Κεφάλαιο 16: Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο

Κεφάλαιο 16: Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο Περιεχόμενα Κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό, θα θεωρήσουμε ως αδιατάρακτη Hamiltonian, εκείνη του ατόμου του υδρογόνου και θα μελετήσουμε τρία είδη διαταραχών. 1. Λεπτή Υφή: Εδώ έχουμε άρση εκφυλισμού, λόγω σύζευξης του spin με το μαγνητικό πεδίο της τροχιακής στροφορμής και λόγω σχετικιστικού όρου κινητικής ενέργειας.. Στο Φαινόμενο Zeeman προκαλείται άρση εκφυλισμού, λόγω σύζευξης του spin με εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. 3. Στην υπέρλεπτη υφή προκαλείται άρση εκφυλισμού, λόγω σύζευξης του spin με το μαγνητικό πεδίο από το spin πυρήνα.(τραχανάς, 005 Τραχανάς, 008 Binney & Skinner, 013 Fitzpatrick, 010 French & Taylor, 1978 Gasiorowicz, 003 Griffiths, 004 Peleg et al., 010). 16. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο 16.1 Λεπτή Υφή: Σχετικιστική Hamiltonian και σύζευξη spin με το Μαγνητικό Πεδίο Τροχιακής Στροφορμής Η απλή Hamiltonian του ατόμου του υδρογόνου, που μελετήσαμε στο κεφάλαιο 1, παραβλέπει ορισμένα φαινόμενα και αλληλεπιδράσεις, τα οποία, μολονότι είναι σχετικά λιγότερο σημαντικά από τη βασική αλληλεπίδραση Coulomb του ηλεκτρονίου με το πρωτόνιο του πυρήνα, προκαλούν μετρήσιμες αλλαγές στο ενεργειακό φάσμα του ατόμου του υδρογόνου. Δύο τέτοια φαινόμενα είναι οι σχετικιστικές διορθώσεις στην μορφή της Hamiltonian και η αλληλεπίδραση του spin του ηλεκτρονίου με το μαγνητικό πεδίο, που προκαλεί το ίδιο το ηλεκτρόνιο, λόγω της τροχιακής του στροφορμής. Οι διορθώσεις που προκαλούν στο ενεργειακό φάσμα τα δύο αυτά φαινόμενα έχουν παρόμοιο μικρό μέγεθος και μορφή και αποτελούν το φαινόμενο της λεπτής υφής. Η κινητική ενέργεια σχετικιστικού σωματίου είναι της μορφής: Στο μη σχετικιστικό όριο (p<<mc) η (16.1) γράφεται ως: Με διατήρηση μόνο της πρώτης διόρθωσης, έχουμε: T = p c + m c 4 mc. (16.1) T = p m [1 1 4 ( p mc ) + O ( p mc ) 4]. (16.) T p m p4 8m 3 c. (16.3) Επομένως, εφόσον η αδιατάραχτη Hamiltonian του ατόμου του υδρογόνου έχει τη μορφή: προκύπτει ότι η σχετικιστική διαταραχή γράφεται ως: H 0 = p e m e 4πε 0 r, (16.4) p4 H 1 = 8m 3 e c. (16.5) 70

Άρα, η διαταραχή ενέργειας, σε πρώτη τάξη είναι: ΔE nlm = n, l, m H 1 n, l, m = 1 8m e 3 c n, l, m p4 n, l, m = 1 8m e 3 c n, l, m p p n, l, m. (16.6) Για να υπολογίσουμε τη διαταραχή πρώτης τάξης (16.6), χρησιμοποιούμε την αδιατάρακτη εξίσωση Schrodinger, για να αντικαταστήσουμε τον τελεστή της ορμής: όπου: Από τις σχέσεις (16.6), (16.7) και (16.8), έχουμε: p ψ n,l,m = m e (E n V)ψ n,l,m, (16.7) V = e 4πε 0 r. (16.8) ΔE nlm = 1 m e c n, l, m (E n V) n, l, m = = 1 m e c (E n E n n, l, m V n, l, m + n, l, m V n, l, m ) = = 1 m e c [E n + E n ( e 4πε 0 ) 1 r + ( e 4πε 0 ) 1 r ] (16.9) Έχουμε δει στο Κεφάλαιο 1 [σχέσεις (1.66)] ότι: Επομένως, από τις σχέσεις (16.9) και (16.10) έχουμε: 1 r = 1 n a 0, 1 (16.10) r = 1 (l + 1 )n 3 a, 0 ΔE nlm = 1 m e c [E n + E n ( e ) 1 4πε 0 n + ( e ) a 0 4πε 0 Από τις σχέσεις (1.59), (1.38) και (16.11) παίρνουμε: όπου α είναι η αδιάστατη σταθερά της λεπτής υφής, που ορίζεται ως: 1 (l + 1 )n 3 a ] (16.11) 0 α ΔE nlm = E n n ( n l + 1 3 4 ) (16.1) α = e 4πε 0 ħc 1 137 (16.13) Άσκηση 1: Αποδείξτε τη σχέση (16.1). Για την απόδειξη της σχέσης (15.1) χρησιμοποιήσαμε μη εκφυλισμένη θεωρία διαταραχών, παρότι υπάρχει εκφυλισμός στο άτομο του υδρογόνου. Το αποτέλεσμα όμως είναι σωστό, διότι ο πίνακας της 71

διαταραχής είναι ήδη διαγώνιος, στην αδιατάραχτη βάση. Αυτό συμβαίνει διότι [L,Η 1]=[L z,h 1]=0. Άρα, οι εκφυλισμένες αδιατάρακτες καταστάσεις είναι ήδη ιδιοκαταστάσεις της Η 1 (ορθοκανονικές) και δεν χρειάζεται να δημιουργήσουμε νέα βάση στον εκφυλισμένο υπόχωρο (από την αρχή δεν αναμιγνύονται εκφυλισμένες καταστάσεις). Η δεύτερη συνεισφορά στο φαινόμενο της λεπτής υφής προκύπτει από την αλληλεπίδραση του spin του ηλεκτρονίου με το μαγνητικό πεδίο, που προκαλεί το ίδιο το ηλεκτρόνιο, λόγω της τροχιακής του στροφορμής. Το ηλεκτρόνιο στο υδρογόνο κινείται στο ηλεκτρικό πεδίο του πυρήνα, που είναι της μορφής: E = er 4πεr 3 (16.14) Στο σύστημα αναφοράς του ηλεκτρονίου, το πρωτόνιο του πυρήνα εμφανίζεται κινούμενο να δημιουργεί μαγνητικό πεδίο. Από τον μετασχηματισμό Lorentz του ηλεκτρομαγνητικού τανυστή F μν, βρίσκουμε το μαγνητικό πεδίο, που «βλέπει» το κινούμενο ηλεκτρόνιο: v E B = c (16.15) Άσκηση : Αποδείξτε τη σχέση (16.15). Η φυσική σημασία της εμφάνισης του μαγνητικού πεδίου (16.15) προκύπτει ως εξής: Το ηλεκτρόνιο, λόγω κίνησης, βλέπει τα φορτία, που προκαλούν το ηλεκτρικό πεδίο, να κινούνται. Επομένως, στο σύστημα αναφοράς του ηλεκτρονίου, υπάρχει ηλεκτρικό ρεύμα, που με τη σειρά του προκαλεί μαγνητικό πεδίο. Η μαγνητική ροπή ηλεκτρονίου, λόγω spin, προκύπτει από τη σχέση (για το ηλεκτρόνιο ο γυρομαγνητικός λόγος είναι g=): μ = e m e S (16.16) Η νέα διαταραχή έχει τη μορφή: Από τις σχέσεις (16.14), (16.15), (16.16), (16.17) παίρνουμε: όπου έγινε χρήση του ορισμού της στροφορμής: H 1 = μ B (16.17) e H 1 = 4πε 0 m e c r 3 v r S = e 4πε 0 m e c L S, (16.18) r3 L = m e r v (16.19) Η διαταραχή (16.18) αντιπροσωπεύει τη σύζευξη spin με τροχιακή στροφορμή (spin-orbit coupling). Ένα επιπλέον σχετικιστικό φαινόμενο (η μετάπτωση Thomas) δίνει έναν παράγοντα ½ και επομένως, η τελική μορφή της διαταραχής (16.18) είναι: e H 1 = 8πε 0 m e c L S. (16.0) r3 Για να εφαρμόσουμε την εκφυλισμένη θεωρία διαταραχών, θα πρέπει πρώτα να βρούμε τις ιδιοκαταστάσεις της διαταραχής. Εκφράζουμε τη διαταραχή συναρτήσει της ολικής στροφορμής J, για την οποία ισχύει: J = L + S + L S, (16.1) 7

Επομένως: L S = 1 (J L S ). (16.) Άρα, οι ιδιοκαταστάσεις της διαταραχής H 1 ταυτίζονται με τις ιδιοκαταστάσεις της ολικής στροφορμής, που, όπως είδαμε στο κεφάλαιο 14, είναι ταυτόχρονα και ιδιοκαταστάσεις των L και S, αλλά όχι και των z- συνιστωσών S z, L z (λόγω σχέσεων μετάθεσης). Έστω ότι οι ζητούμενες «νέες» ιδιοκαταστάσεις των Η 0 και Η 1 () είναι της μορφής ψ l,s;j,mj, για τις οποίες ισχύουν οι γνωστές σχέσεις ιδιοτιμών: L () ψ l,s;j,mj S () ψ l,s;j,mj = l(l + 1)ħ () ψ l,s;j,mj, J () ψ l,s;j,mj = s(s + 1)ħ () () ψ l,s;j,mj, J z ψ l,s;j,mj = j(j + 1)ħ () ψ l,s;j,mj, () = m j ħψ l,s;j,mj. (16.3) Άρα, η διόρθωση της ενέργειας, σε πρώτη τάξη θεωρίας διαταραχών, είναι (αφού s=1/): ΔE l,1 ;j,mj = l, 1 ; j, m j H 1 l, 1 ; j, m j e = 16πε 0 m e c l, 1 ; j, m j J L S r 3 l, 1 ; j, m j e ħ = 16πε 0 m [j(j + 1) l(l + 1) 3 4 e c ] 1 r 3 (16.4) Έχουμε, επίσης, από τη σχέση (1.66) ότι: Από τις σχέσεις (16.4) και (16.5) παίρνουμε: ΔE l,1 ;j,mj = 1 r 3 = 1 l(l + 1 )(l + 1)n 3 a 3. (16.5) 0 e ħ 16πε 0 m e c a 0 3 [j(j + 1) l(l + 1) 3 4 l(l + 1 )(l + 1)n 3 ], (16.6) Άσκηση 3: Αποδείξτε τη σχέση (16.6). Εκφράζοντας τη σχέση (16.6) συναρτήσει των αδιατάρακτων ιδιοτιμών της Hamiltonian του υδρογόνου [σχέσεις (1.59) και (1.38)], έχουμε: α ΔE l,1 ;j,mj = E n n [n{3 4 + l(l + 1) j(j + 1)} ], (16.7) l(l + 1 )(l + 1) Η σχέση (16.7) δίνει τη διαταραχή πρώτης τάξης στην ενέργεια, λόγω σύξευξης spin-τροχιακής στροφορμής (spin-orbit coupling). Εφόσον αθροίσουμε τις σχέσεις (16.1) και (16.7), οι οποίες εξαρτώνται με τον ίδιο τρόπο από το τετράγωνο της σταθεράς α (σταθερά λεπτής υφής), παίρνουμε την ολική διαταραχή πρώτης τάξης, που οφείλεται σε σχετικιστικές διορθώσεις και σε spin-orbit coupling ως: α ΔE l,1 ;j,mj = E n n ( n j + 1 3 4 ) (16.8) Άσκηση 4: Αποδείξτε τη σχέση λεπτής υφής (16.8), αθροίζοντας τις σχέσεις (16.1) και (16.7) και θέτοντας: 73

l = j ± 1 (16.9) Η σχέση (16.9) προκύπτει άμεσα από τη σχέση: j = l ± 1 (16.30) Σχηματικά, οι διορθώσεις του φάσματος του υδρογόνου, λόγω λεπτής υφής, φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα: Σχήμα 16.1: Οι διορθώσεις του φάσματος του υδρογόνου, λόγω λεπτής υφής (16.8) 16. Φαινόμενο Zeeman Έστω άτομο υδρογόνου, μέσα σε ομογενές εξωτερικό μαγνητικό πεδίο Β, στη διεύθυνση z. Η διαταραχή γράφεται ως: όπου: H 1 = μ B, (16.31) μ = e (L + S), (16.3) m e όπου χρησιμοποιήθηκε η τιμή του γυρομαγνητικού λόγου g για το spin, η οποία είναι περίπου. Δεδομένου ότι το εσωτερικό πεδίο, λόγω τροχιακής στροφορμής στο άτομο του υδρογόνου, είναι περίπου 5 Tesla, η υπόθεση ότι το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο είναι μια διαταραχή πολύ μικρότερη ακόμα και από τη λεπτή υφή, είναι πολύ λογική. Επομένως, θα θεωρήσουμε ως αδιατάρακτες καταστάσεις τις ιδιοκαταστάσεις της ολικής στροφορμής, που διαγωνιοποιούν, ταυτόχρονα, τους όρους που προέρχονται από το δυναμικό Coulomb και τους όρους της λεπτής υφής. Για μαγνητικό πεδίο στη διεύθυνση z (που μπορεί πάντα να ισχύει με κατάλληλη επιλογή συστήματος συντεταγμένων), η Hamiltonian (16.31) γράφεται ως: H 1 = eb m e (L z + S z ). (16.33) 74

Άρα, για τη διαταραχή πρώτης τάξης έχουμε: ΔE l,1 ;j,mj = l, 1 ; j, m j H 1 l, 1 ; j, m j = = eb (m m j ħ + l, 1 ; j, m j S z l, 1 ; j, m j ) e (16.34) όπου έγινε χρήση της σχέσης (16.33), της σχέσης (16.3δ) και της σχέσης: J z = L z + S z. (16.35) Για να υπολογίσουμε το στοιχείο πίνακα στον τελευταίο όρο της σχέσης (16.34), εκφράζουμε τις ιδιοκαταστάσεις ολικής στροφορμής συναρτήσει ιδιοκαταστάσεων επιμέρους στροφορμών (S z και L z), χρησιμοποιώντας τους συντελεστές Clebsh-Gordan. Από τις σχέσεις (14.34) και (14.35), που γράφονται και με τη μορφή: () ψ j,mj = ( j + m 1 j l + 1 ) (1) ψ mj 1,1 1 l + 1 ) + ( j m j (1) ψ mj +1, 1, j = l + 1, (16.36) παίρνουμε: () ψ j,mj = ( j + 1 m 1 j l + 1 ) (1) ψ mj 1,1 1 l + 1 ) ( j + 1 + m j (1) ψ mj +1, 1, j = l 1. (16.37) l, 1 ; j, m j S z l, 1 ; j, m j = ± m jħ l + 1 (16.38) Για την εύρεση της σχέσης (16.38), έγινε χρήση της σχέσης [για την (16.36)]: j + m j ħ l + 1 + j m j l + 1 ( ħ ) = m jħ l + 1 (16.39) και αντίστοιχα για τη (16.37): j + 1 m j ħ l + 1 + j + 1 + m j l + 1 ( ħ ) = m jħ l + 1 (16.40) Άσκηση 5: Δείξτε ότι από τις σχέσεις (14.36) και (14.37) προκύπτουν, με αντικατάσταση στη (16.38), οι σχέσεις (16.39) και (16.40). Δηλαδή, αποδείξτε τη σχέση (16.38). Από τις σχέσεις (16.34) και (16.38), βρίσκουμε τη διαταραχή της ενέργειας σε πρώτη τάξη ως: όπου τα πρόσημα ± στη σχέση (16.41), αντιστοιχούν στις περιπτώσεις: και μ Β είναι η μαγνητόνη του Bohr: ΔE l,1 ;j,mj = μ B Bm j [1 ± 1 l + 1 ] (16.41) j = l ± 1. (16.4) μ B = eħ m e = 5.788 10 5 ev/t (16.43) 75

Από τη σχέση (16.41) προκύπτει η ενεργειακή απόσταση μεταξύ διαταραγμένων ενεργειακών σταθμών (Δm j=1), ως: Για πρόσημο + (j=l+1/), η ενεργειακή αυτή απόσταση γίνεται: ενώ για πρόσημο - (j=l-1/), η ενεργειακή απόσταση είναι: μ B B [1 ± 1 l + 1 ] (16.44) μ B B l + l + 1. (16.45) μ B B l l + 1. (16.46) Η άρση εκφυλισμού ως προς τον κβαντικό αριθμό m j είναι αναμενόμενη, διότι το μαγνητικό πεδίο σπάει τη σφαιρική συμμετρία του συστήματος, επιλέγοντας μια διεύθυνση στον χώρο (αυτή του μαγνητικού πεδίου). Η άρση εκφυλισμού που προκαλείται, κατά το φαινόμενο Zeeman, φαίνεται στο Σχήμα 16., για τις καταστάσεις 1S 1/ (n=1, l=0, j=l+ ½ = ½ ), P 1/ (n=, l=1, j=l- ½ = ½) και P 3/ (n=, l=1, j=l+ ½ = 3/ ). Οι διαταραγμένες στάθμες προκύπτουν με βάση τη σχέση (16.41). Σχήμα 16.: Η άρση εκφυλισμού που προκαλείται, κατά το φαινόμενο Zeeman, για τις καταστάσεις 1S 1/ (n=1, l=0, j=l+ ½ = ½ ), P 1/ (n=, l=1, j=l- ½ = ½) και P 3/ (n=, l=1, j=l+ ½ = 3/ ). Οι διαταραγμένες στάθμες προκύπτουν με βάση τη σχέση (16.41). Τα ενεργειακά επίπεδα στο Σχήμα 16. αποτελούν αναμενόμενες τιμές της ενέργειας, σε διάφορες αδιατάρακτες ενεργειακές καταστάσεις και όχι ακριβή ενεργειακά επίπεδα, αφού δεν έχουμε χρησιμοποιήσει τη «νέα» βάση, όπου διαγωνιοποιείται η διαταραχή, όπως απαιτεί η εκφυλισμένη θεωρία διαταραχών. Άσκηση 7: Επαληθεύστε τη μορφή του Σχήματος (16.), χρησιμοποιώντας τη σχέση (16.41). 76

16.3 Υπέρλεπτη υφή: Σύζευξη spin με το μαγνητικό πεδίο πυρήνα Ο πυρήνας του ατόμου του υδρογόνου δημιουργεί ασθενές μαγνητικό πεδίο λόγω της μαγνητικής διπολικής ροπής του πρωτονίου, που οφείλεται στο spin του πρωτονίου. Η σύζευξη του spin του ηλεκτρονίου με αυτό το μαγνητικό πεδίο προκαλεί μετατόπιση των ενεργειακών σταθμών που υπολογίζεται με τη χρήση της θεωρίας διαταραχών και αποτελεί το φαινόμενο της υπέρλεπτης υφής. Η μαγνητική διπολική ροπή του πρωτονίου λόγω spin είναι αντίστοιχη με αυτή του ηλεκτρονίου, αλλά με διαφορετικό γυρομαγνητικό λόγο: όπου πειραματικά και θεωρητικά προκύπτει ότι: μ p = g pe m p S p (16.47) g p 5.59 (16.48) Η κίνηση του πρωτονίου στον πυρήνα του υδρογόνου λειτουργεί ως μαγνητικό δίπολο (απειροστά μικρός βρόγχος ρεύματος) με μαγνητική διπολική ροπή μ p, που είναι πολύ μικρότερη από τη μαγνητική διπολική ροπή του ηλεκτρονίου, αφού η μάζα του πρωτονίου είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μάζα του ηλεκτρονίου. Το μαγνητικό πεδίο που προκαλείται από μαγνητικό δίπολο με μαγνητική διπολική ροπή μ p, που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, είναι: όπου: B = μ 0 4πr 3 [3(μ p e r )e r μ p ] + μ 0 3 μ pδ 3 (r), (16.49) e r r r, (16.50) είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην ακτινική διεύθυνση. Ας θεωρήσουμε τη θεμελιώδη κατάσταση του ατόμου του υδρογόνου (l=0), στην οποία η μαγνητική διπολική ροπή του ηλεκτρονίου είναι: μ e = e m e S e. (16.51) Η διαταραχή, λόγω του μαγνητικού πεδίου του πυρήνα, είναι: H 1 = μ e B, (16.5) Με αντικατάσταση των σχέσεων (16.47), (16.49) και (16.51), στην (16.5) παίρνουμε: H 1 = μ 0g p e 8π m p m e 3(S p e r )(S e e r ) S p S e r 3 + μg pe 3 m p m e S p S e δ 3 (r). (16.53) Άσκηση 8: Αποδείξτε τη σχέση (16.53). Εφαρμόζουμε πρώτης τάξης θεωρία διαταραχών για τη θεμελιώδη (μη εκφυλισμένη) ιδιοκατάσταση της Hamiltonian του υδρογόνου και γράφουμε τη διαταραχή της ενέργειας από τη σχέση (16.53) ως: ΔE = μg pe 8π m p m e 3(S p e r )(S e e r ) S p S e r 3 + μg pe 3 m p m e S p S e ψ(0). (16.54) 77

Ο πρώτος όρος της (16.54) μηδενίζεται για σφαιρικά συμμετρική αδιατάρακτη κατάσταση. Άσκηση 9: Αποδείξτε ότι για τον πρώτο όρο της (16.54) ισχύει: 3(S p e r )(S e e r ) S p S e r 3 = 0. (16.55) για σφαιρικά συμμετρική αδιατάρακτη κατάσταση. Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τη μορφή του ακτινικού διανύσματος: για να δείξετε ότι: e r = r = sin θ cos φ i + sin θ sin φ j + cos θ k. (16.56) (a r )(b r ) sin θ dθdφ = 4π 3 (a b). (16.57) Από τις σχέσεις (16.54) και (16.55) και από τη σχέση: προκύπτει ότι: ψ 100 (0) = 1 3 πa 0 (16.58) ΔE = μ 0g p e 3π m p m e a 0 3 S p S e. (16.59) Για να υπολογίσουμε το δεξιό μέρος της (16.59) χρησιμοποιούμε τη βάση ιδιοκαταστάσεων ολικού spin: και τη σχέση: S = S e + S p (16.60) S p S e = 1 (S S e S p ). (16.61) που αποδεικνύεται εύκολα με τετραγωνισμό της (16.60). Οι ιδιοτιμές των επιμέρους spin είναι: S e (3 4)ħ. S p (3 4)ħ. (16.6) Ενώ, για τις καταστάσεις triplet (S=1) και singlet (S=0) έχουμε ιδιοτιμές: singlet S 0 triplet S ħ (16.63) Επομένως, για την κατάσταση triplet, από τις (16.61), (16.6) και (16.63) έχουμε: Ενώ, για την κατάσταση single με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε: S p S e = 1 4 ħ (16.64) 78

S p S e = 3 4 ħ (16.65) Οδηγούμαστε επομένως σε άρση του εκφυλισμού μεταξύ των καταστάσεων triplet και singlet, για τη θεμελιώδη κατάσταση 1S 1/. Το φαινόμενο αυτό αποτελεί την υπέρλεπτη υφή και περιγράφεται στο Σχήμα 16.3. Σχήμα 16.3: Η άρση του εκφυλισμού που προκαλείται κατά το φαινόμενο της υπέρλεπτης υφής. Η ενεργειακή απόσταση μεταξύ των καταστάσεων triplet και singlet προκύπτει εύκολα ως: όπου: m e ΔE = 8 3 g p α E m 0 = 5.88 10 6 ev, (16.66) p E 0 = 13.6 ev (16.67) Η μετατόπιση των ενεργειακών σταθμών, λόγω του φαινομένου της υπέρλεπτης υφής, είναι ανάλογη του τετραγώνου της σταθεράς της λεπτής υφής α, όπως και η αντίστοιχη μετατόπιση λόγω λεπτής υφής. Όμως λόγω του πολύ μικρού παράγοντα: m e m p 1 (16.68) η ενεργειακή μετατόπιση λόγω υπέρλεπτης υφής είναι πολύ μικρότερη. Η ενεργειακή διαφορά (16.66) είναι αρκετά μικρή, ώστε να επέρχεται διέγερση στην κατάσταση triplet, λόγω θερμικών κρούσεων ατόμων υδρογόνου σε ενδογαλαξιακό αέριο υδρογόνο. Κατά την αποδιέγερση εκπέμπονται φωτόνια μήκους κύματος 1cm, που παρατηρούνται με ισχυρά τηλεσκόπια, χαρτογραφώντας τις συγκεντρώσεις αερίου υδρογόνου στο Σύμπαν και παρέχοντας ένα χρήσιμο εργαλείο για τον έλεγχο αστροφυσικών και κοσμολογικών μοντέλων. 16.4 Σύνοψη Η λεπτή υφή οφείλεται στην ενεργειακή διαταραχή που προκαλεί ο σχετικιστικός κινητικός όρος και η σύζευξη του spin του ηλεκτρονίου του υδρογόνου με το μαγνητικό πεδίο που «βλέπει» το ηλεκτρόνιο, λόγω της κίνησής του (στροφορμής) στο ηλεκτρικό πεδίο του πυρήνα (spin-orbit coupling). Η λεπτή υφή αίρει τον εκφυλισμό στο άτομο του υδρογόνου, ως προς τον κβαντικό αριθμό της ολικής στροφορμής j. Το φαινόμενο Zeeman οφείλεται στην ενεργειακή διαταραχή, που προκαλεί ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο στο άτομο του υδρογόνου. Αίρει τον εκφυλισμό ως προς τον κβαντικό αριθμό m j. Η υπέρλεπτη υφή οφείλεται στην ενεργειακή διαταραχή που προκαλεί η σύζευξη του spin του ηλεκτρονίου του υδρογόνου, με το μαγνητικό πεδίο που προκαλείται από το spin του πρωτονίου του πυρήνα (spin-spin coupling). Η υπέρλεπτη υφή αίρει τον εκφυλισμό στο άτομο του υδρογόνου ως προς τον κβαντικό αριθμό του ολικού spin (πρωτονίου-ηλεκτρονίου) S. Η ενεργειακή διαταραχή που προκαλείται είναι πολύ μικρότερη από τη λεπτή υφή, λόγω της μεγάλης διαφοράς μάζας μεταξύ πρωτονίου και ηλεκτρονίου. 79

Κριτήρια αξιολόγησης (Λαγανάς, 005α Λαγανάς, 005β Τραχανάς, 005 Constantinescu & Magyari, 1971 Peleg et al., 010 Squires, 1995 Tamvakis, 005). Κριτήριο αξιολόγησης 1 Ο σχετικιστικός αρμονικός ταλαντωτής έχει δυναμικό της μορφής: V(x) = 1 mω x. (16.69) και κινητική ενέργεια: T = E mc = m c 4 + p c mc p m p4 (16.70) 8m 3 c Θεωρείστε τον σχετικιστικό όρο ~p 4 ως διαταραχή και βρείτε την ενεργειακή διόρθωση της θεμελιώδους κατάστασης. Λύση Η διαταραχή της Hamiltonian γράφεται ως: p4 H 1 = (16.71) 8m 3 c Συναρτήσει των τελεστών δημιουργίας α+ και καταστροφής α, αυτή γράφεται ως: H 1 = 1 8m 3 c i4 ( mωħ ) (a + a) 4 = ω ħ 3mc (a a a aa + a ) (16.7) Για τον μεταθέτη των τελεστών α και α έχουμε: [a, a ] = 1 aa = I + a a (16.73) Αναπτύσσουμε την παρένθεση της διαταραχής (16.7), χρησιμοποιώντας τον πρώτο όρο της (16.73) (ο δεύτερος όρος δίνει μηδέν, όταν δρα στη θεμελιώδη κατάσταση) και έχουμε: H 1 = ω ħ 3mc (a + a I)(a + a I) = ω ħ 3mc (a 4 + a a a + a a + a 4 a a a + I) (16.74) Για τη διαταραχή πρώτης τάξης, οι όροι που συνεισφέρουν είναι: 81

Για τη διαταραχή πρώτης τάξης έχουμε: Για τη θεμελιώδη κατάσταση (n=0) παίρνουμε: H 1 = ω ħ 3mc (a a + a a + I) (16.75) E n = ω ħ 3mc n a a + a a + I n (16.76) E 0 1 = 3ω ħ 3mc (16.77) Άλυτες Ασκήσεις 1. Η ακριβής σχέση για τη λεπτή υφή που προκύπτει από την εξίσωση Dirac (χωρίς χρήση διαταραχών), έχει τη μορφή: E nj = mc {[1 + α n (j + 1 ) + (j + 1 ) α ] 1 1} (16.78) Δείξτε ότι με κατάλληλο ανάπτυγμα (α<<1), παίρνουμε τη σχέση που αποδείξαμε στο μάθημα.. Θεωρείστε το σύστημα αναφοράς του ηλεκτρονίου, στο οποίο το πρωτόνιο έχει στροφορμή γύρω από το ηλεκτρόνιο. Δείξτε ότι το μαγνητικό πεδίο που βλέπει το ηλεκτρόνιο, λόγω του ρεύματος I του «περιστρεφόμενου» πρωτονίου είναι: B = μ 0I r (16.79) και κατόπιν, δείξτε ότι το παραπάνω μαγνητικό πεδίο συνδέεται με τη στροφορμή του ηλεκτρονίου μέσω της σχέσης: B = 1 e 4πε 0 mc L. (16.80) r3 3. Εκφράστε τις ενεργειακές στάθμες Bohr συναρτήσει της σταθεράς της λεπτής υφής. 4. Βρείτε τις συχνότητες και τα μήκη κύματος που προκύπτουν από όλες τις μεταπτώσεις από n=3 σε n=. Θεωρείστε μόνο την άρση εκφυλισμού λόγω λεπτής υφής. 8

Βιβλιογραφία/Αναφορές Λαγανάς, E. (005α). Κβαντομηχανικη Ι Θεωρία - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις. χ.τ.: Αρνός. Λαγανάς, E. (005β). Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρία - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις. χ.τ.: Αρνός. Τραχανάς, Σ. (005). Προβλήματα Κβαντομηχανικής. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Τραχανάς, Σ. (008). Κβαντομηχανικη ΙI. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Binney, J. & Skinner, D. (013). The Physics of Quantum Mechanics. Oxford: Oxford University Press. Constantinescu, F., Magyari, E. (1971). Problems in Quantum Mechanics (Paperback). Oxford: Pergamon Press. Fitzpatrick, R. (010). Quantum Mechanics. Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου, 015, από http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/qmech.pdf French, A. P., Taylor, E. F. (1978). An Introduction to Quantum Physics. New York: W.W. Norton. Gasiorowicz, S. (003). Κβαντική Φυσική, (3η αμερικάνικη έκδοση). Αθήνα: Εκδόσεις Κλειδάριθμος. Griffiths, D. J. (004). Introduction to Quantum Mechanics, nd edition. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. Peleg, Y., Pnini, R., Zaarur, E., Hecht, E. (010). Schaum s Outline of Quantum Mechanics (Schaum s Outlines), nd edition. McGraw-Hill. Squires, G.L. (1995). Problems in Quantum Mechanics: with solutions. Cambridge: Cambridge University Press. Tamvakis, K. (005). Problems and Solutions in Quantum Mechanics. New York: Cambridge University Press. 83