ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

Σχετικά έγγραφα
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Επιχειρησιακή Έρευνα I

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Γραμμικός Προγραμματισμός

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας

Αστικά υδραυλικά έργα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας

Διαχείριση Ταμιευτήρα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Αστικά υδραυλικά έργα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Εισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Στο στάδιο ανάλυσης των αποτελεσµάτων: ανάλυση ευαισθησίας της λύσης, προσδιορισµός της σύγκρουσης των κριτηρίων.

Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017

Επιχειρησιακή Έρευνα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Επιχειρησιακή Έρευνα I

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100)

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

4.γ. μερική επανάληψη, εισαγωγή στη βελτιστοποίηση υδατικών συστημάτων. Δρ Μ.Σπηλιώτης

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Υφαλμύρινση Παράκτιων Υδροφορέων - προσδιορισμός και αντιμετώπιση του φαινομένου με συνδυασμό μοντέλων προσομοίωσης και μεθόδων βελτιστοποίησης

Επιχειρησιακή Έρευνα

1. ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Εξάμηνο: Κωδικός μαθήματος:

Μοντελοποίηση προβληµάτων

Ανάλυση δικτύων διανομής

Γραμμικός Προγραμματισμός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

3. Δίκτυο διανομής επιλύεται για δύο τιμές στάθμης ύδατος της δεξαμενής, Η 1 και

ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Καταθλιπτικοί αγωγοί και αντλιοστάσια

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Προστατεύει το. υδάτινο περιβάλλον. Αλλάζει τη. ζωή μας.

ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Περιεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων

Υδραυλικά Έργα Ι [ΠΟΜ 443]

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1)

ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΑΘΜΟΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΕΙΣ ΕΞΑΤΜΙΣΗ. Μ mm 150 mm. Μ mm 190 mm. Μ mm 165 mm. Μ mm 173 mm.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΣΥΣΤHΜΑΤΑ ΑΠΟΦAΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓH

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΤΟΜΕΑΣ ΥΔ. ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΔΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017

Προβλήματα Υφαλμύρισης Καρστικών Υδροφορέων

Transcript:

Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Παναγιώτα Γαλιατσάτου Δρ. Πολιτικός Μηχανικός Φώτιος Μάρης Αναπλ. Καθηγητής Δ.Π.Θ.

ENOTHTA X ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ

Τεχνικές Διαχείρισης Εμπειρικές Προσεγγίσεις Είναι απλές προσεγγίσεις στις οποίες λαμβάνονται εμπειρικά σενάρια με οικονομικά κυρίως κριτήρια. Συνήθως απαριθμούνται και περιγράφονται τα σενάρια ανάπτυξης των υδατικών πόρων και με βάση κυρίως την εφικτότητα της υλοποίησης τους και του κόστους που συνεπάγονται, ιεραρχούνται. Μαθηματική ανάλυση Στη μαθηματική ανάλυση χρησιμοποιούνται μέθοδοι διαφορικού λογισμού που προκρίνουν κάποιες λύσεις με τη βελτιστοποίηση μιας μαθηματικής συνάρτησης. π.χ καμπύλη κόστους για να βρεθεί το ελάχιστο κόστος ενός φράγματος ή βελτιστοποίηση υδρευτικού ή αρδευτικού δικτύου Παράδειγμα Μαθηματικής Ανάλυσης Βέλτιστη επιλογή ενός καταθλιπτικού αγωγού

Μανομετρικό ύψος: Η μαν =H+H σ.α +Σ(h f +h L ) Η: Η διαφορά στάθμης αντλιοστασίου και Ανώτατης Κανονικής Στάθμης Η σ.α : Το μήκος του αγωγού αναρρόφησης Σ (h f +h L ): οι συνολικές απώλειες γραμμικές (h f ) και τοπικές (h L )

H βέλτιστη λύση προκύπτει αθροίζοντας δύο καμπύλες. C 1 : Κόστος επιλεγμένων αγωγών και αντλιοστασίου/ Κόστος Επένδυσης C 2 : Κόστος ενέργειας για την άντληση με κάθε διάμετρο Όταν C 1 C 2 Η διάμετρος σωληνώσεων που δίνει την ελάχιστη τιμή για την καμπύλη C tot =C 1 +C 2 είναι η βέλτιστη διατομή σωληνώσεων του εξωτερικού υδραγωγείου. Η βέλτιστη διάμετρος Dopt μπορεί να μην αντιστοιχεί στην τομή των C 1, C 2.

Τεχνικές Διαχείρισης Πολυκριτηριακή ανάλυση Επιλογή των κριτηρίων και περιγραφή των χαρακτηριστικών τους Βαθμονόμηση κριτηρίων ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους Στάθμιση- Εξαγωγή Αποτελεσμάτων Βαθμολόγηση κριτηρίων για κάθε εναλλακτικό σενάριο Καθορισμός συντελεστών βαρύτητας των κριτηρίων Σειρά κατάταξης σεναρίων Ανάλυση ευαισθησίας Επιλογή σεναρίου Μαθηματικός Προγραμματισμός Ο μαθηματικός προγραμματισμός αποτελεί το αντικείμενο μιας επιστήμης των εφαρμοσμένων μαθηματικών που καλείται Επιχειρησιακή Έρευνα.

Δομή και Λειτουργία Συστημάτων Σύστημα : Οργανωμένο σύνολο από στοιχεία σε αλληλοεπίδραση Αιτιοκρατικά (deterministic) Προβλεψιμότητα Πιθανολογικά ή Πιθανοκρατικά (probabilistic) Ασαφή Σύνολα (fuzzy sets) Θεωρία Διαστημάτων

Δομή και Λειτουργία Συστημάτων Πολυπλοκότητα Συστημάτων Απλά Σύνθετα Πολυσύνθετα Καθορισμός Συστήματος black box (άγνωστη δομή και λειτουργία) διαφανές κουτί (περιγράφεται με το σύνολο των μεταβλητών και το σύνολο των μεταξύ τους σχέσεων)

Δομή και Λειτουργία Συστημάτων Μέθοδος βελτιστοποίησης ή καλύτερης λύσης Απλοποίηση Τροποποίηση Διάσπαση σε επιμέρους ανεξάρτητες ενότητες Γραμμικός Προγραμματισμός Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Ζητείται η ελαχιστοποίηση ή μεγιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης κάτω από μια σειρά περιορισμών που παρουσιάζονται ως γραμμικές εξισώσεις Βήματα Επίλυσης Προσδιορίζεται ο χώρος των λύσεων ως λύση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων Βρίσκονται οι κορυφές του χώρου (πολυγώνου) Υπολογίζεται η γραμμική (αντικειμενική συνάρτηση) στις κορυφές και επιλέγεται αυτή που ελαχιστοποιεί ή μεγιστοποιεί τη συνάρτηση.

Γραμμικός Προγραμματισμός Γενικευμένη μορφή προβλημάτων Γ.Π. Ζητείται: Να βρεθούν οι τιμές x 1,x 2,x 3,..,x n ώστε να μεγιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση Ζ=c 1 x 1 +c 2 x 2 +..+c n x n Υπό τους περιορισμούς: Μπορεί να υπάρξουν και διάφορες παραλλαγές όπως: - ελαχιστοποίηση αντί μεγιστοποίησης - περιορισμοί β i - μερικοί περιορισμοί = β i - μερικές μεταβλητές x i 0 - μερικές μεταβλητές χωρίς περιορισμό

Γραμμικός Προγραμματισμός Γενικευμένη μορφή προβλημάτων Γ.Π. Προϋποθέσεις: - η αντικειμενική συνάρτηση να είναι γραμμική - ύπαρξη μόνο μιας αντικειμενικής συνάρτησης - οι μεταβλητές x j να ανήκουν στο R - να είναι γνωστά τα c j, a ij, και β i Επίλυση προβλημάτων με τη μέθοδο Simplex: - Ανισώσεις ισότητες (slack variables- πρόσθετες μεταβλητές) - Aνίχνευση λύσεων στα όρια - Σταδιακή αντικατάσταση των αρχικά μηδενικών μεταβλητών

Παράδειγμα Γραμμικού Προγραμματισμού (Γ. Τσακίρης) Μοιράζεται μια ποσότητα νερού 1200 μονάδων σε δύο παραγωγικές μονάδες. Η πρώτη για κάθε μονάδα νερού αποφέρει κέρδος 150 ενώ η δεύτερη 200. Για λόγους εξασφάλισης απασχόλησης η δεύτερη μονάδα μπορεί να χρησιμοποιεί μέχρι το μισό της πρώτης ενώ η πρώτη μπορεί να ξεπερνά το τριπλάσιο της δεύτερης μέχρι 600 μονάδες. Διατύπωση : Έστω x μονάδες νερού θα χρησιμοποιεί η 1 η παραγωγική μονάδα και y μονάδες νερού θα χρησιμοποιεί η 2 η παραγωγική μονάδα Περιοριστικές Διατάξεις :

Παράδειγμα Γραμμικού Προγραμματισμού (Γ. Τσακίρης) Αντικειμενική συνάρτηση: maxb=max{150x+200y} Επίλυση: Πρώτα πρέπει να σχεδιαστούν οι ευθείες που ορίζουν οι περιοριστικές διατάξεις. Έτσι η κάθε διάταξη λαμβάνεται ως εξίσωση και προσδιορίζονται δύο σημεία της ευθείας που ορίζεται τα οποία φαίνονται παρακάτω.

Παράδειγμα Γραμμικού Προγραμματισμού (Γ. Τσακίρης) Από το σύστημα των εξισώσεων (2),(3) προκύπτει x=800, y=400 Από το σύστημα των εξισώσεων (2),(4) προκύπτει x=1150, y=150 H εφικτή περιοχή του προβλήματος φαίνεται στο παρακάτω σχήματα με το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν. Προκύπτει μια κυρτή περιοχή με κορυφές Κ1=(0,0), Κ2=(600,0), Κ3=(1050,150), Κ4=(800,400). Εφαρμόζεται η αντικειμενική συνάρτηση για τις τέσσερις κορυφές της εφικτής περιοχής.

Παράδειγμα Γραμμικού Προγραμματισμού (Γ. Τσακίρης) Συνεπώς η βέλτιστη λύση είναι η x=800, y=400 με μέγιστο όφελος B = 200000 μονάδες.

Παράδειγμα Γραμμικού Προγραμματισμού (Γ. Τσακίρης) Έστω δύο πηγές νερού με δυνατότητα παραγωγής 100 και 200 μονάδες αντίστοιχα. Έστω 3 δεξαμενές με χωρητικότητα 150, 200, 350 μονάδες αντίστοιχα. Το κόστος παραγωγής και μεταφοράς για κάθε μονάδα νερού από κάθε πηγή σε κάθε δεξαμενή δίνεται από τον παρακάτω πίνακα. Τέλος η απόδοση του νερού από τις τρεις δεξαμενές είναι 12, 14, 15 μονάδες αντίστοιχα Ζητείται η μεγιστοποίηση της ωφέλειας από τη μεταφορά νερού από τις πηγές στις δεξαμενές. Επίλυση: Αρχικά υπολογίζεται το καθαρό όφελος μεταφοράς μιας μονάδα νερού από κάθε πηγή σε κάθε δεξαμενή.

Παράδειγμα Γραμμικού Προγραμματισμού (Γ. Τσακίρης) Διατύπωση : Έστω x ij οι μεταφερόμενες ποσότητες από τις πηγές i στις δεξαμενές j με i=(1,2) και j = (1,2,3). Αντικειμενική συνάρτηση : Περιορισμοί :

Παράδειγμα Γραμμικού Προγραμματισμού (Γ. Τσακίρης) Η επίλυση του προβλήματος με τη μέθοδο simplex δίνει τις εξής ισοδύναμες λύσεις: με όφελος Β=1400 μονάδες

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Από τα πλέον συνηθισμένα προβλήματα είναι αυτά στα οποία οι μεταβλητές είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους. Υπάρχει όμως και μια κατηγορία προβλημάτων αποφάσεων στα οποία οι μεταβλητές μπορούν να πάρουν μόνο ακέραιες τιμές (Ακέραιος Προγραμματισμός) καθώς και μια κατηγορία προβλημάτων στα οποία κάποιες μεταβλητές μπορούν να είναι συνεχείς και άλλες να πάρουν ακέραιες τιμές. Τα προβλήματα αυτά αποτελούν αντικείμενο ενός τομέα Μαθηματικού Προγραμματισμού που ονομάζεται Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός. Εκτός από τις παραπάνω κατηγορίες προβλημάτων υπάρχει και μια άλλη κατηγορία προβλημάτων αποφάσεων στα οποία η απόφαση μπορεί να είναι μόνο της μορφής ΝΑΙ ή ΟΧΙ, να ΓΙΝΕΙ ή να ΜΗ ΓΙΝΕΙ. Στα προβλήματα αυτά οι μεταβλητές μπορούν να πάρουν μόνο δύο τιμές: 0 ή 1. Η κατηγορία αυτών των προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού είναι γνωστή ως Προβλήματα 0/1.

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Στον μικτό ακέραιο προγραμματισμό δεν έχει αναπτυχθεί κάποιος αλγόριθμος αντίστοιχος της μεθόδου Simplex στον Γραμμικό Προγραμματισμό. Δηλαδή ένας αλγόριθμος που να εγγυάται τη βέλτιστη λύση του κάθε προβλήματος μέσα σε λογικό χρόνο σε σχέση βέβαια με το μέγεθος του προβλήματος. Τα προβλήματα αυτής της μορφής ονομάζονται Συνδυαστικά Προβλήματα. Οι πιο γνωστές μέθοδοι επίλυσης τέτοιου είδους προβλημάτων είναι αλγόριθμοι συνδυασμού ακέραιων τιμών μεταξύ των μεταβλητών, ως ότου να επιτευχθεί μια καλή και όχι αναγκαστικά η βέλτιστη λύση, (Πραστάκος, 1994). Η επιλογή μιας τέτοιας λύσης βασίζεται στο γεγονός ότι το κέντρο λήψης των αποφάσεων είναι διατεθειμένο να αποδεχθεί μια τέτοια λύση υπό την προϋπόθεση ότι η άριστη λύση απαιτεί υπερβολικά μεγάλο χρόνο για τον υπολογισμό της. Επί της βάσεως αυτής αναπτύχθηκε ένα σύνολο μεθόδων, οι προσεγγιστικές ή ευρεστικές μέθοδοι.

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Κατά συνέπεια, οι αλγόριθμοι ακέραιου και μικτού ακέραιου προγραμματισμού διαχωρίζονται σε δύο κατηγορίες: στους αλγόριθμους βελτιστοποίησης και στους ευρεστικούς αλγόριθμους. Ο πλέον γνωστός αλγόριθμος βελτιστοποίησης είναι η μέθοδος των διαδοχικών ορίων (branch and bound method). Η μέθοδος των διαδοχικών ορίων Με τη μέθοδο των διαδοχικών ορίων (Taha, 1971) επιλύνονται μια σειρά προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού. Το πρώτο από τα προβλήματα αυτά είναι το αντίστοιχο του Μικτού Ακέραιου Προγραμματισμού χωρίς όμως τον περιορισμό της ακεραιότητας των μεταβλητών. Στα επόμενα βήματα επιβάλλονται διαδοχικά περιορισμοί επί των πεδίων τιμών των μεταβλητών.

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Βήματα της μεθόδου των διαδοχικών ορίων Βήμα 1: Αρχική λύση: Το αντίστοιχο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού (Π 0 ) επιλύεται με τη μέθοδο Simplex. Έαν η λύση είναι ακέραιη η διαδικασία σταματάει. Εάν όχι, τίθεται η τιμή Ζ 0 σαν το ανώτατο όριο της Ζ* και συνεχίζεται η διαδικασία. Το πρόβλημα Π 0 αποτελεί το πρώτο κλαδί της διαδικασίας. Βήμα 2: Διαίρεση του πεδίου τιμών μιας δεκαδικής μεταβλητής: Επιλέγεται το κλαδί με το μεγαλύτερο ανώτατο όριο. Σε αυτό το κλαδί επιλέγεται μια μεταβλητή x j =β με δεκαδική τιμή και δημιουργούνται δύο περιορισμοί : x j [β'] και x j [β']+1. Βήμα 3: Δημιουργία δύο θυγατρικών προβλημάτων-κλαδιών: Στο εξεταζόμενο κλαδί ι δημιουργούνται δύο νέα θυγατρικά προβλήματα-κλαδιά στα οποία έχουν επιβληθεί οι δύο πρόσθετοι περιορισμοί.

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Βήματα της μεθόδου των διαδοχικών ορίων Βήμα 3: Επιλύνονται τα προβλήματα και υπολογίζονται οι τιμές των μεταβλητών και της αντικειμενικής συνάρτησης Z i. Η τιμή Z i του κάθε προβλήματος είναι το ανώτατο όριο όλων των προβλημάτων που μπορούν να ακολουθήσουν από αυτό το κλαδί. Εάν οι μεταβλητές έχουν ακέραιη τιμή, και η τιμή του Z i είναι η μεγαλύτερη από όλες τις προηγούμενες λύσεις με ακέραιες μεταβλητές, τότε τίθεται η τιμή σαν το κατώτερο όριο της Ζ* και η λύση αυτή κρατιέται σαν η καλύτερη μέχρι τώρα. Βήμα 4: Εγκατάλειψη κλαδιών, όπου αυτό είναι δυνατό. Εξετάζονται όλα τα ακραία κλαδιά τα οποία δεν έχουν εγκαταλειφθεί, με σκοπό την εγκατάλειψη όσο το δυνατό περισσότερων. Εγκατάλειψη ενός κλαδιού γίνεται όταν: α) η τιμή Z i σε αυτό το κλαδί είναι μικρότερη από το κατώτατο όριο της Ζ* β) το κλαδί αυτό δεν έχει λύση (είναι αδύνατο), γ) βρεθεί ακέραιη λύση η οποία είναι καλύτερη από το ήδη υπάρχον κατώτατο όριο της Ζ*.

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Βήματα της μεθόδου των διαδοχικών ορίων Βήμα 5: Τέλος της διαδικασίας όταν εγκαταλειφθούν όλα τα κλαδιά. Όταν συμβεί αυτό, θεωρείται το κατώτατο όριο της Ζ* σαν τη βέλτιστη λύση. Εάν δεν έχουν εγκαταλειφθεί όλα τα κλαδιά τότε η διαδικασία επαναλαμβάνεται από το Βήμα 2. Οι ίδιες έννοιες ισχύουν και σε προβλήματα ελαχιστοποίησης και ακολουθείται η ίδια διαδικασία. Η διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι η τιμή Ζ 0 είναι το κατώτατο όριο της Ζ* και ότι η πρώτη εφικτή λύση είναι και το πρώτο ανώτατο όριο κ.λ.π.

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Παρατηρήσεις για τη μέθοδο διαδοχικών ορίων Η μέθοδος των διαδοχικών ορίων είναι μια απαρίθμηση των εφικτών λύσεων ενός προβλήματος. Όμως ο αριθμός των κλαδιών που δημιουργούνται και πρέπει να εξετασθούν αυξάνει πολύ γρήγορα σε σχέση με τον αριθμό των μεταβλητών του προβλήματος. Για τον λόγο αυτό η μέθοδος απαιτεί οπωσδήποτε τη χρήση Η/Υ και είναι καταλληλότερη για σχετικά μικρού ή μεσαίου μεγέθους προβλήματα. Στην περίπτωση που το πρόβλημα που πρέπει να επιλυθεί έχει μεγάλο μέγεθος μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτός ο αλγόριθμος για προσεγγιστική λύση. Η λύση αυτή θα πρέπει να είναι εφικτή και η απόκλισή της από το ανώτατο όριο της Ζ* να μην υπερβαίνει ένα μέγιστο σφάλμα που έχει προκαθορισθεί, υπό την προϋπόθεση, ότι οι λήπτες αποφάσεων είναι διατεθειμένοι να τη δεχτούν.

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Παρατηρήσεις για τη μέθοδο διαδοχικών ορίων Υπάρχει δε η δυνατότητα επέμβασης του χρήστη σε ορισμένα σημεία του αλγορίθμου με απώτερο στόχο την επιτάχυνση της διαδικασίας. Τα σημεία αυτά είναι: α) Επιλογή της μεταβλητής της οποίας το πεδίο τιμών θα υποδιαιρεθεί σε δύο μέρη. Θα πρέπει να επιλεγεί η μεταβλητή της οποίας η δεκαδική τιμή είναι πιο κοντά σε ακέραιο. β) Επιλογή του κλαδιού που θα εξετασθεί. Θα πρέπει να επιλεγεί το ακραίο κλαδί Π i του οποίου η τιμή είναι η πλησιέστερη στο ανώτατο όριο Ζ*.

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Βήματα Μικτού Ακέραιου Προγραμματισμού Έστω ένα πρόβλημα π.χ να μεγιστοποιηθεί η: G 2 : ένα σύνολο περιορισμών και x 1, x 2 : ακέραιες, x 3, x 4 : πραγματικές Ζ=2x 1 +4x 2 +0.5x 3 +1.2x 4 Τα βήματα που ακολουθούνται είναι τα εξής: 1. Επιλύεται το αντίστοιχο πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού (χωρίς τους περιορισμούς ακεραιότητας) με τη μέθοδο Simplex 2. Λαμβάνονται τα όρια για τους κλάδους για τις μεταβλητές x 1, x 2 3. Επιλύονται τα θυγατρικά προβλήματα με τους νέους περιορισμούς ( x 1, x 1, x 2, x 2 ) με τη μέθοδο Simplex 4. H διαδικασία συνεχίζεται ανάλογα και περατώνεται

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Παράδειγμα (Γ. Τσακίρης) Αντικειμενική συνάρτηση: max{z=2x 1 +6x 2 } Περιορισμοί : Γίνεται επίλυση με τη μέθοδο Simplex και προκύπτει x 1 =0,24 x 2 =2,41 Z o =14,94 Προφανώς η τελική βέλτιστη λύση Ζ* Ζ ο

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Παράδειγμα (Γ. Τσακίρης)

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Παράδειγμα (Γ. Τσακίρης)

Μικτός Ακέραιος Προγραμματισμός Παράδειγμα (Γ. Τσακίρης)

ENOTHTA XI ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

Ολοκληρωμένη Διαχείριση Υδατικών Πόρων Με τον όρο Διαχείριση Υδατικών Πόρων (ΔΥΠ) εννοούμε τη συστηματική χωροχρονική παρακολούθηση και πρόβλεψη δύο βασικών πολυδιάστατων παραμέτρων, της διαθεσιμότητας των υδατικών πόρων και των αναγκών σε νερό καθώς και τη λήψη των αναγκαίων μέτρων / αποφάσεων (για δομικά και μη έργα) με στόχο την κάλυψη των αναγκών σε νερό και την προστασία των υδατικών πόρων και του περιβάλλοντος κατά τον ευνοϊκότερο τρόπο, τώρα αλλά και στο μέλλον. Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό, οι βασικές λειτουργίες / φάσεις της ΔΥΠ είναι: Η Στρατηγική Διαχείριση Ο Σχεδιασμός και η Εποπτεία Κατασκευής των Έργων Η Λειτουργική Διαχείριση

Ολοκληρωμένη Διαχείριση Υδατικών Πόρων Οι λειτουργίες αυτές είναι άρρηκτα συνδεδεμένες μεταξύ τους ενώ κατά την εκπόνηση κάθε φάσης θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη τα βασικά χαρακτηριστικά της επόμενης φάσης (χώρος, χρόνος, κριτήρια). Αξίζει να τονισθεί από την αρχή ότι η Στρατηγική Διαχείριση είναι μια συνεχής διαδικασία που εκτείνεται σε μεγάλο χρονικό ορίζοντα κατά τη διάρκεια του οποίου ανανεώνει τις πληροφορίες και τις προβλέψεις σε τακτά χρονικά διαστήματα. Για παράδειγμα, ένα πρόγραμμα Στρατηγικής Διαχείρισης αναπτύσσεται για διάρκεια 20-30 χρόνια ενώ ανά πενταετία γίνεται μια γενική αναπροσαρμογή αλλά και αξιολόγηση του διαστήματος που παρήλθε. Ο όρος «Ολοκληρωμένη Διαχείριση Υδατικών Πόρων» που χρησιμοποιείται ευρύτατα σήμερα νοείται ως ο συνυπολογισμός των επιδράσεων της ΔΥΠ με άλλους τομείς του περιβάλλοντος και της οικονομίας με τη γενικότερη έννοια.

Ολοκληρωμένη Διαχείριση Υδατικών Πόρων Σύμφωνα με ένα ορισμό που συζητήθηκε πρόσφατα στα πλαίσια του δικτύου ETNET.ENVIRONMENT-WATER η ουσία της ΔΥΠ είναι να αντιμετωπίζει / διαχειρίζεται τα διάφορα στοιχεία των συστημάτων νερού μαζί με το ευρύτερο περιβάλλον περιλαμβάνοντας την αλληλοεπίδραση τους ώστε να αποφεύγονται αναποτελεσματικές ή υπο-βέλτιστες τομεακές λύσεις. Το σημείο συνεχούς εκκίνησης πρέπει να είναι το φυσικό περιβάλλον και οι δυνατότητες και οι περιορισμοί που αυτό επιβάλλει. Με βάση τη διαπίστωση αυτή, η σύγχρονη άποψη για την ΔΥΠ στηρίζεται στη χωρική ενότητα της λεκάνης απορροής στην οποία θεωρείται ότι συντελούνται οι διάφορες φάσεις του υδρολογικού κύκλου από την πτώση των ατμοσφαιρικών κατακρημνισμάτων μέχρι την επιστροφή των υδρατμών στην ατμόσφαιρα με την εξάτμιση και τη διαπνοή. Η λεκάνη απορροής προτείνεται από την Κοινότητα αλλά και πολλές ευρωπαϊκές χώρες ως η βάση οποιασδήποτε ανάλυσης στα πλαίσια της Στρατηγικής διαχείρισης καθώς και της διοικητικής και επιχειρησιακής διαχείρισης.

Ολοκληρωμένη Διαχείριση Υδατικών Πόρων Στα πλαίσια αυτά σύμφωνα και με τις επιταγές της κοινότητας δημιουργούνται συμβούλια διοίκησης κάθε λεκάνης απορροής (του τύπου River Basin Authority). Στην Ελληνική πραγματικότητα αλλά και ειδικότερα στα νησιά του Αιγαίου, η λεκάνη απορροής μπορεί να αποτελέσει τη βάση των σχετικών εκτιμήσεων για το διαθέσιμο επιφανειακό και υπόγειο δυναμικό καθώς και των αναγκών σε νερό στα κέντρα κατανάλωσης της λεκάνης. Επειδή όμως η έκταση της μεγάλης πλειονότητας των λεκανών είναι μικρή ενώ τα κέντρα κατανάλωσης βρίσκονται σε άλλη γειτονική λεκάνη, σημαντική πρωταρχική επιδίωξη της ΔΥΠ είναι η ομαδοποίηση των λεκανών απορροής με τη δημιουργία πλήρων συστημάτων ΔΥΠ που χωρικά εκτείνονται σε περισσότερες της μιας λεκάνες. Συνεπώς η ολοκληρωμένη προσέγγιση απαιτεί την κατά το δυνατόν ενοποίηση γειτονικών λεκανών ώστε να περιλαμβάνονται όλες οι βασικές λειτουργίες της ΔΥΠ σε ενιαία χωρική μονάδα.

Ολοκληρωμένη Διαχείριση Υδατικών Πόρων Η Ολοκληρωμένη Διαχείριση σχετίζεται άμεσα με πέντε περιοχές / συστήματα τα οποία με τη σειρά τους σχετίζονται μεταξύ τους

Ολοκληρωμένη Διαχείριση Υδατικών Πόρων Ως προς το Μοντέλο διαδοχής των κατασκευών (sequencing model) η μελετητική ομάδα μπορεί να χρησιμοποιήσει το επιστημονικό πακέτο ΚΑΝΑΤ που με βάση μια σειρά κριτηρίων συγκρίνει τα εφικτά σενάρια ανάπτυξης και επιλέγει το καλύτερο. Το πακέτο λογισμικού ΚΑΝΑΤ είναι ευέλικτο και χρησιμοποιεί τα αποτελέσματα των μοντέλων προσομοίωσης όλων των βασικών παραμέτρων διαθεσιμότητας υδατικών πόρων και αναγκών σε νερό. Για την επιλογή της βέλτιστης λύσης το πακέτο χρησιμοποιεί πολυκριτηριακή προσέγγιση. Το πακέτο βασίζεται σε μια σειρά κριτηρίων και δεικτών αξιολόγησης όπως: α) Οικονομικών β) Περιβαλλοντικών γ) Ισόρροπης περιφερειακής ανάπτυξης δ) Κοινωνικών Η μέθοδος επίλυσης είναι αυτή του Συμβιβαστικού Προγραμματισμού

Τάσεις στην Ευρώπη Κοινοτικές Οδηγίες Όπως αναγνωρίζεται από πολλούς κοινοτικούς παράγοντες η Ευρωπαϊκή Ένωση έχει καθυστερήσει στη δημιουργία και εφαρμογή μιας Ενιαίας Πολιτικής για τη Διαχείριση των Υδατικών Πόρων. Τις προηγούμενες δεκαετίες διαμόρφωσε Οδηγίες (Directives) για μια σειρά επιμέρους θεμάτων που αφορούν στους Υδατικούς Πόρους χωρίς όμως να διαμορφώσει γενικό πλαίσιο και χωρίς να επιβάλει απόλυτα την εφαρμογή αυτών των Οδηγιών.

Τάσεις στην Ευρώπη Κοινοτικές Οδηγίες Μερικές από αυτές τις οδηγίες είναι: Fishwater directive (Οδηγία για το θαλάσσιο νερό) Shellfish water directive (Οδηγία για τα οστρακοειδή) Directive on Water abstracted for drinking water (Οδηγία για το πόσιμο νερό) Directive on dangerous substances discharged (Οδηγία για τις επικίνδυνες ουσίες) Directive on Nitrates and other nutrients (Οδηγία για τα νιτρικά) Directive on Treatment of Urban Waste Water (Οδηγία για τα αστικά απόβλητα)

Τάσεις στην Ευρώπη Κοινοτικές Οδηγίες Από το 1994 υπήρξαν απόψεις για την ενοποίηση και επέκταση των Οδηγιών της Κοινότητας σε μια Οδηγία - Πλαίσιο. Από το Φεβρουάριο του 1997 που διατυπώθηκε σε αρχικό κείμενο η οδηγία - πλαίσιο έγιναν συναντήσεις και διαπραγματεύσεις και η Οδηγία ολοκληρώθηκε το 2000. Η Οδηγία συμπεριλαμβάνει και τις προηγούμενες πέντε πρώτες οδηγίες (που αναφέρθηκαν πιο πάνω) ενώ η Οδηγία για τα Νιτρικά και για την επεξεργασία των αστικών αποβλήτων θα εξακολουθήσουν να ισχύουν.

Τάσεις στην Ευρώπη Κοινοτικές Οδηγίες Βασικοί άξονες της νέας Οδηγίας - πλαίσιο είναι: Η Οργάνωση για τη διαχείριση υδατικών πόρων που ξεκινά από τη Λεκάνη Απορροής Τα Αυστηρά Περιβαλλοντικά Standards Την κοστολόγηση του νερού με βάση το πραγματικό κόστος (προτροπή προς τα κράτη μέλη) Την διαμόρφωση Αρχών στα διασυνοριακά ποτάμια Την έμφαση στα χερσαία και υδατικά οικοσυστήματα Τη βιώσιμη διαχείριση και την προστασία των διαθέσιμων υδατικών πόρων με ενέργειες και δράσεις μακράς πνοής Τον περιορισμό των επιπτώσεων της ξηρασίας και των πλημμύρων