ελέγχου και θέτουμε για το L την τιμή που προέκυψε στο Βήμα.3 και για το w την τιμή που προέκυψε στο Βήμα.3. Από τη διαδικασία σχεδιασμού, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι στην ειδική περίπτωση όπου a έχουμε το / CSCC των Kouras e al. (6). Στους Πίνακες, δίνονται αναλυτικές εκφράσεις των ποσοτήτων ATS, ANSW για τα τρία προτεινόμενα διαγράμματα. Διάγραμμα STD AL Διάγραμμα STD AL Πίνακας. Αναλυτικές εκφράσεις του ATS. ATS ( )[( ) a ] ( ) ( )[( ( )) a ( ( )) ] ( ) r BL, r ( ) ( )[( ) a ] Πίνακας. Αναλυτικές εκφράσεις του ANSW. ( )( ANSW ( )[( ) ] ( )( ) ( ) r ) ( ) [ (3 ( ) ( ) ( ) r BL, r ( ) 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ 4) 6 3] Στη συνέχεια θα δώσουμε πίνακες με την απόδοση των προτεινόμενων διαγραμμάτων ελέγχου όταν είναι δεδομένοι οι ρυθμοί δειγματοληψίας. Οι ρυθμοί δειγματοληψίας που χρησιμοποιήσαμε είναι ( a, ) (.,.) και (.5, 4.). Το πλήθος m των τυχαίων μεταβλητών είναι 5. Για το χρησιμοποιήσαμε τις τιμές, 3 και 4 ενώ - 66 -

για το r επιλέξαμε τη μέγιστη δυνατή τιμή ώστε να είναι w L για το διάγραμμα BL, r. Το μέγεθος δείγματος είναι n και οι τιμές του θα είναι, (.5)3. Η τιμή των ARL, ATS είναι 37.4. Στο άνω μέρος κάθε πίνακα δίνονται οι τιμές του ATS (ARL για διαγράμματα χωρίς VSI χαρακτηριστικό) ενώ στο κάτω μέρος βρίσκονται οι τιμές του ANSW για το αντίστοιχο διάγραμμα. Πίνακας 3. Απόδοση των διαγραμμάτων ελέγχου α =., β =., ARL = ATS = 37.4, m = 5 δ CSCC STD / STD BL,7 3/3 STD 3 BL 3,4 4/4 STD 4 BL 4,3. 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4.5 59.4 45.6 5.8 39. 3.6 5.6 37.9 7.3 5. 38.3 33.. 4.4 9.8.3 8.7 6.. 79.9 65.7. 8. 73..5 44.4 7. 36.3.9. 35.. 3.4 35.7.5 7.4. 7.9 7.7 4.3 5.9. 4.3 5.9.8 5. 6. 4.3.5 8..3 6.9.8.7 7.4.9.9 8...4 3. 4..8 4..7.4 4.8.8.5 5.7..7. - 83.7-84.7 35.5-84.7 59.8-84.7 9.4.5 7. 5. 4.8 4.4 4. 4.6 74.6. 5.4 47.8 9.3 46.8 5.5 46.9 8..5 6.7 4.6. 4. 3.9 4.4 8.. 4.6 4.6.3 4.6.7 4.8..5..9.....5 3.....3..3. Πίνακας 4. Απόδοση των διαγραμμάτων ελέγχου α =.5, β = 4., ARL = ATS = 37.4, m = 5 δ CSCC STD / STD BL,7 3/3 STD 3 BL 3,7 4/4 STD 4 BL 4,6. 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4 37.4.5. 9.4 99. 88.3 66.3.4 9.4 69. 6.6 95.4 74.6. 67.3 55. 58.9 48. 35. 59.3 48.3 35.4 6.7 5. 37.6.5 3.3 6. 8.8.7 9.6 9..9 9.7. 3.7.4. 9.4 5.5 7. 4.5 3.9 8.4 4.9 4. 9.4 5.4 4.7.5 4.5.4 4.3.3. 5..7.5 5.9 3. 3. 3..6.3.9.5.5 3.8.9.9 4.7.4.3. - 9. - 9.4 5.7-9.4 5.7-9.4 9.3.5 44.6 45..9 45.7. 46.6 3...8.5.3.5.3.9.7.5..7..7..8...4.3..3..4..5....... 3........ - 67 -

Από την ανάγνωση των παραπάνω (πρώιμων) αποτελεσμάτων είναι εμφανές ότι η προσθήκη του χαρακτηριστικού VSI ανιχνεύει ταχύτερα τις μεταβολές στο διάνυσμα των μέσων τιμών έναντι των διαγραμμάτων χωρίς VSI. Από τα προτεινόμενα διαγράμματα, το BL, r CSCC ανιχνεύει ταχύτερα από οποιοδήποτε άλλο διάγραμμα τις μεταβολές στη διεργασία, αν και όσο αυξάνει η τιμή του η απόδοσή του φθίνει (αυξάνει η τιμή του ). Τα αποτελέσματα της εκτεταμένης αριθμητικής μελέτης ATS ou έδειξαν ότι το AL CSCC δεν είναι ιδιαίτερα αποδοτικό έναντι των υπολοίπων διαγραμμάτων αφού ούτε σημαντική βελτίωση στο χρόνο ανίχνευσης προσφέρει αλλά ούτε διατηρεί σε χαμηλά επίπεδα το μέσο αριθμό εναλλαγών και για το λόγο αυτό δεν συμπεριλήφθει στους παραπάνω πίνακες. Τέλος, τα παραπάνω αποτελέσματα ισχύουν και για άλλους ρυθμούς δειγματοληψίας a, καθώς και για άλλες τιμές του ATS. ABSTRACT Chi-Square conrol char is he mos widely used mulivariae charg rocedure for he moniorg of changes he mean vecor of m ( m ) qualiy characerisics. Recenly, Kouras e al. (6) roosed a runs rules based Chi-Square conrol char which is more sensiive han he ordary one he deecion of small and/or moderae changes rocess. The efficiency of a conrol char can be also creased via imlemeng a variable samlg erval (VSI) feaure. Mulivariae conrol chars wih runs rules usg a VSI feaure have no been sudied he lieraure. In he resen wor we sudy he erformance of hree modificaions of he runs rules based Chi-Square conrol char roosed by Kouras e al. (6) which imlemen a VSI feaure. Analyical formulas of he basic measures of erformance of he roosed chars are given and fally, numerical comarisons among he differen chars are rovided as well. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Anzoulaos, D.L., Kouras, M.V. and Raizis, C.A. (8), Sar-u demonsraion ess based on run and scan saisics. Submied for ublicaion. Am, R.W. and Lesger, W.C. (99), Imroved swichg rules conrol rocedures usg variable samlg ervals. Communicaions Saisics, Series B, 5-3. Am, R.W. and Hemasha, R. (993), The swichg behavior of X chars wih variable samlg ervals. Communicaions Saisics, Series A, 8-. Bai, D.S. and Lee, K.T. (), Variable samlg erval X conrol chars wih an imroved swichg rule. Inernaional Journal of Producion Economics, 76, 89-99. - 68 -

Kouras, M.V., Bersimis, S. and Anzoulaos, D.L. (6), Imrovg he erformance of he chi-square conrol char via runs rules. Mehodology and Comug Alied Probabiliy, 8, 49-46. Reynolds Jr., M.R., Am, R.W., Arnold, J.C. and Nachlas, J.A. (988), X chars wih variable samlg ervals. Technomerics, 3, 8-9. - 69 -