Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς σε Υδραυλικά συστήματα. Αντίσταση ροής υγρού Υψος h Μανομετρικό Υψος h Υψος h Σχήμα.4 Ροή q Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο δεξαμενές που επικοινωνούν με ένα σωλήνα όπως ακριβώς φαίνεται στο σχήμα.4. Αν το ύψος στη μία δεξαμενή είναι h και στην δεύτερη h, και αν h<h τότε θα έχουμε ροή υγρού από τη δεξαμενή με το μεγαλύτερο ύψος προς την δεξαμενή με το μικρότερο ύψος. Ονομάζουμε ροή υγρού τη μεταβολή του όγκου στη μονάδα του χρόνου και συμβολίζουμε ως εξής: dv () t q : ροή, V : όγκος και επομένως έχουμε: q Η διαφορά ύψους των δύο δεξαμενών h hh αποτελεί την υδροστατική πίεση και ονομάζεται μανομετρικό ύψος. Από την φυσική ισχύει: dv () t h R. q R, όπου R η αντίσταση ροής του σωλήνα. Δηλαδή η υδροστατική πίεση είναι ίση με την αντίσταση ροής του σωλήνα επί την ροή. Σε έναν σωλήνα όπου έχουμε στρωτή ροή ισχύει: K.. n L R 4. gd. όπου : K σταθερά n Συντελεστής τριβής του υγρού L Μήκος του σωλήνα D Εσωτερική διάμετρος του σωλήνα g επιτάχυνση της βαρύτητας Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 3
Χωρητικότητα δοχείου Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια δεξαμενή διατομής Ε και η δεξαμενή γεμίζει με ροή q (Σχήμα.5) Ροή q Μεταβολή Υψους Δh Υψος h Σχήμα.5 Διατομή Δεξαμενής Ε dv () t όπως είπαμε έχουμε: q, ο όγκος όμος είναι : V E. h και επομένως έχουμε dh() t ML ότι : q E. q Eh Παράδειγμα Ροή q Υψος h Αντίστασση ροής R Σχήμα.6 Διατομή Δεξαμενής Ε Ροή q Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 3
Στο σύστημα της δεξαμενής του παραπάνω σχήματος.6 έχουμε είσοδο υγρού από τη ροή q και έξοδο από την ροή q. Δηλαδή ένα μέρος θα φεύγει από τη ροή q και θα ανεβαίνει η στάθμη του υγρού. Θέλουμε την συνάρτηση μεταφοράς με είσοδο τη ροή q και έξοδο το ύψος h, έτσι ώστε να μπορούμε να δούμε πως ανεβαίνει η στάθμη με το χρόνο. Αν ονομάσουμε q h την ροή ανόδου της στάθμης στη δεξαμενή θα ισχύει: q q qh Και από αυτό έχουμε: h του Lplce έχουμε: dh() t q q q q E αν τα μεταφέρουμε στο πεδίο q q Eh h () q() R h RE q Eh ( E) h h R R R μεταφοράς : h() R H() q RE και επομένως έχουμε: και άρα η συνάρτηση Παράδειγμα Ροή q Υψος h Αντίστασση ροής R Διατομή Δεξαμενής Ε Ροή q Υψος h Αντίστασση ροής R Διατομή Δεξαμενής Ε Ροή q3 Σχήμα.7 Στις δεξαμενές που βλέπουμε (Σχήμα.7) θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος με είσοδο τη ροή q και έξοδο το ύψος h και του συστήματος με είσοδο το q και έξοδο το h. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 33
Γράφουμε τις σχέσεις όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, δηλαδή: Στη δεξαμενή έχουμε: q q q αν το γράψουμε στο πεδίο του Lplce έχουμε: h q q q q E h q q E h h() ( ) h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () R Από τη σχέση () μπορούμε να υπολογίσουμε την συνάρτηση μεταφοράς : H () h () q () από τη σχέση () έχουμε: h ER h R q Eh q h H R R q ER Παρατήρηση: παρατηρούμε ότι η δεύτερη δεξαμενή δεν παίζει κανένα ρόλο στην συνάρτηση μεταφοράς που προαναφέραμε. Αυτό είναι λογικό αν δούμε την φυσική του συστήματος. Με τον ίδιο τρόπο στη δεξαμενή έχουμε: q q q q E h h () ( ) h( ) 3( ) ( ) ( ) αλλά το R επομένως έχουμε: h h E h () () R R q () h() R και Από τη σχέση της προηγούμενης συνάρτησης μεταφοράς, αντικαθιστούμε το h() και έχουμε από τη σχέση (): h h q h ( E R ) E h E h h R R ER R R Και τελικά έχουμε: h() R H() q ( E R )( E R ) Παράδειγμα 3 Ροή q Υψος h Δεξαμενή Αντίστασση ροής R Υψος h h Δεξαμενή Αντίστασση ροής R Διατομή Δεξαμενής E q Διατομή Δεξαμενής E q3 Σχήμα.8 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 34
Στο συγκρότημα δεξαμενών του σχήματος.8 θέλουμε και πάλι να υπολογίσουμε την συνάρτηση μεταφοράς: H () h () q () και h () H() q () Στη Δεξαμενή έχουμε: q Eh q () Στη Δεξαμενή με τον ίδιο τρόπο έχουμε: q E h h () ( ) ( ) () R Η ροή όμως στο σωλήνα που συνδέει τις δύο δεξαμενές είναι: q () h h R (3) Από τις 3 εξισώσεις θα λύσουμε και θα πάρουμε τις συναρτήσεις που θέλουμε: Κατ αρχήν λύνουμε την εξίσωση (3) ως προς h () και στη συνέχεια το q h R ER ( R R ) αντικαθιστούμε στη σχέση (): h q R h και στην συνέχεια: h ER ER q Eh h q ( q R h ) R R R R R ( ER ) ER ( ER ) q h q h R R ( R R ER R ) Αντικαθιστούμε στη σχέση () και έχουμε: ( ER ) E( R RE R R ) ( ER ) q Eh h q h ( R R ER R ) ( R RE R R ) E E R R ( E R E R E R ) και άρα συνάρτηση μεταφοράς: H () h () q () = R E R ( R R ) E E R R ( E R E R E R ) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 35
Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς σε Πνευματικά συστήματα Ροή αερίου και Αντίσταση ροής αερίου Η ροή των αερίων είναι αντίστοιχη με εκείνη της ροής των υγρών. Ονομάζουμε ροή αερίου και συμβολίζουμε με W, τη μάζα του αερίου που διέρχεται από μια διατομή ενός σωλήνα στη μονάδα του χρόνου. Αν λοιπόν με Μ συμβολίζουμε τη Μάζα του αερίου ισχύει: Ροή αερίου W Αντίσταση ροής R Πίεση P Πίεση P dm () t Wt (). Η αιτία που δημιουργεί τη ροή ενός αερίου μέσα σε ένα σωλήνα είναι είναι η διαφορά πιέσεων στα άκρα του σωλήνα. Για στρωτή ροή ισχύει μια σχέση ανάλογη με εκείνη των υγρών. Αν P είναι η διαφορά πιέσεων μέσα στο σωλήνα δηλαδή P P P τότε ισχύει: P RW. και βέβαια ισχύει και: P( t) RW. ( t) όπου R είναι η αντίσταση ροής αερίου στο σωλήνα. Χωρητικότητα δοχείου Ροή αερίου W V=Όγκος δοχείου P=Πίεση αερίου Μ=Μάζα αερίου Αν θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα δοχείο που έχει όγκο V και από ένα σωλήνα εισέρχεται αέριο τότε από τη φυσική γνωρίζουμε ότι: M PV M B rt Όπου: M η μάζα του αερίου P η πίεση του αερίου M B το μοριακό βάρος του αερίου Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ως εξής: Αν ονομάσουμε χωρητικότητα του δοχείου το εξής: C M r Η σταθερά των αερίων T η απόλυτη θερμοκρασία του αερίου MV B M P rt C P και ακόμα: M ( t) C P( t) και στη συνέχεια: dm ( t) dp( t) C και τελικά : Lplce τη σχέση έχουμε: W C P M N rt B τότε έχουμε: dp() t W () t C και αν γράψουμε στο πεδίο του Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 36
Παράδειγμα Πίεση P Ροή αερίου W Χωρητικότητα Δοχείου C Ροή αερίου W Αντίσταση ροής R Πίεση Δοχείου P Σχήμα.9 Στο δοχείο του σχήματος.9 εισέρχεται αέριο από το σωλήνα εισόδου. Η πίεση εισόδου είναι P, η αντίσταση ροής του σωλήνα R, και το δοχείο έχει χωρητικότητα C. Θέλουμε να υπολογίσουμε την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος με είσοδο την πίεση εισόδου και έξοδο την πίεση στο δοχείο, δηλαδή: H() Σύμφωνα με σχέσεις που περιγράψαμε παραπάνω έχουμε: P P RW () και P () P () W C P () Από τις σχέσεις () και () έχουμε: P P RC P P RC P P P ( ) P P( RC ) H P RC Παράδειγμα Ροή αερίου W Χωρητικότητα Δοχείου C Ροή αερίου W Χωρητικότητα Ροή αερίου W3 Πίεση P=0 Δοχείου ατμοσφαιρικη C Πίεση P Αντίσταση ροής R Πίεση Δοχείου P Αντίσταση ροής R Πίεση Δοχείου P3 Αντίσταση ροής R3 Σχήμα.0 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 37
Στο σύστημα του σχήματος.0 έχουμε δύο δοχεία τα οποία συνδέονται στη σειρά με σωλήνες και έχουμε ροή αερίου. Το αέριο εφαρμόζεται με μια πίεση P στο πρώτο δοχείο και καταλήγει στην ατμόσφαιρα από το δεύτερο δοχείο (πίεση την οποία θεωρούμε πίεση αναφοράς δηλαδή μηδέν. Οι αντιστάσεις των σωλήνων και οι ροές σημειώνονται ακριβώς στο σχήμα.0. Δίνονται ακόμα και οι χωρητικότητες των δοχείων, όπως σημειώνονται στο σχήμα. Θέλουμε να βρούμε την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος με είσοδο P και έξοδο την πίεση P3, δηλαδή την πίεση στο δεύτερο δοχείο. Δηλαδή θέλουμε να υπολογίσουμε: Στον πρώτο σωλήνα έχουμε: P P RW () P3 () H() P() Στον πρώτο δοχείο έχουμε: W W CP () Στο ενδιάμεσο σωλήνα έχουμε: P P3 RW (3) Στον δεύτερο δοχείο έχουμε: W W3 C P3 (4) Και στον τελικό σωλήνα έχουμε: P3 P R3W 3 και επειδή θεωρούμε την ατμοσφαιρική πίεση μηδέν η προηγούμενη σχέση γίνεται: P3 R3W 3 (5) Προσθέτω τις σχέσεις () και (3) κατά μέλη και εχουμε: P P RW R W (6) 3 Λύνουμε τη σχέση () ως προς W () και έχουμε: W C P W Στη συνέχεια αντικαθιστούμε στη σχέση (6) και έχουμε: P P3 RC P RW RW (7) P P R C P W ( R R ) 3 Από τη σχέση (3) έχουμε: P RW P3 και η σχέση (7) γίνεται: P P R C ( R W P ) W ( R R ) 3 3 P P R C R W R C P W ( R R ) 3 3 P P R C P W ( R R R C R ) 3 3 P P ( R C ) W ( R R R C R ) 3 Από τη σχέση (4) και (5) έχουμε: P3 ( CR3 ) P3 W CP3 W3 CP3 R R 3 3 Και τελικά αν αντικαταστήσουμε στην προηγούμενη σχέση έχουμε: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 38
( C R ) P P P ( R C ) ( R R R C R ) 3 3 3 R3 P ( R C ) R P ( R R R C R )( C R ) 3 3 3 3 P () R3 P ( R C ) R ( R R R C R )( C R ) 3 3 3 P () R3 P3() R3 H() P P ( R C ) R ( R R R C R )( C R ) 3 3 3 Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς σε Συστήματα μεταφοράς θερμότητας Θερμική Αντίσταση Ράβδος διατομής α Θερμοκρασία θ Θερμοκρασία θ Μήκος λ Αν υποθέσουμε ότι έχουμε δύο χώρους οι οποίοι έχουν θερμοκρασίες θ και θ αντίστοιχα όπου θ<θ. Αν οι δύο χώροι ενώνονται με μια ράβδο μήκους λ και διατομή α, τότε θα έχουμε ροή ποσού θερμότητας Q από τον χώρο υψηλότερης θερμοκρασίας προς αυτόν με τη μικρότερη. Το ποσό θερμότητας που διέρχεται από την διατομή α στη μονάδα του χρόνου ονομάζεται Θερμική ένταση και το συμβολίζουμε με q. Η θερμική ένταση δηλαδή είναι: Από την θερμοδυναμική ξέρουμε ότι ισχύει: dq() t qt () k q ( ), όπου k : ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας της ράβδου. Ονομάζουμε θερμική αντίσταση την ποσότητα: R και επομένως ισχύει (κατ k αναλογία με τον ηλεκτρισμό) : Rq, όπου Θ είναι η θερμοκρασιακή διαφορά στα άκρα της ράβδου. Η παραπάνω σχέση ισχύει και ως εξής: ( t) Rq( t) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 39
Θερμοχωρητικότητα Q Δθ Αν σε ένα σώμα προσδώσουμε ποσό θερμότητας Q και ανέβει η θερμοκρασία του από μια αρχική θερμοκρασία θ σε μια τελική θ, δηλαδή έχουμε θερμοκρασιακή διαφορά Θ, τότε ισχύει: Q C, όπου C είναι η θερμοχωρητικότητα του σώματος. Η θερμοχωρητικότητα ενός σώματος είναι το γινόμενο της ειδική θερμότητας του σώματος επί τη μάζα του δηλαδή: C και Μ η μάζα του σώματος. cm Αν την παραπάνω σχέση τη γράψουμε με διαφορικά έχουμε:, όπου c: η ειδική θερμότητα του σώματος dq( t) d( t) d( t) C q() t C και αν γράψουμε τη σχέση στο πεδίο του Lplce έχουμε: q C ή Παράδειγμα q C Χώρος θ Χώρος θ Θερμοχωριτητότητα C Σχήμα. Θερμική Αντίσταση R Έχουμε δύο χώρους όπως φαίνεται στο σχήμα. οι δύο χώροι διαχωρίζονται από ένα τοίχο που έχει θερμική αντίσταση R. O χώρος έχει θερμοχωρητικότητα C, θέλουμε να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος με είσοδο θ και έξοδο θ, δηλαδή ζητούμε την συνάρτηση μεταφοράς: Έχουμε τις σχέσεις: Rq Για το χώρο η θερμοκρασία είναι: q C Από τις δύο σχέσεις έχουμε: () H() () Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 40
RC RC () ( ) RC ( RC ) H Παράδειγμα Χώρος 0 θ Χώρος θ Θερμοχωριτητότητα C Χώρος θ Θερμοχωριτητότητα C Σχήμα. Θερμική Αντίσταση R Θερμική Αντίσταση R Έχουμε τρείς χώρους όπως φαίνεται στο σχήμα. οι δύο χώροι διαχωρίζονται από τοίχους που έχουν θερμική αντίσταση R και R όπως φαίνεται στο σχήμα.. O χώρος έχει θερμοχωρητικότητα C, και ό χώρος έχει θερμοχωρητικότητα C. θέλουμε να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος με είσοδο θ και έξοδο τη θερμοκρασία θ. Έχουμε τις σχέσεις: Rq () και ομοίως Rq Όπου q, q είναι η ροή θερμότητας μέσω των τοίχων R και R Για το χώρο η θερμοκρασία είναι: q C (3) δηλαδή η ροή θερμότητας q () ανεβάζει τη θερμοκρασία του χώρου Για το χώρο ισχύει: q C q (4) δηλαδή η ροή q () αναλώνεται για να ανεβάσει την θερμοκρασία του χώρου και για την ροή q () Από την εξίσωση () και (4) έχουμε: Rq και q C C και άρα έχουμε: () R C R C ( R C ) R C Από την εξίσωση () και (3) έχουμε: R q R C ( R C ) Στη συνέχεια έχουμε: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 4
( R C )( R C ) R C H () ( R C )( R C ) R C () ( R C )( R C ) R C Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 4