ième partie : TRIGONOMETRIE TABLE DES MATIÈRES e partie : TRIGONOMETRIE...1 TABLE DES MATIÈRES...1 1. Formules d addition.... Formules du double d un angle.... Formules en tg α... 4. Formules de Simpson... 7 5. Équations trigonométriques... 9 A. Équations trigonométriques du type sin ax r... 9 B. Équations du type sin α sin β... 19 C. Équations du type a cos x + bsin x + c 0.... Inéquations trigonométriques... 5 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 1
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1. FORMULES D ADDITION A. Introduction Remarquons que : cos (0 + 0 ) cos 90 0 cos 0 + cos 0 1 1 + + cos (0 + 0 ) cos 0 + cos 0 B. Considérons, sur le cercle trigonométrique, deux points A et B. Au point A correspond un angle α et au point B un angle β (compris entre 0 et ). Les coordonnées de A sont (cos α, sin α) et celles de B (cos β, sin β). 1. Au moyen des composantes des vecteurs : Calculons de deux manières le produit scalaire OA. OB : OA. OB cos α cos β + sin α sin β (1). Par la définition qui fait intervenir le cosinus de l angle compris entre les vecteurs : OA. OB OA OB cos (α β) Or OA OB 1 D où : OA. OB cos (α β) () En égalant les seconds membres des égalités (1) et (), on obtient : cos (α β) cos α cos β + sin α sin β () 5 ième année ième partie : Trigonométrie page
Autre démonstration : Calculons de deux manières la longueur du segment [AB] : a. Par la formule de la distance entre deux points, on obtient AB (cos α cos β) + (sin α sin β) (1) b. Par le théorème de Pythagore généralisé appliqué au triangle quelconque AOB, on a : Or AB OA + OB OA OB cos (α β) OA OB 1 d où : AB 1 + 1 cos (α β) AB cos (α β) () En égalant les seconds membres des égalités (1) et (), on obtient : cos (α β) (cos α cos β) + (sin α sin β) cos (α β) cos α cos α cos β + cos β + sin α sin α sin β + sin β cos (α β) cos α + sin α + cos β + sin β cos α cos β sin α sin β cos (α β) cos α cos β sin α sin β cos (α β) cos α cos β sin α sin β et cos (α β) cos α cos β + sin α sin β () C. Dans l égalité (), remplaçons β par β, il vient : cos (α ( β)) cos α cos ( β) + sin α sin ( β) cos (α + β) cos α cos β + sin α ( sin β) cos (α + β) cos α cos β sin α sin β (4) 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 4
D. Du fait que sin( α + β ) cos ( α + β), on a successivement sin (α + β) cos ( α + β) sin (α + β) cos α β sin (α + β) cos α cos β + sin α sin β sin (α + β) sin α cos β + cos α sin β (5) E. Dans l égalité (5), remplaçons β par β, il vient : sin (α + ( β)) sin α cos ( β) + cos α sin ( β) sin (α β) sin α cos β + cos α ( sin β) sin (α β) sin α cos β cos α sin β () F. En supposant α, β et α + β + k ( k Z ), on tire des formules (4) et (5) : tg (α + β) sin( α + β ) sin α cos β + cos α sin β cos( α + β ) cos α cos β sin α sin β En divisant le numérateur et le dénominateur par cos α cosβ, on obtient successivement : sin αcosβ + cos αsin β cos αcosβ cos αcosβ sin α sinβ tg (α + β) cos αcosβ tgα + tgβ 1 tg α tg β Donc tg (α + β) tg α + tg β 1 tg α tg β (7) G. En supposant α, β et α β + k ( k Z ) et en remplaçant dans l égalité (7), β par -β, il vient : tg( α β ) tg( α + ( β)) tgα + tg( β) 1 tg α.tg( β ) tgα tgβ 1 + tg α.tg β et donc tg (α β) tg α tg β 1 + tg α.tg β (8) 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 5
. FORMULES DU DOUBLE D UN ANGLE En tenant compte que α α + α et en appliquant les formules précédentes, on obtient : qui entraîne : cos α cos ² α sin ² α cos α cos α 1 et cos α 1 sin α sin α sin α cos α Pour α différent de + k et de + k 4 ( k Z ), on a : tgα tgα 1 tg α. FORMULES EN tg α Partant des formules du paragraphe, nous trouvons pour α sin α cos α sin α cos α + sin α + k ( k Z ) sinα cosα cos α cos α + sin α cos α tgα 1+ tg α Remplaçons α par α, il vient α tg sin α α 1+ tg (α + k) 5 ième année ième partie : Trigonométrie page
Partant des formules du paragraphe, nous trouvons pour α + k ( k Z ) : cos α cos α sin α cos α + sin α cos α sin α cos α cos α + sin α cos 1 tg α 1 + tg α α α 1 tg α Remplaçons α par, il vient : cos α α 1 + tg α + k ( k Z ) En remplaçant α par α dans la dernière formule du paragraphe, on trouve pour α + k et α + k ( k Z ) : tg α α tg α 1 tg 4. FORMULES DE SIMPSON Reprenons les formules d addition : sin (α + β) sin α cos β + cos α sin β sin (α β) sin α cos β cos α sin β cos (α + β) cos α cos β sin α sin β cos (α β) cos α cos β + sin α sin β Additionnons et soustrayons successivement membre à membre les deux premières, on obtient : sin (α + β) + sin (α β) sin α cos β (1) sin (α + β) sin (α β) cos α sin β () De même, pour les deux dernières, il vient : cos (α + β) + cos (α β) cos α cos β () cos (α + β) cos (α β) sin α sin β (4) 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 7
Posons α + β p nous avons α β q et les égalités (1), (), () et (4) s écrivent : α p + q β p q et et p + q α, p q β p + q p q sin p + sin q sin cos p + q p q sin p sinq cos sin p + q p q cos p + cos q cos cos p + q p q cos p cos q sin sin L intérêt de ces formules est de transformer en produit une somme ou une différence de nombres trigonométriques. Remarque 1 Avec les restrictions d usage, il est facile de démontrer en outre que : tg ( p + q) sin p + tg q cos p cos q et tg ( p q) sin p tg q cos p cos q 1 Hors-programme. 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 8
5. ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES A. Équations trigonométriques du type sin ax r Notes Dans ce chapitre, k représente toujours un nombre entier. Nous exprimerons les arcs en radians. Les points-images des arcs seront désignés sur les figures par des lettres grecques. La représentation des solutions sur la droite graduée sera limitée à l'intervalle [ 0, ]. Exemple 1 Résoudre l équation sin x et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. x + k et en tenant compte du fait que deux angles supplémentaires ont le même sinus, on a aussi x + k + k Les solutions principales sont donc α β Illustration graphique 4 y 0 0,5 0 0,5 1,5,5,5 4 x - Les solutions principales sont celles comprises entre 0 et. 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 9
Exemple Résoudre l équation cos x et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. x + k 4 et en tenant compte du fait que deux angles opposés ont le même cosinus, on a aussi x + k 4 Les solutions principales sont donc x + k x + k 4 4 k 0 α 4 k 1 5 β 4 Illustration graphique 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 10
Exemple Résoudre l équation tg x 0,5 et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. x 0,44 + k Les solutions principales sont donc k 0 α 0,44... k 1 β,05... Illustration graphique y 1 0 5 0,75 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,75 1,5 x -1 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 11
Exemple 4 Résoudre l équation cot g x représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. x 0,44 + k et Les solutions principales sont donc k 1 α,77... k β 5,819... Illustration graphique 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 1
Exemple 5 Résoudre l équation sin x et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. Il est clair que cette équation n admet pas de solution puisque le sinus d un angle est toujours compris entre 1 et 1. Exemple 1 Résoudre l équation sin x et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. x + k ce qui entraîne x + k 1 En tenant compte du fait que deux angles supplémentaires ont le même sinus, on a aussi 5 x + k ce qui entraîne 5 x + k 1 Les solutions principales sont k 0 k 1 x + k 1 α 1 1 β + 1 1 5 x + k 1 5 γ 1 5 17 δ + 1 1 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 1
Exemple 7 1 Résoudre l équation cos x et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. ce qui entraîne x + k x + k En tenant compte que deux angles opposés ont le même cosinus, on a aussi ce qui entraîne x + k x + k Les solutions principales sont k 0 k 1 k x + k α 7 γ + x + k 5 δ + 11 β + 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 14
Exemple 8 Résoudre l équation tgx et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. x + k ce qui entraîne x + k Les solutions principales sont k 0 k 1 k k x + k α 4 β + 7 γ + 10 δ + Exemple 9 Résoudre l équation sur la droite graduée. ce qui entraîne x sin et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et x x + k ; + k x + k ; x + k + k Les solutions principales sont x + k x + k k 0 α β Les solutions ont été indiquées entre parenthèses sur le cercle trigonométrique du fait que la période est supérieur à et que dès lors, tous les arcs définis par ces points-images ne sont pas solutions de l équation donnée. 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 15
Exemple 10 4 Résoudre l équation sin x trigonométrique et sur la droite graduée. et représenter les solutions sur le cercle ce qui entraîne et et enfin 4 x + k 4 x + k x + k x + k Compte tenu du fait que deux angles supplémentaires ont le même sinus, on a aussi ce qui entraîne et et enfin 4 x + k Les solutions principales sont 4 x + k x + k x + k k 0 k 1 x + k α γ + x + k δ 4 β + 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 1
Exemple 11 Résoudre l équation cos ² x + 5 cos x + 0 et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. Il s agit ici d une équation du deuxième degré en cos x. Posons donc y cos x. L équation donnée peut s écrire y² + 5y + 0. On a successivement : 5² 4..( + ) 5 1 9 5 ± y 4 1 y ' ; y" 1 cos x x + k Comme deux angles opposés ont le même cosinus, on a aussi x + k cos x Cette solution est à rejeter puisque le cosinus d un angle est toujours compris entre 1 et 1. Les solutions principales sont donc x + k x + k k 0 α k 1 4 β + 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 17
Exemple 1 Résoudre l équation cos ² x sin x + 0 et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. Cette équation peut s écrire : 1 sin ² x sin x + 0 ou sin ² x + sin x 4 0 En posant y sin x, on obtient y² + y 4 0 dont les racines sont 1 et 4. La valeur 4 est à rejeter pour les raisons que l on sait, tandis que la valeur 1 donne comme solutions à l équation de départ: La solution principale est donc x + k α 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 18
B. Équations du type sin α sin β Exemple 1 Résoudre l équation sin x sin et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. x + k Du fait que des angles supplémentaires ont le même sinus, on a aussi x + k + k Les solutions principales sont donc k 0 x + k α x + k β Exemple Résoudre l équation tg x tgx et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. Les conditions d'existence sont x + k et x + k ce qui peut s'écrire x + k et x + k On a évidemment x x + k ou x k ce qui donne comme solutions principales x k k 0 x 0 β 0 k 1 À rejeter x k x δ k À rejeter x 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 19
Exemple Résoudre l équation cos 5x cos 7x et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. 5x 7x + k ou x k ou encore x k Du fait que des angles opposés ont le même cosinus, on a aussi 5 x 7x + k ce qui entraîne k x Les solutions principales sont k x k x k 0 α 0 α 0 k 1 β µ k γ k δ k 4 4 ε k 5 5 λ k µ k 7 7 ν k 8 8 ς k 9 9 ρ k 10 10 σ k 11 11 φ 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 0
Exemple 4 Résoudre l équation tgx tg(4 x + ) et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. ou x 4x + + k k x 9 Les solutions principales sont k x 9 k 1 β + 9 9 k 5 γ + 9 9 k 8 δ + 9 9 k 4 4 11 ε + 9 9 k 5 5 14 η + 9 9 k 17 α + 9 9 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 1
Exemple 5 Résoudre l équation cos x sin( x + ) et représenter les solutions sur le cercle 4 trigonométrique et sur la droite graduée. Cette équation peut s écrire : cos x cos ( x + ) 4 ou cos x cos x 4 x x + k 4 ou k x + 0 5 Du fait que deux angles opposés ont le même cosinus, on a aussi ou Les solutions principales sont donc x x + k 4 x k 4 k x + x k 0 5 4 k 0 α η 0 4 k 1 9 β + 0 5 0 k 4 17 γ + 0 5 0 k 5 δ + 0 5 0 k 4 8 ε + 0 5 0 5 ième année ième partie : Trigonométrie page
C. Équations du type a cos x + bsin x + c 0 Exemple 1 Résoudre l équation ( ) cos x sin x + 1 0 et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. x Pour autant que soit différent de + k (ou x différent 4, de + k ) on peut remplacer sin x et cos x par leurs valeurs en fonction de tg x, on obtient alors une équation en tg x. Il vient successivement ( ) cos x sin x + 1 0 x x 1 tg² tg ( ) + 1 0 x x 1+ tg² 1+ tg² x x x ( ) 1 tg² tg + 1+ tg² 0 x x x x tg² + tg² tg + 1+ tg² 0 x x ( 1+ )tg² tg + ( ) 0 4 4( 1+ )( ) 4 4( + + ) Dès lors ( ) 4 4( + 4 ) 8 1 4(7 4 ) 4 Les deux valeurs de tg x sont donc et 1. tg x b ± b 4ac ± ( ) 1 ± ( ) a ( 1 ) + ( 1 + ) x tg x + k x + k x tg 1 x + k 4 x + k Les solutions principales sont k 0 x + k x + k x x 4 Si l'on omet de vérifier que cette condition est remplie, il est indispensable que contrôler si toutes les solutions sont acceptables. 5 ième année ième partie : Trigonométrie page
Exemple Résoudre l équation cos x + sin x + 0 et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. En posant tgϕ (quotient du coefficient de cos x par celui de sin x - ou 1 l inverse), avec ϕ,, il vient successivement : cos x + sin x + 0 tgϕ cos x + sin x + 0 sin ϕ cos x + cos ϕ sin x + cos ϕ 0 sin( x + ϕ ) + cos ϕ 0 et puisque ϕ, on a sin( x + ) 1 ce qui entraîne et x + + k 7 La solution principale est α 7 x + k + k 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 4
. INÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES Notes préliminaires Les solutions sont indiquées en gras sur les figures. Les extrémités des intervalles appartiennent aux ensembles-solutions s ils sont renforcés. Les représentations graphiques sont ici capitales. Exemple 1 Résoudre l inéquation sin x < et représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée. 7 + k < x < + k 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 5
Exemple Résoudre l inéquation cos x > et représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée. + k < x < + k 4 4 Exemple Résoudre l inéquation sin x < et représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée. Il est clair que cette inéquation est indéterminée puisque le sinus d un angle est toujours inférieur à. Exemple 4 Résoudre l inéquation sin x > et représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée. Il est clair que cette inéquation est impossible puisque le sinus d un angle n est jamais supérieur à. 5 ième année ième partie : Trigonométrie page
Exemple 5 Résoudre l inéquation tg x 0, 5 et représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée. + k < x,0... + k Exemple Résoudre l inéquation cotg x et représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée. k < x 0,44... + k 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 7
Exemple 7 1 Résoudre l inéquation sin x < et représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée. ou 5 1 + k < x < + k 5 1 + k < x < + k 1 1 5 ième année ième partie : Trigonométrie page 8