ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας 9-1-1 Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο κεγέζνπο λ, όπνπ θ, λ κε κεδεληθνί θπζηθνί αξηζκνί κε α. Τη νλνκάδεηαη απόιπηε ζπρλόηεηα πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή x, =1,,...,k; (Μον.) β. Τη νλνκάδεηαη ζρεηηθή ζπρλόηεηα f ηεο ηηκήο x, =1,,...,k; (Μον.) γ. Να απνδείμεηε όηη : ) 0 f 1 γηα =1,,...,k; ) f 1 f... f k 1 (Μον.4) Β. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο ωο (Σ) ή (Λ) α. Η ζπρλόηεηα ηεο ηηκήο x κηαο κεηαβιεηήο x είλαη αξλεηηθόο αξηζκόο Σ Λ β. Σηελ θαλνληθή θαηαλνκή ην 9% ηωλ παξαηεξήζεωλ βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα (x s,x s) Σ Λ γ. Οη πνηνηηθέο κεηαβιεηέο δηαθξίλνληαη ζε δηαθξηηέο θαη ζπλερείο. Σ Λ 1 1 δ. Γηα θάζε x 0 ηζρύεη x x Σ Λ ε. Αλ γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύνπλ f (x 0) 0 γηα x 0 (, ),f '(x) 0 ζην (α,x 0 ) θαη f (x) 0 ζην (x 0, ), ηόηε ε f παξνπζηάδεη ζην δηάζηεκα (α,β) γηα x=x 0 ειάρηζην. Σ Λ (Μον.10) Γ. α. Πνηα είλαη ηα κέηξα ζέζεο θαη πνηα ηα κέηξα δηαζπνξάο; (Μον.) β. Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο δηακέζνπ ελόο δείγκαηνο λ παξαηεξήζεωλ (Μον.) 1 Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)
Θέμα ο : Τν δηπιαλό ζρήκα παξηζηάλεη ην πνιύγωλν ζπρλνηήηωλ ηωλ παξαηεξήζεωλ x από έλαλ πιεζπζκό κεγέζνπο v=100. Αλ ηζρύεη λ =λ 1 +λ 1. Να βξεζεί ε δηαθνξά Ν -λ (Μον.8). Αλ νη αξηζκνί λ 1,λ είλαη ξίδεο ηεο εμίζωζεο x ( 1) x 800 0 λα βξείηε ηηο ζπρλόηεηεο όιωλ ηωλ παξαηεξήζεωλ. (Μον.8). Να θαηαζθεπάζεηε ην αληίζηνηρν θπθιηθό δηάγξακκα (Μον.9) Θέμα ο : x Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε f (x),x 1 x1 1. Να δείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 11 Α(7,6) είλαη ε y x (Μον.8) 4 4. Έζηω 1(x 1,y 1),M (x,y ),..,M 10(x 10,y 10) 10 ηπραία ζεκεία ηεο πξνεγνύκελεο εθαπηνκέλεο.αλ νη ηεηκεκέλεο ηνπο έρνπλ κέζε ηηκή 9 θαη ηππηθή απόθιηζε, λα βξεζεί : α. Η κέζε ηηκή y θαη ε ηππηθή απόθιηζε S y ηωλ ηεηαγκέλωλ ηωλ ζεκείωλ απηώλ β. Να εμεηαζηνύλ ωο πξνο ηελ νκνηνγέλεηα νη ηηκέο ηωλ ηεηαγκέλωλ. (Μον.1) (Μον.) Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)
Θέμα 4 ο : Σην δηπιαλό πίλαθα δίλνληαη νη απνπζίεο πνπ έθαλαλ 40 καζεηέο ηεο Γ ηάμεο ελόο Λπθείνπ.Αλ γλωξίδνπκε όηη : To λ 1 ηζνύηαη κε ηελ θιίζε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο 4 f (x) (x ) ζην x0 1 x 9x lm x x x 6 θαη ην λ ηζνύηαη κε ην ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο g(x) x 8x 18 ηόηε: 1. Να βξεζνύλ νη ζπρλόηεηεο λ 1, λ, λ, λ 4 (Μον.7) 0, 1,0 0,7 7,100 4. Να θαηαζθεπάζεηε πίλαθα ζπρλνηήηωλ, απόιπηωλ θαη αζξνηζηηθώλ. Να θαηαζθεπάζεηε ην πνιύγωλν αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ Σπρλνηήηωλ θαη λα ππνινγίζεηε ηε δηάκεζν 4. Να βξείηε ηνλ αξηζκό ηωλ καζεηώλ πνπ έθαλαλ από 60 έωο 7 απνπζίεο, αλ ζεωξήζνπκε όηη ηα δεδνκέλα είλαη νκνηόκνξθα θαηαλεκεκέλα. (Μον.6) (Μον.6) (Μον.6) ΚΑΛΗ ΔΠΙΤΥΦΙΑ Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)
Θέμα1 ο : ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ (ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ) Α. α. Ο θπζηθόο αξηζκόο πνπ δείρλεη πόζεο θνξέο εκθαλίδεηαη ε ηηκή x ηεο εμεηαδόκελεο κεηαβιεηήο Χ ζην ζύλνιν ηωλ παξαηεξήζεωλ, oλνκάδεηαη (απόιπηε) ζστνόηηηα λ ηεο x. β. Αλ δηαηξέζνπκε ηε ζπρλόηεηα λ κε ην κέγεζνο λ ηνπ δείγκαηνο πξνθύπηεη ε ζτεηική ζστνόηηηα f ηεο ηηκήο x, δειαδή f, 1,,...,k 0 v v γ.) Γηα =1,,...,k είλαη 0 v v 0 f 1 v v v v vk v... vk v ) Είλαη f1 f... f k... =1 v v v v v Β. αλ, βλ, γλ, δλ, ελ Γ. α 1 ) Μέηξα ζέζεο είλαη ηα : Μέζε ηηκή (x) Σηαζκηθόο κέζνο Δηάκεζνο (δ) (x w ) α ) Μέηξα δηαζπνξάο είλαη ηα : Εύξνο (R) Δηαθύκαλζε (s ) Τππηθή απόθιηζε (s) Σπληειεζηή κεηαβνιήο (CV) Β) Δηάκεζνο (δ) ελόο δείγκαηνο λ παξαηεξήζεωλ νη νπνίεο έρνπλ δηαηαρζεί ζε αύμνπζα ζεηξά νξίδεηαη ωο ε κεζαία παξαηήξεζε, όηαλ ην λ είλαη πεξηηηόο αξηζκόο, ή ν κέζνο όξνο (εκηάζξνηζκα) ηωλ δύν κεζαίωλ παξαηεξήζεωλ όηαλ ην λ είλαη άξηηνο αξηζκόο. 4 Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)
Θέμα ο : 1. Γλωξίδνπκε όηη v 1 v (1) (1) Επίζεο v v v4 100 v v 10 100 v 90 v 0. Επνκέλωο λ 1 +λ =60 () Είλαη V ( v v ) v v V 60. Αθνύ λ 1,λ ξίδεο ηεο εμίζωζεο x ( v )x 800 0, ζα ηζρύεη v v 800 (4) (ζρέζεηο Veta) Από () θαη (4) πξνθύπηεη 1 v 40, 0. Είλαη : 0 0 0 0 1 60 60 7 v 0 60 60 108 v 40 60 60 144 v4 0 10 0 0 4 60 60 6 ( v 1 v 0 0 0 0 0 0 ) Θέμα ο : ' x (x )'(x 1) (x )(x 1)' 1. H f έρεη f '(x) = x 1 (x 1) x(x 1) (x ) x x x x x =. (x 1) (x 1) (x 1) Αλ (x 0,f (x 0)) ζεκείν ηεο C f ε εθαπηνκέλε ζην Μ έρεη εμίζωζε : y f (x 0) f '(x 0)(x x 0). Γηα λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(7,6) Πξέπεη: 6 f (x 0) f '(x 0)(7 x 0) Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)
0 0 0 0 0 0 0 0 11 11 17. α. Είλαη y x 9 4 4 9 4 θαη sy sx 4 4 sy Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι 6(x 1) (x )(x 1) (x0 x0 )(7 x 0) 6x 1x 6 x x x = 7x x 14x x x x0 11 H ε ινηπόλ είλαη ε ε: y f () f '()(x ) δει : y x 4 4 0 0 0 0 0 sy β. Είλαη CV y 0,9 ή 9% y 17 17 νπόηε νη ηεηαγκέλεο ηωλ ζεκείωλ Μ 1,Μ,...,Μ 10 δελ ζπληζηνύλ νκνηνγελέο δείγκα. Θέμα 4 ο : 1. Είλαη νπόηε Επίζεο 4 ' f '(x) (x ) 4(x ) (x ) 8x(x ) f '( 1) 8( 1) ( 1) ( 8)( 1) x 9x x(x 9) v lm lm x x (x )(x ) x x 6 x(x )(x ) = lm 18 άξα x (x )(x ) Η g(x) x 8x 18 έρεη g'(x) 4x 8 θαη αλ g'(x) 0 4x 8 0 x.από ηνλ παξαθάηω πίλαθα κεηαβνιώλ, 17 y = v 18 8 πξνθύπηεη όηη ε g έρεη ειάρηζην ην g()=10.άξα Είλαη v v v4 40 νπόηε 4 4 10 6 Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)
. Με βάζε ηνπο αληίζηνηρνπο ηύπνπο πξνθύπηεη ν πίλαθαο. x V f f % N F F % 0, 1, 8 0, 0 8 0,0 0,0 7, 18 0,4 4 6 0,6 6 0,7 6, 10 0, 6 0,90 40 7,100 87, 4 0,10 10 40 1 100 Σύλνιν 40 1 100. Είλαη νπόηε 0 x 4 0 x 16,66 νπόηε 16,66 41,66 4. Οη καζεηέο κε απνπζίεο από 60 έωο 7 βξίζθνληαη ζηελ θιάζε 0,7 θαη ην πιήζνο ηνπο είλαη : 7 60 10 6 7 0 7 Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)