ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 10. Εσχάρες... 17 Γενικότητες... 17 10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας... 18 10.2 Στατική διάταξη και λειτουργία λοξών γεφυρών... 28 11. Πλάκες... 31 Γενικότητες... 31 11.1 Η βασική εξίσωση της πλάκας σαν απόρροια της φέρουσας λειτουργίας της... 32 11.2 Ορθογωνικές πλάκες... 41 11.2.1 Διέρειστες πλάκες... 42 11.2.1.1 Εντατική κατάσταση... 42 11.2.1.2 Διαστασιολόγηση... 44 Προένταση... 44 11.2.2 Πλάκες πρόβολοι... 49 11.2.2.1 Εντατική κατάσταση... 49 11.2.2.2 Διαστασιολόγηση... 50 11.2.3 Τετραέρειστες πλάκες... 51 11.2.3.1 Εντατική κατάσταση... 51 11.2.3.2 Διαστασιολόγηση... 56 11.2.4 Πλάκες με νευρώσεις... 59 11.3 Κυκλικές πλάκες... 63 11.4 Λοξές πλάκες... 64 5
6 Περιεχόμενα 11.5 Πλάκες επί υποστηλωμάτων... 68 11.5.1 Εντατική κατάσταση... 68 11.5.2 Διαστασιολόγηση... 74 11.5.3 Προένταση... 76 11.6 Πτυχωτές πλάκες... 80 12. Κελύφη... 85 Γενικότητες... 85 12.1 Η μεμβρανική λειτουργία σαν βασική σχεδιαστική θεώρηση... 86 12.2 Κυλινδρικά κελύφη... 93 12.2.1 To κυλινδρικό κέλυφος με σταθερή εσωτερική πίεση... 93 12.2.2 Κυλινδρικές δεξαμενές... 97 12.2.3 Σιλό... 100 12.2.4 Κυλινδρικοί θόλοι... 101 12.3 Σφαιρικά κελύφη... 110 12.3.1 Κελύφη με κανονικό ύψος... 110 12.3.2 Χαμηλά κελύφη... 120 12.4 Υπερβολικά παραβολοειδή κελύφη... 125 12.4.1 Αντίληψη της γεωμετρίας... 127 12.4.2 Θεωρήσεις ισορροπίας... 131 12.4.3 Κελύφη με ευθύγραμμα σύνορα... 136 12.4.4 Ελαστική ευστάθεια... 144 12.5 Κωνοειδή κελύφη... 144 13. Λεπτότοιχες δοκοί... 149 13.1 Γενικά χαρακτηριστικά... 149 13.2 Η βασική παραδοχή του απαραμόρφωτου της διατομής... 155 13.3 Κέντρο διατμήσεως... 157 13.4 Η στρέβλωση της λεπτότοιχης δοκού και η ένταση λόγω του εμποδισμού της... 159 13.4.1 Ανοικτές διατομές... 159 13.4.2 Κλειστές διατομές... 162 13.4.3 Ανάλυση της στρεβλώσεως... 164 13.4.4 Διαμήκεις τάσεις λόγω εμποδισμού της στρεβλώσεως... 167 13.5 Γύρω από την φυσική έννοια της διρροπής... 169 13.6 Δύο θεωρήματα αναφορικά με τη διρροπή... 171 13.7 Διατμητικές τάσεις από στρέβλωση... 173
Περιεχόμενα 7 13.8 Η εξίσωση της στρεπτικής εντάσεως της λεπτότοιχης δοκού και η πρακτική αντιμετώπισή της... 173 13.9 Παραδείγματα... 178 Παράδειγμα 1... 178 Παράδειγμα 2... 178 14. Κιβωτιοειδείς δοκοί... 181 Γενικότητες... 181 14.1 Ευθύγραμμες δοκοί... 181 14.1.1 Γενική θεώρηση φορτίσεως... 181 14.1.2 Ενταση λόγω παραμορφωσιμότητας της διατομής... 185 14.1.3 Αριθμητικό παράδειγμα... 195 14.1.4 Ανακεφαλαίωση... 197 14.2 Καμπύλες δοκοί... 198 Γενικότητες... 198 14.2.1 Καθορισμός της έντασης του ραβδωτού φορέα... 198 Αξιολόγηση των εξισώσεων ισορροπίας... 198 Ανακεφαλαιώνοντας... 201 Παραδείγματα εφαρμογής... 202 14.2.2 Η καταπόνηση των τοιχωμάτων της διατομής... 206 14.2.3 Η επιρροή της προέντασης στις καμπύλες δοκούς... 209 14.2.4 Η εξουδετέρωση της στρέψεως μέσω της προέντασης... 216 14.2.5 Παραδείγματα ανακεφαλαίωσης... 219 15. Πλευρική καταπόνηση πολυωρόφων συστημάτων... 227 Γενικότητες... 227 15.1 Διαμόρφωση του συστήματος... 227 15.2 Οριζόντια καταπόνηση... 231 15.2.1 Αντιμετώπιση της φέρουσας λειτουργίας... 231 15.2.2 Απόκριση επιπέδου στοιχείου... 235 15.2.3 Γενική διάταξη... 237 15.2.4 Ορθογωνική διάταξη... 239 15.3 Θερμοκρασιακή επιρροή... 242 15.3.1 Αντιμετώπιση της φέρουσας λειτουργίας... 242 15.3.2 Γενική διάταξη... 245 15.3.3 Ορθογωνική διάταξη... 246
8 Περιεχόμενα 16. Η στήριξη των δομικών φορέων στο έδαφος... 249 Γενικότητες... 249 16.1 Γενικά μηχανικά χαρακτηριστικά των εδαφών... 250 16.1.1 Μη συνεκτικά εδάφη... 250 16.1.2 Συνεκτικά εδάφη... 252 16.2 Επιφανειακές θεμελιώσεις... 255 16.2.1 Η παραμόρφωσιακή συμπεριφορά του εδάφους κάτω από κατακόρυφα φορτία.... 256 16.2.2 Μεμονωμένα πέδιλα... 260 16.2.2.1 Τάσεις εδάφους - Καθιζήσεις... 262 16.2.2.2 Εδραση επί ελαστικής βάσεως... 266 16.2.2.3 Διαστασιολόγηση... 273 16.2.3 Θεμελιοδοκοί... 274 16.2.3.1 Προσομοίωση εδάφους κατά Winkler... 276 16.2.3.2 Προσομοίωση εδάφους σαν ελαστικού μέσου... 279 Παράδειγμα... 284 16.3 Βαθείες θεμελιώσεις (Πάσσαλοι)... 284 Γενικότητες... 284 16.3.1 Κατακόρυφα φορτία... 287 16.3.2 Οριζόντια φορτία... 289 17. Η δυναμική συμπεριφορά των διακριτών συστηματων.... 291 Εισαγωγή... 291 17.1 Μονοβάθμια συστήματα... 294 17.1.1 Δυναμική ισορροπία... 294 17.1.2 Ελεύθερη ταλάντωση... 296 17.1.2.1 Ταλάντωση χωρίς απόσβεση... 296 17.1.2.2 Ταλάντωση με απόσβεση... 299 17.1.3 Εξηναγκασμένη ταλάντωση... 303 17.1.4 Περιοδική ημιτονοειδής επιβολή δυνάμεως... 306 17.1.5 Σεισμική διέγερση... 310 17.1.6 Επιρροή της πλαστικής συμπεριφοράς στη σεισμική απόκριση... 317 17.2 Πολυβάθμια συστήματα... 319 17.2.1 Η χρήση του μητρώου ακαμψίας... 319 17.2.1.1 Η έννοια του μητρώου ακαμψίας... 319 17.2.1.2 Μητρωικές πράξεις... 321 17.2.1.3 Συσχέτιση φορτίσεως και μετατοπίσεων... 324 17.2.1.4 Πολυώροφα συστήματα... 324
Περιεχόμενα 9 17.2.2 Ελεύθερη ταλάντωση... 328 17.2.2.1 Επίπεδα συστήματα... 328 17.2.2.2 Πολυώροφο χωρικό σύστημα... 334 Παράδειγμα... 336 17.2.3 Εξηναγκασμένη ταλάντωση... 337 17.2.4 Σεισμική διέγερση... 338 17.2.4.1 Δυναμική ανάλυση... 338 17.2.4.2 Ισοδύναμα στατικά φορτία... 342 Παράδειγμα... 345 17.3 Προσεγγιστική αντιμετώπιση συνεχών συστημάτων... 346 17.4 Σχεδιασμός για αποφυγή ενοχλητικων ταλαντώσεων... 351 17.4.1 Ανθρώπινες δραστηριότητες... 351 17.4.2 Λειτουργία μηχανών... 352 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΜΕΡΟΥΣ B'... 357 ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΥΣ Α'... 361
14. Κιβωτιοειδείς δοκοί Γενικότητες Οι κιβωτιοειδείς δοκοί είναι λεπτότοιχες δοκοί κλειστής διατομής που υπακούουν φυσικά στα όσα αναπτύχθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο γενικά για τις λεπτότοιχες δοκούς, υπό ένα μόνο όρο: Για να ισχύει η θεμελιώδης εξίσωση και όλες οι συναφείς με αυτήν έννοιες (διρροπή κ.λ.π.) που απορρέουν από την στρεπτική καταπόνηση, θα πρέπει να είναι εξασφαλισμένο το απαραμόρφωτο της διατομής τους. Αυτό μπορεί για σχετικά μικρές διαστάσεις της διατομής να εξασφαλίζεται από το πάχος των τοιχωμάτων, για μεγαλύτερες όμως διαστάσεις απαιτεί την ύπαρξη άκαμπτων στο επίπεδό τους διαφραγμάτων τουλάχιστον πάνω από κάθε στήριξη, ενδεχόμενα δε και δύο ή τριών ακόμα μέσα στο άνοιγμα. Αν για κατασκευαστικούς λόγους προτιμάται η κατάργηση αυτών των διαφραγμάτων, η παραλαβή των στρεπτικών φορτίων συνεπάγεται τότε παραμόρφωση της διατομής και επιπρόσθετη καμπτική ένταση, τόσο κατά την διαμήκη όσο και κατά την εγκάρσια έννοια. Αρχικά θα εξεταστούν οι ευθύγραμμες και στη συνέχεια οι καμπύλες δοκοί. 14.1 Ευθύγραμμες δοκοί 14.1.1 Γενική θεώρηση φορτίσεως Στην τυπική κιβωτιοειδή διατομή του Σχήματος 14.1, θεωρείται ενδεικτικά μία έκκεντρη διάταξη του συγκοινωνιακού φορτίου. Το τελευταίο αυτό καθορίζεται βέβαια από τον ακολουθούμενο κανονισμό φορτίσεως. 181
182 14. Κιβωτιοειδείς δοκοί Είναι σκόπιμη η θεώρηση εκείνων των κατάλληλων εξωτερικών δράσεων στους κόμβους Α και Β της άνω πλάκας που εμποδίζουν τόσο την μετατόπιση όσο και την στροφή τους. Οι δράσεις αυτές «παγιώσεως» συνίστανται σε κατανεμημένα κατά μήκος κατακόρυφα φορτία q A και q B, καθώς και κατανεμημένες κατά μήκος ροπές m A και m B, που καθορίζονται από τις ασκούμενες δράσεις στις υποτιθέμενες πακτώσεις στα Α και Β. m A m B A B b 0 q A Παγιωμένη κατάσταση q B q A qb q = q + q A B q = q A - q B m = m + m A B m = m A - m B m A Επικόμβια φόρτιση m B m /2 Συμμετρική φόρτιση m /2 m /2 m /2 Αντισυμμετρική φόρτιση Σχήμα 14.1 Αναγωγή έκκεντρης φόρτισης σε επικόμβια φορτία επί των ακμών της δοκού Μπορεί έτσι, σύμφωνα με το πνεύμα της 3.3.1, να θεωρηθεί ότι η εντατική κατάσταση της δοκού είναι επαλληλία της παγιωμένης καταστάσεως (Ι) που περιέχει τα φορτία μαζί με τις επικόμβιες δράσεις της και της καταστάσεως (ΙΙ) που περιλαμβάνει μόνο τις επικόμβιες δράσεις q A και m A, καθώς και q B και m B, ασκούμενες στις ακμές Α και Β, με αντίθετη φορά από τις προηγούμενες. Η κατάσταση παγιώσεως (Ι) δεν παρουσιάζει εν προκειμένω κανένα ενδιαφέρον, ο- πότε εξετάζεται απ ευθείας η κατάσταση (ΙΙ). Αυτή (εφόσον η διατομή είναι συμμετρική) μπορεί πάντοτε να αναλύεται σε μία συμμετρική και μία αντισυμμετρική φόρτιση. Η συμμετρική φόρτιση απαρτίζεται από τα συμμετρικά κατανεμημένα φορτία q /2 και τις κατανεμημένες ροπές m /2 στα Α και Β. H αντισυμμετρική φόρτιση απαρτίζεται από τα αντίθετα φορτία q /2 και τις ομόφορες ροπές m /2, στις ακμές Α και Β (Σχήμα 14.1).
14.1 Ευθύγραμμες δοκοί 183 q m /2 dv V V + dv Διαφορική διατμητική ροή (Συνισταμένη των δύο παρειών) dv Δx = 1 m /2 dx dv = ( /I)*q Οι φορές των ροών ακολουθούν το υδραυλικό ανάλογο Σχήμα 14.2 Εγκάρσια καταπόνηση σε συμμετρική φόρτιση Η συμμετρική φόρτιση κινητοποιεί την καμπτική στιβαρότητα της δοκού και προκαλεί κατ αρχήν τα γνωστά από την επίπεδη ένταση διαγράμματα καμπτικών ροπών και τεμνουσών δυνάμεων. Πέραν αυτών βέβαια προκαλεί και μία εγκάρσια ένταση αν ληφθεί υπ όψιν η ισορροπία ενός σπονδύλου μοναδιαίου μήκους. Ο σπόνδυλος αυτός δέχεται την συνισταμένη των δύο διατμητικών ροών που ασκούνται σε κάθε παρειά του, βάσει της ασκούμενης σε αυτές τέμνουσας δύναμης αντίστοιχα (Σχήμα 14.2). Δεδομένου ότι η διατμητική ροή v εκφράζεται σαν v = V /I, είναι (dv/dx) = (/I) (dv/dx) = (/I) q και λόγω του μοναδιαίου μήκους του σπονδύλου, η διαφορική διατμητική ροή dv που ασκείται συνολικά στα τοιχώματα της διατομής και που αποτελεί ακριβώς την εν λόγω συνισταμένη, είναι: dv = (/I) q. Υπενθυμίζεται ότι το παριστάνει τη στατική ροπή του α- ποκοπτόμενου τμήματος της διατομής ως προς το κέντρο βάρους της. O σπόνδυλος λοιπόν ισορροπεί κάτω από τα συμμετρικά φορτία q /2, m /2 καθώς και την διαφορική διατμητική ροή dv. Τα φορτία q /2 και dv δεν προκαλούν καμμία κάμψη, παρά μόνο αξονική ένταση. Τα φορτία m /2 προκαλούν μόνο κάμψη (Σχήμα 14.2). Οι εν λόγω εντάσεις καθορίζονται από ένα κλασσικό λογισμικό Η/Υ για επίπεδα πλαίσια. Η συμμετρική φόρτιση δεν παρουσιάζει άλλη ιδιαιτερότητα, οπότε το ενδιαφέρον μετατοπίζεται αποκλειστικά στην αντισυμμετρική φόρτιση. Αυτή δρά στη δοκό σαν ένα κατανεμημένο στρεπτικό φορτίο m D = (q /2) b 0 + m (Σχήμα 14.1), που προκαλεί ένα συγκεκριμένο στρεπτικό διάγραμμα (Σχήμα 14.3). Σε κάθε θέση της δοκού η αναπτυσσόμενη στρεπτική ροπή παραλαμβάνεται από την διατμητική ροή κατά Bredt. Ετσι, κάθε τοίχωμα της διατομής θεωρούμενο στο μήκος της δοκού, αναπτύσσει κατ αρχήν ένα συγκεκριμένο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων.
184 14. Κιβωτιοειδείς δοκοί [M T] Η ένταση λόγω Bredt προκαλεί τέμνουσες δυνάμεις σε κάθε τοίχωμα της διατομής [M T] Σχήμα 14.3 Επιρροή τρόπου στηρίξεως της δοκού στην κατανομή της στρεπτικής εντάσεως Πέραν αυτών θα υπάρξει βέβαια και μία επιπρόσθετη ένταση στη δοκό μικρής μεν εκτάσεως αν οι διατομές της δοκού μπορούν να θεωρηθούν απαραμόρφωτες, μεγαλύτερης δε αν η παραμορφωσιμότητα των διατομών δεν μπορεί να αγνοηθεί. Το απαραμόρφωτο των διατομών που εξασφαλίζεται με τη διάταξη εγκαρσίων διαφραγμάτων όπως αναφέρθηκε εισαγωγικά, επιτρέπει τον καθορισμό της επιπρόσθετης έντασης της δοκού (διαμήκεις και διατμητικές τάσεις εκ στρεβλώσεως), όπως εξετάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο σχετικά με τις λεπτότοιχες διατομές. Λόγω του κλειστού της διατομής, οι επιπτώσεις από τον εμποδισμό της εκ των πραγμάτων περιορισμένης στρεβλώσεως είναι και αυτές οπωσδήποτε περιορισμένες. Η παρουσία όμως των εγκαρσίων διαφραγμάτων για κατασκευαστικούς λόγους δεν είναι γενικά επιθυμητή. Τότε η δοκός θα πρέπει να θεωρηθεί με παραμορφώσιμη διατο-
14.1 Ευθύγραμμες δοκοί 185 μή, οπότε η αντιμετώπιση της στρεπτικής εντάσεως σύμφωνα με την θεμελιακή εξίσωση της 13.8 δεν ισχύει και κατά συνέπεια, ο φορέας θα πρέπει να αντιμετωπιστεί μέσα από την πτυχωτή του λειτουργία. Στην περίπτωση αυτή όπως θα διαπιστωθεί στην επόμενη παράγραφο, η επιπρόσθετη ένταση στην κατά Bredt διατμητική ροή, έγκειται σε μία διαμήκη κάμψη για κάθε τοίχωμα, καθώς και μία εγκάρσια καταπόνηση για την διατομή. 14.1.2 Ενταση λόγω παραμορφωσιμότητας της διατομής Η επιβαλλόμενη στρεπτική φόρτιση [m D = (q /2) b 0 + m ] λόγω του αντισυμμετρικού ζεύγους, προξενεί μία παραμόρφωση της κλειστής διατομής ανάλογα με την διατιθέμενη καμπτική στιβαρότητά της, η οποία παρασύρει τα τοιχώματα της διατομής σε διαμήκη κάμψη (Σχήμα 14.4). Το αποτέλεσμα είναι μία διαμήκης ένταση που εμπλέκεται με την εγκάρσια καμπτική λειτουργία της διατομής. Επισημαίνεται ότι η ένταση αυτή είναι επιπρόσθετη στην κατ αρχήν υφιστάμενη διατμητική ένταση των τοιχωμάτων της διατομής, λόγω της ροής κατά Bredt. m /2 Αντισυμμετρική φόρτιση m /2 Διάγραμμα στρεπτικών ροπών Η ροή κατά Bredt προκαλεί τέμνουσες δυνάμεις στα τοιχώματα b o v = M /(2*F ) T k [kn /m] m /2 Ισορροπία σπονδύλου Αυτοισορροπούμενο σύστημα v Δv v Διαφορική διατμητική ροή (Συνισταμένη των δύο παρειών) Δv Δv = (q *b + 2*m ) /(4*F ) o k Δx = 1 m /2 Σχήμα 14.4 Ανάλυση της αντισυμμετρικής φορτίσεως
186 14. Κιβωτιοειδείς δοκοί Για να παρακολουθηθεί τώρα η επιρροή της παραμορφωσιμότητας της διατομής, θεωρούνται τα αντισυμμετρικά φορτία q /2 και m /2 που δέχεται η διατομή στις ακμές της Α και Β και εξετάζεται κατ αρχήν η ισορροπία ενός αποκοπτόμενου σπονδύλου μοναδιαίου μήκους (Σχήμα 14.4). Είναι σαφές ότι ο σπόνδυλος ισορροπεί υπό την επήρρεια των εξωτερικών αυτών δυνάμεων και της διαφορικής διατμητικής ροής Δv, όπως αυτή προκύπτει σαν συνισταμένη των επιβαλλόμενων ροών κατά Bredt στις δύο όψεις του σπονδύλου. Δεδομένου ότι είναι: και συνεπώς: v Δv ΔM T = Δx Δx q M T =, 2 Fk 1 2 F b k + 2 m k md = 2 F 0 Δ v =. 4 F Σύμφωνα με τις διαστάσεις που φαίνονται στο σχήμα είναι: F k = d (b 0 + b u )/2. Είναι προφανές ότι ο εξεταζόμενος σπόνδυλος υπό την επήρρεια των δυνάμεων q /2, m /2 και Δv τείνει να παραμορφωθεί. Η παραμόρφωσή του αυτή συνίσταται ουσιαστικά σε μεταβολή του μήκους των διαγωνίων του και συνεπάγεται μία επιπρόσθετη ένταση για κάθε τοίχωμα της δοκού. Κρίνεται έτσι σκόπιμο να θεωρηθεί αρχικά κατά το πνεύμα της 3.3.1 η παρεμβολή κατά την επαυξανόμενη διαγώνιο του σπονδύλου μιάς αμφιαρθρωτής ράβδου με άπειρη εκτατική στιβαρότητα, δηλαδή μή παραμορφώσιμης (Σχήμα 14.5). Με την εισαγωγή αυτού του στοιχείου καθ όλο το μήκος της δοκού, αποκλείεται τόσο η παραμόρφωση του προφίλ της δοκού όσο και η ένταση που θα προέκυπτε από αυτήν, με εξαίρεση την όποια εγκάρσια καμπτική ένταση προέρχεται από την επιρροή των ροπών m /2. Το διαγώνιο αυτό στοιχείο αναπτύσσει βεβαίως μία εφελκυστική δύναμη. Θεωρώντας τώρα στη συνέχεια ότι το φορτίο (κατανεμημένο ανά μονάδα μήκους) ασκείται με αντίθετη φορά στις δύο αντίστοιχες απέναντι ακμές της κιβωτιοειδούς δοκού χωρίς φυσικά την παρουσία του εμβόλιμου μέλους γίνεται κατανοητό ότι η προκαλούμενη έτσι ένταση, επαλληλιζόμενη με εκείνη που απορρέει από το «μπλοκάρισμα» του σπονδύλου, θα ταυτίζεται με την ζητούμενη. (Σχήμα 14.5). k
14.1 Ευθύγραμμες δοκοί 187 Αυτοισορροπούμενος σπόνδυλος m /2 Δv m /2 Διαφορική διατμητική ροή m /2 8 A= m /2 Ο πλασματικός σύνδεσμος εφελκύεται με δύναμη Ασκηση αντιθέτων δράσεων Διαμήκης και εγκάρσια ένταση τοιχωμάτων πτυχωτού φορέα?? Επιπρόσθετη ένταση στην διάτμηση των τοιχωμάτων κατά Bredt Σχήμα 14.5 Πρόσθετη καταπόνηση της δοκού προερχόμενη από την αντισυμμετρική φόρτιση Γιά την εξέταση της επιπρόσθετης αυτής διαγώνιας φόρτισης, θεωρείται καταρχήν ότι οι δυνάμεις ασκούνται σε μία δοκό τα τοιχώματα της οποίας συνδέονται μεταξύ τους όχι μονολιθικά αλλά αρθρωτά (Σχήμα 14.6). Οι δυνάμεις αναλύονται με «ισοστατικό» τρόπο σε κάθε τοίχωμα, οπότε το καθένα μπορεί να θεωρηθεί σαν μία δοκός κατά την διαμήκη έννοια που αναπτύσσει συγκεκριμένες καμπτικές ροπές Μ 0 και βάσει αυτών συγκεκριμένες διαμήκεις τάσεις σ κατά την κλασσική τεχνική θεωρία της κάμψεως. Ε- πειδή όμως οι κοινές ακμές τους δεν παρουσιάζουν τις ίδιες ανηγμένες επιμηκύνσεις σ/ε (ή βραχύνσεις) όπως συμβαίνει στο αρθρωτό σύστημα, θα πρέπει να ασκηθούν επιπρόσθετες διαμήκεις δυνάμεις κατά μήκος των ακμών ώστε να αποκατασταθεί εκεί το συμβιβαστό των ανηγμένων παραμορφώσεων. Με τον τρόπο αυτό βέβαια, οι αρχικές διαμήκεις ορθές τάσεις σ θα τροποποιηθούν.
188 14. Κιβωτιοειδείς δοκοί o u Οι διαφορετικές ορθές τάσεις επιβάλλουν σε όλες τις κοινές ακμές την διόρθωση του ασυμβίβαστου μέσω επιπρόσθετων αυτοισορροπούμενων διατμητικών δυνάμεων Ανοιγμα της δοκού o u Σχήμα 14.6 Παραλαβή των διαγώνιων φορτίων από τις διαμήκεις υψίκορμες δοκούς Αποτέλεσμα της ανάλυσης αυτής είναι ο καθορισμός του διαγράμματος διαμήκων τάσεων γιά ένα τοίχωμα, π.χ. τον αριστερό κορμό της αρθρωτής κιβωτιοειδούς διατομής όπως στο Σχήμα 14.7, σύμφωνα με τον κλασσικό τύπο της κάμψεως ( 2.2.1) βάσει της «ισοστατικής» ροπής Μ 0, όπου όμως σαν ροπή αδρανείας Ι * εμφανίζεται το κανονικό μέγεθος Ι του κορμού πολλαπλασιασμένο επί ένα συντελεστή k, ενώ η απόσταση y o της ουδέτερης ίνας από την πάνω ίνα είναι και αυτή τροποποιημένη σύμφωνα με την γεωμετρία της διατομής. Η ροπή Μ 0 προκύπτει από την φόρτιση του αριστερού κορμού με την αντίστοιχη συνιστώσα της (Σχήμα 14.6). Βρίσκεται ότι: = b /s Είναι έτσι: M 0 M 0 σ 0 = y * 0 και σ u = ( b y ) * 0, όπου: I I Ι = Ι k
14.1 Ευθύγραμμες δοκοί 189 Ενεργός ροπή αδρανείας Ι = Ι *k σ "Ουδέτερος άξονας" b u * σ o b y o σ = (Μ /Ι )*y σ = (Μ /Ι )*(b - y ) Προκαλούν τη ροπή Μ u 0 0 0 * * o o o I b b b t t t o o u u s α = (t *b ) /(t *b *b ) α = (t *b ) /(t *b ) β = b /b o o o o u u u 3 2 u Ανοιγμα της δοκού Σχήμα 14.7 Καμπτική ένταση των διαμήκων τοιχωμάτων στο αρθρωτό πτυχωτό σύστημα Βρίσκεται ότι (Σχήμα 14.7): ) ( ) ( ] ) ( ) [( k u u β α α β β α α β + + + + + + = 0 0 3 3 1 1 2 2 2 και u o u y b + + + + + = β α α β β α β 3 3 2 1 0 Ετσι, η διαφορική εξίσωση του καμπτόμενου κατά μήκος κορμού στο αρθρωτό σύστημα, μπορεί να γραφεί: * dx d I E = 4 4,
190 14. Κιβωτιοειδείς δοκοί όπου η αρχική «ισοστατική» φόρτιση του κορμού και Ι η ιδεατή ροπή αδρανείας του κορμού. Το παριστάνει τη μετατόπιση μέσα στο επίπεδο του κορμού, φυσικά λόγω μόνο της παραμόρφωσης της διατομής (Σχήμα 14.7). Τώρα πλέον μπορεί να ληφθεί υπ όψιν η μονολιθικότητα της συνδέσεως των τοιχωμάτων της κιβωτιοειδούς διατομής. Κάτω από τις διαγώνιες δυνάμεις, το αρθρωτό προφίλ παραμορφώνεται λόγω της καμπτικής παραμορφώσεως των τοιχωμάτων του και αυτή η παραμόρφωσή του εκδηλώνεται στην αύξηση δ της διαγωνίου του (Σχήμα 14.8). Η μεταβολή όμως αυτή δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί χωρίς καμμία αντίσταση, δεδομένου ότι αυτόματα κινητοποιείται η εγκάρσια στιβαρότητα C της διατομής σαν κλειστού πλαισίου. Η στιβαρότητα αυτή C εκφράζεται μέσω της σχέσεως r=δ C, σαν η διαγώνια εκείνη δύναμη r που απαιτείται να ασκηθεί στο πλαίσιο για να προκαλέσει την παραμόρφωση δ = 1. Το C εξαρτάται από τα γεωμετρικά και ελαστικά δεδομένα της διατομής και υπολογίζεται από ένα κοινό λογισμικό αναλύσεως επιπέδων πλαισίων. Ετσι, στην τάση του αρθρωτού προφίλ να παραμορφωθεί κατά δ, ασκείται αυτόματα πάνω του (σαν αντίδραση) η αντίσταση r που προβάλλει η μονολιθικότητα του πλαισίου, οπότε ο κορμός εκτός από την αρχική του φόρτιση δέχεται και την δύναμη r σαν «ισοστατική» συνιστώσα της r, προφανώς με α- ντίθετη φορά. Είναι r = r (b /s) (σχήμα): Λαμβανομένου τώρα υπόψιν ότι η καμπτική παραμόρφωση του κορμού συνδέεται γραμμικά με την διαγώνια παραμόρφωση δ μέσω της σχέσεως δ = D (Σχήμα 14.8), όπου: 2 b ( 1 + β ) ( 2 + 2 β + 2 β + α 0 + α u β ) D = (πρβλ. Σχήμα 14.7), β s 3 + 3 β + α 0 + α u β προκύπτει ότι η δύναμη r εκφράζεται επίσης γραμμικά μέσω του από τη σχέση Η διαφορική εξίσωση της διαμήκους κάμψεως της δοκού του κορμού γράφεται τώρα: 2 r = D C ( b / s) = K όπου K = D C ( b / s) και τελικά E 4 * I 4 d = ( r dx 4 * d I 4 ) = E + K = dx 2 K Αναγνωρίζεται έτσι η τυπική εξίσωση της δοκού επί ελαστικού εδάφους, με δείκτη εδάφους ίσο με Κ (πρβλ. 16.2.3.1). Πράγματι ο κορμός φέρεται από την συνεχή ελαστική στήριξη που του προσφέρεται από την αντίσταση του προφίλ, στο να υποστεί την διαγώνια παραμόρφωση (Σχήμα 14.8).
14.1 Ευθύγραμμες δοκοί 191 δ r r r Οι βυθίσεις προκαλούν αύξηση δ της διαγωνίου δ = *D Το πλαίσιο προβάλλει αντίσταση r στη μετατόπιση δηλαδή στην αύξηση της διαγωνίου του r = δ*c r = r*(b /s) = K* Ο κορμός λειτουργεί όπως επί ελαστικής βάσεως r = K* (Ι* = Ι *k ) b Ακραίο διάφραγμα E, I* Ακραίο διάφραγμα K Το προκύπτον βέλος αναφαίρεται μόνο στην παραμόρφωση του προφίλ Παρεμβολή διαφράγματος σημαίνει αντίστοιχη στήριξη ( = 0) Σχήμα 14.8 Λειτουργία του διαμήκους τοιχώματος στο μονολιθικό πτυχωτό σύστημα Γίνεται βεβαίως κατανοητό ότι η παρουσία ενός συγκεντρωμένου φορτίου πάνω από τον κορμό θα οδηγήσει μέσω του αντισυμμετρικού τμήματος της φορτίσεως σε μία ε- φαρμοζόμενη συγκεντρωμένη στρεπτική ροπή και σε μία αντίστοιχη διατμητική ροή κατά Bredt, τελικώς δε σε μία εφαρμοσμένη συγκεντρωμένη δύναμη στο μοντέλο του κορμού επί ελαστικής βάσεως (Σχήμα 14.9). Αν το έκκεντρο συγκεντρωμένο φορτίο είναι το μόνο που ασκείται στο φορέα, τότε στην παραπάνω εξίσωση δεν υπάρχει βεβαίως το κατανεμημένο φόρτίο του δεξιού μέλους, δεδομένου ότι η δοκός επί ελαστικού εδάφους
192 14. Κιβωτιοειδείς δοκοί δέχεται μόνο ένα συγκεντρωμένο φορτίο. Στη περίπτωση αυτή γίνεται αντιληπτό ότι η διαγώνια δράση επί της κιβωτιοειδούς δοκού συνίσταται σε ένα μόνο ζεύγος ίσων και αντιθέτων δυνάμεων που, αν συμβεί να υπάρχει στη θέση τους εγκάρσιο διάφραγμα, παραλαμβάνονται από αυτό και δεν καταπονούν καθόλου την διατομή, όπως δηλαδή α- κριβώς συμβαίνει με την «απαραμόρφωτη διατομή». Αν πάλι το διάφραγμα αυτό δεν υ- πάρχει τότε θα πρέπει να παραληφθούν από τον πτυχωτό φορέα της δοκού, με την έννοια της «παραμορφώσιμης διατομής», δηλαδή όπως ακριβώς εξετάστηκε λεπτομερειακά παραπάνω (σχήμα). P P /2 P /2 P /2 [M ] T P /2 Λόγω αντισυμμετρικής φορτίσεως P /2 P /2 Ισορροπία σπονδύλου E, I* Οι στηρίξεις τοποθετούνται εκεί όπου υπάρχουν εγκάρσια διαφράγματα Σχήμα 14.9 Συμπεριφορά κιβωτιοειδούς δοκού κάτω από έκκεντρο συγκεντρωμένο φορτίο
14.1 Ευθύγραμμες δοκοί 193 Ανακεφαλαιώνοντας επαναλαμβάνεται ότι η παραμόρφωση του κορμού λόγω της φόρτισής του με την συνιστώσα της διαγώνιας φόρτισης, κινητοποιεί την εγκάρσια στιβαρότητα του κλειστού πλαισίου. Η στιβαρότητα αυτή εκδηλώνεται με μία ασκούμενη δύναμη r αντίθετης φοράς πάνω στον κορμό, η οποία όμως συνδέεται γραμμικά με το βέλος του, όπως ακριβώς δηλαδή συμβαίνει με την δοκό επί ελαστικής βάσεως. Είναι κατανοητό ότι η διαμήκης καμπτική ένταση του κορμού που θα προκύψει από την λειτουργία του σαν δοκού επί ελαστικής βάσεως, θα οδηγήσει μέσω των τάσεων των ακραίων ινών του σύμφωνα με τις παραπάνω σχέσεις, στις ακραίες τάσεις και των υπολοίπων τοιχωμάτων, δεδομένου ότι σε κάθε ακμή οι ανηγμένες παραμορφώσεις ε άρα και οι τάσεις (ε Ε) είναι κοινές. Οσον αφορά τώρα τις συνοριακές συνθήκες του, θα πρέπει να προσεχθεί ότι αυτό το αφορά μόνο εκείνη την παραμόρφωση που απορρέει από την παραμόρφωση του προφίλ και όχι το συνολικό βέλος του κορμού στο οποίο συμβάλλει οπωσδήποτε και η στρεπτική στροφή της διατομής σαν στερεού. Ετσι σε κάθε θέση όπου η διατομή παραμένει απαραμόρφωτη λόγω της ενδεχόμενης παρουσίας ενός εγκάρσιου διαφράγματος, θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη = 0, δηλαδή να παρεμβάλλεται μία στήριξη στο μοντέλο της δοκού επί ελαστικής βάσεως (Σχήμα 14.9). Η ολική πάκτωση σε μία θέση επιβάλλει βεβαίως τη συνθήκη d =0. dx Τέλος εξετάζεται η περίπτωση όπου αναπτύσσονται αντιδράσεις από στρεπτική καταπόνηση σε μία στήριξη όπου δεν υπάρχει εγκάρσιο διάφραγμα (Σχήμα 14.10). Επισημαίνεται ότι στή θέση αυτή δεν θα πρέπει να παρεμβληθεί στήριξη στο μοντέλο της ελαστικά εδραζόμενης δοκού, αλλά ότι οι κατακόρυφες αντιδράσεις θα πρέπει να θεωρηθούν σαν αντισυμμετρικά φορτία που προσφέρουν μία συγκεντρωμένη στρεπτική ροπή, η οποία σύμφωνα με τα προηγούμενα θα οδηγήσει σε μία συγκεντρωμένη δύναμη στον ελαστικά εδραζόμενο κορμό. Φυσικά δεν θα πρέπει να ξεχαστεί και η ταυτόχρονη εγκάρσια καταπόνηση της διατομής. Από την παραμόρφωση του κορμού συμπεραίνεται σύμφωνα με τα παραπάνω η διαγώνια φόρτιση r του κλειστού πλαισίου όπως φαίνεται στο Σχήμα 14.11, από την ο- ποία προκύπτει η αντίστοιχη έντασή του. Είναι σύμφωνα με τα προηγούμενα r = K s b
194 14. Κιβωτιοειδείς δοκοί Ανάπτυξη στρεπτικής αντιδράσεως Ενδιάμεση στήριξη Q Q Q [M ] T Q Q Ισορροπία σπονδύλου Σχήμα 14.10 Συμπεριφορά στην εσωτερική στήριξη με απουσία εγκάρσιου διαφράγματος r δ r Οι βυθίσεις προκαλούν την αύξηση δ της διαγωνίου δ = *D Η επιβαλλόμενη αύξηση δ της διαγωνίου του πλαισίου απαιτεί εφαρμογή των δυνάμεων r r = δ*c Εγκάρσια καταπόνηση Σχήμα 14.11 Εγκάρσια ένταση λόγω παραμόρφωσης του προφίλ
14.1 Ευθύγραμμες δοκοί 195 14.1.3 Αριθμητικό παράδειγμα Εξετάζεται μία αμφιέρειστη δοκός μήκους 40.0 m με ορθογωνική κιβωτιοειδή διατομή όπως φαίνεται στο Σχήμα 14.12. Στο μέσο της δοκού και πάνω στον αριστερό κορμό θεωρείται ότι ασκείται συγκεντρωμένο φορτίο 1000 kn το οποίο, σύμφωνα με το Σχήμα 14.9 προκαλεί στρέψη μέσω του αντισυμμετρικού του ζεύγους των 500 kn. Βάσει των παραπάνω εκφράσεων στην 14.1.2, υπολογίζονται τα αντίστοιχα γεωμετρικά στοιχεία της διατομής: β = 1, α o = 1.24, α u = 0.79, k = 1.002, y 0 = 1.18, D = 1.495, s = 6.69 m καθώς και Ι = 0.504 m 4, οπότε Ι = 0.504 1.002 = 0.505 m 4 Υπολογίζεται επίσης η στιβαρότητα (ακαμψία) C (kn/m 2 ) του σπονδύλου μοναδιαίου μήκους για σχετική απομάκρυνση των διαγωνίως απέναντι γωνιών του κατά 1.0 m. Προκύπτει: C = 21524.0 kn /m 2. Όπως προκύπτει από την ισορροπία του σπονδύλου στο μέσον της δοκού, ο κορμός δέχεται τη συγκεντρωμένη δύναμη των 250.0 kn. Αναλυτικώτερα, ο σπόνδυλος ισορροπεί κάτω από το αντισυμμετρικό ζεύγος των 500 kn καθώς και την περιρρέουσα διαφορική διατμητική ροή v που σύμφωνα με την 14.1.2 ισούται με 500 2 6. 20 v = = 100 kn /m 4 2. 50 6. 20 με αποτέλεσμα η δύναμη που δέχεται ο αριστερός κορμός να ισούται με = 500.0 v 2.50 = 250.0 kn (βλ. Σχήμα 14.12) Ο κορμός όπως εξηγήθηκε προηγουμένως λειτουργεί σαν δοκός εδραζόμενη σε ελαστική βάση με δείκτη ακαμψίας Κ = 1.495 21524.0 2.50 /6.69 = 12025 kn /m 2 Προκύπτει έτσι για τον αριστερό κορμό το διάγραμμα καμπτικών ροπών που φαίνεται στο σχήμα με μέγιστη ροπή στο μέσον ίση με 514 knm. Εξάλλου το βέλος της δοκού στο μέσον είναι 1.26 10 3 m. Υπολογίζονται έτσι οι τάσεις στην άνω και κάτω ίνα του κορμού σύμφωνα με τα παραπάνω: σ o = 514.0 1.18 /0.505 = 1201 kn /m 2 (θλίψη) σ u = 514.0 (2.50 1.18) /0.505 = 1344 kn /m 2 (εφελκυσμός) Εννοείται ότι οι διαμήκεις αυτές τάσεις οφείλονται μόνο στην στρεπτική καταπόνηση της δοκού, λαμβάνοντας υπ όψιν το παραμορφώσιμο της διατομής της. Η συμπλήρωση της εικόνας των διαμήκων τάσεων φίνεται στο σχήμα. Η ανάπτυξη του βέλους προκαλεί αύξηση της διαγωνίου του προφίλ της διατομής, πράγμα που απαιτεί την άσκηση σε αυτό διαγώνιας δύναμης r ίσης σύμφωνα με τα προηγούμενα με: r = 1.26 10 3 1.495 21524.0 = 40.5 kn /m,