Ανεξαρτησία κάθετων μεταξύ των κινήσεων ΦΥΣ 111 - Διαλ.08 1 Εξαρτώνται οι τιμές των α x, v x και x από τις τιμές των α y, v y και y την ίδια ή κάποια άλλη χρονική στιγμή? Το ερώτημα που τίθεται είναι κατά πόσο η κίνηση στην μια κάθετη διεύθυνση επηρεάζει την κίνηση στην άλλη κάθετη διεύθυνση. Πειραματικά: Κάθετες κινήσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους Οι κατακόρυφες κινήσεις των μπαλών είναι πανομοιότυπες Φθάνουν στο έδαφος την ίδια χρονική στιγμή Μπορούμε επομένως να αναλύσουμε την κίνηση σε κάθε άξονα ξεχωριστά
ΦΥΣ 111 - Διαλ.08 Κίνηση σε διαστάσεις-κίνηση βλήματος Αν το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι σταθερό, διαλέγουμε ένα από τους άξονες συντεταγμένων να είναι η γραμμή που περιέχει το διάνυσμα της επιτάχυνσης ή κάποια παράλληλη διεύθυνση 0 h max R! Διαλέγουμε την κατακόρυφη διεύθυνση (y//) (Α) α x 0 (έλλειψη επιτάχυνσης στο x) α y - (επιτάχυνσης βαρύτητας) Ταχύτητα εφαπτόμενη της τροχιάς σε κάθε σημείο της τροχιάς v x v 0x + a x t v 0x v y v 0y + a y t v 0y t (B) Οι αρχικές συνθήκες: θ i θ 0 x 0 y 0 0 v i v 0 a x 0 cosθ 0 v 0x v 0 sinθ 0 v 0y v 0 a y *Αγνοούμε την αντίσταση του αέρα
ΦΥΣ 111 - Διαλ.08 3 Κίνηση σε -διαστάσεις (Γ) v x v 0x v 0 cosθ 0 σταθ. v y v 0y t v 0 sinθ t x x 0 + v 0x t + 1 a xt x v 0x t (v 0 cosθ 0 )t y y 0 + v 0y t + 1 a yt y v 0 sinθ 0 t 1 t Παραμετρικές εξισώσεις κίνησης Εξίσωση τροχιάς y(x) Απαλοιφή του χρόνου από τις δύο παραμετρικές εξισώσεις των συντεταγμένων x (v 0 cosθ 0 )t t x v 0 cosθ 0 y x tanθ 0 1 x v 0 cos θ 0 Η εξίσωση της τροχιάς είναι ου βαθμού ως προς x, δηλαδή η διαδρομή του σώματος στο χώρο είναι παραβολική y ax + bx
Κίνηση βλήματος ΦΥΣ 111 - Διαλ.08 4 Πόσο χρόνο χρειάζεται το βλήμα να φτάσει στο μέγιστο ύψος του και ποιο είναι το ύψος αυτό? (κίνηση στον y-άξονα) Όταν t hmax υ 0 sinθ y h max,υ y 0 0 υ 0y t t hmax υ 0 y Αντικαθιστώντας στη εξίσωση y(t) 0 y(t max ) h max y 0 + υ 0y t max 1 t max ( ) υ 0 sinθ υ 0 sinθ Πόσο μακριά θα πάει το βλήμα στo επίπεδο του εδάφους και πόσο χρόνο κάνει? (κίνηση στον x-άξονα) 1 υ 0 sinθ h max ( υ sinθ 0 ) Στο x max το σώμα έχει επιστρέψει και πάλι στη θέση h y 0 0 0 y 0 y 0 + υ 0y t 1 t ( υ 0 sinθ)t 1 t t 1 t υ sinθ 0 H μέγιστη απόσταση στον x-άξονα (βεληνεκές) θα είναι: 0 x max x 0 + υ 0x t xmax υ 0 cosθ υ 0 sinθ x max υ 0 sinθ 0 προφανής t (t h max )
ΦΥΣ 111 - Διαλ.08 5 Βεληνεκές βλήματος x max υ0 sin θ Όταν θ45 0 τότε sinθ1 και έχουμε μέγιστο βεληνεκές Για συμπληρωματικές γωνίες το βεληνεκές είναι ίδιο (π.χ. θ30 και θ60 )
Κίνηση σε διαστάσεις ΦΥΣ 111 - Διαλ.08 6 Η κίνηση στους άξονες X και Υ είναι ανεξάρτητη η µια από την άλλη Χωρίζουµε την κίνηση σε άξονες και µελετούµε την κίνηση σε κάθε άξονα ξεχωριστά σα να έχουµε µονοδιάστατη κίνηση
Κίνηση σε διαστάσεις ΦΥΣ 111 - Διαλ.08 7 Διανύσµατα θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης υ av r f r 0 x-διεύθυνση x f x 0 υ av.x y-διεύθυνση y f y 0 υ av.y υ av υ av.x + υ av.y a av υ f υ 0 a av.x υ fx υ 0 x a av.y υ fy υ 0 y a av a av.x + a av.y x( t) x 0 + υ ox t + 1 a xt y( t) y 0 + υ oy t + 1 a yt υ x ( t) υ ox + a x t υ y ( t) υ oy + a x t υ υ x + υ y υ x ( t) υ ox + a x Δx υ y ( t) υ + a Δy oy y
Κίνηση σε διαστάσεις ΦΥΣ 111 - Διαλ.08 8 Μια µπάλα κυλά σε οριζόντιο δάπεδο µε 5m/s. Κατόπιν συναντά κεκλιµένο επίπεδο γωνίας 5 ο. Μετά από 0.5sec η µπάλα έχει ταχύτητα 3m/s. Ποιό είναι το µέτρο της αλλαγής της ταχύτητας. x-διεύθυνση υ ix 5m / s ( ) Δυ x ( 3m / s)cos 5 0 Δυ x 3cos( 5 0 ) 5.8m / s y-διεύθυνση υ iy 0m / s ( ) ( ) 1.7m / s Δυ y ( 3m / s)sin 5 0 Δυ y 3sin 5 0 Ποιά είναι η µέση επιτάχυνση x-διεύθυνση a x.8 m s 0.5s 5 m/s Δυ Δυ x + Δυ y (.8 m s) + ( 1.7 m s).6m / s y-διεύθυνση 4.56m / s a y 1.7 m s.54m / s 0.5s Δa a x + a y 5.1m / s 3 m/s υ fx y υ fy x
ΦΥΣ 111 - Διαλ.08 9 " Ένα θωρηκτό ρίχνει ταυτόχρονα δυο βλήµατα εναντίον εχθρικών πλοίων, Α και Β όπως στο παρακάτω σχήµα. Το πλοίο Α είναι σε κοντινότερη απόσταση από ότι το Β. Τα βλήµατα εκτοξεύονται µε διαφορετικές γωνίες ως προς τον ορίζοντα και άγνωστες ταχύτητες αλλά ακολουθούν τις τροχιές του σχήµατος. Ποιό από τα εχθρικά πλοία θα χτυπηθεί πρώτο? (εξηγήστε) (Α) Το πλοίο Α (Β) Το πλοίο Β (Γ) Ταυτόχρονα (Δ) Αδύνατο να πούµε Ξέρουµε ότι ο χρόνος πτήσης ενός βλήµατος είναι ίσος µε το διπλάσιο του χρόνου που χρειάζεται να φθάσει στο µέγιστο ύψος της τροχιάς του, t ολ x t αν Ο χρόνος ανόδου χρόνο καθόδου (χωρίς αντιστάσεις) και εποµένως ο χρόνος που χρειάζεται να «πέσει» ένα ύψος h εξαρτάται από το ύψος από το οποίο πέφτει h t (θετική η φορά προς τα πάνω) Το βλήµα προς το πλοίο Α φθάνει σε µεγαλύτερο ύψος από το βλήµα προς το Β Άρα το βλήµα που χτυπά το πλοίο Β θα πλήξει πρώτο στο στόχο του
ΦΥΣ 111 - Διαλ.08 10 Πολλοί απαντήσατε ότι δεν υπάρχουν αρκετά στοιχεία και ότι δεν δίνεται η γωνία ή η ταχύτητα και εποµένως δεν µπορείτε να ξέρετε την απάντηση Θεωρήστε ότι έχετε µια κατακόρυφη βολή µόνο. Θα δούµε ότι ακόµα και αν δεν ξέρουµε την αρχική ταχύτητα αλλά µόνο το µέγιστο ύψος µπορούµε να βρούµε το χρόνο ανόδου: υ υ 0 t 0 υ 0 t αν. υ 0 t αν. h υ 0 t 1 t h max υ 0 t αν. 1 t αν. h max t αν. 1 t αν. h max 1 t αν. t αν. h max Ο χρόνος ανόδου εξαρτάται από το µέγιστο ύψος και όχι από την ταχύτητα
" Θεωρήστε δύο βλήµατα τα οποία έχουν τις τροχιές του σχήµατος. Το βλήµα Α (η συνεχής γραµµή) φθάνει σε ύψος 10m και καλύπτει οριζόντια απόσταση 4m πριν χτυπήσει στο έδαφος. Το βλήµα Β φθάνει και αυτό σε ύψος 10m και διανύει οριζόντια απόσταση 10m πριν χτυπήσει στο έδαφος. y-απόσταση (m) Α Β Βλήµα Α Βλήµα Β Πως συγκρίνονται οι αρχικές κατακόρυφες ταχύτητες (V οy ) των βληµάτων (A) V οy A > V οy B (B) V οy A < V οy B Τα βλήµατα στην περίπτωση αυτή έχουν το ίδιο µέγιστο ύψος. Ξέρουµε ότι: υ fy υ 0 y aδs Δs (C) V οy A V οy B Στην περίπτωση της κατακόρυφης συνιστώσας της κίνησης έχουµε ότι όταν τα βλήµατα φθάσουν στο µέγιστο ύψος υ fy 0 m s Η µετατόπιση Δs y max y 0 h max ΦΥΣ 111 - Διαλ.08 11 ( a ) x-απόσταση (m) Εποµένως και για τα βλήµατα θα ισχύει: υ 0 y h max υ 0 y h max υ 0 y h max