Comportement Élastique

Comportement Élastique I Élasticité Cristalline et Haute Élasticité II Les Modules Élastiques III Solutions Élastiques en Statique IV Théorèmes Énergétiques V La Propagation du Son VI Les Problèmes Plans VII Le lambage VIII Le Contact de Hertz J.C. Charmet 00

I Élasticité Cristalline et Haute Élasticité I- Les Potentiels d Élasticité I- Les Deux Élasticités I-3 Élasticité Linéaire des Milieux Isotropes I-4 Potentiels en Élasticité Linéaire

dσ σ I- Les Potentiels d Élasticité ω(σ) π(ε) dε ε =E-TS Φ =-Tr(σε) E densité volumique d énergie interne densité volumique d énergie libre S densité volumique d entropie Φ densité volumique de potentiel thermodynamique Réversibilité Mécanique : Travail de Déformation Tr(σε) indépendant du chemin suivi π(ε) densité volumique de Potentiel d Élasticité dπ = Tr(σdε) ω(σ) densité volumique de Potentiel Complémentaire dω = Tr(εdσ) σ = = π ε = d(π+ω) = dtr(σε) π+ω = Tr(σε) à partir d un état naturel σ =0 ε =0 ε = = ω σ= Élasticité parfaite Cauchy ε ij σ kl = ε kl σ ij de = Tr(σdε) + TdS d = Tr(σdε) SdT dφ = Tr(εdσ) SdT σ = = π ε = = E ε = S σ = = π ε = = ε = T ω ε = = σ = = Φ σ = T A partir d un état naturel σ =0 ε =0 isotherme T=Cte π et ω Φ

I- Les Deux Élasticités En régime isotherme T=To =E-ToS σ = = π ε = = ε = T0 = E ε = T0 S -To ε = T0 Élasticité Cristalline Petites Déformations Haute Élasticité Caoutchoutique Grandes Déformations σ E r+ r r σ σ σ petite variation de la distance interatomique forte variation de l énergie interne σ forte variation de conformation des chaînes diminution de l entropie désordre ordre σ ε ε Élasticité Linéaire Élasticité Non Linéaire

I-3 Élasticité Linéaire des Milieux Isotropes l l+ l l+ l l+ l Isotropie : Réponse indépendante de la direction du chargement Linéarité : Réponse proportionnelle à l amplitude du chargement Élasticité l Élasticité parfaite : Réversibilité de la réponse avec le chargement

I-4 Potentiels en Élasticité Linéaire σ σ proportionnel à ε (ε) = π(ε) = ω(σ)= Φ(σ) ω(σ) π(ε) ε σ = = ε = = Tr(σε) ε = = σ = fonction homogène de degré des composantes de σ ou de ε Euler : = Tr( σ = ε = ) = Tr( ) = Tr( ε = ) σ = σ = ε = fonction scalaire homogène de degré est invariante par changement de repère I ε = Tr( ε = ) } I σ = Tr( ) m I ε = Tr( ε = ε σ= Tr ( ) ε = ) + m ε Tr( ε = ) = = m σ Tr ( σ = ) + m σ Tr( σ = ) { I σ = Tr( σ = ) Le comportement élastique linéaire isotrope est entièrement caractérisé par un couple de Modules Élastiques

II Les Modules Élastiques II- Module d Young et Coefficient de Poisson II- Module de Coulomb II-3 Modules de Lamé II-4 Modules de Compressibilité II-5 Modules de Cisaillement II-6 Loi de Hooke II-7 Application : Modules Effectifs II-8 Application : lexion aible

II- Module d Young et Coefficient de Poisson σ σ E σ Module d Young E = ε [GPa] ε ε ε 3 ε Acier E = 00 GPa Plastiques E = GPa Coefficient de Poisson η = - = - 0 < η < Liège η = 0 Métaux η = /4-/3 Caoutchouc η = / ε ε ε ε 3 σ 0 0 0 0 0 0 0 0 ε 0 0 0 ε 0 0 0 ε 3 σ = ε = = σ Ε 0 0 0 -η 0 0 0 -η

II- Module de Coulomb τ τ τ τ X ε ε X G τ / ε τ Module de Coulomb G = ε [GPa] σ = 0 τ 0 τ 0 0 0 0 0 ε = 0 ε 0 ε 0 0 0 0 0 = τ G 0 0 0 0 0 0 0 τ = Gε = Gγ σ = τ 0 0 0 -τ 0 0 0 0 ε = ε 0 0 0 -ε 0 0 0 0 = τ Ε 0 0 0 -η 0 0 0 -η + -τ Ε -η 0 0 0 0 0 0 -η +η Ε 0 0 0-0 0 0 0 ε = τ τ = ε Ε +η Ε G = (+η +η)

II-3 Modules de Lamé Équation d Young Eε = = -ηtr(σ)δ+(+η)σ = = = ε ={ σ} Eε ij = -ησ kk δ ij +(+η)σ ij Équation de Lamé σ = { ε } σ = λtr(ε)δ+µε = σ ij = λε kk δ ij +µσ ij = = = = ETr(ε) = -3ηTr(σ)+(+η)Tr(σ ) = (-η) Tr(σ ) = ηe σ = (-η) (+η) = = E = Tr(ε)δ+ +η ε ηe λ = (-η) (+η) µ = G = ( Ε (+η +η)

II-4 Module de Compressibilité Équation d Young Eε = -ηtr(σ)δ+(+η)σ = Équation de Lamé σ = λtr(ε)δ+µε = Tr(σ)=(3λ+µ)Tr(ε) = = dv V = σ = -dpδ = Tr(σ)=-3dp Matériau isotrope et Surpression hydrostatique dp dp σ m = -dp 0 0 0 0 0 0 σ = -dp ε = Coefficient de compressibilité = = Eε = -dp(-η)δ = dv 3(-η) Tr(ε)= = -dp V E et 3ε m = dv V σ m = 3Kε m dv 3V χ =- 0 0 0 0 0 0 dv V dp = 3Tr(ε) = Tr(σ) = Ε K = χ = 3( η η) = λ + µ 3 Module de compressibilité Relation entre les parties sphériques de σ et de ε

II-5 Module de Cisaillement = = = σ = σ m δ+σ d π σ Tr(π= σ )=0 Équation de Lamé σ = = λtr(ε)δ+µε = = = = = = = = = = = σ = σ m δ+σ d π σ = λtr( ε m δ+ε d π ε )δ+µ( ε m δ+ε d π ε ) = = (3λ+ λ+µ)ε m δ+µ ε d π= +λε ε d Tr(π = )δ = ε = = = = σ m δ + σ d π σ = 3Kε m δ + µ ε d π ε = Relation entre les Sphériques = = = ε = ε m δ+ε d π ε Tr(π= ε )=0 Relation entre les Déviateurs = = σ d π σ = µ ε d π ε σ d = µ ε d = = π σ = π ε µ Module de Cisaillement Égalité des Directeurs

II-6 Loi de Hooke Relation entre les Sphériques de σ et de ε σ Relation entre les Déviateurs de σ et de ε dv = = σ m δ = 3Kε m δ dv = = σ d π σ = µ ε d π ε K Changement de Volume à orme Constante µ Changement de orme à Volume Constant dv Égalité des Directeurs = = π σ = π ε σ et ε ont mêmes Directions Principales

II-7 Application : Modules Effectifs x σ 0 0 0 σ 0 0 0 σ 3 x x 3 Libre σ σ = σ 3 = 0 -η ε = σ ε = ε 3 = σ E E Eε = = -ηtr(σ)δ+(+η)σ = = = ε 0 0 0 ε 0 0 0 ε 3 Déformations Interdites selon x 3 σ σ = 0 ε 3 = 0 ε = -η σ -η(+η) ε = σ E E σ σ Module d Young Effectif E* = σ ε Coeff de Poisson Effectif η* =- ε ε σ 3 = ησ Interdites selon x et x 3 σ ε = 0 ε 3 = 0 (+η)(-η) η ε = σ σ =σ 3 = σ ( -η)e -η σ ε ε ε E* = E η* = η E* = -η E η η* = -η η* = 0 E(-η) E* = (+η)(-η) =λ+µ

h y R dϕ II-8 Application : lexion aible dx dx dx δdx y x σ(y) x M Déformée δdx Déformations Rdϕ = dx ydϕ = δdx ε = = dx σ = Eε =E y σ max = Mh R I E M = σ y ds = y ds = EI R R dϕ d dϕ y = EI = -EI = M dx dx dx = R = M EI Contraintes Équilibre EI R dw Énergie élastique dv = σε dw M dx = y ds= dϕ EI =M dx y R dw= Mdϕ x M E =L Encastrement Poutre Console L dy (L) = 0 dx y δ y(l) = 0 d y dy -EI = M =x = (L x ) dx dx EI y = (-x3 +3Lx-L3 ) =- δ ( x 3-3 x 6EI + ) L L 3 δ = L 3 3EI W= Mdϕ = dϕ dx = L M 3 dx = 6EI δ = W < h

III Solutions Élastiques en Statique III- Équation Élastique de Lamé III- orces de Volume Constantes

III- Équation élastique de Lamé Équilibre Dynamique Div D σ = + ρx = ργ γ = u t = σ = λtr(ε)δ+µε = = = ε = Grad u+ t Grad u Élasticité Linéaire Déformation et Déplacement u i u j ε ij = + x j x i (λ+µ)grad(div u) + µ u+ ρx = ρ u t (λ+µ) Rot (Rot u +(λ+µ) µ) u + ρx = u ) ρ t ρ -η Grad(Div u) + u + µ X = ρ µ u t σ ij u k u i u j = (λ δ x ij + µ +µ ) = (λ+µ) +µ j x j x k x j x i x i x k u k u i x j

III-3 orces de Volume Constantes γ = u = Cte et X = Cte t Équation Élastique de Lamé (λ+µ)grad(div u) + µ u+ ρx = ρ Déformation u t Div[(λ+µ)Grad(Div u ) + µ u ] = Div[ρ( γ - X)] (λ+µ)div[(grad(div u)] + µ (Div u) = 0 (Div u ) = ( Tr(ε) = ) =0 Équation de Lamé σ = = λtr(ε)δ+µε = = = Tr(σ)=(3λ+µ)Tr(ε) = = Contrainte En présence de orces de Volume Constantes : ( Tr(σ) = ) =0

IV Théorèmes Énergétiques IV- Réciprocité des Chargements IV- ormule de Maxwell - Betti IV-3 Théorème de Castigliano IV-4 ormule de Ménabréa

IV- Réciprocité des Chargements σ = σ ε = ε = σ ε σ = σ = σ ε = + + = σ ε σ = 0 ε = 0 = ( σ + σ )( ε + ε ) = ( + + + ) σ = σ + σ ε = ε + ε = σ ε = = ( + ) σ = σ σ = σ ε = ε = σ ε = = σ ε + + σ ε = σ ε

IV- ormule de Maxwell - Betti n Statique et orces de Volume négligeables γ = 0 et X = 0 u T σ ε S W = == Tr(σε)dV = TudS Réciprocité T u = T u ε = = W σ = σ = = W ε = u T = W T = W u x δ = V L X(L-x) 3 3EI X δ x ϕ X(L-x) tg(ϕ) = EI y Exemple : Poutre Console Xu = x L L δ =- 3 3EI u tg(ϕ) = x ϕ L EI y δ X = δ - tg(ϕ)x = (-x 3 +3Lx -L 3 ) 6EI u = X = 6EI (-x3 +3Lx-L3 )

IV-3 Théorème de Castigliano Statique et orces de Volume négligeables γ = 0 et X = 0 u u T T u i T i W ( T,,,, ) = T T i Σ i T i u i Méthode des charges fictives ( ) = u k T i u i = W T i W (,,,,, ) T T j T i T k T j = 0 j i x L X(L-x) L Déplacement u k de la charge fictive T k sous l action de la seule force réelle T i Exemple : Poutre Console y M W= x L dx = x dx + (x+x(l-x)) dx X x EI EI EI u U Uu = EI u = W X X=0 EI = - (x+x(l-x))(l-x)dx W x 0 L X X=0 x = (-x 3 +3Lx -L 3 ) 6EI

IV-4 ormule de Ménabréa Statique et orces de Volume négligeables γ = 0 et X = 0 σ = ε = T u R S σ E R j u i X+Rcosα = P L u(x) = Xcosα ES L P-X u(r) = ES cosα X = u = εl = L ES P +cos 3 α T i T R orces appliquées Réactions d appui W =f (,,,,,, ) Système Hyperstatique Σ(forces)=0 et Σ(moments)=0 ne suffisent pas à exprimer tous les R en fonction des T T T i R R j u i 0 T i R j = W = W Exemple : Suspension articulée Symétrie Σ(forces horizontales)=0 et Σ(moments)=0 R u(r) = u(x)cosα α u(x) u(r) α X P L R W = Σ i u W = Xu(X) + Ru(R) L ES (P-X) 4cos α W = (X cosα + ) W X = 0 X = P +cos 3 α

V La Propagation du Son V- Les Ondes de Volume V- Barres, Plaques et Blocs

u V- Les Ondes de Volume V W = ρ = ρω u 0 cos x ω(t- ) k u [ t ] Énergie cinétique (λ+µ) Rot (Rot u) +(λ+µ) µ) u =ρ u t u = // k u L σ < 0 Rot u L = 0 Div 0 u Polarisation (déplacement de la matière) x k Vecteur d onde V Célérité de l onde u = u 0 sinω(tx ) V u V 0 L V L = u L dv λ+µ ρ σ > 0 Longitudinales : Compression k V = E* ρ V ~ 0 3 0 4 ms - u = u L + V T u T -η = V (-η) < L η= 3 V T = V L Énergie élastique σ = E*ε = E* u u 0 V = Tr(σε) = E*ω cos ω(t- ) dv V = 0 Div u T = 0 Rot u T 0 (λ+µ)grad(div u ) + µ u τ u = u T k u T V x V =ρ u t V T = Transversales : Cisaillement µ ρ k

V- Barres, Plaques et Blocs l L λ h ε ε Barre l ~ h << λ << L ε et ε libres Plaque h << λ << l << L ε = 0 et ε libre E* = E E* = E -η Bloc λ << l ~ h << L ε = 0 et ε = 0 E(-η) E* = (+η)(-η) =λ+µ V L = E ρ V L = E ρ(-η ) V L = E(-η) ρ (+η)(-η)

VI Les Problèmes Plans VI- Déformations Planes VI- Contraintes Planes VI-3 Techniques Expérimentales VI-4 Réseaux Caractéristiques

VI- Déformations Planes Problème Mathématique u (x,x ) u (x,x ) u 3 (x,x ) ε ε ε 3 ε ε ε 3 ε 3 ε 3 0 σ σ σ 3 σ σ σ 3 σ 3 σ 3 σ 33 Problème Mécanique Ox 3 Direction principale et Chargement Si Poids propre X = ρg Ox 3 horizontal T (x,x ) T (x,x ) 0 X (x,x ) X (x,x ) 0 Déformation Plane u ε ε 0 (x,x ) u (x,x ) ε ε 0 x u 3 = Cte 0 0 0 x 3 σ 33 T σ 33 x = Inc(ε) = 0 ε x E*ε = = -η*tr(σ)δ+(+η*)σ = = = E* = -η E η η* = -η + ε x = ε x x σ σ 0 σ σ 0 0 0 σ 33 ε 33 = 0 σ 33 = η(σ +σ ) X = 0 (σ +σ ) = 0

Contrainte Plane VI- Contraintes Planes σ σ 0 ε ε 0 u (x,x ) σ σ 0 ε ε 0 u (x,x ) 0 0 0 0 0 ε u 3 (x,x ) 33 ε 33 = 0 Contrainte et Déformation Planes σ +σ = 0 Cisaillement pur Contrainte Quasi Plane e x <ε 33 > x 3 <σ > <σ > 0 <σ > <σ > 0 0 0 0 Ox 3 Direction principale et Chargement Symétrique sur l épaisseur du feuillet <ε > <ε > 0 <ε > <ε > 0 = = = = E<ε> = -ηtr(<σ>)δ+(+η)<σ> T (x,x,x 3 ) T (x,x,x 3 ) 0 <σ> = σ(x, x, x 3 )dx e 3 0 0 <ε 33 > <ε> = ε(x, x, x 3 )dx 3 e 0 0 e e <σ 33 > = 0 X = 0 E<ε 33 > = -η(<σ > + <σ >) x (<σ > + <σ >) = 0

VI-3 Techniques Expérimentales Contraintes et Déformations Planes X = 0 (σ +σ ) = 0 Indépendant de E et η σ 0 0 σ = (σ +σ ) 0 + (σ -σ ) 0 0 0 - Déviateur : σ -σ Sphérique : σ +σ Interférométrie Photoélasticimétrie C Constante photoélastique : Brewster = 0 - m N - λ n e δe δϕ = πneε λ 33 Eε 33 = -η(σ +σ ) λ σ +σ = k ne Sphérique E η Polariseur a 0 a 0 cosα a 0 sinα e σ σ ϕ π j = n λ j e a 0 cosα exp(-iϕ ) a 0 sinα exp(-iϕ ) A a = a 0 sinαcosα(exp(-iϕ )-exp(-iϕ )) a = ia 0 exp(-i ϕ +ϕ λ Analyseur a )sinαsin δϕ σ α P Neumann σ π δϕ = λ Ce(σ -σ ) I = I 0 sin α sin δϕ Axes principaux α = k π n -n = Cσ n -n = Cσ Déviateur λ σ -σ = k Ce

VI-4 Réseaux Caractéristiques Isoclines Axes principaux σ σ θ Isopaches Sphérique σ σ O σ σ σ 0 σ σ 0 σ σ nr x σ X R C σ σ σ + σ σ x θ σ X σ σ nn Isostatiques Trajectoire Potentielle de fissure σ Isochromes Déviateur : Plasticité Cisaillement Max tgθ = σ (x, x ) σ (x, x )-σ (x, x ) σ (x, x )+σ (x, x )=Cte tgθ = dx dx σ (x, x )-σ (x, x )=Cte Tous les réseaux respectent les symétries de la pièce et de son chargement

VII Le lambement VII- Charge Critique d Euler VII- Optimisation Géométrique VII-3 Optimisation Matériau

VII- Charge Critique d Euler La structure massive cède par cisaillement En compression La structure élancée cède par flambement y δ L δ x lexion sans seuil δ = f() lambement avec seuil δ = f(- C ) Charge Critique C EI d y dx = M y ~ δ x ~ L M ~ δ EI δ L = δ au seuil C = k EI L

VII- Optimisation Géométrique Compression : ortes charges sur Courtes Distances C ~ EI L Augmenter I à masse Cte Table à N pieds (de masse Cte) L = Cte S = Cte S = Cte ~ NR R * S ~ R ~ re I ~ R 4 I* ~ r 3 e = I* I r = αr r = = α e = R/α e r e I ~ R 4 ~ (S/N) C ~ N EI L Profilés et Structures tubulaires C = N ES L

VII-3 Optimisation Matériau Recherche du matériau le plus performant en compression : à géométrie L et à force imposées L Barres : h ~ l << L S = f(i) m = ρl f( ) E S ~ h I ~ h 4 S ~ Lh I ~ Lh 3 L h f = f = L /3 3 ρ m = L ρ E m = L 7/33 3 l E Performances de quelques Matériaux en compression L m = ρls ~ EI L Panneaux : h << l ~ L l h Matériaux E (Gpa) ρ (kg.m-3) E ρ 3 E ρ Acier 0 7800 59 7,7 Aluminium 73 800 99 5,0 Béton 5 500 48 0,0 Composites fibre de carbone 00 000 3 9,0 Os 8 000 67, Bois tendre 0 350 90 6,4 Bois dur 650 70 35,5

VIII Le Contact de Hertz VIII- Le Contact : Phénomène Local VIII- Le Contact de Hertz VIII-3 Plastification et Rupture

VIII- Le Contact : Phénomène Local σ? σ? u? σ r σ rr ~ r σ rr u Poinçonnement Contact de Hertz u? Pression imposée Poinçonnement a p p m p 0 r 0,5 σ p m Traction σ rr 0 0 0,5 0,5 0,75 σ θθ,5-0,5 σ zz - Compression r a Discontinuité des contraintes de surface en r = a Plastification p(r) = - u p 0 - a r -,5 - η =/4 p m = p 0 Rupture - - 0 ρ/a σ σ Isostatiques Isocline 0 z/a σ 3

VIII- Le Contact de Hertz σ ~ a δ R a Bloc Rigide ε = d y δ = ~ R dx a σ E Linéarité Locale ε ~ δ Déformation δ ε ~ R localisée a δ/3 U U δ δ ~ Ea 3 R ~ ER / δ 3/ Non Linéarité Globale Énergie élastique U = σεdv ~ δ V a a V U = δ V ~ a 5 3 0 δ Énergie élastique U = dδ = δ = ER / δ 5/ = E -/3 R -/3 5 5 5 5/3 Énergie complémentaire U = δ-u = 3 ER / δ 5/ = 3 E 5 -/3 R -/3 5 5/3 = du dδ δ = du d δ = du d = du dδ

VIII-3 Plastification et Rupture p m p -a δ/ δ/ Cône de Hertz u p 0 a r p(r) = - p 0 - a r p m = p 3 0 Contraintes en surface σ p m Traction Compression - σ rr σ θθ r a Contraintes le long de l axe z σ p m σ zz τ max σ rr =σ θθ θθ Point de Plastification de Hertz σ zz σ θθ = σ r σ 3 σ σ rr = σ 3 z a 3 Cône de fissuration de Hertz