ΜΑΘΗΜΑ 6ο Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ 6ο Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Γιατί, ανεξάρτητα από τις λέξεις, θεωρώ αυτές τις δυνάµεις από µαθηµατική και όχι από φυσική άποψη και ο αναγνώστης πρέπει να επιφυλαχθεί στο να πιστέψει ότι θέλησα να συµβολίσω µε αυτές τις λέξεις ένα είδος δράσης, αιτίας ή φυσικού λόγου. Isaac Newton (7 ος αιώνας Στην Κλασική Μηχανική, ένα πεδίο δυνάµμεων ορίζεται ως απεικόνιση που σε κάθε σηµμείο του χώρου προσαρτά ένα διάνυσµμα στο οποίο αποδίδεται θεωρη- τική υπόσταση δύναµμης. Αυτό σηµμαίνει ότι ένα σώµμα, σε κάθε θέση του χώρου, θα δεχτεί την αντίστοιχη δύναµμη η οποία ορίζεται από το πεδίο δυνάµμεων και η κίνησή του θα υπακούει στους νόµμους του Νεύτωνα. Ο Νεύτωνας, ανακαλύπτοντας το νόµμο της παγκόσµμιας έλξης, έδωσε το έναυ- σµμα για την υπολογιστική ανάλυση της εξ αποστάσεως αλληλεπίδρασης των σωµμάτων και των κινήσεών τους στα πεδία βαρυτικών δυνάµμεων. Εδώ ακρι- βώς βρίσκεται η απαρχή της µμαθηµματικής θεώρησης των πεδίων δυνάµμεων. Ο µμαθηµματικός ορισµμός δεν θα µμας πει τι είναι ένα πεδίο δυνάµμεων, ούτε ποιο είναι το φυσικό του νόηµμα, όµμως διαµμορφώνει την ορθολογική βάση για την αναλυτική περιγραφή της εξ αποστάσεως αλληλεπίδρασης των σωµμάτων και την υπολογιστική επεξεργασία των σχέσεων µμεταξύ φυσικών µμεγεθών. Το να δοθεί η µμαθηµματική έκφραση της αλληλεπίδρασης των σωµμάτων δεν αρκεί για να γίνει αντιληπτό το φυσικό αίτιο που την προκαλεί, ούτε το πώς ασκείται και µμεταβιβάζεται από το ένα σώµμα στο άλλο µμέσα στο χώρο. Isaac Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 687

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 6.. Η κλασική μαθηματική θεώρηση των πεδίων δυνάμεων. Ένα πεδίο δυνάµμεων ορίζεται ως συνεχής απεικόνιση που σε κάθε σηµμείο του χώρου προσαρτά ένα διάνυσµμα στο οποίο αποδίδεται υπόσταση δύναµμης: F : F(x = ( f (x, f (x, f (x, f i :, i =,,. Αυτό σηµμαίνει ότι µμια µμοναδιαία σηµμειακή µμάζα, ως θεωρητικό υπόθεµμα, σε κάθε θέση στο χώρο, θα δεχτεί την αντίστοιχη δύναµμη που θα προκαλέσει µμε- ταβολή της κινητικής της κατάστασης σύµμφωνα µμε τη ΘΕΚ : d x dt = F(x : d x i dt = f i (x, i =,,. Τα πεδία δυνάµμεων διακρίνονται σε δυο κατηγορίες ανάλογα µμε το αν ορίζονται ή όχι από συνάρτηση δυναµμικού, δηλαδή µμια διαφορίσιµμη συνάρτηση: U : : F(x = U(x, x. Η συνάρτηση δυναµμικού, εφόσον υπάρχει, ορίζεται µμε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς ως λύση του συστήµματος των εξισώσεων: U x i (x = f i (x, i =,,. Η συνάρτηση δυναµμικού, αποδίδοντας στα σηµμεία του χώρου τιµμές δυναµμικού, ορίζει ένα βαθµμωτό πεδίο δυναµμικού και λειτουργεί ως υπολογιστικό ενδιάµμε- σο για την ανάλυση των φαινοµμένων που εκδηλώνονται κατά την αλληλεπί- δραση κάθε σώµματος µμε το πεδίο δυνάµμεων. Τα ισοσταθµμικά σύνολα που ορί- ζονται από τις τιµμές είναι γενικά λείες επιφάνειες και καλούνται ισοδυναµμικές επιφάνειες. Σε κάθε σηµμείο της, η ισοδυναµμική επιφάνεια δέχεται εφαπτόµμενο επίπεδο που είναι ορθογώνιο στο αντίστοιχο διάνυσµμα του πεδίου δυνάµμεων: F(x T x S c (U, x, όπου S c (U = { x / U(x = c}, c. Τα πεδία δυνάµμεων, ως διανυσµματικές συναρτήσεις, προκειµμένου να ανταποκρίνονται στην υπο- λογιστική ανάλυση των φυσικών αλληλεπιδράσεων, οφείλουν να διαθέτουν συνεχείς µμερικές πα- ραγώγους τουλάχιστον πρώτης τάξης. Στον ευκλείδειο χώρο, διαµμέσου του εσωτερικού γινοµμένου, τα διανυσµματικά πεδία ταυτίζονται ισοµμορφικά µμε τις διαφορικές µμορφές και έτσι, στη µμαθηµματι- κή τους θεώρηση τα πεδία δυνάµμεων µμπορούν να αποκτήσουν τη διαφορική έκφραση: F(x = f i (xdx i. i=,,

ΜΑΘΗΜΑ 6ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 6 Στα πεδία δυναµμικού, δηλαδή στα πεδία δυνάµμεων που διαθέτουν συνάρτηση δυναµμικού, η θεµμελιώδης εξίσωση που διέπει την κίνηση µμιας µμοναδιαίας ση- µμειακής µμάζας εκφράζεται ως εξής: d xi U d x + (x = 0, i =,,. : + U(x = 0 dt xi dt Το πεδίο δυνάµμεων συναντά κάθετα τις ισοδυναµμικές επιφάνειες. 6.. Στροβιλισμός των πεδίων δυνάμεων και ύπαρξη δυναμικού. Θεωρούµμε ένα πεδίο δυνάµμεων ορισµμένο στον ευκλείδειο χώρο: F :, F(x = f (x, f (x, f (x. ( Μπορούµμε να αποφανθούµμε απευθείας ως προς το αν αυτό το πεδίο δυνάµμεων διαθέτει ή όχι συνάρτηση δυναµμικού εξετάζοντας τον στροβιλισµμό του: curl F(x = F(x που στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου υπολογίζεται ως εξής: f (x f (x f (x f (x f (x f (x curl F(x =,, x x x x x x Τα πεδία δυνάµμεων µμηδενικού στροβιλισµμού καλούνται αστρόβιλα και ακριβώς αυτά είναι που διαθέτουν συνάρτηση δυναµμικού: curl F(x = 0, x U :, F(x = U(x, x και η συνάρτηση αυτή, εφόσον υπάρχει, προκύπτει ως λύση των εξισώσεων: U (x = f i (x, i =,,. F(x = U(x : xi Αναφερόµμαστε σε πεδία δυνάµμεων που είναι ορισµμένα σε όλο τον ευκλείδειο χώρο και διαθέτουν παντού συνεχείς µμερικές παραγώγους. Ο στροβιλισµμός έχει εισαχθεί µμε τη συµμβολική υπολογιστική διαδικασία που εξαρτάται από την επιλογή της ορθοκανονικής βάσης, όµμως ο µμηδενισµμός του δεν επηρεάζεται σε περίπτωση επιλογής οποιασδήποτε άλλης ορθοκανονικής βάσης. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Θεώρηµα. Κριτήριο µηδενικού στροβιλισµού. Ένα πεδίο δυνάµεων µε συνεχείς µερικές παραγώγους στον ευκλείδειο χώρο: F :, F(x = f (x, f (x, f (x διαθέτει συνάρτηση δυναµικού αν και µόνο αν είναι αστρόβιλο: curl F(x = 0, x U :, (, F(x = U(x, x. Απόδειξη. Αν το πεδίο δυνάµμεων διαθέτει συνάρτηση δυναµμικού τότε: F(x = U(x = 0, x. Αν το πεδίο δυνάµμεων είναι αστρόβιλο, η ακόλουθη συνάρτηση αποδίδει µμονο- σήµμαντα τιµμές δυναµμικού σε όλα τα σηµμεία του ευκλείδειου χώρου: U :, U(x = i=,, 0 f i (x t, x t, x t x i dt. Το κριτήριο µμηδενικού στροβιλισµμού, σε αυτή την εκδοχή του, προϋποθέτει ότι το πεδίο δυνάµμεων είναι ορισµμένο, µμε συνεχείς µμερικές παραγώγους, παντού στον ευκλείδειο χώρο. Τότε, κάθε αστρόβιλο πεδίο δυνάµμεων διαθέτει συνάρ- τηση δυναµμικού, η οποία αποδίδει τιµμή δυναµμικού σε όλα τα σηµμεία του ευκλεί- δειου χώρου. Αν το πεδίο δυνάµμεων δεν ορίζεται παντού στον ευκλείδειο χώρο, αλλά µμόνο σε ένα χωρίο του, η τοπολογική φύση αυτού του χωρίου µμπορεί να ακυρώσει τη δυνατότητα απόδοσης τιµμής δυναµμικού στα σηµμεία αυτού του χωρίου. Το κριτήριο µμηδενικού στροβιλισµμού συνεχίζει εντούτοις να ισχύει το- πικά, δηλαδή ο µμηδενισµμός του στροβιλισµμού στο χωρίο ορισµμού του πεδίου δυνάµμεων επαρκεί για την ύπαρξη συνάρτησης δυναµμικού σε περιοχές των ση- µμείων αυτού του χωρίου, όµμως αυτό δεν διασφαλίζει την ύπαρξη συνάρτησης δυναµμικού, ορισµμένης σε αυτό το χωρίο, η οποία να αποδίδει τιµμές δυναµμικού. Η συνέχεια των µμερικών παραγώγων επιτρέπει τη χρήση του θεωρήµματος Schwarz: U x x = U x x, U x x = U x x, U x x = U x x Ο µμηδενισµμός του στροβιλισµμού σηµμαίνει: f (x = f f (x, (x = f f (x, (x = f (x. x x x x Λαµμβάνοντας υπόψη αυτές τις σχέσεις, αρκεί να υπολογιστεί το διαφορικό της υποδεικνυόµμενης συνάρτησης και στον υπολογισµμό αυτό µμπορεί να φανεί χρήσιµμη η ταυτότητα: d f i (x = ( f dt i (xttdt = f 0 i (xtdt + t x 0 k k f i (xt dt, i =,,. 0 k =,,

ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 6 6.. Τοπική ύπαρξη και κατασκευή συναρτήσεων δυναμικού. Θεωρούµμε ένα πεδίο δυνάµμεων ορισµμένο, µμε συνεχείς µμερικές παραγώγους, σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου χώρου: F(x = f (x, f (x, f (x (. Θεώρηµα. Τοπική ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού. Αν ένα πεδίο δυνάµεων είναι ορισµένο σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου χώρου και σε αυτό το χωρίο έχει συνεχείς µερικές παραγώγους τότε ο µηδενισµός του στροβιλισµού του εξασφαλίζει την ύπαρξη περιοχής, σε κάθε σηµείο αυτού του χωρίου, όπου ορίζεται συνάρτηση δυναµικού: F(x = U(x. Απόδειξη. Αν a = (a,a,a είναι σηµμείο του χωρίου ορισµμού ενός αστρόβι- λου πεδίου δυνάµμεων, µμε τις προϋποθέσεις του θεωρήµματος, θα δείξουµμε ότι η εξίσωση από όπου προκύπτει η συνάρτηση δυναµμικού δέχεται τοπική λύση: F(x = U(x : U x i (x = f i (x, i =,,. Η εξίσωση i = υποδεικνύει ότι η µμορφή της λύσης οφείλει να είναι η εξής: x U(x = f (u,x du + A(x. a Η συνέχεια των µμερικών παραγώγων του πεδίου δυνάµμεων επιτρέπει την εκτέ- λεση παραγώγισης στο ολοκλήρωµμα και ο µμηδενισµμός του στροβιλισµμού οδηγεί στα ακόλουθα συµμπεράσµματα: U(x x U(x x f = (u x,x du a + A(x, x x f = (u x u,x du a + A(x, x x x f = (u x,x du a + A(x, x x f = (u u,x du a + A(x, x Τώρα, το θεµμελιώδες θεώρηµμα του ολοκληρωτικού λογισµμού υποδεικνύει ότι: U(x x = f (x,x + f (a,x + A(x, x x U(x = f (x,x + f (a,x + A(x, x Ο µμηδενισµμός του στροβιλισµμού σηµμαίνει: f x (x = f (x, f (x = f x (x, f x (x = f x (x.

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στις σχέσεις i = και i = προκύπτουν δυο εξισώσεις στις οποίες υπεισέρχονται πλέον µμόνο δυο µμεταβλητές: Η σχέση i = υποδεικνύει ότι: A(x, x x i = f i (a,x, i =,. x A(x = f (a,u du + B(x. Ο µμηδενισµμός του στροβιλισµμού οδηγεί πλέον στην έκφραση: a A(x, x x f x = f (a x,u du a + B (x = (a u,u du a + B (x και από εδώ προκύπτει: A(x, x = f (a,x + f (a,a + B (x. Η σχέση i =, σε συνδυασµμό µμε το προηγούµμενο αποτέλεσµμα, υποδεικνύει ότι: και από εδώ προκύπτει: B (x = f (a,a x B(x = f (a,a,u du + c, c. a Έτσι, ολοκληρώνεται η τοπική επίλυση του συστήµματος των εξισώσεων: U x i (x = f i (x, i =,,, και µμε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς προκύπτει η έκφραση: x U(x = f (u,x du f (a,u du f (a,a,u du. a x a Η συνάρτηση αυτή αποδίδει µμονοσήµμαντα, αλλά τοπικά, τιµμή δυναµμικού στα σηµμεία µμιας περιοχής µμέσα στο χωρίο ορισµμού του πεδίου δυνάµμεων: F(x = U(x. x a Η κατασκευή είναι τοπική και δεν παρέχει πληροφορία για το εύρος της περιοχής ύπαρξής της συνάρτησης δυναµμικού. Τοπική κατασκευή µμπορεί να γίνει σε οποιοδήποτε άλλο σηµμείο του χω- ρίου ορισµμού του πεδίου δυνάµμεων, όµμως αυτό δεν διασφαλίζει την ύπαρξη µμιας ολικά ορισµμένης συνάρτησης δυναµμικού στο χωρίο ορισµμού του.

ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 65 6.4. Παραδείγματα και υπολογιστική πρακτική του 6 ου μαθήματος. Τα παραδείγµματα που ακολουθούν έχουν σκοπό την υπολογιστική εξοικείωση µμε τα πεδία δυνάµμεων και τα κριτήρια που χαρακτηρίζουν τα πεδία δυναµμικού. Όταν ένα πεδίο δυνάµμεων είναι ορισµμένο στον ευκλείδειο χώρο: F :, F(x = f (x, f (x, f (x (, µμπορούµμε να αποφανθούµμε για την ύπαρξη ή όχι συνάρτησης δυναµμικού υπο- λογίζοντας τον στροβιλισµμό του στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου: curl F(x = e e e / x / x / f (x f (x f (x f (x / x f (x / x = f (x / f (x / x f (x / x f (x / x Η ύπαρξη συνάρτησης δυναµμικού ισοδυναµμεί µμε µμηδενισµμό του στροβιλισµμού: f x (x = f (x, f (x = f x (x, f x (x = f x (x. Η συνάρτηση δυναµμικού, εφόσον υπάρχει, προκύπτει από τη λύση του συστή- µματος των διαφορικών εξισώσεων µμε µμερικές παραγώγους: F(x = U(x : και ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: U x i (x = f i (x, i =,,, U :, U(x = f i (x t, x t, x t x i dt. i=,, ΑΠΟΨΗ ΠΕΔΙΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ : curl F(x 0 0 F(x = (x, x, 0, curl F(x = (0,0,- F(x = ( x, x, 0, curl F(x = (0,0, Αν από τοπολογική άποψη το χωρίο ορισµμού του πεδίου δυνάµμεων δεν είναι απλά συνεκτικό στον ευκλείδειο χώρο, ο µμηδενισµμός του στροβιλισµμού διασφαλίζει µμόνο την τοπική ύπαρξη συνάρτησης δυναµμικού, στην περιοχή κάθε σηµμείου αυτού του χωρίου. Το κλασικό Λήµμµμα του Poincaré απαντά σε αυτό το ζήτηµμα µμε προϋπόθεση την απλή συνεκτικότητα του χωρίου ορισµμού του πεδίου δυνά- µμεων στον ευκλείδειο χώρο (Βλ. Παράρτηµμα.

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΠΟΨΗ ΑΣΤΡΟΒΙΛΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ : curl F(x = 0 x x F (x = ( x, x, 0, U (x = +. F (x = ( x, x, 0, U (x = x x. Ø Παράδειγμα. Ομογενή πεδία δυνάμεων στο χώρο. Τα οµμογενή πεδία δυνάµμεων προσαρτούν στα σηµμεία του χώρου το ίδιο σταθε- ρό διάνυσµμα δύναµμης και στον ευκλείδειο χώρο ορίζονται ως εξής: F(x = f (x = k, f (x = k, f (x = k, k,k,k +. ( Η ύπαρξη συνάρτησης δυναµμικού είναι προφανής: U :, U(x = kx + k x + k x, F(x = U(x, x. ( O χώρος διαµμερίζεται σε παράλληλα ισοδυναµμικά επίπεδα που σε κάθε σηµμείο είναι ορθογώνια στα αντίστοιχα διανύσµματα του πεδίου δυνάµμεων: sc ( U = { x } / k x + k x + k x = c, c. Άποψη οµμογενούς πεδίου δυνάµμεων στο χώρο. Σε κάθε περιοχή στην επιφάνειας της Γης, σε τοπικό σύστηµμα αναφοράς, ορί- ζεται το οµμογενές πεδίο δυνάµμεων της βαρύτητας που εισήγαγε ο Νεύτωνας: F(x = f (x = 0, f (x = 0, f (x = g. ( Στο οµμογενές αυτό πεδίο δυνάµμεων αντικατοπτρίζεται η σταθερή επιτάχυνση που αποκτούν τα σώµματα όταν αλληλεπιδράσουν µμαζί του, όποια και αν είναι η ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 6ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 67 µμάζα τους. Για το λόγο αυτό, ορθότερο είναι να αναφερόµμαστε σε πεδίο επιτα- χύνσεων, ως τοπική έκφραση της βαρύτητας κοντά στο έδαφος, το οποίο δια- θέτει τη συνάρτηση δυναµμικού: U :, U(x = g x, F(x = U(x, x. Οι αριθµμητικές τιµμές που αποδίδει αυτή η συνάρτηση στα σηµμεία του χώρου, τον διαµμερίζουν σε οριζόντια παράλληλα ισοδυναµμικά επίπεδα: sc ( U = { x } / x = c, c. Το τοπικό οµμογενές πεδίο δυνάµμεων της βαρύτητας και οι ισοδυναµμικές του επίπεδες επιφάνειες. Ø Παράδειγμα. Ελκτικά και απωστικά γραμμικά πεδία δυνάμεων. Τα γραµμµμικά πεδία δυνάµμεων, που υπεισέρχονται στη µμελέτη πολλών γνωστών φαινοµμένων κίνησης, ορίζονται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: F(x = f (x = kx, f (x = k x, f (x = k x. ( Διακρίνονται αντίστοιχα σε ελκτικά ή απωστικά: k,k,k ή k,k,k + και διαθέτουν αντίστοιχα τις εξής συναρτήσεις δυναµμικού: U(x = k x + k x + k x, k,k,k, k,k,k +. Σχηµματική παράσταση γραµμµμικών ελκτικών και απωστικών πεδίων δυνάµμεων στο χώρο. Όταν ένα αντικείµμενο βρεθεί στην επίδραση του πεδίου δυνάµμεων της βαρύτητας, σε κάθε θέση και ανάλογα µμε τη µμάζα του, αποκτά µμια τιµμή δυναµμικής ενέργειας, σε υψοµμετρική αντιστοιχία µμε τα οριζόντια επίπεδα δυναµμικού που διαµμερίζουν το χώρο. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ο χώρος διαµμερίζεται σε ελλειψοειδείς ισοδυναµμικές επιφάνειες και τα διανύ- σµματα της δύναµμης, στην ελκτική περίπτωση εισέρχονται ορθογώνια σε αυτές, ενώ στην απωστική περίπτωση εξέρχονται ορθογώνια από αυτές. sc ( U = { x } / k x + k x + k x = c, c. Τα ελκτικά πεδία είναι εισερχόµμενα και τα απωστικά εξερχόµμενα στις ισοδυναµμικές επιφάνειες. Ø Παράδειγμα. Αξονικά γραμμικά πεδία δυνάμεων. Θεωρούµμε το πεδίο δυνάµμεων που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: F(x = x, x, 0. ( Πρόκειται για αστρόβιλο πεδίο δυνάµμεων που διαθέτει συνάρτηση δυναµμικού και οι τιµμές της διαµμερίζουν το χώρο σε κυλινδρικές ισοδυναµμικές επιφάνειες: U(x = x + x. Αξονικό πεδίο δυνάµμεων και διαµμερισµμός του χώρου σε κυλινδρικές ισοδυναµμικές επιφάνειες. Επίσης, το πεδίο δυνάµμεων που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: F :, F(x = x, x, x, ( Όταν οι συντελεστές ki, i =,, είναι ίσοι τότε οι ισοδυναµμικές αυτές επιφάνειες είναι σφαιρικές. Αυτό το πεδίο δυνάµμεων εµμφανίζει αξονική συµμµμετρία και τα διανύσµματά του εισέρχονται ορθο- γώνια στις κυλινδρικές ισοδυναµμικές επιφάνειες, ενώ εξέρχονται όταν πρόκειται για το πεδίο: F(x = x, x, 0. ( ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 69 είναι αστρόβιλο και διαθέτει συνάρτηση δυναµμικού που οι τιµμές της διαµμερίζουν το χώρο σε υπερβολοειδείς ισοδυναµμικές επιφάνειες: U(x = x + x x. Διαµμερισµμός του χώρου σε υπερβολοειδείς ισοδυναµμικές επιφάνειες. H τιµμή c=0 ορίζει ένα διπλό κώνο, κάθε θετική τιµμή του c ορίζει ένα υπερβολοειδές εκ περιστροφής και κάθε αρνητική τιµμή του c ορίζει ένα δίκλαδο υπερβολοειδές. Ø Παράδειγμα 4. Το πεδίο ελκτικών δυνάμεων της παγκόσμιας έλξης. Το πεδίο δυνάµμεων που ερµμηνεύει το νόµμο της παγκόσµμιας έλξης εκφράζεται στις καρτεσιανές συντεταγµμένες του ευκλείδειου χώρου ως εξής: όπου F : {0}, F(x = ( f (x, f (x, f (x, f i (x = k x i x + x ( + x /, k > 0, i =,,. Πρόκειται για πεδίο δυναµμικού, δηλαδή υπάρχει συνάρτηση δυναµμικού η οποία αποδίδει σε κάθε σηµμείο του χώρου αντίστοιχη αριθµμητική τιµμή δυναµμικού: και ισχύει: U : {0}, U(x = k x + x ( + x /, F(x = U(x, x {0}. Ο νόµμος της παγκόσµμιας έλξης υποδεικνύει ότι η αµμοιβαία ελκτική δύναµμη που ασκείται από ένα ουράνιο σώµμα σε οποιοδήποτε άλλο είναι αντιστρόφως ανά- λογη του τετραγώνου της µμεταξύ τους απόστασης Με κέντρο το σώµμα που απο- τελεί την πηγή του πεδίου των ελκτικών δυνάµμεων και θεωρώντας το διάνυσµμα θέσης του σώµματος που εκλαµμβάνεται ως υπόθεµμα και το αντίστοιχο µμοναδι- αίο ακτινικό διάνυσµμα, προκύπτει στον ευκλείδειο χώρο η αποσύνθεση: r = x e + x e + x e r = r e r όπου r = r

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ και απορρέουν οι γνωστές εκφράσεις της παγκόσµμιας έλξης: k k F( r = er και U(r =. r r Προφανώς, γύρω από την πηγή του πεδίου ο χώρος διαµμερίζεται σε οµμόκεντρες σφαιρικές ισοδυναµμικές επιφάνειες: sc ( U = { x } / x + x + x = c / k, c. Πεδίο ελκτικών δυνάµμεων που πηγάζουν από ένα ουράνιο σώµμα σύµμφωνα µμε το νόµμο της παγκόσµμιας έλξης και οι οµμόκεντρες σφαιρικές ισοδυναµμικές επιφάνειες. Το πεδίο δυνάµμεων της παγκόσµμιας έλξης, τοπικά, στην επιφάνεια κάθε ουρά- νιου σώµματος, αποκτά προσεγγιστικά την έκφραση οµμογενούς πεδίου βαρυτι- κών δυνάµμεων που υπαγορεύει τις τοπικές κινήσεις των σωµμάτων. Από το πεδίο δυνάµμεων της παγκόσµμιας έλξης στο τοπικό οµμογενές πεδίο της βαρύτητας. Στη θεωρητική µμελέτη, η πηγή του πεδίου έχει εξοµμοιωθεί µμε σηµμειακή µμάζα και εκεί τοποθετεί- ται το σύστηµμα αναφοράς όπου εκτελούνται οι αριθµμητικοί υπολογισµμοί. Η σταθερά k εξαρτάται από τη σταθερά της παγκόσµμιας έλξης που εισήγαγε ο Νεύτωνας, από τη µμάζα του σώµματος που αποτελεί την πηγή του πεδίου και τη µμάζα του υποθέµματος.. Βλ. Μάθηµμα, Οι κινήσεις των ουρανίων σωµμάτων και ο νόµμος της παγκόσµμιας έλξης. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 7 Ø Παράδειγμα 5. Πεδία δυνάμεων με μη συνεκτικό χωρίο ορισμού. Θεωρούµμε το πεδίο δυνάµμεων που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: F(x = x + x x + x (x + x, x x (x + x, Η έκφραση αυτή απειρίζεται στα σηµμεία του επιπέδου που ορίζεται ως εξής: x + x = 0. Από τοπολογική άποψη, το χωρίο ορισµμού αυτού του πεδίου δυνάµμεων δεν εί- ναι συνεκτικό και διαµμερίζεται σε δυο συνεκτικές συνιστώσες. Παρατηρώντας ότι ο στροβιλισµμός του είναι µμηδενικός στο χωρίο ορισµμού του, ας αναζητήσου- µμε µμια συνάρτηση τέτοια ώστε σε αυτό το χωρίο ορισµμού να ισχύει: F(x = U(x. Αυτό σηµμαίνει ότι χρειάζεται να αναζητήσουµμε τις λύσεις του συστήµματος: U (x = x + x x (x + x, U (x = x x x (x + x, U (x =. x + x Από την τρίτη εξίσωση προκύπτει : U(x = x x + x + A(x,x και σε συνδυασµμό µμε τις δυο πρώτες εξισώσεις προκύπτει: A x = x ( x+x A x = x ( x+x,. Η πρώτη από αυτές τις σχέσεις υποδεικνύει ότι: x A( x,x = + B( x x+ x και από τη δεύτερη σχέση προκύπτει η σταθερότητα του όρου B(x = C, οπότε µμε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς προκύπτει: U(x = x + x x + x. Η συνάρτηση αυτή ορίζεται στις συνεκτικές συνιστώσες του χωρίου ορισµμού του πεδίου δυνάµμεων και προσαρτά µμονοσήµμαντα στα σηµμεία τους µμια τιµμή δυναµμικού έτσι ώστε να ορίζονται τα ισοδυναµμικά επίπεδα χωρία: U(x = c, c : c x + (c x + x = 0, x + x > 0 ή x + x < 0.

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ø Παράδειγμα 6. Αστρόβιλο πεδίο χωρίς συνάρτηση δυναμικού. Θεωρούµμε το πεδίο δυνάµμεων που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: x x F(x =,, 0 x + x x + x Η έκφραση αυτή απειρίζεται στα σηµμεία της ευθείας που ορίζεται ως εξής: x = x = 0. Από τοπολογική άποψη, το χωρίο ορισµμού αυτού του πεδίου δυνάµμεων δεν εί- ναι συνεκτικό αλλά όχι απλά συνεκτικό. Αυτό προµμηνύει ότι το κριτήριο µμηδε- νικού στροβιλισµμού δεν είναι ικανό να διασφαλίσει καθολική ύπαρξη συνάρτη- σης δυναµμικού η οποία θα αποδώσει µμονοσήµμαντα σε κάθε σηµμείο του χωρίου ορισµμού του πεδίου δυνάµμεων µμια αριθµμητική τιµμή δυναµμικού. Παρατηρώντας ότι ο στροβιλισµμός είναι µμηδενικός στο χωρίο ορισµμού του, ας αναζητήσουµμε µμια συνάρτηση τέτοια ώστε σε αυτό το χωρίο να ισχύει: F(x = U(x. Η τυπική αναζήτηση των λύσεων του συστήµματος των εξισώσεων: x x U U U (x =, (x =, (x = 0, x x x x + x x + x υποδεικνύει ότι: U(x = Arc tan(x / x. Η συνάρτηση αυτή δεν αποδίδει µμονοσήµμαντα τιµμή δυναµμικού σε κάθε σηµμείο του χωρίου ορισµμού του πεδίου δυνάµμεων. Πράγµματι, αν µμια σηµμειακή µμάζα βρεθεί σε ένα σηµμείο του χώρου και µμετά µμια διαδροµμή, γύρω από τον ιδιάζον- τα άξονα απειρισµμού του πεδίου, επανέλθει στην αρχική του θέση, δεν θα ξα- ναβρεί την ίδια τιµμή δυναµμικού. Αυτό σηµμαίνει ότι το πεδίο δεν διαθέτει παρά µμόνο τοπικές συναρτήσεις δυναµμικού, οι οποίες δεν µμπορούν να συγκροτήσουν µμια συνάρτηση δυναµμικού καθολικά ορισµμένη στο χωρίο ορισµμού του. Η µμη µμονοσήµμαντη προσάρτηση τιµμής δυναµμικού σε κάθε σηµμείο του χωρίου ορισµμού του πεδίου δυνάµμεων οφείλεται στη µμη απλή συνεκτικότητα αυτού του χωρίου. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 7 8.6. Ερωτήματα, προβληματισμοί και ασκήσεις του 6 ου μαθήματος. Τα ερωτήµματα και οι ασκήσεις που ακολουθούν έχουν σκοπό την εξοικείωση µμε τις έννοιες και τις υπολογιστικές τεχνικές στις οποίες βασίστηκε το µμάθηµμα. Για την επεξεργασία τους απαιτείται καλή γνώση βασικών εννοιών και τεχνι- κών του Διανυσµματικού Λογισµμού και των Διαφορικών Εξισώσεων. Στη µμελέτη των πεδίων δυνάµμεων και των εξισώσεων που διέπουν την κίνηση γίνεται συχνά χρήση καµμπυλόγραµμµμων συντεταγµμένων, ειδικότερα σφαιρικών και κυλινδρικών, η ανάλυση των οποίων παρατίθεται στο παράρτηµμα.. Στον ευκλείδειο χώρο θεωρούµμε τα ακόλουθα πεδία δυνάµμεων και ζητάµμε να δείξετε, κάνοντας χρήση του κριτηρίου µμηδενικού στροβιλισµμού, ότι δυο από αυτά είναι πεδία δυναµμικού και έτσι ο χώρος διαµμερίζεται σε ισοδυναµμικές επι- φάνειες, ενώ τα άλλα δυο δεν διαθέτουν ούτε καν τοπικά συνάρτηση δυναµμικού. Σας προτείνουµμε να µμελετήσετε την κίνηση µμιας µμοναδιαίας σηµμειακής µμάζας σε αυτά τα πεδία δυνάµμεων για δεδοµμένες αρχικές συνθήκες. ( F(x = x, x, 0 ( ( F(x = x, x, 0 ( ( F(x = x, x, 0 ( (4 F(x = x, x, 0 ( Υπολογίζοντας την απόκλιση αυτών των πεδίων επιχειρήσετε να δώσετε µμια φυσική ερµμηνεία στα συµμπεράσµματα σας: F(x = ( f (x, f (x, f (x div F(x = f (x + f (x + f (x x x Βλ. Παράρτηµμα: Συστήµματα καρτεσιανών και καµμπυλόγραµμµμων συντεταγµμένων.

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Στον ευκλείδειο χώρο θεωρούµμε τα ακόλουθα πεδία δυνάµμεων: ( F(x = ( x, x, x ( F(x = x, x (, x ( F(x = ( x, x, 0 (4 F(x = ( x, x, 0 (5 F(x = ( x, x, x (6 F(x = ( x, x, x Εξετάστε σε ποια από αυτά τα πεδία δυνάµμεων είναι εφικτές οι κινήσεις: ( x(t = ( cost, sint, t x(t = e t cost, e t sint, e t. Δίνεται σχηµματικά η κάτοψη τεσσάρων πεδίων δυνάµμεων στο ευκλείδειο επίπεδο και ζητάµμε να τις αντιστοιχίσετε σωστά στις ακόλουθες εκφράσεις: F(x = ( x, x, F(x = (x, x, F(x = ( x, x, F(x = ( x (x + x /, x (x + x /.

ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 75 4. Στην ακόλουθη εικόνα δίνεται σχηµματικά η αποσύνθεση ενός πεδίου δυνά- µμεων σε τρία απλούστερα πεδία δυνάµμεων και ζητάµμε να αναγνωρίσετε τη φύ- ση τους ως προς το στροβιλισµμό και την απόκλισή τους. 5. Δίνεται σχηµματικά η κάτοψη έξι πεδίων δυνάµμεων στο ευκλείδειο επίπεδο από τα οποία τρία είναι αστρόβιλα. Ζητάµμε να τα αναγνωρίσετε και να σχεδιά- σετε τα αντίστοιχα ισοδυναµμικά σύνολα:

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 6. Στις εικόνες που ακολουθούν δίνεται η κάτοψη τεσσάρων πεδίων δυνάµμεων στο ευκλείδειο επίπεδο από τα οποία το πρώτο ορίζεται ως εξής: F(x = ( f (x = 4x 4, f (x = x. Μπορείτε να αντιληφθείτε ποιες είναι οι εκφράσεις των άλλων τριών πεδίων αν ξέρετε ότι προκύπτουν από το πρώτο αλλάζοντας κάποιο ή κάποια πρόσηµμα; Σας προτείνουµμε να µμελετήσετε την κίνηση µμιας µμοναδιαίας σηµμειακής µμάζας σε αυτά τα πεδία δυνάµμεων για δεδοµμένες αρχικές συνθήκες. 7. Θεωρούµμε το πεδίο δυνάµμεων: που ορίζεται ως εξής: F : {0}, F(x = ( f (x, f (x, f (x, ( /, k > 0,,, f i (x = k x i x + x + x i =. Δώστε την έκφρασή του στις σφαιρικές συντεταγµμένες και, αφού υπολογίσετε το στροβιλισµμό του, δείξτε ότι πρόκειται για πεδίο δυναµμικού και εκφράστε σε αυτές τις συντεταγµμένες τις ισοδυναµμικές του επιφάνειες. Ποιες είναι οι διαφο- ρές των ισοδυναµμικών αυτών επιφανειών µμε εκείνες του γραµμµμικού πεδίου: F :, F(x = ( f (x = x, f (x = x, f (x = x.