ΕΘΝΙΚΟ KAI ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μηχανική Ι (ακαδ. έτος , χειμερινό εξ.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ KAI ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μηχανική Ι (ακαδ. έτος , χειμερινό εξ."

Ολυμπία Αναγνώστου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΘΝΙΚΟ KAI ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 56. Μηχανική Ι (ακαδ. έτος 6-7, χειμερινό εξ.) Προπτυχιακός Φοιτητής: Νικολαράκης Αντώνιος Αριθμός Μητρώου: 337 Εργασία #3

3 Μηχανική Ι Εργασία #3 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Ν. Βλαχάκης. Ο καταπέλτης απονήωσης είναι ένας μηχανισμός ο οποίος δίνει ταχύτητα στα αεροπλάνα πάνω στα αεροπλανοφόρα κι έτσι μπορούν να απονηώνονται χωρίς να χρειάζονται μεγάλο μήκος διαδρόμου. Θέλουμε να μελετήσουμε την ευθύγραμμη οριζόντια κίνηση του αεροπλάνου πριν απονηωθεί. Το αεροπλάνο αρχικά βρίσκεται ακίνητο στην αρχή του άξονα κίνησης. Εκτός του βάρους του g, δέχεται την δύναμη από τον καταπέλτη F ( /β)ˆ, δύναμη από τους κινητήρες F eˆ, δύναμη αντίστασης αέρα C ρs ˆ και δύναμη ανύψωσης C LρS L (με φορά προς τα πάνω). Στα παραπάνω F και F e είναι θετικές σταθερές, β είναι το μήκος του διαδρόμου, C και C L οι συντελεστές αντίστασης και ανύψωσης, ρ η πυκνότητα του αέρα, S η επιφάνεια του αεροπλάνου κάθετα στην κίνηση, S L η επιφάνεια των φτερών και η ταχύτητα (το μέτρο της). (α) Ποια η επιτάχυνση σαν συνάρτηση θέσης και ταχύτητας; Ποια η μέγιστη τιμής της; (β) Γράψτε την διαφορική εξίσωση που δίνει την ταχύτητα συναρτήσει της θέσης και λύστε την. Υπόδειξη: Η διαφορική εξίσωση d d = c c c 3, με c, c, c 3 σταθερές, μπορεί να γραφεί σαν γραμμική, μη ομογενής df d + c f = c c 3, όπου f =. Η τελευταία έχει γενική λύση f = e c c 3 + c 3 + c, όπου σταθερά ολοκλήρωσης. c c c (γ) Πόση πρέπει να είναι τουλάχιστον η επιφάνεια των φτερών S L ώστε το αεροπλάνο να απονηωθεί στο τέλος του διαδρόμου; (δ) Εστω ότι αγνοούμε την δύναμη αντίστασης αέρα. (δ ) Βρείτε μέσω θεωρήματος μεταβολής κινητικής ενέργειας την ταχύτητα συναρτήσει της θέσης. (δ ) Συμφωνεί το αποτέλεσμα με το όριο του αποτελέσματος του ερωτήματος (β) για C ; (δ 3 ) (Προαιρετικά:) Ποια είναι η θέση συναρτήσει του χρόνου; Σε πόσο χρόνο το αεροπλάνο φτάνει στο τέλος του διαδρόμου; Μπορείτε να απαντήσετε ολοκληρώνοντας την ẋ = (), αλλά μάλλον είναι ευκολότερο να λύσετε την διαφορική ẍ = ΣF, η οποία γράφεται ẍ + c 3 = c και έχει γενική λύση (για θετικό c 3 ) = c + sin ( c 3 t) + cos ( c 3 t). c 3 (ε) Εστω = kg, g = 9.8 /s, F = 6 N, F e = 5 N, β =, ρ =. kg/ 3, C =.5, C L =., S =. (ε ) Πόσα g είναι η μέγιστη επιτάχυνση που βρήκατε στο ερώτημα (α); (ε ) Ποια η ταχύτητα στο τέλος του διαδρόμου; Τι σφάλμα θα κάναμε αν αγνοούσαμε τη δύναμη αντίστασης αέρα και τη δύναμη προώθησης από τους κινητήρες του αεροπλάνου; (ε 3 ) Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι η επιφάνεια S L που βρήκατε στο ερώτημα (γ);. Εστω κίνηση μάζας σε κατακόρυφο επίπεδο y μέσα σε ομογενή βαρύτητα g = gŷ, υπό την επίδραση αντίστασης ανάλογης του τετραγώνου της ταχύτητας, δηλ. Fa = λ, όπου = και ( λ σταθερά. Αν ϑ π, π ) είναι η γωνία μεταξύ και ˆ (δηλ. = cos ϑ, y = sin ϑ), δείξτε ότι οι συνιστώσες του νόμου Νεύτωνα δίνουν ϑ = g cos ϑ και = g sin ϑ λ. g Δείξτε επίσης ότι η ποσότητα cos ϑ + λ sin ϑ + sin ϑ + λ ln είναι σταθερή. cos ϑ cos ϑ

5 Εργασία #3 (Λύσεις). (α) Μελετούμε την οριζόντια κίνηση του αεροπλάνου πριν αυτό απογειωθεί, συνεπώς δεν υπάρχει κίνηση κατά τον κατακόρυφο άξονα y. Από το Β' νόμο του Νεύτωνα κατά τον οριζόντια άξονα έχω: Fˆ ˆ ˆ ˆ a F Fe CS a a F Fe CS Η ποσότητα F γίνεται μέγιστη για, ενώ επίσης η ποσότητα C S γίνεται μέγιστη για και C S ). (διότι Επομένως η επιτάχυνση του αεροπλάνου είναι μέγιστη για και ίση με: F F aa a F Fe CS (β) Από την έκφραση της επιτάχυνσης συναρτήσει της ταχύτητας και της θέσης έπεται: e d d F Fe CS F Fe CS dt dt d d d F Fe CS F Fe CS d dt d d CS F Fe d Η διαφορική εξίσωση είναι μη-ομογενής γραμμική ης τάξης. Για τη λύση της αντίστοιχης ομογενούς θεωρώ μία λύση της μορφής e και έχω: c

6 C S ce CSe c CSc c c Επίσης, θεωρώντας μία μερική λύση της μορφής c c, έχω: c CSc cf Fe F CSc c CSc F Fe F F CSc c CS F c C CSc F F e Sc F F e CS F c CS F c F Fe C S C S Από τα παραπάνω συμπεραίνω ότι η γενική λύση της έχει την ακόλουθη μορφή: CS F F e F Fe CS CS CS όπου σταθερά. Καθώς Δηλαδή τελικά: F έπεται ότι F Fe C S C S CS F F F F Fe e F Fe CS CS CS. CS F F F Fe e CS CS

7 (γ) Στο τέλος του διαδρόμου πρέπει η δύναμη ανύψωσης να είναι τουλάχιστον όσο το βάρος του αεροπλάνου, ώστε αυτό να απογειωθεί. Δηλαδή: g Fy CLSL g SL CL g SL CS F F CL F Fe e CS CS S gc S L CS F CLF Fe e F CS (δ) Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχω: u E(.) E(.) W F Fdu F Fe du F F udu F F u u du F d F e e du F F Fe F Fe (δ) Από το αποτέλεσμα του (β) ερωτήματος έχω: CS F F F F Fe e F Fe CS CS CS CS F F F Fe e CS CS

8 CS CSF FeF e FC S C S Επομένως: li C S li CS CSF FeF e FC S li C S CS CS CSF FeF e FC S C S kc S k kf Fe F e Fk li k k (κανόνας e l' Hopital) k k F Fe e kf FeF e F li k k (κανόνας e l' Hopital) k k k F Fe e F Fe e kf Fe F e li k k k li F Fe e k F Fe F e k F F F Fe F F Fe F Fe F Δηλαδή li li li F Fe F Fe C C C, το οποίο είναι σύμφωνο με το αποτέλεσμα στο ερώτημα (δ).

9 (δ3) Αγνοώντας τη δύναμη αντίστασης του αέρα, ο Β' νόμος του Νεύτωνα κατά τον οριζόντια άξονα ˆ εκφράζεται ως: F F a F Fe a F Fe Η διαφορική εξίσωση είναι μη-ομογενής γραμμική ης τάξης. Για τη λύση της αντίστοιχης ομογενούς θεωρώ δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής cosat και sinbt, οπότε έχω: A cosat F cosat A F A F B sinbt F sinbt B F B F Επίσης, παρατηρώ ότι μία μερική λύση της είναι η Από τα παραπάνω συμπεραίνω ότι η γενική λύση της F F e. F έχει την ακόλουθη μορφή (το πρόσημο των A και B απορροφάται στις σταθερές και αντίστοιχα): Καθώς t, t Δηλαδή τελικά: F F t cos tsin t F F F e έπεται ότι: F Fe F Fe F F F F F F F F F F F e e e t cos t t cos t F F F Για την εύρεση του χρόνου απογείωσης, στο τέλος του διαδρόμου είναι t, δηλαδή:

10 F F F F F cos cos F F Fe e F Fe F F e F e cos cos cos F Fe F Fe F F Fe (ε) (ε) 6 5 F Fe F Fe aa g g5.6g 4 g 9.8 CS F F F Fe e CS CS CS F F Fe e F CS CS e e s 3 3 Αγνοώντας τη δύναμη αντίστασης αέρα και τη δύναμη προώθησης από τους κινητήρες του αεροπλάνου, τότε από το ερώτημα (δ) για Fe λαμβάνω: F 6 F F s Το σφάλμα επομένως είναι %

11 (ε3) S gc S L CS F CLF Fe e F CS insl e.5. ins L. Από τις συνιστώσες του Β' νόμου του Νεύτωνα κατά τους δύο άξονες και y, έχω: d F a a a dt Fy ay gy ay gy ay dy g y dt 3 Όμως d dcos cos cos sin dt dt y sin dy d sin sin cos dt dt Επομένως το σύστημα 3 γίνεται: cos sin cos 4 sin cos g sin 5 Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση 4 με cos και τη σχέση 5 με sin λαμβάνω: cos cossin cos 6 sin cossin gsin sin 7 Στη συνέχεια προσθέτω κατά μέλη τις σχέσεις 6, 7 για να λάβω: gsin

12 Αντικαθιστώντας τώρα την παραπάνω έκφραση του στη σχέση 5, προκύπτει: gsin sin cos g sin gsin sin cos g sin, cos gcos cos ggsin cos gcos d dt Σημειώνεται ότι για το σύστημα 3 γίνεται, το οποίο σημαίνει dy g dt πως η κίνηση θα συνεχιστεί στον άξονα y, το οποίο είναι άτοπο καθώς,. Άρα πράγματι. g sin sin Τέλος, θέτω A ln. Για να δείξω ότι η ποσότητα A cos cos cos da είναι σταθερή, αρκεί να δείξω ότι dt. Είναι λοιπόν: da d g sin sin ln dt dt cos cos cos 3 cos cossin cos sin cos g cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin g cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin g cos cos sin cos

13 da cos sin sin g 3 3 dt cos cos cos cos sin g 3 3 cos cos cos gcos gsin, cos sin g cos cos g gcos gcos gsin cos sin cos cos gsincos cos gcossin g g 3 3 cos cos g da g ο.ε.δ. cos cos dt

Σχετικά έγγραφα

dv 2 dx v2 m z Β Ο Γ

dv 2 dx v2 m z Β Ο Γ Μηχανική Ι Εργασία #2 Χειμερινό εξάμηνο 218-219 Ν Βλαχάκης 1 Στην άσκηση 4 της εργασίας #1 αρχικά για t = είναι φ = και η ταχύτητα του σώματος είναι v με φορά κάθετη στο νήμα ώστε αυτό να τυλίγεται στον