1 ΣΟΚΝ ΠΝΙΧΣΗ ΜΘΗΜΣΙΚΟ ΚΕΦΛΙΟ 6 ο ΥΗΜΣ ΕΕΡΜΜΕΝ Ε ΚΤΚΛΟ ΕΕΡΜΜΕΝΕ ΧΝΙΕ ΟΡΙΜΟ: Εγγεγπαμμένη γσλία νλνκάδεηαη ε γσλία ηεο νπνίαο ε θνξπθή είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ θαη νη πιεπξέο ηεο ηέκλνπλ ηνλ θύθιν. Τν ηόμν ηνπ θύθινπ πνπ βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηεο γσλίαο ή όπσο ιέκε, ζην νπνίν βαίλεη ε εγγεγξακκέλε γσλία νλνκάδεηαη ανηίζηοισο ηόξο ηεο εγγεγξακκέλεο γσλίαο. ( εγγεγξακκέλε, αληίζηνηρν ηόμν) ΘΕΧΡΗΜΣ ΠΟΡΙΜΣ 1) Ζ εγγεγξακκέλε γσλία είλαη ίζε κε ην κηζό ηεο επίθεληξεο γσλίαο πνπ έρεη ην ίδην αληίζηνηρν ηόμν. Ο B ) Ζ εγγεγξακκέλε γσλία ζε κνίξεο είλαη ίζε κε ην κηζό ηνπ αληίζηνηρνπ ηόμνπ ηεο. B 3) Ζ εγγεγξακκέλε γσλία πνπ αληηζηνηρεί (βαίλεη) ζε εκηθύθιην είλαη νξζή. 90 4) Οη εγγεγξακκέλεο γσλίεο πνπ βαίλνπλ ζε ίζα ηόμα ή ζην ίδην ηόμν είλαη ίζεο. B 5) ύν εγγεγξακκέλεο γσλίεο πνπ ε κηα βαίλεη ζην έιαζζνλ ηόμν θαη ε άιιε ζην κείδνλ ηόμν είλαη παξαπιεξσκαηηθέο. B 180 6) Κάζε εγγεγξακκέλε γσλία είλαη κηθξόηεξε από 180
ΣΟΚΝ ΠΝΙΧΣΗ ΜΘΗΜΣΙΚΟ ΟΡΙΜΟ: σλία σοπδήρ και εθαπηομένηρ νλνκάδνπκε ηελ γσλία ηεο νπνίαο ε θνξπθή είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ, ε κηα πιεπξά ηεο είλαη ρνξδή ηνπ θύθινπ θαη ε άιιε πιεπξά είλαη εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ. ρ Ζ γσλία ρνξδήο θαη εθαπηνκέλεο είλαη ίζε κε θάζε εγγεγξακκέλε γσλία πνπ βαίλεη ζην ηόμν ηεο. ρ ΕΦΡΜΟΕ 1) ύν ηόμα ελόο θύθινπ πνπ βξίζθνληαη κεηαμύ παξάιιεισλ ρνξδώλ ηνπ είλαη ίζα θαη αληηζηξόθσο. AB // ) Μηα εθαπηνκέλε θύθινπ ζε ζεκείν ηνπ Μ είλαη παξάιιειε πξνο κηα ρνξδή ηνπ θύθινπ, αλ θαη κόλν αλ ην Μ είλαη κέζν ηνπ ηόμνπ AB // Ο Ζ Μ ε 3) Τν κέηξν κηαο γσλίαο πνπ ζρεκαηίδνπλ δύν ηεκλόκελεο ρνξδέο ελόο θύθινπ είλαη ίζν κε ην εκηάζξνηζκα ησλ κέηξσλ ησλ ηόμσλ ηνπ θύθινπ πνπ πεξηέρνληαη ζ απηήλ θαη ζηελ 1 Σ θαηαθνξπθή ηεο, δειαδή 1 4) Τν κέηξν κηαο γσλίαο πνπ ζρεκαηίδνπλ δύν ηέκλνπζεο ηνπ θύθινπ από έλα ζεκείν εθηόο απηνύ, είλαη ίζν κε ηελ εκηδηαθνξά ησλ κέηξσλ ησλ ηόμσλ ηνπ θύθινπ πνπ πεξηέρνληαη ζηε γσλία, δειαδή Σ
3 ΕΕΡΜΜΕΝ ΣΕΣΡΠΛΕΤΡ ΟΡΙΜΟ: Εγγεγπαμμένο ηεηπάπλεςπο (γεληθά εγγεγπαμμένο πολύγωνο) νλνκάδεηαη ην ηεηξάπιεπξν ηνπ νπνίνπ όιεο νη θνξπθέο είλαη ζεκεία ελόο θύθινπ. ΣΟΚΝ ΠΝΙΧΣΗ ΜΘΗΜΣΙΚΟ ΘΕΧΡΗΜΣ ΠΟΡΙΜΣ 1) λ έλα ηεηξάπιεπξν είλαη εγγεγξακκέλν, ηόηε νη απέλαληη γσλίεο ηνπ είλαη παξαπιεξσκαηηθέο. ) λ έλα ηεηξάπιεπξν είλαη εγγεγξακκέλν, θάζε γσλία ηνπ είλαη ίζε κε ηελ εμσηεξηθή ηεο απέλαληη γσλίαο. 3) λ έλα ηεηξάπιεπξν είλαη εγγεγξακκέλν, θάζε πιεπξά ηνπ θαίλεηαη από ηηο απέλαληη θνξπθέο ππό ίζεο γσλίεο. ΚΡΙΣΗΡΙ ΕΡΦΙΜΧΝ ΣΕΣΡΠΛΕΤΡΧΝ 1) λ νη απέλαληη γσλίεο ελόο ηεηξαπιεύξνπ είλαη παξαπιεξσκαηηθέο, ηόηε απηό είλαη εγγξάςηκν ζε θύθιν. ) Έλα ηεηξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν ζε θύθιν, όηαλ κηα γσλία ηνπ είλαη ίζε κε ηελ απέλαληη εμσηεξηθή. 3) Έλα ηεηξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν ζε θύθιν, όηαλ κηα ηνπιάρηζηνλ πιεπξά ηνπ θαίλεηαη από ηηο απέλαληη θνξπθέο ππό ίζεο γσλίεο. (Τν θξηηήξην απηό ηζρύεη θαη γηα πνιύγσλα, όρη αλαγθαζηηθά ηεηξάπιεπξα) ΠΡΣΗΡΗΗ ηα λα θαηαζθεπάζνπκε ηνλ πεξηγεγξακκέλν θύθινπ ελόο εγγξάςηκνπ πνιπγώλνπ θέξλνπκε δύν κεζνθάζεηεο. Τν ζεκείν ηνκήο ησλ κεζνθαζέησλ είλαη ην θέληξν ηνπ θύθινπ. Ζ αθηίλα ηνπ θύθινπ είλαη ε απόζηαζε ηνπ θέληξνπ από κηα θνξπθή ηνπ πνιπγώλνπ. ΕΦΡΜΟΕ 1) Έλα παξαιιειόγξακκν είλαη εγγξάςηκν ζε θύθιν, αλ θαη κόλν αλ είλαη νξζνγώλην. ) Έλα ηξαπέδην είλαη ηζνζθειέο, αλ θαη κόλν αλ είλαη εγγξάςηκν. 3) Έζησ νμπγώλην ηξίγσλν, ηα ύςε ηνπ,δ θαη Ε. Ολνκάδνπκε Ζ ην νξζόθεληξό ηνπ. Να απνδεηρζεί όηη: α) Τα ηεηξάπιεπξα ΕΖΔ, ΕΖ, ΖΔ, ΕΔ, Ε θαη Δ είλαη εγγξάςηκα ζε θύθιν. Ε ) Τα ηξίγσλα ΕΔ, Ε, Δ είλαη όκνηα πξνο ην Δ αξρηθό ηξίγσλν.(έρνπλ ηηο γσλίεο ηνπο κία πξνο κία ίζεο) γ) Τα ύςε,δ,ε ηνπ ηξηγώλνπ δηρνηνκνύλ ηηο γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ ΔΕ. (Τν ηξίγσλν ΔΕ ιέγεηαη οπθικό)
4 ΣΟΚΝ ΠΝΙΧΣΗ ΜΘΗΜΣΙΚΟ ΠΕΡΙΕΡΜΜΕΝ ΣΕΣΡΠΛΕΤΡ ΟΡΙΜΟ: Πεπιγεγπαμμένο ηεηπάπλεςπο (γεληθά πεπιγεγπαμμένο πολύγωνο) νλνκάδεηαη ην ηεηξάπιεπξν ηνπ νπνίνπ όιεο νη πιεπξέο εθάπηνληαη ζηνλ θύθιν. ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΠΕΡΙΕΡΜΕΝΧΝ ΣΕΣΡΠΛΕΤΡΧΝ 1) Οη δηρνηόκνη ησλ γσληώλ ηνπ δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν, ην νπνίν είλαη ην θέληξν ηνπ θύθινπ. ) Τα αζξνίζκαηα ησλ απέλαληη πιεπξώλ ηνπ είλαη ίζα. δειαδή : +=+ ΚΡΙΣΗΡΙ ΠΕΡΙΡΦΙΜΧΝ ΣΕΣΡΠΛΕΤΡΧΝ 1) Οη δηρνηόκνη ησλ γσληώλ ηνπ δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν. ) Τα αζξνίζκαηα ησλ απέλαληη πιεπξώλ ηνπ είλαη ίζα. ΚΗΕΙ 1) λ Μ ην κέζν έιαζζνλ ηόμνπ θύθινπ (Ο,R) θαη ζεκείν ηνπ κείδνλ ηόμνπ ηέηνην ώζηε 50, λα ππνινγηζζνύλ νη γσλίεο ησλ ηξηγώλσλ Ο,Μ. ) Θεσξνύκε ην κέζν Μ έιαζζνλ ηόμνπ θύθινπ (Ο,ξ) θαη ζεκείν Σ ηνπ κείδνλ ηόμνπ. λ ε θάζεηε από ην ζηε ΣΜ ηέκλεη ηελ Σ ζην, ηόηε λα δείμεηε όηη Σ=Σ. 3) ύν θάζεηεο ρνξδέο, θύθινπ ηέκλνληαη ζε ζεκείν Ο. Να δείμεηε όηη ε δηάκεζνο ΟΜ ηνπ ηξηγώλνπ Ο είλαη θάζεηε ζηελ. 4) ύν θύθινη εθάπηνληαη εζσηεξηθά ζην. Μηα εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ κε ηε κηθξόηεξε αθηίλα, ζε ζεκείν απηνύ, ηέκλεη ηνλ άιιν θύθιν ζηα,. Να δείμεηε όηη ε δηρνηνκεί ηε γσλία B. 5) Έζησ νξζνγώλην ηξίγσλν ( 90 ) θαη ν πεξηγεγξακκέλνο θύθινο (Ο,ξ). Να ππνινγηζζεί ε γσλία B αλ είλαη γλσζηό όηη =ξ. 6) Θεσξνύκε δύν θύθινπο (Ο,ξ) θαη ( ), πνπ ηέκλνληαη ζηα ζεκεία θαη. Ζ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ (Ο,ξ) ζην ηέκλεη ηνλ θύθιν (, ) ζην ζεκείν θαη ε εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ (, ) ζην ηέκλεη ηνλ θύθιν(ο,ξ) ζην ζεκείν. λ νη επζείεο θαη ηέκλνπλ ηνπο θύθινπο (Ο,ξ) θαη (, ) ζηα ζεκεία Δ θαη Ε αληίζηνηρα, λα απνδείμεηε όηη: α) Δ// θαη Ε// β) ηα ηξίγσλα Ε θαη δε είλαη ηζνζθειή. γ) Τα ηξίγσλα Δ θαη Ε είλαη ίζα. δ) Δ=Ε. 7) Τέζζεξηο θίινη,, θαη θάζνληαη γύξσ από έλα θπθιηθό ηξαπέδη κε ηέηνην ηξόπν, ώζηε νη ρνξδέο γ θαη λα είλαη θάζεηεο. Ο παξαηήξεζε όηη βιέπεη ηνπο θαη ππό
5 ΣΟΚΝ ΠΝΙΧΣΗ ΜΘΗΜΣΙΚΟ γσλία 0, ελώ ηνπο θαη ππό γσλία 30. Να ππνινγίζεηε ηηο γσλίεο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ, θαζώο θαη ηα κέηξα ησλ ηόμσλ,, θαη. 8) πό ην κέζν Μ ηόμνπ ελόο θύθινπ, ζεσξνύκε δύν επζείεο 1, πνπ ηέκλνπλ ηε ρνξδή ζηα, Δ θαη ηνλ θύθιν ζηα Ζ, Ε αληηζηνίρσο. Να δείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΔΕΖ είλαη εγγξάςηκν ζε θύθιν. 9) λ έλα παξαιιειόγξακκν είλαη εγγξάςηκν ζε θύθιν ηόηε είλαη ηεηξάγσλν. Σ Λ 10) Θεσξνύκε ηξίγσλν, ηνλ πεξηγεγξακκέλν θύθιν (Ο,ξ) ην κέζν Μ ηνπ ηόμνπ B θαη ζεκείν ηνπ ηόμνπ. Οη, Μ ηέκλνληαη ζην Δ θαη νη, Μ ηέκλνληαη ζην Ε. α) Να ζπγθξίλεηε ηηο γσλίεο θαη. ) Να εμεηάζεηε αλ ην ηεηξάπιεπξν ΔΕ είλαη εγγξάςηκν. ) Να απνδείμεηε όηη ην ΔΕ είλαη παξάιιειν ζην. 11) Έλα θηήκα έρεη ζρήκα ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ (=). Ο ηδηνθηήηεο ηνπ έρεη ηνπνζεηήζεη έλαλ θξάθηε Δ παξάιιειν ζηελ πιεπξά. Να εμεηάζεηε αλ ην ηεηξάπιεπξν Δ είλαη εγγξάςηκν ζε θύθιν. 1) Έλα ζηληξηβάλη έρεη ζρήκα θύθνπ. Έλαο πδξαπιηθόο ηνπνζέηεζε ηέζζεξηο ζσιήλεο λεξνύ, νη νπνίνη ζρεκαηίδνπλ έλα ηεηξάπιεπξν. Οη γσλίεο θαη είλαη ίζεο. α) Να ππνινγίζεηε ηηο γσλίεο θαη. ) Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία θαη είλαη αληηδηακεηξηθά.