ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Λογικά Κυκλώματα

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Λογικά Κυκλώματα

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Λνγηθά θπθιώκαηα Στόχοι του κεφαλαίου Η Λνγηθή άιγεβξα είλαη κηα καζεκαηηθή ζεσξία ηελ νπνία αλέπηπμε ν Άγγινο καζεκαηηθόο George Boole ην 1854 θαη ν νπνίνο κ απηό ηνλ ηξόπν πξνζπάζεζε λα καζεκαηηθνπνηήζεη ηελ αλζξώπηλε Λνγηθή. Δθαηό ρξόληα αξγόηεξα ε μεραζκέλε άιγεβξα ηνπ Boole ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηνλ ζρεδηαζκό ησλ ινγηθώλ θπθισκάησλ ηα νπνία απνηεινύλ ηελ βάζε ησλ ειεθηξνληθώλ ππνινγηζηώλ θαη όιεο ηεο ζεκεξηλήο ςεθηαθήο ηερλνινγίαο. Σα καζεκαηηθά ηεο Λνγηθήο Άιγεβξαο βνήζεζαλ ώζηε ν ζρεδηαζκόο ησλ ινγηθώλ θπθισκάησλ λα νξγαλσζεί πάξα πνιύ θαιά θαη λα αλαπηπρζεί κηα πιήξεο θαη επηηπρεκέλε κέζνδνο ζρεδηαζκνύ. Η ρξήζε ησλ αξρώλ ηεο Λνγηθήο Άιγεβξαο θαη ηεο κεζόδνπ ζρεδηαζκνύ ησλ ινγηθώλ θπθισκάησλ ζηνπο απηνκαηηζκνύο, κπνξεί λα απνηειέζεη έλα ζαπκάζην εξγαιείν, θπξίσο ζηνλ κεζνδνινγηθό ζρεδηαζκό ησλ Απηνκαηηζκώλ. Η γλώζε απηή γίλεηαη ζήκεξα απαξαίηεηε γηα ηελ κειέηε θαη ηνλ ζρεδηαζκό απηνκαηηζκώλ κε PLC. Οη ζηόρνη ηνπ θεθαιαίνπ 2 είλαη: Να εηζάγνπκε ηνπο καζεηέο ζηηο αξρέο ηεο ινγηθήο άιγεβξαο, παξνπζηάδνληαο θπξίσο ηηο 3 βαζηθέο ινγηθέο πξάμεηο θαη κηα πάξα πνιύ ζύληνκε εηζαγσγή ζηηο πην βαζηθέο καζεκαηηθέο ινγηθέο ζρέζεηο. Να παξνπζηάζνπκε ηηο ινγηθέο πύιεο, θαη ηνλ ηξόπν κε ηνλ νπνίν αλαπηύζζνληαη κε ηε ρξήζε απηώλ ηα ινγηθά θπθιώκαηα. Να δηδάμνπκε πσο ζα ζρεδηάζνπκε κεζνδνινγηθά βήκα πξν βήκα έλα ινγηθό θύθισκα, ην νπνίν ζέινπκε λα έρεη ζπγθεθξηκέλε ζπκπεξηθνξά. Να δείμνπκε κε ιεπηνκέξεηα ηελ αληηζηνηρία ελόο ινγηθνύ θπθιώκαηνο θαη ελόο θπθιώκαηνο απηνκαηηζκνύ κε ειεθηξνλόκνπο. Ο αληηθεηκεληθόο ζηόρνο είλαη κεηά ην ηέινο ηνπ θεθαιαίνπ: Nα κπνξεί ν καζεηήο λα κεηαηξέπεη έλα ινγηθό θύθισκα ζε θύθισκα απηνκαηηζκνύ κε ειεθηξνλόκνπο θαη ην αληίζηξνθν, έλα θύθισκα κε απηνκαηηζκνύ κε ειεθηξνλόκνπο ζε ινγηθό θύθισκα. Να κπνξεί ν καζεηήο λα ρξεζηκνπνηεί όζα έκαζε γηα ηνλ κεζνδνινγηθό ζρεδηαζκό ησλ ινγηθώλ θπθισκάησλ ζαλ εξγαιείν ζην κεζνδνινγηθό ζρεδηαζκό ελόο απηνκαηηζκνύ.

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 3 2.1 Τα Λνγηθά καζεκαηηθά ηνπ BOOLE To 1854 o Άγγινο καζεκαηηθόο George Boole είρε κηα εθθεληξηθή επηζηεκνληθή ηδέα. θέθηεθε όηη ζα κπνξνύζε λα πεξηγξάςεη ηελ αλζξώπηλε ινγηθή κε καζεκαηηθέο παξαζηάζεηο θαη ζύκβνια. Πξάγκαηη ν Boole εηζήγαγε κηα λέα Άιγεβξα ε νπνία θέξεη θαη ην όλνκά ηνπ. ρεδόλ έλαλ αηώλα αξγόηεξα, ην 1938, ν Shannon ρξεζηκνπνίεζε ηελ μεραζκέλε Άιγεβξα ηνπ Boole γηα λα πεξηγξάςεη κε εμηζώζεηο ηηο ζπλδέζεηο ζηελ ζρεδίαζε ησλ ηειεθσληθώλ θέληξσλ. ήκεξα όιε ε ςεθηαθή ηερλνινγία ζηεξίδεηαη ζε απηήλ ηελ παξάμελε, γηα ηελ επνρή ηεο, άιγεβξα ηνπ Boole, ε νπνία απνηειεί πιένλ ηε ζεσξεηηθή βάζε όιεο ηεο ςεθηαθήο ηερλνινγίαο, δειαδή ηε βάζε όινπ ηνπ ζύγρξνλνπ πνιηηηζκνύ. ύκθσλα κε ηε καζεκαηηθή ινγηθή θάζε πξόηαζε πνπ ζρεκαηίδνπκε ζηελ θαζνκηινύκελε γιώζζα απνηειεί κία ινγηθή κεηαβιεηή, ε νπνία κπνξεί λα πάξεη κόλν δύν «ηηκέο», σο εμήο: ΑΛΗΘΗ ή ΦΔΤΓΗ. Έζησ γηα παξάδεηγκα ε πξόηαζε: Αύριο θα κάνει καλό καιρό Η πξόηαζε απηή γηα ηε καζεκαηηθή ινγηθή απνηειεί κηα Λνγηθή κεηαβιεηή ηελ νπνία κπνξνύκε λα νλνκάζνπκε Α, θαη κπνξεί λα ιάβεη κόλν 2 ηηκέο: Γειαδή λα είλαη ΑΛΗΘΗ (ζα θάλεη θαιό θαηξό) ή λα είλαη ΦΔΤΓΗ (δελ ζα θάλεη θαιό θαηξό). Οη ινγηθέο πξνηάζεηο ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε ινγηθέο πξάμεηο θαη ζρεκαηίδνπλ ινγηθέο αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο. Τπάξρνπλ 3 ζεκειηώδεηο ινγηθέο πξάμεηο νη νπνίεο είλαη απηαπόδεηθηεο, θαη είλαη νη εμήο: Λνγηθή πξάμε ND (KI) Οη ινγηθέο κεηαβιεηέο πνπ ζπλδένληαη κε ηελ ινγηθή πξάμε ΑND, δίλνπλ απνηέιεζκα ΑΛΗΘΗ κεηαβιεηή, ηόηε θαη κόλνλ ηόηε όηαλ όιεο νη ινγηθέο κεηαβιεηέο είλαη ΑΛΗΘΔΙ. Παράδειγμα: Έζησ νη ινγηθέο κεηαβιεηέο: = Αύριο θα κάνει καλό καιρό Β = Αύριο θα έτω εσκαιρία C = Αύριο θα πάω βόληα Σόηε ν ζπιινγηζκόο Αν αύριο θα κάνει καλό καιρό ΚΑΙ αν έτω εσκαιρία θ πάω βόληα Μπνξεί λα παξαζηαζεί ζαλ κηα καζεκαηηθή αιγεβξηθή παξάζηαζε σο εμήο: Α. Β = C Η ινγηθή πξάμε ND ζηελ Λνγηθή άιγεβξα παξηζηάλεηαη κε ην ζύκβνιν (.) ηειεία ην παξάδεηγκα απηό είλαη θαλεξό όηη ην απνηέιεζκα C αιεζεύεη (Θα πάσ βόιηα) κόλν αλ θαη ε κεηαβιεηή Α θαη ε κεηαβιεηή Β είλαη θαη νη δύν αιεζείο (θάλεη θαιό θαηξό θαη έρσ επθαηξία) Λνγηθή πξάμε OR (Η) Οη ινγηθέο κεηαβιεηέο πνπ ζπλδένληαη κε ηελ πξάμε OR (H), δίλνπλ απνηέιεζκα ΑΛΗΘΗ κεηαβιεηή, αλ έζησ κηα από ηηο κεηαβιεηέο απηέο είλαη ΑΛΗΘΗ. Η ινγηθή πξάμε OR παξηζηάλεηαη κε ην ζύκβνιν (+) ζπλ.

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 4 ΠΡΟΟΥΗ Δίκαζηε ζπλεζηζκέλνη από ηελ αξηζκεηηθή, ην ζύκβνιν (+) ζύλ λα ην ιέκε ΚΑΙ, πξνζνρή ινηπόλ: ηελ ινγηθή άιγεβξα ην (+) παξηζηάλεη ηελ ινγηθή πξάμε OR (H) θαη όρη ηελ ινγηθή πξάμε ND (KI). Παξάδεηγκα Α= «Ετω λίγη δοσλειά» Β= «Θα κάνει ηην δοσλειά ζηην θέζη μοσ ο αδερθός μοσ» C= «Θα έρθω ζηο πάρηι» Σόηε ν ζπιινγηζκόο Αν έτω λίγη δοσλειά Η αν κάνει ηη δοσλειά ζηην θέζη μοσ ο αδερθός μοσ ηόηε ΘΑ έρθω ζηο πάρηι Μπνξεί λα παξαζηαζεί ζαλ κηα καζεκαηηθή αιγεβξηθή παξάζηαζε σο εμήο: Α + Β = C Λνγηθή πξάμε ΝΟΣ (ΑΡΝΗΗ) Η ινγηθή πξάμε ΝΟΣ, εθαξκόδεηαη ζε κηα κόλν κεηαβιεηή θαη δίλεη απνηέιεζκα ΑΛΗΘΗ κεηαβιεηή, όηαλ ε ίδηα είλαη ΦΔΤΓΗ. Η ινγηθή πξάμε ΝΟΣ ζπκβνιίδεηαη κε κηα (-) κπάξα, ε νπνία ηίζεηαη πάλσ από ηελ κεηαβιεηή ζηελ νπνία εθαξκόδεηαη, δειαδή: Αληί γηα ΝΟΣ Α, ζα γξάςνπκε Α. Παξάδεηγκα; = Αύριο θα βρέτει (Αιεζέο = βξέρεη, ςεπδέο = δελ βξέρεη) C = Αύριο θα πάω βόληα Ο ζπιινγηζκόο : Αν αύριο ΔΕΝ βρέτει ΘΑ πάω βόληα Παξηζηάλεηαη σο εμήο: = C Δπεηδή ζηα καζεκαηηθά δελ είλαη δόθηκν λα ρξεζηκνπνηνύκε ιέμεηο, παξά κόλν ζύκβνια, αληί γηα ηηο ιέμεηο ΑΛΗΘΗ θαη ΦΔΤΓΗ, ρξεζηκνπνηνύκε ην Ο θαη ην 1. Γειαδή νη ηηκέο κηα ινγηθήο κεηαβιεηήο κπνξεί λα είλαη: 1=ΑΛΗΘΗ ή Ο=ΦΔΤΓΗ ηεξηδόκελε ζε απηέο ηηο αξρέο θαη ηηο ηξεηο ζεκειηώδεηο πξάμεηο ε καζεκαηηθή ινγηθή ηνπ Boole αλαπηύζζεηαη ζε κηα πιήξε άιγεβξα, ε νπνία έρεη ηα ζεσξήκαηά θαη ηνπο θαλόλεο ηεο θαη κπνξεί λα επηιύεη πνιύπινθεο ινγηθέο παξαζηάζεηο, νη νπνίεο ζα κπνξνύζαλ λα πεξηγξάςνπλ αθόκε θαη νιόθιεξα θείκελα κε ζπιινγηζκνύο ηεο θαζεκεξηλήο καο δσήο. Η κεγάιε όκσο αμία ηεο καζεκαηηθήο ινγηθήο βξίζθεηαη ζηελ εθαξκνγή ηεο ζηα ςεθηαθά ειεθηξνληθά, ζηα νπνία ζηεξίδεηαη όιε ε ηερλνινγία ησλ ππνινγηζηώλ θαη ηεο πιεξνθνξηθήο. ηνπο απηνκαηηζκνύο ε ρξήζε θαη ε εθαξκνγή ηεο ινγηθήο άιγεβξαο ηνπο Boole κπνξεί λα απνηειέζεη έλα πνιύηηκν εξγαιείν, θπξίσο ζηνλ κεζνδνινγηθό ζρεδηαζκό ησλ Απηνκαηηζκώλ. Η γλώζε απηή γίλεηαη ζήκεξα απαξαίηεηε γηα ηελ κειέηε θαη ηνλ ζρεδηαζκό απηνκαηηζκώλ κε PLC.

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 5 2.2 Οη ινγηθέο πύιεο θαη ηα ινγηθά θπθιώκαηα ηα ςεθηαθά ειεθηξνληθά νη ινγηθέο πξάμεηο πινπνηνύληαη άκεζα ζηηο ινγηθέο πύιεο. Οη ινγηθέο πύιεο είλαη ειεθηξνληθά θπθιώκαηα ηα νπνία ζήκεξα θπθινθνξνύλ ζε νινθιεξσκέλε κνξθή. Γηα θάζε κία από ηηο ινγηθέο πξάμεηο ππάξρεη κηα αληίζηνηρε ινγηθή πύιε ε θάζε ινγηθή πύιε δηαθξίλνπκε: Σα ειεθηξόδηα ηξνθνδνζίαο ηνπ νινθιεξσκέλνπ θπθιώκαηνο Σα ειεθηξόδηα εηζόδσλ θαη εμόδνπ. ηηο εηζόδνπο θαη εμόδνπο εθαξκόδνπκε ειεθηξηθή ηάζε ε νπνία κπνξεί λα έρεη δύν κόλν «ινγηθέο» ηηκέο: 5 Volt, ή 12 Volt, ή 6 Volt (αλάινγα κε ην είδνο ησλ νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ) νπόηε ιέκε όηη έρνπκε Λνγηθό 1. 0 Volt, νπόηε ιέκε όηη έρνπκε Λνγηθό 0 Οη βαζηθέο ινγηθέο πύιεο νη νπνίεο αληηζηνηρνύλ ζηηο ηξεηο ζεκειηώδεηο ινγηθέο πξάμεηο είλαη νη παξαθάησ: Λνγηθή πύιε ND Ι1 Ι2 Ο1 =. 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Σχήμα 2.1: Πύιε ND Σύμβολο μαθημαηικός ηύπος πίνακας αληθείας ΠΙΝΑΚΑ ΑΛΗΘΔΙΑ Ο πίλαθαο αιεζείαο παξηζηάλεη ηελ ιεηηνπξγία ελόο ινγηθνύ θπθιώκαηνο. ηνλ πίλαθα αιεζείαο δίλνληαη νη ηηκέο ησλ εμόδσλ ζε όινπο ηνπο δπλαηνύο ζπλδπαζκνύο ησλ εηζόδσλ. Πξόθεηηαη γηα κία πάξα πνιύ ρξήζηκε παξάζηαζε ησλ ινγηθώλ θπθισκάησλ, ε νπνία καο βνεζάεη λα θαηαιάβνπκε ηε ιεηηνπξγία ηνπ θπθιώκαηνο ρσξίο λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο ινγηθέο καζεκαηηθέο παξαζηάζεηο. ΓΙΔΤΚΡΙΝΗΗ: ε κηα πύιε ND κπνξεί λα ππάξρνπλ πεξηζζόηεξεο από 2 είζνδνη. Γείηε γηα παξάδεηγκα κηα πύιε ND 4 εηζόδσλ.

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 6 Ι1 Ι2 Ι3 Ι4 Σύμβολο =.. Ι3. Ι4 μαθημαηικός ηύπος Ο1 Ι2 Ι3 Ι4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Σχήμα 2.2: Πύιε ND πνιιώλ εηζόδωλ πίνακας αληθείας Λνγηθή πύιε OR Ι1 Ι2 Ο1 = + 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Σχήμα 2.3: Πύιε OR Λνγηθή πύιε ΝΟΣ Σύμβολο μαθημαηικός ηύπος πίνακας αληθείας Ι1 1 Ο1 = 0 0 0 0 Σύμβολο μαθημαηικός ηύπος πίνακας αληθείας Σχήμα 2.4: Πύιε NOT

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 7 ΠΡΟΟΥΗ Αλ έρνπκε ζην εξγαζηήξην έλα «καύξν θνπηί» θαη ζέινπκε λα δηαπηζηώζνπκε πνηα πύιε είλαη, ζα πξέπεη λα δεκηνπξγήζνπκε όινλ ηνλ πίλαθα αιεζείαο. Γειαδή λα εθαξκόζνπκε όινπο ηνπο δπλαηνύο ζπλδπαζκνύο ζηηο εηζόδνπο θαηαγξάθνληαο ηελ έμνδν, θαη όρη κόλν κεξηθέο από απηέο. 2.2.1 Ελαιιαθηηθά ζύκβνια γηα ηηο ινγηθέο πύιεο Σα ζύκβνια πνπ παξνπζηάζακε ζηελ πξνεγνύκελε παξάγξαθν δελ είλαη ηα κνλαδηθά. Σα ζύκβνια απηά είλαη ηππνπνηεκέλα θαηά DIN. Σα ζύκβνια NSI ήηαλ πνιύ πην δηαδεδνκέλα ζηελ Διιάδα, όκσο ε θαηάζηαζε αιιάδεη ηα ηειεπηαία ρξόληα. Ο ιόγνο είλαη όηη ηα PLC ρξεζηκνπνηνύλ ηα ζύκβνια θαηά DIN. Γηα ηνλ ίδην ιόγν θαη εκείο ζην βηβιίν απηό ζα ρξεζηκνπνηνύκε ηα ζύκβνια θαηά DIN. Σα ζύκβνια θαηά NSI είλαη ηα παξαθάησ. ΠΥΛΗ ND ΠΥΛΗ OR 1 ΠΥΛΗ NOT

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 8 2.3 Λνγηθά θπθιώκαηα Σα ινγηθά θπθιώκαηα πξνθύπηνπλ ζπλδπάδνληαο ηηο βαζηθέο ινγηθέο πύιεο. Η ιεηηνπξγία ηνπ θάζε ινγηθνύ θπθιώκαηνο πεξηγξάθεηαη από ηνλ πίλαθα αιεζείαο. Αλ έρνπκε ην ινγηθό θύθισκα κπνξνύκε λα θηηάμνπκε ηνλ πίλαθα αιεζείαο, αο δνύκε θάπνηα παξαδείγκαηα: Παξάδεηγκα 1 Ι1 Μ1 Ι2 >= 1 Μ2 1 Ι2 Ι3 Μ1 Μ2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 Πίνακας Αληθείας Σχήμα 2.6: Εμαγωγή πίλαθα Αιεζείαο από ην Λνγηθό θύθιωκα Οδεγίεο γηα ηελ εμαγσγή ηνπ πίλαθα αιεζείαο ζε έλα ινγηθό θύθισκα Ο πην εύθνινο ηξόπνο γηα ηελ εμαγσγή ηνπ πίλαθα αιεζείαο ελόο ινγηθνύ θπθιώκαηνο είλαη ν εμήο: Πξνζδηνξίδνπκε θαη ραξαθηεξίδνπκε ηηο ελδηάκεζεο εμόδνπο όισλ ησλ ππιώλ, δειαδή ηηο εμόδνπο νη νπνίεο γίλνληαη είζνδνη ζε άιιεο πύιεο (ζην παξάδεηγκα είλαη νη Μ1 θαη Μ2). ην πίλαθα αιεζείαο εθηόο από ηηο εμόδνπο θαη ηηο εηζόδνπο αλαγξάθνπκε θαη ηηο ελδηάκεζεο εμόδνπο Σώξα κπνξνύκε πνιύ εύθνια λα πξνζδηνξίζνπκε ηηο ηηκέο ησλ ελδηακέζσλ εμόδσλ αθνύ πξόθεηηαη γηα εμόδνπο ζε κηα από ηηο γλσζηέο πύιεο. Σέινο πξνζδηνξίδνπκε ηελ ηειηθή έμνδν.

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 9 Δλαο άιινο ηξόπνο ζρεδηαζκνύ ηεο πύιεο ΝΟΣ ζηα θπθιώκαηα Γηα ηελ πύιε ΝΟΣ όηαλ ζρεδηάδεηαη κέζα ζε έλα ινγηθό θύθισκα ζπλδπαδόκελε κε άιιεο πύιεο, ζπλήζσο δελ ρξεζηκνπνηνύκε ην ζύκβνιν πνπ παξνπζηάζακε παξαπάλσ, απιά ζρεδηάδνπκε έλα κηθξό θύθιν, όπσο θαίλεηαη ζην παξάδεηγκα ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο. Ι1 1 Ο1 Ι2 1 1 Ι1 1 Ι2 1 Ο1 Σχήμα 2.7: Σξόπνο ζρεδηαζκνύ ηεο πύιεο ΝΟΣ Οη πύιεο NND θαη NOR Ολνκάδνπκε πύιε NND θαη NOR ηνπο ζπλδπαζκνύο ησλ ππιώλ ND θαη OR κε κηα πύιε ΝΟΣ ζηελ έμνδν ηνπο. Ι1 Ι1 Ι2 Ο1 Ι2 Ο1 ND NND 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 NND Σχήμα 2.8: Πύιε NND

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 10 Οη πύιεο ΝND θαη NOR είλαη πνιύ δηαδεδνκέλεο, δηόηη ζηα νινθιεξσκέλα Ι1 Ι1 Ι2 Ο1 Ι2 Ο1 OR NOR 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 Σχήμα 2.9: Πύιε NOR NOR θπθιώκαηα είλαη επθνιόηεξν λα θαηαζθεπαζηνύλ από όηη νη πύιεο ND θαη OR. Πξόθεηηαη γηα ινγηθά θπθιώκαηα θαη όρη γηα ζεκειηώδεηο ινγηθέο πύιεο Η πύιε EXOR (Απνθιεηζηηθή OR) H πύιε EXOR είλαη θαη απηή ινγηθό θύθισκα ην νπνίν ζπληίζεηαη από βαζηθέο πύιεο, παξ όια απηά πάληα ρξεζηκνπνηείηαη ζαλ απηόλνκε πύιε. Ι1 Ι2 =1 Ο 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Σύμβολο Πίνακας αληθείας Λογικό κύκλωμα ηης πύλης EXOR

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 11 2.4 Ηιεθηξηθέο ζπλδέζεηο ζε έλα νινθιεξωκέλν θύθιωκα ινγηθώλ ππιώλ Οη ινγηθέο πύιεο θπθινθνξνύλ ζήκεξα «ζπζθεπαζκέλεο» ζε νινθιεξσκέλα θπθιώκαηα πνπ πεξηέρνπλ 2,4 ή 8 πύιεο. Τπάξρνπλ 2 ηερλνινγίεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ νη ηερλνινγία TTL θαη ε ηερλνινγία CMOS, νη νπνίεο δηαθέξνπλ κεηαμύ, ηόζν ζηελ αξρή ιεηηνπξγίαο όζν θαη ζηνλ ηξόπν θαηαζθεπήο ηνπο. Βέβαηα γηα ηειηθό ρξήζηε ν ηξόπνο ρξήζεο είλαη ίδηνο, απιά εμαξηάηαη από ηα ειεθηξνινγηθά ραξαθηεξηζηηθά ηεο εθαξκνγήο πνηα ηερλνινγία ζα επηιέμεη. Καη ζηηο 2 θαηεγνξίεο είλαη πην δηαδεδνκέλεο νη πύιεο NND θαη NOR παξά νη ND θαη ΟR, o ιόγνο είλαη όηη νη πύιεο απηέο θαηαζθεπάδνληαη πην εύθνια. Όηαλ ζέινπκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θάπνηεο πύιεο κπνξνύκε λα θαηαθύγνπκε ζηα ΒΙΒΛΙΑ (Handbook) κε ηα ραξαθηεξηζηηθά ησλ νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ, όπνπ ζα βξνύκε ηα ζρέδηα ηνπο θαη γεληθά πιήξε ζηνηρεία γηα όια ηα νινθιεξσκέλα. Βέβαηα ζηνπο απηνκαηηζκνύο δελ πξόθεηηαη λα δνπιέςνπκε θαηαζθεπαζηηθά κε ινγηθέο πύιεο, δηόηη ζρεδόλ πνηέ δελ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ειεθηξνληθά θπθιώκαηα. Όπσο ήδε έρνπκε πεη ζηνπο απηνκαηηζκνύο ζήκεξα ρξεζηκνπνηνύκε ηα θιαζζηθά ειεθηξνινγηθά θπθιώκαηα κε ειεθηξνλόκνπο ή ηα ζύγρξνλα PLC. Οη γλώζεηο πάλσ ζηηο ινγηθέο πύιεο, καο είλαη απαξαίηεηεο γηα ηνλ επηηπρή ζρεδηαζκό ησλ απηνκαηηζκώλ θαη ηνλ πξνγξακκαηηζκό ησλ PLC. ην επόκελν ζρήκα δίλεηαη έλα παξάδεηγκα θάπνησλ νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ. Vcc 14 13 12 11 10 9 8 Vcc Nc Nc Nc 14 13 12 11 10 9 8 1 2 3 4 5 6 7 γείωζη 1 2 3 4 5 6 7 Πύλη δύο ειζόδων NND Πύιε NND 8 εηζόδσλ Κωδηθόο 7400 Κωδηθόο 7430 Σχήμα 2.11: Παξαδείγκαηα νινθιεξωκέλωλ θπθιωκάηωλ Λνγηθώλ ππιώλ

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 12 2.5 Λνγηθά θπθιώκαηα θαη Λνγηθέο αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο Δίλαη αιήζεηα όηη ε ρξεζηκνπνίεζε καζεκαηηθώλ παξαζηάζεσλ δελ είλαη θάηη πνπ ζπκπαζνύλ νη ηερληθνί (όισλ ησλ βαζκίδσλ), όζν ρξήζηκν θαη αλ είλαη απηό γηα ηε δνπιεηά ηνπο. Πάληα πξνηηκνύλ ζηε ζέζε ησλ καζεκαηηθώλ λα ρξεζηκνπνηνύλ πίλαθεο ή γξαθηθέο παξαζηάζεηο. Παξ όια απηά ε γλώζε ησλ καζεκαηηθώλ κπνξεί λα καο βγάιεη από ηε δύζθνιε ζέζε πάξα πνιιέο θνξέο. Αο δνύκε ινηπόλ ζε απηή ηελ παξάγξαθν θάπνηνπο ρξήζηκνπο καζεκαηηθνύο θαλόλεο ηεο Άιγεβξαο ηεο Λνγηθήο. Παξάιιεια ζα παξνπζηάζνπκε ηα ινγηθά θπθιώκαηα ηα νπνία αληηζηνηρνύλ ζηηο καζεκαηηθέο ινγηθέο παξαζηάζεηο. 1)Νόκνο ηεο αληηκεηάζεζεο Α.Β = Β.Α Α+Β=Β+Α Η ζρέζε απηή καο δείρλεη θάηη πνπ ζην ειεθηξνληθό ζρέδην θαίλεηαη απηνλόεην, όηη δειαδή ζηηο ινγηθέο πύιεο δελ έρεη ζεκαζία ε ζεηξά κε ηελ νπνία είλαη ηνπνζεηεκέλεο νη είζνδνη. 2)Υξήζε παξελζέζεσλ Α. B. C =.(B. C) = (. B).C +B+C = +(B+C)=(+B)+C Απηό ζε θύθισκα καο δείρλεη ην εμήο: B B C O C O B C O.B.C.(B.C) (.B).C Σχήμα 2.12: ρεκαηηθά ν λόκνο ηεο αληηκεηάζεζεο Σα ίδηα αθξηβώο ηζρύνπλ θαη ζε έλα θύθισκα κε πύιεο OR 3).(B+C) =.B+.C Απηό θπθισκαηηθά δίλεηαη παξαθάησ

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 13 B C O B O C.(B+C).B+.C Σχήμα 2.13: ρεκαηηθά ε ρξήζε παξελζέζεωλ ΠΡΟΟΥΗ Η παξαπάλσ ζρέζε καο κπεξδεύεη πνιιέο θνξέο γηαηί είκαζηε ζπλεζηζκέλνη λα ζεσξνύκε ην ζύκβνιν ηεο ηειείαο ζαλ γηλόκελν. Η ίδηα ζρέζε ηζρύεη ζε αληηζηνηρία θαη σο εμήο: Α+(Β. C)=(+B). (+C) 4) O θαλόλαο ηνπ DE MORGN. B = + B + B =. B O θαλόλαο ηνπ DE MORGN είλαη θαη αξρήλ απξόζκελνο θαη βέβαηα πάξα πνιύ ρξήζηκνο. Κπθισκαηηθά ν θαλόλαο καο δείρλεη πσο κία πύιε NND κπνξεί λα πινπνηεζεί κε κηα πύιε OR θαη ην αλάπνδν. O O B B.B + B O O B B +B. B

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 14 Σχήμα 2.14: ρεκαηηθά ν θαλόλαο ηνπ De Morgan 5)Μεξηθνί αθόκα ρξήζηκνη θαλόλεο δίλνληαη ζηε ζπλέρεηα. Α. 1 = Α Α. Α = Α Α. Α = 0 1. 1 = 1 1. 0 = 0.1 = 0 0. 0 = 0 Α + 0 = Α Α +Α = Α Α. Α = 1 0 + 0 = 0 Α +1 = 1 + 0 = 1 1 +1 = 1 2.5.1 Εμαγωγή ηεο καζεκαηηθήο ινγηθήο παξάζηαζεο από ινγηθό θύθιωκα Αο δνύκε κέζα από έλα παξάδεηγκα πσο ζα εμάγνπκε ηελ ινγηθή παξάζηαζε ε νπνία αληηζηνηρεί ζε έλα ινγηθό θύθισκα. Παξάδεηγκα. Α M1 Β C Μ1=Α.Β M3 D E M2 Μ3=Μ1+C O Μ2=D.E Ο = Μ3+Μ2 Σχήμα 2.15: Εμαγωγή καζεκαηηθήο ζρέζεο από Λνγηθό θύθιωκα Επίλσζη ΒΗΜΑ 1- ηελ θάζε ινγηθή πύιε ραξαθηεξίδνπκε κε θάπνην όλνκαηελ έμνδν ηεο. Κάζε έμνδνο ε νπνία γίλεηαη είζνδνο ζε άιιε πύιε ηελ νλνκάδνπκε «ελδηάκεζε έμνδν». ηηο ελδηάκεζεο εμόδνπο δίλνπκε ην όλνκα Μ1, Μ2, Μ3 θιπ ΒΗΜΑ 2- Γηα ηελ θάζε πύιε γξάθνπκε ηελ ινγηθή καζεκαηηθή ζρέζε, όπσο αθξηβώο έρνπκε δεη κέρξη ηώξα (θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα).

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 15 ΠΡΟΟΥΗ ζηηο πύιεο ΝΟΣ. Έηζη νη ινγηθέο ζρέζεηο γηα ηελ θάζε πύιε είλαη: M1=.B M2=D.E M3=M1+C O=M3+M2 BHM 3- Από ηηο παξαπάλσ ζρέζεηο κε αληηθαηάζηαζε ησλ M1 θαη Μ2 θαηαιήγνπκε ζηηο παξαθάησ λέεο ζρέζεηο. Γηα λα κελ κπεξδεπηνύκε ρξεζηκνπνηνύκε παξελζέζεηο. Έρνπκε ινηπό: M3=(Α.Β)+C Καη O=((.B)+C)+D.E Αλ εθαξκόζνπκε ηνλ θαλόλα ηνπ De Morgan ζηελ παξέλζεζε πνπ ηζνδπλακεί κε ην Μ3 έρνπκε: O=((.B). C)+D.E Καη εθαξκόδνληαο κία αθόκε θνξά ηνλ θαλόλα ηνπ De Morgan έρνπκε: O=((+B). C)+D.E 2.5.2 Λνγηθό θύθιωκα πνπ αληαπνθξίλεηαη ζε κηα καζεκαηηθή ινγηθή παξάζηαζε Αο δνύκε ηώξα ην αληίζεην παξάδεηγκα, δειαδή πσο ζα ζρεδηάζνπκε έλα θύθισκα πνπ λα αληηζηνηρεί ζε κηα καζεκαηηθή ινγηθή παξάζηαζε. Παράδειγμα. Θέινπκε λα ζρεδηάζνπκε ην ινγηθό θύθισκα πνπ αληηζηνηρεί ζηελ παξαθάησ ινγηθή ζρέζε: O=(+B). C+D.E +C..D Επίλσζη ΒΗΜΑ -1 ηελ δνζείζα ζρέζε μερσξίδνπκε, θαη ζρεδηάδνπκε πξώηα ηηο πύιεο πνπ βξίζθνληαη κέζα ζηηο παξελζέζεηο. ηελ ζπλέρεηα βιέπνπκε όηη έρνπκε «Άθροιζμα γινομένων». ρεδηάδνπκε πξώηα ηηο πύιεο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα «γινόμενα» ζηηο πύιεο ND δειαδή. Σηο εμόδνπο ησλ ππιώλ απηώλ νλνκάδνπκε Μ1, Μ2, Μ3 θιπ ΠΡΟΟΥΗ ζηηο ΝΟΣ, όπνπ ππάξρνπλ. Γειαδή αλ ππάξρεη άξλεζε ζε κηα ινγηθή κεηαβιεηή (π.ρ. Α) απηό ζεκαίλεη όηη ζα έρνπκε ΝΟΣ ζηελ είζνδν ηεο πύιεο. Οπνπ ππάξρεη άξλεζε ζε ινγηθή πξάμε (π.ρ. Α+Β ) απηό ζεκαίλεη όηη ζα έρνπκε ΝΟΣ ζηελ έμνδν ηεο πύιεο

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 16 O=(+B). C+D.E +C..D D C B E Μ1 Μ2 Μ3 D Σχήμα 2.16: Εμαγωγή Λνγηθνύ θπθιώκαηνο από καζεκαηηθέο ινγηθέο ζρέζεηο ΒΗΜΑ 2- Αλ ζηε ινγηθή καο ζρέζε ζέζνπκε ζηε ζέζε ηεο θάζε πύιεο πνπ ζρεδηάζακε, ην όλνκα ηεο εμόδνπ ηεο πύιεο απηήο, πξνθύπηεη κηα λέα ζρέζε ζηελ νπνία επαλαιακβάλνπκε ην πξνεγνύκελν βήκα ηνπ ζρεδηαζκνύ: O=M1. C+M2 +M3 B M1 M1 C M4 Η λέα πύιε πνπ έρεη είζνδν Μ1 ζπλδέεηαη κε ηελ έμνδν Μη ηεο πύιεο πνπ ζρεδηάζακε πξνεγνπκέλωο. Σχήμα 2.17: Εμαγωγή Λνγηθνύ θπθιώκαηνο από καζεκαηηθέο ινγηθέο ζρέζεηο ΒΗΜΑ 3- Δθαξκόδνπκε ηελ λέα αληηθαηάζηαζε (Μ4), ζηελ ζρέζε θαη ζπλερίζνπκε κε ηνλ ίδην ηξόπν. πλδένπκε ηηο εηζόδνπο Μ2, Μ3 θιπ κε ηηο εμόδνπο ησλ ππιώλ ησλ πξνεγνπκέλσλ βεκάησλ.

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 17 O=Μ4+M2 +M3 C M3 D D M2 E M3 M1 M1 M2 O B C M4 M4 Σχήμα 2.18: Εμαγωγή Λνγηθνύ θπθιώκαηνο από καζεκαηηθέο ινγηθέο ζρέζεηο 2.6 Σρεδηαζκόο Λνγηθώλ θπθιωκάηωλ Δίδακε όηη αλ έρνπκε έλα ινγηθό θύθισκα είλαη εύθνιν (έζησ θαη αλ ζε νξηζκέλεο πεξηπηώζεηο είλαη επίπνλν) λα θηηάμνπκε ηνλ πίλαθα αιεζείαο ηνπ θπθιώκαηνο. Δθείλν όκσο πνπ καο ελδηαθέξεη πξνηίζησο,είλαη πσο ζα ζρεδηάζνπκε έλα ινγηθό θύθισκα, ην νπνίν πεξηγξάθεηαη από έλαλ δεδνκέλν πίλαθα αιεζείαο, ν νπνίνο κε ηελ ζεηξά ηνπ πεξηγξάθεη κηα εθαξκνγή. Αο παξαθνινπζήζνπκε παξαθάησ έλαλ κεζνδνινγηθό ηξόπν απηνύ ηνπ ζρεδηαζκνύ. Παράδειγμα Θέινπκε λα ζρεδηάζνπκε ην ινγηθό θύθισκα πνπ πεξηγξάθεηαη από ηνλ παξαθάησ πίλαθα αιεζείαο. Ι1 Ι2 Ι3 Ο1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Σχήμα 2.19: Πίλαθαο αιεζείαο παξαδείγκαηνο

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 18 Σν παξαπάλσ θύθισκα κπνξνύκε λα ην πινπνηήζνπκε κε δπν ηζνδύλακα ζρέδηα. Πεξίπησζε Α. Τινπνίεζε κε πύιεο ND ΒΗΜΑ 1-Παξαηεξώληαο ηνλ πίλαθα αιεζείαο, εληνπίδνπκε ηηο γξακκέο όπνπ ε έμνδνο είλαη 1 Ι1 Ι2 Ι3 Ο1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Σχήμα 2.20: Βήκα 1 Εληνπίδνπκε ηηο γξακκέο όπνπ ε έμνδνο είλαη 1 ΒΗΜΑ 2 -Γηα θάζε κία ησλ γξακκώλ απηώλ ζρεδηάδνπκε κηα πύιε ΑΝD ε νπνία δηαζέηεη θαη ηηο ηξεηο εηζόδνπο ηνπ πίλαθα αιεζείαο. ηηο εηζόδνπο όπνπ ζηνλ πίλαθα ππάξρεη 0, ηνπνζεηνύκε κηα πύιε ΝΟΣ. Σχήμα 2.21: Βήκα 2 ρεδηάδνπκε γηα θάζε γξακκή πνπ ζεκεηώζακε ζην Βήκα 1 ηελ αληίζηνηρε πύιε ND

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 19 Σχήμα 2.22: Βήκα 3 Σειηθό ινγηθό ζρέδην πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ πίλαθα αιεζείαο (ρήκα 2.19) ΒΗΜΑ 3 - Σέινο όιεο νη πύιεο ND ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε κηα πύιε ΟR Πεξίπησζε B. Τινπνίεζε κε πύιεο OR ΒΗΜΑ-1 :Παξαηεξώληαο ηνλ πίλαθα αιεζείαο, εληνπίδνπκε ηηο γξακκέο όπνπ ε έμνδνο είλαη O Σχήμα 2.23: Βήκα 1 Ι1 Ι2 Ι3 Ο1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 BHM 2 - Γηα θάζε κία ησλ γξακκώλ απηώλ ζρεδηάδνπκε κηα πύιε OR ε νπνία λα έρεη όιεο ηηο εηζόδνπο ηνπ πίλαθα αιεζείαο. ηηο εηζόδνπο όπνπ ζηνλ πίλαθα ππάξρεη 1, ηνπνζεηνύκε κηα πύιε ΝΟΣ. (ΠΡΟΟΥΗ πξόθεηηαη γηα ην αληίζεην από απηό πνπ είρακε ζηελ πξνεγνύκελε πεξίπησζε πνπ ρξεζηκνπνηνύκε πύιεο ΑΝD, εθεί ην ΝΟΣ ηνπνζεηείηαη όπνπ ππάξρεη 0). Σχήμα 2.24: Βήκα 2

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 20 BHM 3 - Σέινο όιεο νη πύιεο OR ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε κηα πύιε ND O Σχήμα 2.25: Βήκα 3 Σειηθό ινγηθό θύθιωκα πνπ αληηζηνηρεί ζην πίλαθα αιεζείαο ηνπ ζρήκαηνο 2.19 2.6.1 Σρεδηαζκόο βέιηηζηνπ θπθιώκαηνο ηα θπθιώκαηα πνπ πξνέθπςαλ από ηνλ παξαπάλσ ζρεδηαζκό ππάξρεη ίζσο ε δπλαηόηεηα λα κεηώζνπκε ηνλ αξηζκό ησλ ρξεζηκνπνηνύκελσλ ππιώλ, αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηα καζεκαηηθά ηεο Άιγεβξαο ηνπ Boole. Σηην περίπηωζη ασηή λέμε όηι κάνοσμε απλοποίηζη ηοσ κσκλώμαηος, έηζι ώζηε να πάροσμε ηο βέληιζηο κύκλωμα. ηε ζπλέρεηα παξνπζηάδνπκε βήκα πξνο βήκα κηα κέζνδν απινπνίεζεο ινγηθώλ θπθισκάησλ, ηελ κέζνδν κε ηελ ρξήζε ησλ πηλάθσλ Karnaugh (Καξλώ). Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε θαη πάιη έλα παξάδεηγκα Παράδειγμα 1 Να ζρεδηαζηεί ην βέιηηζην θύθισκα πνπ πεξηγξάθεηαη από ηνλ παξαθάησ πίλαθα αιεζείαο. Ι1 Ι2 Ι3 Ο1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Σχήμα 2.26: Πίλαθαο αιεζείαο ηνπ παξαδείγκαηνο 1

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 21 Σν βαζηθό θύθισκα ζύκθσλα κε ηελ κέζνδν πνπ ρξεζηκνπνηήζακε πξηλ γηα ηηο πύιεο ND είλαη ην παξαθάησ: Σχήμα 2.27: Λνγηθό θύθιωκα πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ πίλαθα αιεζείαο (ζρήκα 2.19) ρωξίο βειηηζηνπνίεζε Αο πξνρσξήζνπκε ηώξα ζηελ απινπνίεζε ηνπ παξαπάλσ θπθιώκαηνο ΒΗΜΑ 1- ρεδηαζκόο ηνπ πίλαθα Karnaugh. Ο πίλαθαο Karnaugh είλαη έλαο πίλαθαο όπνπ ηνπνζεηνύκε νκαδνπνηεκέλεο ηηο εηζόδνπο ηνπ θπθιώκαηνο καο. Ο πίλαθαο ζρεδηάδεηαη όπσο θαίλεηαη παξαθάησ ζην ζρήκα 2.28 ΠΡΟΟΥΗ ζηελ ζεηξά κε ηελ νπνία ηνπνζεηνύκε ηηο εηζόδνπο ζηνλ πίλαθα. Γελ αθνινπζνύκε ηελ γλσζηή ζεηξά 00,01,10,11 αιια ηελ ζεηξά 00,01,11,10 Αθνύ ζρεδηάζνπκε ηνλ πίλαθα ζην θάζε θειί ηνπ πίλαθα ηνπνζεηνύκε ηελ ηηκή ηεο εμόδνπ όπσο θαίλεηαη από ηνλ πίλαθα αιεζείαο. ΒΗΜΑ 2- Αθνύ ζρεδηάζνπκε ηνλ πίλαθα Karnaugh θαη ηνπνζεηήζνπκε ηηο ηηκέο ηεο εμόδνπ, θπθιώλνπκε ηα γεηηνληθά θειηά πνπ πεξηέρνπλ 1 ζε νκάδεο ησλ 2,4, 8, 16 θειηά. Γεηηνληθά ζεσξνύληαη ηα θειηά πνπ βξίζθνληαη δίπια είηε θαηαθόξπθα είηε νξηδόληηα (όρη δηαγώληα). ΠΡΟΟΥΗ. Γεηηνληθά ζεσξνύληαη θαη ηα θειηά ηνπ ηέινπο ηνπ πίλαθα κε ηελ αξρή, θαη ζηηο δύν ηνπ δηαζηάζεηο. Δπίζεο έλα θειί πξέπεη λα ζπκκεηέρεη ζε όιεο ηηο νκάδεο πνπ κπνξεί. Όιεο απηέο νη πεξηπηώζεηο θαίλνληαη ζηνλ πίλαθα ηνπ παξαδείγκαηνο όπνπ έρνπκε ηειηθά 3 θύθινπο

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 22 Ι3 Ι1 Ι2 00 01 11 10 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 Σχήμα 2.28: Πίλαθαο Karnaugh θαη νκαδνπνίεζε γεηηνληθώλ θειηώλ (βήκα 1 θαη 2) ΒΗΜΑ 3 Σν βειηηζηνπνηεκέλν θύθισκα ζρεδηάδεηαη ηώξα σο εμήο: Ο θάζε θύθινο αληηζηνηρεί ζε κηα πύιε ND. Από ηελ πύιε απηή ζα ιείπνπλ νη είζνδνη εθείλεο γηα ηηο νπνίεο αιιάδεη ε ηηκή ζηα θειηά πνπ ζπκκεηέρνπλ ζηελ νκάδα. Γηα ηηο ππόινηπεο εηζόδνπο ηζρύνπλ όηη θαη πξνεγνπκέλσο δειαδή όπνπ ππάξρεη 0 ζέηνπκε ΝΟΣ ζηελ είζνδν απηή. ην παξάδεηγκά καο έρνπκε. Ι3 Ι1 Ι2 00 01 11 10 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 Ι3 αιιάδεη Ι2 αιιάδεη Ι1 αιιάδεη Σχήμα 2.29: Βήκα 3 ρεδηαζκόο ηωλ ινγηθώλ ππιώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο νκάδεο ΒΗΜΑ 4- Σν ηειηθό ζρέδην ζπλδέεη ηηο παξαπάλσ πύιεο ζε κηα OR, όπσο θάλνπκε θαη ζηελ πεξίπησζε ρσξίο απινπνίεζε.

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 23 Σχήμα 230 : Βήκα 4 Σειηθό Βέιηηζην ινγηθό θύθιωκα Αλ ζπγθξίλεηε ην βειηηζηνπνηεκέλν ζρέδην κε ην ζρέδην πνπ βγάιακε ρσξίο βειηηζηνπνίεζε ζα δείηε ηελ δηαθνξά: Έρνπκε ιηγόηεξεο πύιεο θαη κε ιηγόηεξεο εηζόδνπο ε θάζε κία. Όπσο αθξηβώο θαη ζηε απιή πεξίπησζε ζρεδηαζκνύ κπνξνύκε λα ζρεδηάζνπκε ην θύθισκα κε 2 ηξόπνπο, δειαδή κε πύιεο ND ή κε πύιεο OR, έηζη θαη ζηελ απινπνίεζε κπνξνύκε λα έρνπκε 2 ηξόπνπο ζρεδηαζκνύ ηνπ θπθιώκαηνο κε πύιεο ND όπσο θάλακε ζην πξνεγνύκελν παξάδεηγκα ε κε πύιεο OR. Σα θπθιώκαηα θάλνπλ αθξηβώο ηελ ίδηα εξγαζία θαη, είλαη ηζνδύλακα. Η κέζνδνο ηνπ Karnaugh παξνπζηάδεη θάπνηεο δηαθνξέο. Αο δνύκε ηη γίλεηαη ζην επόκελν παξάδεηγκα. Παράδειγμα 2 Θέινπκε λα ζρεδηάζνπκε ην θύθισκα πνπ πεξηγξάθεηαη από ηνλ παξαθάησ πίλαθα αιεζείαο. Ι2 Ι3 Ι4 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Σχήμα 2.31: Πίλαθαο αιεζείαο ηνπ παξαδείγκαηνο 2 ΒΗΜΑ 1- ρεδηάδνπκε ηνλ πίλαθα Karnaugh, θαη ηνπνζεηνύκε ζ απηόλ ηηο ηηκέο ηεο εμόδνπ, παξαθνινπζώληαο ηνλ πίλαθα αιεζείαο. ΒΗΜΑ 2- Κπθιώλνπκε όπσο θαη πξηλ όρη όκσο ηα 1 αιια ηα 0. 00 01 11 10 I4 00 1 0 1 1 01 0 0 0 1 11 1 0 1 1 10 0 1 0 0 Σχήμα 2.32: Πίλαθαο Karnaugh θαη νκαδνπνίεζε γεηηνληθώλ θειηώλ ηνπ παξαδείγκαηνο 2(βήκα 1 θαη 2)

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 24 ΒΗΜΑ 3- ρεδηάδνπκε ηώξα ηηο πύιεο όπσο θαη πξνεγνπκέλσο, δειαδή γηα θάζε θύθιν ζρεδηάδνπκε κηα πύιε. ηελ πύιε απηή ιείπεη ε είζνδνο ε νπνία αιιάδεη θαζώο θηλνύκαζηε από ην έλα θειί ζην δηπιαλό ηεο νκάδαο. Αιιά ΠΡΟΟΥΗ ζηηο εηζόδνπο βάδνπκε ηώξα ΝΟΣ ζε εθείλε ηελ είζνδν πνπ έρνπκε 1 θαη όρη 0. ην παξάδεηγκά καο επνκέλσο ζα έρνπκε 6 πύιεο OR σο εμήο 00 01 11 10 I4 00 1 0 1 1 01 0 0 0 1 11 1 0 1 1 10 0 1 0 0 Α : Β : C : D : E: F: F: I4 Α : I4 Β : I4 C : I4 O D : I4 E: Σχήμα 2.33 ρεδηαζκό βειηηζηνπνηεκέλνπ ινγηθνύ θπθιώκαηνο γηα ην παξάδεηγκα 2

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 25 Παράδειγμα 3 Θέινπκε λα ζρεδηάζνπκε ην θύθισκα πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ παξαθάησ πίλαθα αιεζείαο κε ηελ ρξήζε ππιώλ ND Ι1 Ι2 Ι3 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Σχήμα 2.34: Πίλαθαο αιεζείαο ηνπ παξαδείγκαηνο 3 ΒΗΜΑ 1- ρεδηάδνπκε ηνλ πίλαθα Karnaugh, θαη ηνπνζεηνύκε από ηνλ πίλαθα αιεζείαο ηηο ηηκέο ηεο εμόδνπ. ΒΗΜΑ 2- Κπθιώλνπκε όπσο θαη πξηλ ηα 1. Ι3 Ι1 Ι2 00 01 11 10 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 Σχήμα 2.35: Πίλαθαο Karnaugh θαη νκαδνπνίεζε γεηηνληθώλ θειηώλ ηνπ παξαδείγκαηνο 3 (βήκα 1 θαη 2) BHM 3- ρεδηάδνπκε ηηο πύιεο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο νκάδεο Σχήμα 2.36 ρεδηαζκόο βειηηζηνπνηεκέλνπ ινγηθνύ θπθιώκαηνο γηα ην παξάδεηγκα 3

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 26 Παράδειγμα 4. Θέινπκε λα ζρεδηάζνπκε ην θύθισκα πνπ έρεη ην παξαθάησ πίλαθα αιεζείαο κε ηελ ρξήζε ππιώλ ND Ι2 Ι3 Ι4 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Σχήμα 2.37: Πίλαθαο αιεζείαο ηνπ παξαδείγκαηνο 4 ρεδηάδνπκε ηνλ πίλαθα Karnaugh θαη νκαδνπνηνύκε ηα 1. ΠΡΟΟΥΗ δελ πξέπεη λα μεράζνπκε ηα κεκνλσκέλα 1. 00 01 11 10 I4 00 1 1 1 1 01 0 1 1 1 11 1 0 0 1 10 0 1 0 0 Σεηξάδα 1 Σεηξάδα 2 ΠΡΟΟΧΗ Μεκνλωκέλν 1 ΠΡΟΟΧΗ Ζεπγάξη Σχήμα 2.38 Πίλαθαο Karnaugh θαη νκαδνπνίεζε γεηηνληθώλ θειηώλ ηνπ παξαδείγκαηνο 3 (βήκα 1 θαη 2)

ΚΕΦΑΛΑΘΟ 4 - Λνγηθά Κπθιώκαηα 27 Σν ηειηθό ζρέδην πεξηέρεη 4 πύιεο όζεο θαη νη νκάδεο ησλ 1. Σεηξάδα 1 I4 Σεηξάδα 2 Ζεπγάξη I4 Μεκνλωκέλν 1 I4 Σχήμα 2.39 ρεδηαζκόο βειηηζηνπνηεκέλνπ ινγηθνύ θπθιώκαηνο γηα ην παξάδεηγκα 4