ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3ΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 40

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3ΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 40 1

Περιεχόμενα ΘΕΜΑ 1 ο... 3 Ερώτημα 1.1.... 4 ΕΠΙΛΥΣΗ... 9 Ερώτημα 1.2.... 13 ΘΕΜΑ 2 ο... 14 Ερώτημα 2.2.... 19 ΘΕΜΑ 3 ο... 20 Ερώτημα 3.1.... 21 Ερώτημα 3.2.... 21 Ερώτημα 3.3.... 22 ΘΕΜΑ 4 ο... 22 2

ΘΕΜΑ 1 ο Στο ερώτημα 1.1 ζητείται να υπολογίσουμε τα χρονικά στοιχεία του παρακάτω έργου (ενωρίτερους - βραδύτερους χρόνους και ολικά περιθώρια), καθώς και την/τις κρίσιμη/ες διαδρομή/ές αυτού. Το εν λόγω θέμα σε έργο δίκτυο που επιλύεται με τη μέθοδο των κατά βέλη προσανατολισμένων δικτύων CPM. Στα δεδομένα παρουσιάζονται οι επιμέρους δραστηριότητες και οι αντίστοιχη διάρκεια ανά δραστηριότητα, εκφρασμένη σε μέρες. 3

Ερώτημα 1.1. Θεωρία και υλικό για τη μέθοδο CPM μπορείτε να αντλήσετε από το β τόμο/ ΔΕΟ 40 σελ. 122-138 Στο πρώτο ερώτημα θα πρέπει να υπολογιστούν τα χρονικά στοιχεία του έργου, δηλαδή οι ενωρίτεροι χρόνοι, οι βραδύτεροι χρόνοι και τα ολικά περιθώρια, καθώς και η κρίσιμη ή οι κρίσιμες διαδρομές. Για να λύσετε το δίκτυο χρειάζεται να ξέρετε τα ακόλουθα: Για κάθε γεγονός ή κόμβο χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο συμβολισμό: Κανόνες σχεδίασης δικτύου: κάποιο φυσικό μέγεθος. (τερματικός κόμβος) αλλά μπορεί να σχεδιαστεί και από τις δύο κατευθύνσεις. ότητα. τέλους της Α αποτελεί κόμβο αρχής της Β. 4

που προηγούνται. ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - Τα EF υπολογίζονται με τον ομόρροπο υπολογισμό, δηλαδή από την αρχή προς το τέλος - Στον κόμβο αρχής EF=0 - Για το EF κάθε κόμβου στον οποίο καταλήγει μια δραστηριότητα έχω:efb=efa+t - Για το EF κόμβου στον οποίο καταλήγoυν δύο ή περισσότερες δραστηριότητες έχω:efγ=max [EFA+T, EFB+T], αν για παράδειγμα η Γ ακολουθεί τις Α και Β - Τα LF υπολογίζονται με τον αντίρροπο υπολογισμό, δηλαδή από το τέλος προς την αρχή - Στον κόμβο τέλους LF=EF - Για το LF ενός κόμβου από τον οποίο ξεκινά μια δραστηριότητα έχουμε LFA=LFB-T - Για το LF κόμβου από τον οποίο ξεκινούν δύο ή περισσότερες δραστηριότητες έχουμε LFA=min [LFB-T, LFΓ-T] αν η Α ακουλουθείται από τις Β και Γ. - Για το ΔΤ0 αυτό προκύπτει ως εξής: ΔΤ0=LF-EF 5

Για τις δραστηριότητες Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ, Ν με κόμβο έναρξης τον i και κόμβο πέρατος τον j διάρκειας Τ ij ημερών είναι: EFij είναι ο νωρίτερος χρόνος πέρατος δραστηριότητας, δηλαδή ο συντομότερος χρόνος που αναμένεται να περατωθεί η δραστηριότητα. Προκύπτει από το νωρίτερο πέρας του γεγονότος πέρατος της EF. LF ij είναι ο βραδύτερος χρόνος πέρατος δραστηριότητας, δηλαδή ο βραδύτερος χρόνος που επιτρέπεται να περατωθεί η δραστηριότητα ώστε να μην παραταθεί η διάρκεια του έργου. Προκύπτει από το βραδύτερο πέρας του γεγονότος πέρατος της LF. j ESij είναι ο νωρίτερος χρόνος έναρξης δραστηριότητας, δηλαδή ο συντομότερος χρόνος που μπορεί να αρχίσει η εκτέλεση της δραστηριότητας.. Προκύπτει από το νωρίτερο πέρας του γεγονότος αρχής της EF. i LS ij είναι ο βραδύτερος χρόνος έναρξης δραστηριότητας, δηλαδή ο βραδύτερος χρόνος που επιτρέπεται να αρχίσει η δραστηριότητα ώστε να μην παραταθεί η διάρκεια του έργου. Προκύπτει από το βραδύτερο πέρας του γεγονότος αρχής της LF i. Τ είναι η συνολική διάρκεια του έργου, δηλαδή ο νωρίτερος χρόνος πέρατος EF της τελικής δραστηριότητας του έργου. Αυθαίρετα θεωρείται ότι ο ij βραδύτερος χρόνος πέρατος της τελικής δραστηριότητας είναι ίσος με τον νωρίτερο χρόνο πέρατός της, LFij EFji, ώστε να επιτευχθεί η γρηγορότερη ολοκλήρωση του έργου. Το ολικό χρονικό περιθώριο κάθε γεγονότος του έργου ΔT O i ή j ΔTO j είναι το μέγιστο χρονικό διάστημα που μπορεί να καθυστερήσει η πραγματοποίηση του γεγονότος χωρίς να καθυστερήσει η εκτέλεση του έργου και ισούται Oij j i ij ΔT LF EF T, όπου T ij, η διάρκεια της κάθε δραστηριότητας. Το ολικό χρονικό περιθώριο δραστηριότητας του έργου ΔTO ij είναι το μέγιστο χρονικό διάστημα που μπορεί να καθυστερήσει η ολοκλήρωση της δραστηριότητας χωρίς να καθυστερήσει η εκτέλεση του έργου και ισούται ΔT LFj EFi Tij LSij ESij LFij EFij. με O ij 6

Για την επίλυση του δικτύου ξεκινάμε με τον ομόρροπο υπολογισμό, δηλαδή κινούμενοι κατά τη φορά των βελών από τον κόμβο αρχής προς τον κόμβο τέλους και υπολογίζονται οι ενωρίτεροι χρόνοι των γεγονότων. Ο νωρίτερος χρόνος έναρξης του πρώτου γεγονότος αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή 0, EF αρχής = 0. Υπολογίζουμε τους νωρίτερους χρόνους έναρξης κάθε κόμβου από την σχέση EFi EFj Tij. Αν στον κόμβο καταλήγουν περισσότερες από μία δραστηριότητες τότε υπολογίζουμε το EF i ως εξής, EF max EF T,EF T 1 2. i j ij j ij Μετά τον υπολογισμό των ανωτέρω, τα στοιχεία συγκεντρώνονται στον πίνακα χρονικών στοιχείων που έχει την εξής μορφή: Νωρίτεροι Αργότεροι Γεγονότα Χρ. Χρ. Δραστ. Αρχής Τέλους Διάρκεια ΕFi EFj LFi LFj Περιθώρια Ολικό Ελεύθερο ΔΤ0ij ΔΤFij Εδώ πρέπει να υπολογίζω και το ολικό χρονικό περιθώριο δραστηριότητας (όχι κόμβου) το οποίο προκύπτει από τον τύπο: ΔΤ0ij=LFj-(EFi+Tij) Οι δραστηριότητες με ολικό χρονικό περιθώριο ίσο με το μηδέν χαρακτηρίζονται ως κρίσιμες. Κρίσιμη διαδρομή είναι η ακολουθία κρίσιμων δραστηριοτήτων από την αρχή ως το τέλος του έργου. Αν μια από τις κρίσιμες διαδρομές καθυστερήσει, θα καθυστερήσει και η ολοκλήρωση του έργου. 7

Για να λύσουμε το δίκτυο θα πρέπει να φτιάξουμε τα κουτάκια σε κάθε κόμβο. Συμπληρώνουμε πρώτα το κουτάκι κάτω δεξιά. Στην εκφώνηση έχει αριθμημένους τους κόμβους οπότε εμείς εύκολα μπορούμε να αριθμίσουμε τα γεγονότα. 8

ΕΠΙΛΥΣΗ Ομόρροπος Υπολογισμός: ΕF1=0 EF2=EF1+TA=0+2=2 EF3=EF1+TB=0+3=3 EF4=EF1+TΓ=0+3=3 ΕF5=max(EF2+TΔ, ΕF3+TE, EF4+TZ)=max(2+4, 3+3, 3+2)=max(6, 6, 5)=6 EF6= EF5+ΤΘ = 6+5 = 11 ΕF7=max(EF6+TK, EF5+TH)=max(11+9, 6+4)=max(20, 10)=20 EF8=max(EF6+TΛ, EF5+TI)=max(11+4, 6+9)=max(15, 15)=15 EF9=max(EF7+TM, EF8+TN)=max(20+3, 15+4)=max(23, 19)=23 Αντίρροπος Υπολογισμός: LF9=EF9=23 LF8=LF9-TN=23-4=19 LF7=LF9-TM=23-3=20 LF6=min(LF7-TK, LF8-TΛ)=min(20-9, 19-4)=min(11, 15)=11 LF5=min(LF7-TH, LF6-TΘ, LF8-TI)=min(20-4, 11-5, 19-9)=min(16, 6, 10)=6 LF4=LF5-TZ=6-2=4 LF3=LF5-TE=6-3=3 LF2=LF5-TΔ=6-4=2 LF1=min(LF2-TA, LF3-TB, LF4-TΓ)=min(2-2, 3-3, 4-3)=min(0, 0, 1)=0 9

Ολικό Χρονικό Περιθώριο Γεγονότος (Κόμβου): ΔΤο=LF-EF ΔΤο1 = 0-0=0 ΔΤο2 = 2-2=0 ΔΤο3 = 3-3=0 ΔΤο4 = 4-3=1 ΔΤο5 = 6-6=0 ΔΤο6 = 11-11=0 ΔΤο7 = 20-20=0 ΔΤο8 = 19-15=4 ΔΤο9 = 23-23=0 10

11

Ακολουθεί ο πίνακας χρονικών στοιχείων του έργου: Γεγονός Διάρκ. Νωριτεροι Χρ. Αργότεροι Χρ. Ολικό Χρ. Περ. Δραστηρ. Αρχ. Τελ Τ EFαρχ. EFτελ. LFαρχ LFτελ Δτοij=LFj-(Efi+T) Α 1 2 2 0 2 0 2 2-(0+2)=0 Β 1 3 3 0 3 0 3 3-(0+3)=0 Γ 1 4 3 0 3 0 4 4-(0+3)=1 Δ 2 5 4 2 6 2 6 6-(2+4)=0 Ε 3 5 3 3 6 3 6 6-(3+3)=0 Ζ 4 5 2 3 6 4 6 6-(3+2)=1 Η 5 7 4 6 20 6 20 20-(6+4)=10 Θ 5 6 5 6 11 6 11 11-(6+5)=0 Ι 5 8 9 6 15 6 19 19-(6+9)=4 Κ 6 7 9 11 20 11 20 20-(11+9)=0 Λ 6 8 4 11 15 11 19 19-(11+4)=4 Μ 7 9 3 20 23 20 23 23-(20+3)=0 Ν 8 9 4 15 23 19 23 23-(15+4)=4 Στην τελευταία στήλη του πίνακα υπολογίστηκε το ολικό χρονικό περιθώριο. Οι δραστηριότητες οι οποίες έχουν μηδενικό ολικό χρονικό περιθώριο είναι οι κρίσιμες, δηλαδή οι Α, Β, Δ, Ε, Θ, Κ, Μ. Οι κρίσιμες διαδρομές είναι: Α Δ Θ Κ Μ Β Ε Θ Κ Μ και η διάρκεια τους είναι 23. 12

Ερώτημα 1.2. Το ολικό περιθώριο δραστηριότητας είναι το μέγιστο χρονικό διάστημα που μπορεί να καθυστερήσει η ολοκλήρωση της χωρίς να καθυστερήσει η εκτέλεση του έργου. Εξετάζουμε εάν το άτομο θα μετακινηθεί στη Θ από την Η ή από τη Ι. Η Η έχει ολικό χρονικό περιθώριο 10 ημέρες οπότε έχει τη δυνατότητα να καθυστερήσει κατά 4 ημέρες λόγω της αφαίρεσης του ατόμου. Η Ι έχει ολικό περιθώριο 4 ημέρες οπότε εάν αφαιρεθεί το άτομο από αυτήν, θα μηδενιστεί το ολικό της χρονικό περιθώριο οπότε θα γίνει κρίσιμη (Εάν γίνει κρίσιμη θα πρέπει και η επόμενη να γίνει κρίσιμη, δηλαδή η Ν οπότε θα αλλάξει και η κρίσιμη διαδρομή και η διάρκεια του έργου). 13

ΘΕΜΑ 2 ο Το δικτυωτό γράφημα που προκύπτει από την εκφώνηση είναι το : 14

Για να υπολογιστεί η συνολική διάρκεια του έργου θα πρέπει να γίνει η επίλυση του με τη μέθοδο MPM. Γενικές Οδηγίες Επίλυσης ΟΜΟΡΡΟΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ESαρχής=0 EFαρχής=ESαρχής+Τ Για ES, ανάλογα με τη σχέση αλληλουχίας χρησιμοποιώ τους τύπους του πίνακα Όταν υπάρχουν περισσότερες από μια σχέσεις αλληλουχίας, παίρνω το μεγαλύτερο αποτέλεσμα ΑΝΤΙΡΡΟΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ LFτέλους=EFτέλους LSτέλους=LFτέλους-Τ Για LF, ανάλογα με τη σχέση αλληλουχίας χρησιμοποιώ τους τύπους του πίνακα Όταν υπάρχουν περισσότερες από μια σχέσεις αλληλουχίας, παίρνω το μικρότερο αποτέλεσμα 15

Για τον υπολογισμό του ελεύθερου χρονικού περιθωρίου χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο: ΔΤFα = MIN(EYτ EXα XYατ) 16

ΕΠΙΛΥΣΗ Ομόρροπος Υπολογισμός: ΕS(A)=0 EF(A)=ΕS(A)+T(A)=0+4=4 ES(B)=EF(A)+FF(AB)-T(B)=4+3-6=1 EF(B)=ES(B)+T(B)=1+6=7 ES(Γ)=max[EF(A)+FS(AΓ), ΕS(B)+SS(BΓ)]=max[4+4, 1+6]=max[8, 7]=8 EF(Γ)= ES(Γ)+Τ(Γ)=8+7=15 ΕS(Δ)=max[EF(B)+FS(ΒΔ), ΕF(Γ)+FF(ΓΔ)-Τ(Δ)]=max[7+5, 15+2-4]= max[12, 13]= 13 EF(Δ)=ES(Δ)+Τ(Δ)=13+4=17 Αντίρροπος Υπολογισμός: LF(Δ)=ΕF(Δ)=4 LS(Δ)=LF(Δ)-Τ(Δ)=17-4=13 LF(Γ)=LF(Δ)-FF(ΓΔ)=17-2=15 LS(Γ)=LF(Γ)-T(Γ)=15-7=8 LF(B)=min(LS(Δ)-FS(BΔ), LS(Γ)-SS(BΓ)+Τ(Β))=min(13-5, 8-6+6)=8 LS(B)=LF(B)-T(B)=8-6=2 LF(A)=min(LF(B)-FF(AB), LS(Γ)-FS(AΓ))=min (8-3, 8-4)=4 LS(A)=LF(A)-T(A)=4-4=0 17

Για το ολικό χρονικό περιθώριο (ΔΤο) κάθε δραστηριότητας θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: LF-EF=LS-ES. Για τις δραστηριότητες Α, Γ και Δ είναι μηδέν, οπότε μηδέν θα είναι και το ελεύθερο χρονικό περιθώριο (ΔΤF). Για τη δραστηριότητα Β: ΔΤο=LF-EF=LS-ES=1 ΔΤF=min(ES(Δ)-ΕF(B)-FS(BΔ), ES(Γ)-ES(B)-SS(ΒΓ))=min(13-7-5, 8-1- 6)=1 Προκύπτει επομένως ότι: Η συνολική διάρκεια του έργου είναι 17 ημέρες και η κρίσιμη διαδρομή θα είναι η Α Γ Δ. 18

Ερώτημα 2.2. Για το διάγραμμα GANTT πρώτα κατατάσσουμε τις δραστηριότητες με βάση το νωρίτερο χρόνο έναρξης, ενώ θα χρειαστούμε επίσης τη διάρκεια, το ολικό χρονικό περιθώριο δραστηριοτήτων και τον αριθμό των εργατών που απορροφούν οι δραστηριότητες, στοιχεία τα οποία συγκεντρώνω στον ακόλουθο πίνακα: ES T ΔΤ0 Εργάτες Α 0 4 0 5 Β 1 6 1 3 Γ 8 7 0 3 Δ 13 4 0 4 Παρατηρούμε ότι οι εργάτες δεν επαρκούν την 2, 3 και 4 η μέρα. Η μόνη που μπορεί να μετακινηθεί είναι η Β που έχει ολικό χρονικό περιθώριο μη μηδενικό, οπότε η έναρξη της μπορεί να καθυστερήσει κατά μια ημέρα. Όμως ούτε αυτό έχει αποτέλεσμα και το πρόβλημα θα παραμένει την 3 η και 4 η ημέρα. 19

ΘΕΜΑ 3 ο 20

Ερώτημα 3.1. Την 8 η ημέρα όπου πραγματοποιείται ο έλεγχος: - Το πραγματικό κόστος υπολογίστηκε σε 8000, άρα ACWP = 8000 - Το προϋπολογισμένο κόστος για το έργο που έχει γίνει ως την 8 η ημέρα είναι BCWP=10km*500 /km=5000 - Το προϋπολογισμένο κόστος για το έργο που είχε προγραμματιστεί να γίνει ως την 8 η ημέρα είναι: BCWS= (2+1+1+2+3+1+1+1) km * 500 /km = =12km* 500 / km =6000 Άρα CPI = BCWP/ACWP = 5000/8000=0.625 < 1 άρα το έργο κοστίζει περισσότερο απ όσο είχε αρχικά προγραμματιστεί (έχει ξεφύγει του οικονομικού προγραμματισμού) SPI = BCWP/BCWS = 5000/6000=0.833 <1 άρα το έργο έχει καθυστερήσει συγκριτικά με τον αρχικό χρονικό προγραμματισμό του (έχει ξεφύγει του χρονικού προγραμματισμού) Ερώτημα 3.2. Η προϋπολογισμένη διάρκεια του έργου (Τ) ήταν 10 ημέρες. Η ημέρα ελέγχου (t) είναι η 8 η ημέρα. Ο εκτιμώμενος χρόνος που υπολείπεται για την ολοκλήρωση του έργου είναι TTC=(T/SPI)-t = (10/0.833)-8 = 4 ημέρες. Άρα η νέα συνολική διάρκεια του έργου θα είναι : 8+4=12 ημέρες. 21

Ερώτημα 3.3. Για τα πρώτα 10 km που ολοκληρώθηκαν ως την ημέρα ελέγχου, το κόστος ήταν 8000. Υπολείπονται 7 km και εφόσον αυτά θα ολοκληρωθούν με το προγραμματισμένο κόστος, θα απορροφήσουν 7km*500 /km=3500. Άρα συνολικά το κόστος του έργου θα είναι 8000+3500=11500. ΘΕΜΑ 4 ο Έστω ότι έχοντας επιλύσει ένα δίκτυο MPM και συγκεντρώνοντας τα στοιχεία, προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας στοιχείων: Θέλουμε να παρουσιάσουμε το διάγραμμα GANTT με βάση τους νωρίτερους χρόνους έναρξης και το διάγραμμα των διαθέσιμων πόρων έτσι ώστε να διαπιστώσουμε αν 6 συνεργεία επαρκούν για την υλοποίηση του έργου. 22

Για να ετοιμάσουμε το διάγραμμα GANTT πρώτα κατατάσσουμε τις δραστηριότητες με βάση το νωρίτερο χρόνο έναρξης, ενώ θα χρειαστούμε επίσης τη διάρκεια, το ολικό χρονικό περιθώριο δραστηριοτήτων και τον αριθμό των συνεργείων που απορροφούν οι δραστηριότητες, στοιχεία τα οποία συγκεντρώνω στον ακόλουθο πίνακα: ES T ΔΤ0 Συνεργεία Α 0 3 0 2 Β 0 2 4 3 Γ 3 3 0 3 Ε 3 5 2 2 Ζ 3 2 5 3 Δ 6 4 0 4 Η 10 2 0 2 Το διάγραμμα GANTT είναι το εξής: 23

Αντίστοιχα το διάγραμμα πόρων είναι το εξής: (Στο διάγραμμα πόρων δεν είναι ανάγκη να εμφανίζετε τα γράμματα των δραστηριοτήτων, σας τα έχω βάλει για καλύτερη κατανόηση) Όπως βλέπουμε, την 4 η και 5 η ημέρα δεν επαρκούν τα έξι συνεργεία, επομένως θα πρέπει να κάνω εξομάλυνση, μεταθέτοντας την έναρξη κάποιας δραστηριότητας που να έχει μη μηδενικό ολικό χρονικό περιθώριο, έτσι ώστε να δούμε αν με κάποια τροποποίηση επαρκούν τα συνεργεία. Αν η Ζ μετακινηθεί έτσι ώστε να ολοκληρώνεται την 10 η ημέρα, δεν λύνεται το πρόβλημα καθώς την 9 η και τη 10 η μέρα θα απαιτούνται 7 συνεργεία. Αν η Ε ξεκινήσει δύο ημέρες αργότερα, όσο της επιτρέπεται ώστε να ολοκληρώνεται τη 10 η ημέρα, το πρόβλημα επιλύεται, ο περιορισμός των 6 συνεργείων ικανοποιείται και τα νέα διαγράμματα είναι τα εξής: 24