HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017 1 1
Αποφασισιµότητα Είδαµε δύο τρόπους ελέγχου ισοδυναµιών στον προτασιακό λογισµό: 1. Ελέγχοντας τους πίνακες αληθείας 2. Χρησιµοποιώντας νόµους ισοδυναµίας Είδαµε πως το (1) µπορεί να γίνει αλγοριθµικά. Λέµε ότι το να δείξουµε την ισοδυναµία προτάσεων στον προτασιακό λογισµό είναι ένα πρόβληµα αποφασίσιµο (decidable) 3/2/2017 2 2
Αποφασισιµότητα Ο έλεγχος της ισχύος ισοδυναµιών στον προτασιακό λογισµό είναι πρόβληµα αποφασίσιµο Ο έλεγχος της ισχύος ισοδυναµιών στον κατηγορηµατικό λογισµό είναι, γενικά, πρόβληµα µη αποφασίσιµο Εποµένως, η απόδειξη θεωρηµάτων παραµένει «τέχνη» (και για τους ανθρώπους και για τους υπολογιστές!) Ωστόσο, κάτω από προϋποθέσεις, προτάσεις του κατηγορηµατικού λογισµού είναι αποφασίσιµες 3/2/2017 3 3
Βασικές µέθοδοι απόδειξης
Αποδείξεις Στα µαθηµατικά, µία απόδειξη είναι µία διαδικασία που καθορίζει µε αυστηρό τρόπο την αλήθεια µίας πρότασης. 3/2/2017 5
Ορολογία Αξίωµα: Μία πρόταση την οποία θεωρούµε αληθή χωρίς απόδειξη και η οποία εξυπηρετεί στο να ορίζει τις βασικές δοµές µε βάση τις οποίες προσπαθούµε να βγάλουµε περεταίρω συµπεράσµατα. Κανόνες εξαγωγής συµπερασµάτων: Μορφές συλλογισµών που οδηγούν από υποθέσεις σε συµπεράσµατα. Θεώρηµα: Μία πρόταση η οποία έχει αποδειχτεί ότι είναι αληθής. 3/2/2017 6
Oρολογία Λήµµα Ένα θεώρηµα µικρής σηµασίας που χρησιµοποιείται προκειµένου να αποδείξουµε ένα θεώρηµα µεγαλύτερης σηµασίας. Πόρισµα - Ένα θεώρηµα µικρής σηµασίας το οποίο αποδεικνύεται εύκολα ως συνέπεια της απόδειξης ενός σηµαντικότερου θεωρήµατος. Εικασία Μία πρόταση για την οποία πιστεύουµε πως είναι αληθής, αλλά η αλήθεια της οποίας δεν έχει αποδειχτεί. Θεωρία Το σύνολο όλων των θεωρηµάτων τα οποία µπορούν να αποδειχτούν από ένα δοσµένο σύνολο αξιωµάτων. 3/2/2017 7
Οι αποδείξεις µπορούν να αναπαρασταθούν τυπικά ως διακριτές δοµές. Θα µελετήσουµε ορθούς (αλλά και εσφαλµένους!) κανόνες εξαγωγής συµπερασµάτων, και αρκετές στρατηγικές απόδειξης. 3/2/2017 8
Σηµασία Η απόδειξη ενός θεωρήµατος µας επιτρέπει να βασιστούµε στην ορθότητά του ακόµα και στις πιο κρίσιµες/ειδικές περιπτώσεις. Πέρα από τα µαθηµατικά, η απόδειξη θεωρηµάτων έχει επίσης εφαρµογές στην επαλήθευση προγραµµάτων (program verification), την ασφάλεια υπολογιστών, τα αυτοµατοποιηµένα συστήµατα εξαγωγής συµπερασµάτων, κλπ. 3/2/2017 9
Κανόνες εξαγωγής συµπερασµάτων, γενική µορφή Ένας κανόνας εξαγωγής συµπερασµάτων είναι ένα πρότυπο το οποίο καθορίζει πως εάν ένα σύνολο από προϋποθέσεις αληθεύουν, τότε µπορούµε να συνάγουµε ότι ένα συµπέρασµα είναι αληθές. προϋπόθεση 1 προϋπόθεση 2 συµπέρασµα σηµαίνει εποµένως 3/2/2017 10
Κανόνες εξαγωγής συµπερασµάτων & «εάν τότε» Κάθεορθός κανόνας εξαγωγής συµπερασµάτων αντιστοιχεί σε µία πρόταση της µορφής «εάν τότε» η οποία αποτελεί ταυτολογία. προϋπόθεση 1 Κανόνας προϋπόθεση 2 Συµπέρασµα Αντίστοιχη ταυτολογία: ((προϋπ. 1) (προϋπ. 2) ) Συµπέρασµα 3/2/2017 11
Μερικοί κανόνες για τον προτασιακό λογισµό p Κανόνας της πρόσθεσης p q p q Κανόνας της απλοποίησης p p Κανόνας της σύζευξης q p q 3/2/2017 12
Modus Ponens & Tollens p Κανόνας modus ponens p q (κανόνας επιβεβαίωσης) q q p q Κανόνας modus tollens p (κανόνας άρνησης) 3/2/2017 13
«Συλλογισµοί» p q Κανόνας του υποθετικού q r συλλογισµού p r p q Κανόνας του διαζευκτικού p συλλογισµού q Αριστοτέλης (384-322 π.χ.) 3/2/2017 14
Ορθότητα των κανόνων εξαγωγής συµπερασµάτων Για καθέναν από αυτούς τους κανόνες, µπορούµε εύκολα να αποδείξουµε την ορθότητά τους... Παράδειγµα: Κανόνας του διαζευκτικού συλλογισµού: ((p q) p) q Το ότι η παραπάνω πρόταση αποτελεί ταυτολογία µπορεί πολύ εύκολα να αποδειχτεί υπολογίζοντας τον πίνακα αληθείας της. 3/2/2017 15
Υπενθυµίζω Η πρόταση p q έχει το νόηµα η p q είναι ταυτολογία Η πρόταση p q έχει το νόηµα η p q είναι ταυτολογία 3/2/2017 16
Τυπικές αποδείξεις Μία τυπική (formal) απόδειξη ενός συµπεράσµατος C, δοσµένων προϋποθέσεων p 1, p 2,, p n αποτελείται από µία πεπερασµένη ακολουθία βηµάτων, κάθε ένα από τα οποία εφαρµόζει κάποιο κανόνα εξαγωγής συµπερασµάτων στις προϋποθέσεις ή σε ήδη αποδεδειγµένες προτάσεις για να εξάγει µία νέα αληθή πρόταση, µέχρι να καταλήξει στο συµπέρασµα C. 3/2/2017 17
Ορθότητα και αλήθεια Λέµε ότι µία απόδειξη είναιορθή αν ποτέ δεν οδηγεί από αληθείς υποθέσεις σε ψευδή συµπεράσµατα. 3/2/2017 18
Υποθέσεις/συµπέρασµα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθή απόδειξη, και αληθείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι 3/2/2017 19
Υποθέσεις/συµπέρασµα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθή απόδειξη, και αληθείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι αληθές 3/2/2017 20
Υποθέσεις/συµπέρασµα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλµένη απόδειξη, αληθείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι 3/2/2017 21
Υποθέσεις/συµπέρασµα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλµένη απόδειξη, αληθείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι αληθές ή ψευδές 3/2/2017 22
Υποθέσεις/συµπέρασµα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθή απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι 3/2/2017 23
Υποθέσεις/συµπέρασµα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Oρθή απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι αληθές ή ψευδές 3/2/2017 24
Υποθέσεις/συµπέρασµα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλµένη απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι 3/2/2017 25
Υποθέσεις/συµπέρασµα/απόδειξη Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: Εσφαλµένη απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι αληθές ή ψευδές 3/2/2017 26
Παράδειγµα τυπικής απόδειξης Έστω οι εξής υποθέσεις: εν έχει ήλιο και κάνει κρύο. Αν κολυµπήσουµε τότε σηµαίνει πως έχει ήλιο Αν δεν κολυµπήσουµε θα κάνουµε βαρκάδα. Αν κάνουµε βαρκάδα, θα γυρίσουµε σπίτι νωρίς. οσµένων αυτών των προϋποθέσεων αποδείξτε ότι Θα γυρίσουµε στο σπίτι νωρίς χρησιµοποιώντας κανόνες εξαγωγής συµπερασµάτων. 27
Παράδειγµα τυπικής απόδειξης εν έχει ήλιο και κάνει κρύο Αν κολυµπήσουµε σηµαίνει πως έχει ήλιο. Αν δεν κολυµπήσουµε θα κάνουµε βαρκάδα. Αν κάνουµε βαρκάδα, θα γυρίσουµε σπίτι νωρίς. Θα γυρίσουµε στο σπίτι νωρίς ήλιος = Έχει ήλιο ; κρύο = Κάνει κρύο ; κολύµπι = Θα κολυµπήσουµε ; βαρκάδα = Θα κάνουµε βαρκάδα ; νωρίς = Θα γυρίσουµε στο σπίτι νωρίς. 28
Παράδειγµα τυπικής απόδειξης Οι προϋποθέσεις µπορούν να γραφούν ως εξής: (1) ήλιος κρύο (2) κολύµπι ήλιος (3) κολύµπι βαρκάδα (4) βαρκάδα νωρίς 29
Παράδειγµα τυπικής απόδειξης Βήµα Απόδειξη από 1. ήλιος κρύο Προϋπ. #1. 2. ήλιος Απλοποίηση της 1. 3. κολύµπι ήλιος Προϋπ. #2. 4. κολύµπι Modus Tollens στις 2,3. 5. κολύµπι βαρκ. Προϋπ. #3. 6. βαρκάδα Modus Ponens στις 4,5. 7. βαρκάδα νωρίς Προϋπ. #4. 8. νωρίς Modus Ponens στις 6,7. 30
Κανόνεςγια ποσοδείκτες x P(x) 31
Κανόνεςγια ποσοδείκτες x P(x) P(o) Π.χ.: P(x): O x είναι ψηλός x: µεταβλητή στο σύνολο των φοιτητών του ΗΥ118 ο: Κώστας (φοιτητής του ΗΥ118) Αν ξέρω ότι όλοι οι φοιτητές του ΗΥ118 είναι ψηλοί, τότε ασφαλώς και ο Κώστας είναι ψηλός 32
Κανόνεςγια ποσοδείκτες x P(x) P(o) Αντικαταστήστε µε οποιοδήποτε αντικείµενο o από το πεδίο ορισµού της x Καθολική συγκεκριµενοποίηση (universal instantiation) 33
Κανόνεςγια ποσοδείκτες P(o) 34
Κανόνεςγια ποσοδείκτες P(o) x P(x) Π.χ.: P(x): O x είναι ψηλός x: µεταβλητή στο σύνολο των φοιτητών του ΗΥ118 ο: Κώστας (φοιτητής του ΗΥ118) Αν ξέρω ότι ο Κώστας είναι ψηλός, τότε ασφαλώς ξέρω ότι υπάρχει φοιτητής του ΗΥ118 που είναι ψηλός 35
Κανόνεςγια ποσοδείκτες P(o) x P(x) Υπαρξιακή γενίκευση (Existential generalization) 36
Κανόνεςγια ποσοδείκτες P(o) x P(x)? Καθολική γενίκευση (universal generalization) 37
Κανόνεςγια ποσοδείκτες P(o) x P(x)? Αυτός ο κανόνας ασφαλώς δεν είναι ορθός. Π.χ.: P(x): O x είναι ψηλός x: µεταβλητή στο σύνολο των φοιτητών του ΗΥ118 ο: Κώστας (φοιτητής του ΗΥ118) Το ότι ο Κώστας είναι ψηλός, δεν σηµαίνει πως όλοι οι φοιτητές του ΗΥ118 είναι ψηλοί 38
Κανόνεςγια ποσοδείκτες Ποιά είναι η γνώµη σας σχετικά µε τον παρακάτω κανόνα: x P(x) P(c)? 39
Κανόνεςγια ποσοδείκτες x P(x) P(c)? Και αυτός δεν είναι ορθός! Υπαρξιακή συγκεκριµενοποίηση (existential instantiation) 40
Κανόνεςγια ποσοδείκτες x P(x) P(c)? Και πάλι, δεν είναι ορθός Π.χ.: P(x): O x είναι ψηλός x: µεταβλητή στο σύνολο των φοιτητών του ΗΥ118 ο: Κώστας (φοιτητής του ΗΥ118) Το ότι υπάρχει φοιτητής του ΗΥ118 που είναι ψηλός, δεν σηµαίνει πως αυτός είναι ο Κώστας 41
Οι κανόνεςγια ποσοδείκτες x P(x) P(o) Καθολική συγκεκριµενοποίηση P(o) x P(x) Καθολική γενίκευση x P(x) P(o) Υπαρξιακή συγκεκριµενοποίηση P(o) x P(x) Υπαρξιακή γενίκευση 42
Παράδειγµα τυπικής απόδειξης στον κατηγορηµατικό λογισµό Αποδείξτε την πρόταση: Όλοι οι καθηγητές βάζουν εύκολα θέµατα. Ο Αργυρός είναι καθηγητής. Εποµένως, ο Αργυρός βάζει εύκολα θέµατα. Πρώτα, ξεχωρίστε τις προϋποθέσεις από τα συµπεράσµατα: Προϋπ. #1: Όλοι οι καθηγητές βάζουν εύκολα θέµατα. Προϋπ. #2: Ο Αργυρός είναι καθηγητής. Συµπέρασµα: ο Αργυρός βάζει εύκολα θέµατα. 43
Έκφραση του παραδείγµατος σε όρους κατηγορηµατικού λογισµού. Προϋπ. #1: Όλοι οι καθηγητές βάζουν εύκολα θέµατα. Έστω π.ο. της x = όλοι οι άνθρωποι Έστω Κ(x) : ο x είναι καθηγητής Έστω E(x) : ο x βάζει εύκολα θέµατα Τότε η Προϋπ. #1 λέει: x(κ(x) E(x)) 44
Προϋπ. #2: Ο Αργυρός είναι καθηγητής. Έστω α : Αργυρός Τότε η Προϋπ. #2 λέει: Κ(α) το συµπέρασµα λέει: E(α) Το θεώρηµα µπορεί να αποδειχτεί τυπικά µε την εφαρµογή µιας σειράς ορθών κανόνων εξαγωγής συµπερασµάτων, ως ακολούθως: 45
Απόδειξη Βήµα τρόπος απόδειξης 1. x(κ(x) E(x)) (Προϋπ. #1) 2. Κ(α) E(α) (universal instantiation) 3. Κ(α) (Προϋπ. #2) 4. E(α) (Modus Ponensαπό #2 και #3) 46
Πιο χαλαρή διατύπωση της απόδειξης του ίδιου θεωρήµατος Θεώρηµα: Αν x(κ(x) E(x)) και Κ(α) τότε E(α). Απόδειξη: Ξέρουµε ότι x(k(x) E(x)) (προϋπόθεση 1). Γνωρίζουµε επίσης ότι Κ(α) (προϋπόθεση 2). Προκύπτει µε βάση τον κανόνα του universal instantiation ότι K(α) E(α). Εποµένως, µε βάση τον κανόνα Modus Ponens προκύπτει ότι Ε(α). ΟΕ 47
Στην πράξη, οι αποδείξεις συχνά παρουσιάζονται µε αυτόν τον πιό χαλαρό τρόπο. 48
Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε Για να αποδείξουµε προτάσεις της µορφής p q, έχουµε τους εξής τρόπους: κενή απόδειξη: Απόδειξε ότι όπως και να έχει, ισχύει η p. Τετριµµένη απόδειξη: Απέδειξε ότι όπως και να έχει, ισχύει η q Άµεση απόδειξη: Υπέθεσε ότι η p είναι αληθής, και απόδειξε ότι τότε η q είναι αληθής. Έµµεση απόδειξη: Υπέθεσε ότι q, και απόδειξε ότι p. Aπόδειξη µε απαγωγή σε άτοπο: Υπέθεσε ότι (p q) F. Απόδειξη βάση περιπτώσεων: είξε ότι p (a b), και ότι (a q) και (b q). 49
Παράδειγµα κενής απόδειξης Θεώρηµα: (Για ακεραίους n) Εάν ο n είναι και άρτιος και περιττός, τότε n 2 = n + n. Απόδειξη: Η υπόθεση ο n είναι και άρτιος και περιττός είναι αντίφαση, (ψευδής για κάθε ακέραιο). Εποµένως, το θεώρηµα ισχύει. 50
Πιο τυπικά Θεώρηµα: (Για ακεραίους n) Εάν ο n είναι και άρτιος και περιττός, τότε n 2 = n + n. Απόδειξη: Έστω Ζ το σύνολο των ακεραίων και x µεταβλητή µε Π.Ο. το Ζ Έστω προτασιακές µορφές A(x) = Ο x είναι άρτιος, Π(x) = O x είναι περιττός, K(x) = x2 = x + x Η πρόταση που θέλω να αποδείξω είναι ότι x ((A(x) Π(x)) K(x)) Όµως ξέρω ότι x (A(x) Π(x)) ψευδής Εποµένως x ((A(x) Π(x)) K(x)) - αληθής 51
Παράδειγµα τετριµµένης απόδειξης Θεώρηµα: (Για ακεραίους n) Εάν ο n είναι το άθροισµα δύο πρώτων αριθµών, τότε ο n είναι είτε άρτιος είτε περιττός. Απόδειξη: Κάθε ακέραιος n είναι είτε άρτιος είτε περιττός, αλλά όχι και τα δύο. Εποµένως το συµπέρασµα του θεωρήµατος είναι αληθές, ανεξάρτητα από τις υποθέσεις του. Εποµένως, το θεώρηµα ισχύει. 52