ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11. Ελεγξιμότητα (μέρος 2ο) Νίκος Καραμπετάκης
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Περιεχόμενα Ενότητας Παραδείγματα ελεγξιμότητας. Ελέγξιμο ως προς την έξοδο. Κριτήρια Ελεγξιμότητας-Υλοποίηση. Πλήρως ελέγξιμο ως προς την έξοδο. Αποσυζευτικά μηδενικά εισόδου. Κοινός αριστερός διαιρέτης πινάκων. 4
Σκοποί Ενότητας Παρουσίαση παραδειγμάτων υλοποίησης των κριτηρίων ελεγξιμότητας. Μελέτη της έννοιας της ελεγξιμότητας ως προς την έξοδο και της έννοιας των αποσυζευκτικών μηδενικών εισόδου. Μελέτη του τρόπου εύρεσης κοινού αριστερού διαιρέτη πινάκων. 5
Παράδειγμα 1 (1) Έστω το σύστημα x t = Ax t + Bu t με A = 1 2, B = b 1 δηλαδή με n = 2, m = 1. b 2 (Το σύστημα έχει μία είσοδο.) και ο πίνακας ελεγξιμότητας B AB A n 1 B n nm στην περίπτωση αυτή είναι B AB = b 1 b 1 b 2 2b 2 rank B AB = rank b 1 b 1 b 2 2b 2 = 2 6
Παράδειγμα 1 (2) Δηλαδή το σύστημα είναι ελέγξιμο αν και μόνο αν det b 1 b 1 b 2 2b 2 = 3b 1 b 2 b 1 και b 2 b 1 x () t x () t 1 1 ut () 1 b 2 x () t x () t 2 2 2 7
Παράδειγμα 1 (3) Για το παραπάνω σύστημα έστω x = 1 4, B = 1 1 Μία είσοδος u(t) η οποία φέρνει το άνυσμα κατάστασης από την αρχική κατάσταση x () στην τελική κατάσταση x 1 Έχουμε ότι = την χρονική στιγμή t 1 = 1 δίνεται από την u t B T e ATt M t 1 1 x e At = e ATt = e t e 2t 8
Παράδειγμα 1 (4) = = = 1 t 1 M t 1 e At BB T e ATt dt e t 1 e 2t 1 1 1 et e 1 e 2 2 1 2 e t 1 1 e 2t 1 1 1 e 1 1 e 1 1 4 e 4 4 = 2t dt e t 2t dt e 3.195.632.632.245 9
Παράδειγμα 1 (5) Άρα u t B T e ATt M t 1 1 x = 1 1 et 3.195.632 e 2t.632.245 = e t e 2t.638 1.644 1.644 8.31 = 5.94e t 31.6e 2t Matlab sys=ss([-1 ; 2],[1 ; 1],[1 ; 1],[ ; ]) ; t=:.1:1; u=5.94*exp(t)-31.6*exp(-2*t); lsim(sys,u,t,[1 ; 4]) 1 1 1 4 4 1
To: Out(2) Amplitude To: Out(1) Παράδειγμα 1 (6) 2 Linear Simulation Results 1-1 -2-3 2 1-1 -2-3.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Time (sec) Γραφική παράσταση της εισόδου u t για t, 1. 11
Παράδειγμα 2 (1) Έστω το σύστημα 7 1 6 x t = 1 4 12 x t + 2 1 1 1 Β = 7 1 1 6 1 AB = 1 4 12 = 2 1 7 1 1 1 6 A 2 B = A AB = 1 4 12 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 u t = 1 1 1 12
Παράδειγμα 2 (2) Άρα 1 1 1 l = B AB A 2 B = 2 1 1 1 1 Έχουμε ότι rank R l = 2 < 3 και συνεπώς το σύστημα δεν είναι ελέγξιμο. 13
Παράδειγμα 3 (1) Έστω το σύστημα x t = AB = A 2 B = A AB = 1 1 1 2 3 Β = 1 1 1 1 2 3 x t + 1 1 1 1 2 3 1 u t = 1 1 1 = 1 1 1 14
Παράδειγμα 3 (2) Άρα 1 1 l = B AB A 2 B = 1 1 1 Έχουμε ότι rank R l = 3 και συνεπώς το σύστημα είναι ελέγξιμο. Επίσης s 1 si n A B = 1 s 1 2 s 3 και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι 1 15
Παράδειγμα 3 (3) a s det si 3 A = det s 1 1 s 1 2 s 3 rank R 3I 3 A B = rank R 1 3 3 1 1 2 rank R 1I 3 A B = rank R 1 1 1 1 1 2 2 rank R 1 I 3 A B = rank R 1 1 1 1 1 2 4 το σύστημα μου είναι ελέγξιμο. = s 3 s 1 s + 1 1 1 = 3 = 3 1 = 3 16
Κριτήρια Ελεγξιμότητας Υλοποίηση (1) function cc=controllabilitymatrix(a,b) % This function computes the controllability matrix of (A,B) n=length(a); k=b; cc=[k]; for i=1:n-1 k=a*k; cc=[cc k]; end a=[1 2 3 ; 2 3 1 ; 3 1 2]; b=[1 ; 2 ; 1]; ControllabilityMatrix(a,b) a=[1 2 3 ; 2 3 1 ; 3 1 2]; b=[1 ; 2 ; 1]; ctrb(a,b) 17
Κριτήρια Ελεγξιμότητας Υλοποίηση (2) function cl=controllable(a,b) % This function check if the system (A,B) is controllable n=length(a); k=b; cc=[k]; for i=1:n-1 k=a*k; cc=[cc k]; end cl=(rank(cc)==n); a=[1 2 3 ; 2 3 1 ; 3 1 2]; b=[1 ; 2 ; 1]; rank(ctrb(a,b))==3 Ans= 1 a=[1 2 3 ; 2 3 1 ; 3 1 2]; b=[1 ; 2 ; 1]; Controllable(a,b) Ans= 1 18
Πλήρως ελέγξιμο ως προς την έξοδο Ορισμός. Το σύστημα Σ λέγεται πλήρως ελέγξιμο ως προς την έξοδο y t (completely output controllable) εάν και μόνο εάν υπάρχει κάποια τμηματικά συνεχής συνάρτηση εισόδου u t που θα οδηγήσει το y t από την αρχική του τιμή y t σε οποιοδήποτε χρόνο t στην τελική του τιμή y t f (αυθαίρετη τελική κατάσταση) σε οποιοδήποτε χρόνο t f > t. Διαφορετικά το σύστημα λέγεται μη ελέγξιμο (uncontrollable) ως προς την έξοδο y t παρόλο που είναι πιθανό να είναι «ελέγξιμο κατά ένα μέρος» δηλ. είναι πιθανό να μεταφέρουμε συγκεκριμένες εξόδους σε οποιαδήποτε επιθυμητή τελική έξοδο ή την έξοδο y t σε συγκεκριμένες περιοχές στον χώρο των εξόδων. 19
Θεώρημα (1) Θεώρημα. Το σύστημα Σ είναι ελέγξιμο ως προς την έξοδο y t εάν και μόνο εάν: rank R CB CAB CA 2 B CA n 1 B D = p Απόδειξη. y t = Ce A t t x t + Ce A t τ Bu τ dτ e A t t = k= n 1 1 k! Ak t t k = γ i t t A i i= t t = k= 1 k! n 1 i= a ik A i + Du t t t k 2
Θεώρημα (2) n 1 y T = C γ i T t A i Εάν θέσουμε τότε T i= n 1 x t + C γ i T τ A i Bu τ dτ + Du T t i= T φ i t, T = γ i T τ u τ dτ t 21
Θεώρημα (3) n 1 y T C γ i T t A i i= x t = = CB CAB CA 2 B CA n 1 B D φ t, T φ 1 t, T φ n 1 t, T u T 22
Θεώρημα (4) Image CB CAB CA 2 B CA n 1 B D = R p dim Image CB CAB CA 2 B CA n 1 B D = dimr p rank R CB CAB CA 2 B CA n 1 B D = p 23
Παράδειγμα 4 (1) Έστω το σύστημα 1 x t = 1 1 2 3 y t = 1 x t + 1 1 x t + 1 CB = 1 1 = 1 CAB = 1 1 1 1 1 2 3 1 u t u t = 1 1 24
Παράδειγμα 4 (2) CA 2 B = CA AB = 1 1 1 1 1 2 3 rank R CB CAB CA 2 B D = rank R 1 1 1 1 = 2 ελέγξιμο ως προς την έξοδο y(t). 1 1 = 1 25
Έλεγχος της θέσης δορυφόρου (1) Θεωρήστε μοναδιαία μάζα m = 1 (δορυφόρο) σε τροχιά ακτίνας r (t) γύρω από κέντρο μάζας (γη) έτσι ώστε να βρίσκεται κάτω από την επίδραση δύναμης Newton που είναι ανάλογη του αντιστρόφου του τετραγώνου της απόστασης r(t) από τη μάζα (γη). Υποθέτουμε ότι ο δορυφόρος διαθέτει δύο εισόδους ελέγχου u 1 t, u 2 t, οι οποίες πραγματοποιούνται μέσω ακροφυσίων (jets). Η είσοδος ελέγχου u 1 t αντιπροσωπεύει ώθηση του δορυφόρου κατά τη διεύθυνση της ακτίνας r(t) και η είσοδος ελέγχου u 2 t ώθηση κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης της τροχιάς. 26
Έλεγχος της θέσης δορυφόρου (2) rt () u () t 2 () t m u () t 1 27
Έλεγχος της θέσης δορυφόρου (3) Μπορεί να αποδειχτεί ότι οι εξισώσεις που διέπουν την συμπεριφορά του συστήματος είναι οι μη γραμμικές δ.ε. r t = r t θ t 2 k r t 2 + u 1 t θ t = 2θ t r t r t + 1 r t u 2 t (1) Αν u 1 t = u 2 t =, οι (1) ικανοποιούνται από r t = σ R θ t = ωt, ω R όπου σ 3 ω 2 = k. Άρα κυκλικές τροχιές είναι δυνατές. 28
Έλεγχος της θέσης δορυφόρου (4) Αν x 1 t : = r t σ x 2 t : = r t x 3 t : = σ θ t ωt x 4 t : = σ θ t ω και σ = 1, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις κίνησης γύρω από την παραπάνω λύση είναι οι 29
Έλεγχος της θέσης δορυφόρου (5) x 1 t x 2 t x 3 t x 4 t = 1 3ω 2 2ω 1 2ω x 1 t x 2 t x 3 t x 4 t + 1 1 u 1 t u 2 t Εφόσον n = 4 n 1 = 3, η ελεγξιμότητα του συστήματος (2) μέσω των εισόδων u 1 t και u 2 t δίνεται από τον πίνακα ελεγξιμότητας C = B AB A 2 B A 3 B 1 1 2ω = 1 1 2ω 2ω ω 2 2ω 2 4ω 2 ω 2ω 3 4ω 2 2ω 3 (2) 3
Έλεγχος της θέσης δορυφόρου (6) και επειδή rankc = 4, το σύστημα είναι ελέγξιμο μέσω των u 1 t και u 2 t. Αν u 2 t =, Β Β 1 = 1 1 ω 2 C 1 = B 1 AB 1 A 2 B 1 A 3 B 1 = 1 ω 2 2ω 2 2ω 2ω 3 31
Έλεγχος της θέσης δορυφόρου (7) Ισχύει rankc 1 = 3 < 4, επομένως το σύστημα δεν είναι ελέγξιμο μέσω της εισόδου u 1 t. Αποδείξτε ότι το σύστημα είναι ελέγξιμο μέσω της εισόδου u 2 t. 32
Αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου Αν ένα σύστημα (Input decoupling zeros) (1) x t = Ax t + Bu t (3) y t = Cx t A R n n, B R n m, C R m n δεν είναι ελέγξιμο, τότε υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας x t = Tx t x t = T 1 x t T R n n, T τέτοιος ώστε το ζεύγος A, B να είναι όμοιο με ζεύγος της μορφής 33
Αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου (Input decoupling zeros) (2) και A TAT 1 = A 1 A 12 k,n k A 2 B TB = B 1 k,m (4) έτσι ώστε αν διαχωρίσουμε το άνυσμα κατάστασης x t : x t = x 1 t x 2 t όπου x 1 t R n k, x 2 t R k, στο νέο σύστημα συντεταγμένων το σύστημα να γράφεται ως 34
Αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου (Input decoupling zeros) (3) x 1 t x 2 t = A 1 A 12 k,n k A 2 x 1 t x 2 t y t = C 1 C 2 x 1 t x 2 t + B 1 k,m u t (5) A 1 R n k n k, A 12 R n k k, A 2 R k k, B 1 R n k m, C 1 R p n k, C 2 R p k Η (4) γράφεται Επομένως TA = A 1 A 12 k,n k A 2 T (6) 35
Αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου (Input decoupling zeros) (4) TAB = A 1 A 12 k,n k A 2 TB = A 1 A 12 k,n k A 2 B 1 k,m = A 1B 1 k,m (7) TA 2 B = TAAB = A 1 A 12 k,n k A 2 TAB TA n 1 B = A 1 n 1 B 1 k,m = A 1 A 12 A 1 B 1 k,n k A 2 = A 1 2 B 1 k,m k,m 36
Αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου (Input decoupling zeros) (5) Αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα Τ με τον πίνακα ελεγξιμότητας θα πάρουμε T B AB A n 1 B = B 1 A 1 B 1 A 1 n k B 1 A 1 n 1 B 1 k,m k,m k,m k,m (8) Η (8) γράφεται T 1 T 2 B AB A n 1 B = η οποία δίνει την B 1 A 1 B 1 A 1 n k B 1 A 1 n 1 B 1 k,m k,m k,m k,m (9) 37
Αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου (Input decoupling zeros) (6) T 2 B AB A n 1 B = k,m k,m k,m k,m Εφόσον έχουμε ότι rankt 2 = k rank B AB A n 1 B = n k Επομένως, λόγω της (9), ισχύει rank B 1 A 1 B 1 A 1 n k B 1 A 1 n 1 B 1 k,m k,m k,m k,m = n k ή ισοδύναμα rank B 1 A 1 B 1 A 1 n k B 1 A 1 n 1 B 1 = n k (1) 38
Αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου (Input decoupling zeros) (7) Επειδή από το θεώρημα Cayley Hamilton για τον πίνακα A 1 εύκολα προκύπτει ότι οι στήλες των πινάκων A 1 i B 1 για i = n k,, n 1 εξαρτώνται γραμμικά από τις στήλες των πινάκων B 1, A 1 B 1,, A 1 n k 1 B 1, η (1) συνεπάγεται την rank B 1 A 1 B 1 A 1 n k 1 B 1 = n k (11) Λόγω της (11) το σύστημα x 1 t = A 1 x 1 t + B 1 u t είναι ελέγξιμο. Προφανώς το σύστημα x 2 t = A 2 x 2 t (12) δεν είναι ελέγξιμο. 39
Αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου (Input decoupling zeros) (8) Ορισμός. Οι ιδιοτιμές του πίνακα A 2 R k k ονομάζονται αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου (input decoupling zeros) του συστήματος (3). Το διάγραμμα ροής του συστήματος (5) είναι ˆ () ut () x1 t 1 B 1 xˆ () t C 1 A 1 yt () A 12 C 2 xˆ 2() t xˆ 2() t A 2 4
Πρόταση 1 (1) Πρόταση 1. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος x 1 t = A 1 A 12 x 1 t x 2 t k,n k A + B 1 2 x 2 t u t k,m y t = C 1 C 2 x 1 t x 2 t ταυτίζεται με την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος Απόδειξη. x 1 t = A 1 x 1 t + B 1 u t y 1 t = C 1 x 1 t Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος (13) είναι 41
Πρόταση 1 (2) G s = C si n A B = C 1 C 2 si n k A 1 k,n k A 12 si k A 2 Παρατηρήστε ότι si n k A 1 A 12 k,n k si k A 2 1 = I n k n k,k k,n k si k A 2 si n k A 1 A 12 k,n k I k B 1 k,m = I n k n k,k k,n k si k A 2 B 1 k,m (14) B 1 k,m 42
Κοινός αριστερός διαιρέτης (1) Ορισμός. Ο πίνακας I n k n k,k R s k,n k si k A n n 2 είναι κοινός αριστερός διαιρέτης των πινάκων si n k A 1 A 12 R s k,n k si k A n n B, 1 2 R s n m k,m Από την (14) προκύπτει ότι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι G s = C si n A B 1 si = C 1 C n k A 1 A 12 B 1 2 k,n k si k A 2 = k,m 43
Κοινός αριστερός διαιρέτης (2) I = C 1 C n k n k,k si n k A 1 A 12 2 k,n k si k A 2 k,n k I k I n k si = C 1 C n k A 1 A 12 2 k,n k I k n k,k k,m k,n k si k A 2 B 1 I n k 1 n k,k I n k k,n k si k A 2 B 1 = C 1 C 2 si n k A 1 A 12 k,n k I k n k,k k,n k si k A 2 k,m 1 B 1 k,m 1 1 44
Κοινός αριστερός διαιρέτης (3) = C 1 C 2 si n k A 1 1 si n k A 1 1 A 12 k,n k I k B 1 k,m si = C 1 C n k A 1 1 B 1 2 k,n k = C 1 si n k A 1 1 B 1 Δηλαδή, κατά τη δημιουργία της συνάρτησης μεταφοράς G s, ο κοινός αριστερός διαιρέτης των πινάκων I n k n k,k k,n k si k A 2 R s n n 45
Κοινός αριστερός διαιρέτης (4) si n k A 1 A 12 k,n k si k A 2 R s n n, απλοποιείται κι έτσι οι ιδιοτιμές του B 1 k,m R s n m A = A 1 A 12 k,n k A 2 που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές του πίνακα A 2 (που αντιστοιχούν στο μη ελέγξιμο σύστημα (12)) δεν εμφανίζονται ως πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς. 46
Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι.Γ., 212, Εισαγωγή στην Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Β.. Εκδόσεις Τζιόλα. Antsaklis P. and Michel A.N., 1977, Linear Systems, The McGraw-Hill Companies Inc. New York. Charles Ε., Donald G., James L., Melsa J., Rohrs C., Schultz D., 1996, Γραμμικά συστήματα αυτομάτου ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Chen C.T., 197, Introduction to Linear System Theory, Holt, Renehart and Winston Inc. New York. Kailath T., 198, Linear Systems, Prentice Hall. 47
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 11. Ελεγξιμότητα (μέρος 2ο)». Έκδοση: 1.. Θεσσαλονίκη 214. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs431/ 48
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4./ 49
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 5
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο 214-215