Κεφάλαιο 17: Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 17: Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών"

Transcript

1 Κεφάλαιο 17: Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό θα εισαχθεί μία γενική μέθοδος μελέτης συστημάτων με χρονοεξαρτώμενη Hailtonian. Θα παρουσιαστεί η μέθοδος εύρεσης πιθανότητας μετάβασης από μια αρχική στάσιμη κατάσταση (ιδιοκατάσταση της χρονοανεξάρτητης Hailtonian) σε μια τελική στάσιμη κατάσταση, λόγω της δράσης της χρονοεξαρτώμενης διαταραχής. Στο πρώτο μέρος, θα οριστεί η πιθανότητα μετάβασης και θα μελετηθεί ένα απλό παράδειγμα με ακριβή λύση (σύστημα δύο καταστάσεων). Στην συνέχεια, θα μελετηθεί η γενική περίπτωση: σύστημα Ν καταστάσεων με μικρό χρονοεξαρτώμενο τμήμα Hailtonian. Στην περίπτωση αυτή, είναι συνήθως απαραίτητη η χρήση προσεγγιστικής μεθόδου, δηλαδή της χρονοεξαρτώμενης θεωρίας διαταραχών, η οποία θα περιγραφεί στο δεύτερο μέρος του Κεφαλαίου. Στο τρίτο μέρος, θα μελετηθεί μια ειδική περίπτωση συστήματος δύο καταστάσεων, σε χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο. Η πιθανότητα μετάβασης ταλαντώνεται μεταξύ των δύο καταστάσεων και το πλάτος μεγιστοποιείται για ορισμένη τιμή της συχνότητας μεταβολής του μαγνητικού πεδίου. Το φαινόμενο λέγεται μαγνητικός συντονισμός. Θα μελετηθούν επίσης άλλες εφαρμογές, όπως σταθερή διαταραχή για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα και αρμονικά ταλαντούμενες διαταραχές σε συστήματα Ν καταστάσεων. ( Τραχανάς, 5 Τραχανάς, 8 Binney & Skinner, 13 Bransden, et al., 199 Fitzpatrick, 1 Griffiths, 4 Gasiorowicz 3 Peleg et al., 1). 17. Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών 17.1 Πιθανότητα Μετάβασης σε Σύστημα Δύο Καταστάσεων: Ακριβής Λύση Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα, του οποίου η Hailtonian μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη: Έναν αδιατάρακτο χρονοανεξάρτητο όρο H και έναν μικρό χρονοεξαρτώμενο όρο Η 1 (t), δηλαδή: H(t) = H + H 1 (t). (17.1) Έστω ότι οι ιδιοκαταστάσεις και οι ιδιοτιμές της αδιατάρακτης Hailtonian είναι γνωστές και υπακούουν την εξίσωση ιδιοτιμών: H ψ = E ψ. (17.) Υποθέτουμε ότι η κατάσταση του συστήματος, τη στιγμή t=, είναι μια ιδιοκατατάσταση της αδιατάρακτης Hailtonian. Το βασικό αποτέλεσμα της χρονοεξαρτώμενης διαταραχής είναι η εισαγωγή μη μηδενικής πιθανότητας, να βρεθεί το σύστημα σε μια άλλη ιδιοκατάσταση της αδιατάρακτης Hailtonian, σε επόμενη χρονική στιγμή t >. Η πιθανότητα αυτή λέγεται «πιθανότητα μετάβασης». Θα μελετήσουμε μεθόδους για τον υπολογισμό αυτής της πιθανότητας μετάβασης. Έστω ότι η αρχική κατάσταση του συστήματος αναπτύσσεται στη βάση των ιδιοκαταστάσεων της αδιατάρακτης Hailtonian Η ως: ψ() = c ψ, (17.3) Αν δεν υπήρχε η διαταραχή, τότε η χρονική εξέλιξη αυτής της κατάστασης θα ήταν: ψ(t) = c exp( ie t ħ) ψ. (17.4) 84

2 Στην περίπτωση αυτή, η πιθανότητα εύρεσης του συστήματος στην κατάσταση Ψ n, τη χρονική στιγμή t, προκύπτει ως: P n (t) = ψ n ψ = c n exp( ie n t ħ) = c n = P n (), (17.5) όπου έγινε χρήση της ορθοκανονικότητας της αδιατάρακτης βάσης ( n = δ n ). Η πιθανότητα εύρεσης του συστήματος σε οποιαδήποτε αδιατάρακτη κβαντική στάσιμη κατάσταση, είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Για μη μηδενική χρονοεξαρτώμενη διαταραχή, η σχέση (17.4) δεν είναι πλέον ακριβής και πρέπει να γενικευτεί, επιτρέποντας χρονική εξάρτηση για τους συντελεστές c. Άρα, έχουμε τη γενικευμένη σχέση: ψ(t) = c (t) exp( ie t ħ)ψ, (17.6) από όπου προκύπτει ότι η πιθανότητα εύρεσης του συστήματος στην κατάσταση ψ, είναι χρονοεξαρτώμενη: P n (t) = c n (t). (17.7) Για να βρούμε τη χρονική εξάρτηση των συντελεστών c (t), χρησιμοποιούμε τη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση του Schrodinger: iħ ψ(t) t = H(t)ψ(t) = [H + H 1 (t)]ψ(t). (17.8) Με αντικατάσταση της ψ(t), το δεξιό μέρος της (17.8) από τη σχέση (17.6) και κάνοντας χρήση της (17.), έχουμε: (H + H 1 )ψ = c exp( ie t ħ)(e + H 1 )ψ. (17.9) Όμοια, από την πρώτη ισοτιμία της (17.8) και τη σχέση (17.6), έχουμε: Από τις σχέσεις (17.8), (17.9) και (17.1), παίρνουμε: iħ ψ t = (iħ dc dt + c E ) exp( ie t ħ) ψ. (17.1) iħ dc dt exp( ie t ħ) ψ = c exp( ie t ħ) H 1 ψ. (17.11) Με χρήση του το bra ψ n και απλοποίηση των φάσεων στην (17.11), παίρνουμε: iħ dc n(t) dt = H n (t) exp(iω n t) c (t), (17.1) H n (t) = nh 1 (t), ω n = E n E. (17.13) ħ Η σχέση (17.1) περιγράφει ένα σύστημα Ν, συζευγμένων πρωτοβάθμιων διαφορικών εξισώσεων με N άγνωστες συναρτήσεις c n(t). Για αυθαίρετες τιμές του N, η λύση του συστήματος είναι δύσκολη και απαιτεί είτε προσεγγιστική μέθοδο (π.χ. θεωρία διαταραχών, που θα δούμε παρακάτω) ή αριθμητική λύση. Στην ειδική περίπτωση, όμως, που Ν= (αδιατάραχτο σύστημα δύο καταστάσεων) μπορεί να βρεθεί ακριβής λύση. 85

3 Έστω, τώρα, ένα αδιατάρακτο σύστημα δύο καταστάσεων, για το οποίο ισχύει: H ψ 1 = E 1 ψ 1, H ψ = E ψ. (17.14) Θεωρούμε, για απλότητα, ότι τα διαγώνια στοιχεία πίνακα της διαταραχής μηδενίζονται, δηλαδή: 1H 1 1 = H 1 =. (17.15) και ότι τα μη διαγώνια στοιχεία πίνακα της διαταραχής (υπεύθυνα για τις μεταβάσεις) είναι της μορφής: 1H 1 = H 1 1 = γħ exp(iωt), (17.16) Το σύστημα (17.1), με Ν= και χρήση των σχέσεων (17.15), (17.16) παίρνει τη μορφή: i dc 1 dt = γ exp[+i(ω ω 1)] c, i dc dt = γ exp[+i(ω ω 1)] c 1 (17.17) ω 1 = (E E 1 ) ħ. (17.18) Άσκηση 1: Αποδείξτε τη σχέση (17.17). Με παραγώγιση της (17.17β) και χρήση της (17.17α), κάνουμε αποσύζευξη των c 1, c και παίρνουμε: d c dt + i(ω ω 1) dc dt + γ c =. (17.19) Άσκηση : Αποδείξτε τη σχέση (17.19). Για τη λύση της (17.19), θεωρούμε δοκιμαστική λύση της μορφής: c (t) = Ae αt (17.) και με αντικατάσταση στη (17.19), έχουμε: Δ = (ω ω 1 ) 4γ = 4Ω a = i(ω ω 1) ± i Ω = i ω ω 1 Ω (17.1) Επομένως: c (t) = Aexp ( i ω ω 1 ) sin(ωt) + B exp ( i ω ω 1 ) cos(ωt) (17.) Ω = γ + (ω ω 1 ) 4. (17.3) Με την αρχική συνθήκη: 86

4 c () = (17.4) που δηλώνει ότι, αρχικά, το σύστημα είναι στην κατάσταση 1, από τις σχέσεις (17.) και (17.4) παίρνουμε: c (t) = A exp ( i ω ω 1 ) sin(ωt) (17.5) Χρησιμοποιούμε την ανωτέρω μέθοδο, για την εύρεση της συνάρτησης c 1(t) και βρίσκουμε: c 1 (t) = A exp ( i ω ω 1 η οποία με την αρχική συνθήκη c 1()=1 γίνεται: c 1 (t) = exp ( i ω ω 1 ) sin(ωt) + B exp ( i ω ω 1 ) cos(ωt) (17.6) ) sin(ωt) + B exp ( i ω ω 1 ) cos(ωt) (17.7) Άσκηση 3: Αποδείξτε την σχέση (17.7). Για τον υπολογισμό των σταθερών Α και Β στις σχέσεις (17.5) και (17.7), θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις του συστήματος (17.17) στην πρωτοβάθμια συζευγμένη του μορφή. Αν αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (17.5), (17.7) σε μια από τις (17.17) και εξισώσουμε τους συντελεστές των cosωt και sinωt, βρίσκουμε τα Α και Β και επομένως: c (t) = ( iγ Ω ) exp [ i(ω ω 1)t ] sin(ωt) (17.8) c 1 (t) = exp [ i(ω ω 1)t ] cos(ωt) [ i(ω ω 1) ] exp [ i(ω ω 1)t ] sin(ωt), Ω (17.9) Η πιθανότητα εύρεσης του συστήματος στην κατάσταση 1, τη χρονική στιγμή t, είναι: P 1 (t) = c 1 (t), (17.3) ενώ η πιθανότητα μετάβασης στην κατάσταση είναι: P (t) = c (t). (17.31) Από τις σχέσεις (17.8), (17.31), έχουμε: γ P (t) = [ γ + (ω ω 1 ) 4 ] sin (Ωt) (17.3) και λόγω κανονικοποίησης [ή από τις σχέσεις 17.3) και (17.31)], έχουμε: P 1 (t) = 1 P (t). (17.33) 87

5 Όταν η διαταραχή έχει την ίδια γωνιακή συχνότητα με τη γωνιακή συχνότητα της μεταβαλλόμενης διαταραχής, τότε η πιθανότητα μετάβασης μεγιστοποιείται και φθάνει τη μονάδα (βεβαιότητα μετάβασης) σε ορισμένες χρονικές στιγμές. Το φαινόμενο αυτό αποτελεί ένα είδος συντονισμού. Κατά τον συντονισμό ω=ω 1, το σύστημα ταλαντώνεται μεταξύ των καταστάσεων 1 (αρχική) και, με γωνιακή συχνότητα γ. Άρα, έχουμε διαδοχική απορρόφηση και εκπομπή ενέργειας προς την πηγή της διαταραχής. Εκτός συντονισμού, η μέγιστη πιθανότητα μετάβασης από 1 σε μειώνεται (P ax<1). Ειδική περίπτωση του φαινομένου αυτού, αποτελεί ο μαγνητικός συντονισμός. Έστω αδιατάραχτη Hailtonian, για ηλεκτρόνιο, σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (εκτός ατόμου): H = μ B, (17.34) B = B e z (17.35) Διαταράσσουμε το μαγνητικό πεδίο με χρονοεξαρτώμενη περιστρεφόμενη συνιστώσα x-y: Η Hailtonian γίνεται: B = B e z + B 1 [cos(ωt) e x + sin(ωt) e y ], (17.36) H = μ B = H + H 1, (17.37) H = geb S z, (17.38) H 1 = geb 1 [cos(ωt) S x + sin(ωt) S y ] (17.39) Οι ιδιοκαταστάσεις της αδιατάραχτης Hailtonian είναι οι ιδιοκαταστάσεις του S z χ ±: H χ ± = geħb 4 χ ±. (17.4) Για να βρούμε τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής στη βάση αυτή, είναι χρήσιμο να εκφράσουμε τη διαταραχή H 1 ως: H 1 = geb 1 4 [exp(iωt)s + exp( iωt) S + ], (17.41) S ± = S x ± is y (17.4) είναι οι τελεστές ανύψωσης και μείωσης για τη z συνιστώσα του spin. Επομένως, για τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής έχουμε: +H 1 + = H 1 =, (17.43) 88

6 H 1 + = +H 1 = geb 1 4 exp(iωt). (17.44) Άσκηση 4: Αποδείξτε τη σχέση (17.44). Με σύγκριση των σχέσεων (17.43), (17.44) με τις σχέσεις (17.15), (17.16), γίνεται φανερό ότι ο πίνακας της διαταραχής είναι ίδιος με τον πίνακα διαταραχής που μελετήσαμε, για σύστημα δύο καταστάσεων με την αντικατάσταση: γ geb 1 4, ψ 1 χ +, ψ χ. (17.45) Άρα, ισχύουν όλα τα αποτελέσματα που βρέθηκαν παραπάνω, για το πλάτος και την πιθανότητα μετάβασης (17.3). Οι αδιατάρακτες ιδιοτιμές, στην περίπτωση του μαγνητικού πεδίου [σχέση (17.4)] είναι: E 1 E geħb 4 (17.46) και επομένως: ω 1 geb. (17.47) Στην περίπτωση του περιστρεφόμενου μαγνητικού πεδίου, το φαινόμενο της μεγιστοποίησης της πιθανότητας μετάβασης (17.3), όταν ω=ω 1, λέγεται μαγνητικός συντονισμός. 17. Σύστημα Ν Καταστάσεων: Εφαρμογή Προσέγγισης Διαταραχών Για συστήματα πολλών καταστάσεων, η αναλυτική επίλυση του συστήματος (17.1) απαιτεί προσέγγιση. Στα πλαίσια της θεωρίας διαταραχών, η προσέγγιση αυτή βασίζεται στην υπόθεση ότι τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής είναι πολύ μικρότερα από τα (διαγώνια) στοιχεία πίνακα της αδιατάραχτης Hailtonian, στη βάση των αδιατάρακτων καταστάσεων. Στο όριο που η διαταραχή είναι ακριβώς μηδέν, οι συντελεστές c είναι χρονικά ανεξάρτητοι και με κατάλληλες αρχικές συνθήκες ισχύει: c n () = δ ni, (17.48) όπου υποθέσαμε ότι το σύστημα είναι αρχικά στην κατάσταση i. Επομένως, η αδιατάρακτη λύση είναι: c n () (t) = δ ni. (17.49) Η βασική ιδέα, στη θεωρία διαταραχών είναι η αντικατάσταση της αδιατάραχτης λύσης (17.49) με μια άγνωστη διόρθωση c (1) (t) πρώτης τάξης, ως προς τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής: c n (t) = c n () (t) + c n (1) (t) (17.5) στο γενικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων (17.1) και η διατήρηση όρων, μέχρι πρώτη τάξη. Με αυτή την προσέγγιση, από τις σχέσεις (17.1), (17.5), σε πρώτη τάξη, ως προς τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής, έχουμε: iħ dc (1) n () = H dt n exp(iω n t) c = H ni exp(iω ni t), (17.51) 89

7 όπου, στη δεύτερη ισότητα, έγινε χρήση της σχέσης (17.49) με n=. Άσκηση 5: Αποδείξτε τη σχέση (17.51). Από την αρχική συνθήκη (17.4), έχουμε ότι, σε κάθε τάξη (άρα και σε πρώτη) οι συντελεστές για n i μηδενίζονται. Άρα: Από τις σχέσεις (17.51) και (17.5), έχουμε: c n (1) () =. (17.5) t (1) i c n = ħ H ni(t ) exp(iω ni t ) dt. (17.53) που ισχύει για n i, αλλά γενικεύεται εύκολα, για κάθε n στη μορφή: c n (t) = δ ni i t ħ H ni(t ) exp(iω ni t )dt. (17.54) Από τη σχέση (17.53) προκύπτει η πιθανότητα μετάβασης του συστήματος από την αρχική κατάσταση i σε μια άλλη κατάσταση f, μετά από χρόνο t, σε πρώτη τάξη θεωρίας χρονοεξαρτώμενων διαταραχών: t P i f (t) = c f (t) = i ħ H fi(t ) exp(iω fi t )dt. (17.55) Αυτή είναι η βασική σχέση, για χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών. Στις επόμενες παραγράφους θα δούμε εφαρμογές αυτής της σχέσης Σταθερή Διαταραχή και Αρμονική Διαταραχή Έστω σταθερός όρος V διαταραχής, που εμφανίζεται την t και διατηρείται μέχρι και τη στιγμή t. Έστω ότι το σύστημα είναι αρχικά στην κατάσταση i. Θα βρούμε την πιθανότητα μετάβασης στην κατάσταση, τη χρονική στιγμή t, χρησιμοποιώντας χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών πρώτης τάξης. Έστω ότι τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής είναι Vi σταθερά, ανεξάρτητα του χρόνου, στο διάστημα από t μέχρι t..h διαταραχή αυτή είναι χρονοεξαρτώμενη, με την έννοια ότι τα στοιχεία πίνακα θεωρούνται μηδενικά, πριν από την αρχική στιγμή t. Εφαρμόζοντας τη βασική σχέση (17.54), παίρνουμε: c (t) = δ i + ( i t ħ ) dt 1V i e iω it 1 = t = δ i + ( i ħ ) V i dt 1 e iω it 1 t t = = δ i V i ħω i (e iω it e iω it ) (17.56) Για καταστάσεις i, η σχέση (17.56) οδηγεί στην πιθανότητα μετάβασης: P i (t) c (t) = ħ V i 1 cos ω it (17.57) ω i Άσκηση 6: Αποδείξτε τη σχέση (17.57). Για σύστημα πολλών καταστάσεων, έχουμε, για την ολική πιθανότητα μετάβασης, άθροιση σε όλες τις τελικές καταστάσεις, η οποία ορίζεται ως: 9

8 P(t) = P k (t), (17.58) k P k (t) P i k (t) c k (t) (17.59) Για σύστημα δύο καταστάσεων, έχουμε, για την ολική πιθανότητα μετάβασης P(t) σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση, εκτός από την αρχική: Ο ρυθμός μετάβασης ορίζεται ως: P(t) = P i (t) (17.6) w dp(t) dt (17.61) Από τη σχέση (17.57), εφαρμοζόμενη σε σύστημα δύο καταστάσεων, προκύπτει ο ρυθμός μετάβασης ως: w = ħ V i sin ω it ω i (17.6) Για σύστημα με συνεχή κατανομή τελικών καταστάσεων, η ολική πιθανότητα μετάβασης προκύπτει από τη σχέση (17.58), αν αντικαταστήσουμε το άθροισμα με ολοκλήρωμα, ως εξής: P(t) = P k (t) k P t (t) = ρ(e k )de k P k (t) (17.63) όπου, ρ(ε k ) πυκνότητα καταστάσεων που ορίζεται, ώστε ρ(ε k )de k να δίνει τον αριθμό των κβαντικών καταστάσεων στο ενεργειακό διάστημα (Ε k, E k + de k ). Για σταθερή πυκνότητα τελικών καταστάσεων (ανεξάρτητη της ενέργειας), η ολική πιθανότητα μετάβασης προκύπτει ως: P(t) = ħ V ki 1 cos ω ki t ρ dω k ω ki (17.64) Άσκηση 7: Αποδείξτε τη σχέση (17.64), χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (17.63), (17.57) και: dω k = dω ki, de k = ħdω k, dω k = dω ki (17.65) Η σχέση (17.64) γράφεται ως: P(t) = π ħ V ki ρt (17.66) Άσκηση 8: Αποδείξτε τη σχέση (17.66), χρησιμοποιώντας τη σχέση: 1 cos px dx = πp x (17.67) 91

9 Από την (17.66), προκύπτει ο ρυθμός μετάβασης ως: w = π ħ V ki ρ(e k ) (17.68) Η σχέση (17.68) είναι γνωστή ως ο «Χρυσός Κανόνας του Feri». Ως ένα άλλο παράδειγμα εφαρμογής της χρονοεξαρτώμενης θεωρίας διαταραχών, θα θεωρήσουμε μια αρμονικά μεταβαλλόμενη διαταραχή της μορφής: Στην περίπτωση αυτή, η σχέση (17.54) γίνεται: Θέτουμε στην παραπάνω σχέση: και λαμβάνουμε: V(t) = V cos ωt (17.69) t c (t) = δ i + ( i ħ ) V e iωt 1 + e iωt 1 i dt 1 e iω it 1 (17.7) t t =, i (17.71) c (t) = V i [ 1 ei(ω i+ω)t ħ(ω i + ω) + 1 ei(ωi ω)t ħ(ω i ω) ] (17.7) Στην περίπτωση που το διαταρασσόμενο σύστημα απορροφά ενέργεια από τη διαταραχή, έχουμε ω i > και για: ω ω i (17.73) Για εκπομπή ενέργειας, κυριαρχεί ο δεύτερος όρος στην (17.7) (έχει μικρό παρονομαστή). Τότε έχουμε: c (t) V i 1 e i(ω i ω)t ħ(ω i ω) (17.74) και η πιθανότητα μετάβασης προκύπτει ως: P i (t) c (t) V i sin ( ω i ω t) (17.75) ħ (ω i ω) Για εκπομπή ενέργειας, κυριαρχεί ο άλλος όρος. Ο ρυθμός μετάβασης προκύπτει από την (17.75) ως: w = 1 ħ V i sin(ω i ω)t ω i ω (17.76) και εμφανίζει ταλάντωση, όπως και η πιθανότητα μετάβασης, που φαίνεται στο σχήμα (17.1). Το φαινόμενο του συντονισμού εμφανίζεται όταν ω i = ω. 9

10 Σχήμα 17.1: Η χρονική εξέλιξη της πιθανότητας μετάβασης, για σύστημα δυο καταστάσεων, με αρμονική χρονικά μεταβαλλόμενη διαταραχή. Για σύστημα πολλών καταστάσεων, με σταθερή πυκνότητα καταστάσεων, μπορεί να δειχτεί ότι ο ρυθμός μετάβασης είναι χρονικά ανεξάρτητος, όπως και στην περίπτωση της χρονικά σταθερής διαταραχής και επομένως, ισχύει ο «Χρυσός Κανόνας του Feri» Σύνοψη Όταν υπάρχει χρονικά εξαρτώμενο τμήμα (διαταραχή) σε Ηailtonian, τότε δημιουργείται μη μηδενική πιθανότητα μετάβασης, από μια αδιατάρακτη κατάσταση σε άλλη, μέσα σε χρόνο t. Η πιθανότητα αυτή υπολογίζεται με επίλυση Ν 1ης τάξης διαφορικών εξισώσεων, με Ν αγνώστους, όπου Ν ο αριθμός των αδιατάρακτων ιδιοκαταστάσεων. Όταν Ν= (π.χ. ηλεκτρόνιο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. με περιστρεφόμενη διαταραχή), το σύστημα μπορεί να επιλυθεί χωρίς προσέγγιση. Η πιθανότητα αναστροφής του spin μεγιστοποιείται, όταν η συχνότητα της περιστρεφόμενης διαταραχής συμπίπτει με την ενεργειακή απόσταση των καταστάσεων της αδιατάραχτης Hailtonian. Για αυθαίρετο Ν, απαιτείται προσεγγιστική μέθοδος, για την εύρεση της πιθανότητας μετάβασης: η χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών, που υποθέτει Η 1<<Η. Η πιθανότητα μετάβασης που προκύπτει: P i f (t) = c f (t) = i t ħ H fi(t ) exp(iω fi t )dt. (17.77) Βασική εφαρμογή της χρονοεξαρτώμενης θεωρίας διαταραχών είναι ο υπολογισμός της πιθανότητας μετάβασης ατομικού ηλεκτρονίου σε υψηλότερη ή χαμηλότερη ενεργειακή στάθμη (απορρόφηση, εκπομπή), λόγω παρουσίας διαταραχής (σταθερής ή αρμονικής). 93

11 Κριτήρια αξιολόγησης (Λαγανάς, 5α Λαγανάς, 5β Τραχανάς, 5 Constantinescu & Magyari, 1971 Peleg et al., 1 Squires, 1995 Tavakis, 5). Κριτήριο αξιολόγησης 1 Μονοδιάστατος αρμονικός ταλαντωτής βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση. Την t=, εφαρμόζεται διαταραχή ηλεκτρικού πεδίου, για χρόνο τ: W(t) = { qεx t τ για άλλους χρόνους (17.78) Βρείτε την πιθανότητα μετάπτωσης στην κατάσταση n=1 και στη n=. Λύση Για μετάβαση στην κατάσταση με n=1, με εφαρμογή της σχέσης (17.55), έχουμε: P 1 (1) (t) = 1 τ ħ eiω1t 1W dτ τ = 1 ħ eiω1t dt = φ 1 (x)( qεx)φ (x)dx όπου, οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις n= και n=1, για τον αρμονικό ταλαντωτή, είναι: φ (x) = 1 π 1 4 x exp [ 1 ( x x ) ], φ 1 (x) = (17.79) 1 π x exp [ 1 ( x ) ] (17.8) x x ħ ω. (17.81) Με αντικατάσταση των αντίστοιχων ιδιοκαταστάσεων n= και n=1 για τον αρμονικό ταλαντωτή συναρτήσει των πολυωνύμων Herite, έχουμε: φ (x)xφ 1 (x) = φ (x)φ 1 (x)dx = = 1 π 1 λ 1 π 1 λ H ( x λ ) H 1 ( x λ ) xe x λ dx (17.8) λ = ħ (17.83) ω Για τα πολυώνυμα Herite, έχουμε: 94

12 H (x λ) = 1, H 1 (x λ) = x λ (17.84) Με αντικατάσταση της (17.84) στην (17.8), παίρνουμε: φ (x)xφ 1 (x) = 1 π λ x e x λ dx = 1 λ (17.85) όπου στην τελευταία ισότητα έγινε ολοκλήρωση κατά παράγοντες και χρήση του γνωστού ολοκληρώματος: e αx dx = π α (17.86) Με αντικατάσταση της (17.86) στη (17.79) και υπολογισμό του ολοκληρώματος, βρίσκουμε: (1) (τ) = 1 ħ eiωt ( qε ħ ) dt ω P 1 τ = (qε) [ sin(ω τ ) ħω ω ] = (qε) e iω1t dt ħω τ = (17.87) Για την πιθανότητα μετάβασης στην κατάσταση n=, έχουμε: P (1) (τ) = 1 τ ħ eiωt W dt (17.88) Από τη σχέση (17.78) και τη σχέση: x = ħ ω (a + a ) (17.89) παίρνουμε: W = ( qεx) = qε ħ ω (a + a) = (17.9) Με αντικατάσταση στη (17.88), έχουμε τον μηδενισμό της πιθανότητας μετάβασης σε πρώτη τάξη θεωρίας διαταραχών: P (1) (τ) =. (17.91) Κριτήριο αξιολόγησης Σύστημα έχει δύο ιδιοκαταστάσεις 1 και, με διαφορά ενεργειών: E E 1 = ħω 1 (17.9) Την t=, το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση 1 και εφαρμόζεται μια διαταραχή H με στοιχεία πίνακα: 95

13 1H 1 = H 1 = ħω H = ħω (17.93) Αναζητήστε τις πιθανότητες να βρεθεί το σύστημα στις καταστάσεις 1 και : α. Εφαρμόζοντας θεωρία διαταραχών, σε πρώτη τάξη β. Με ακριβή λύση της εξίσωσης Schrodinger. Συγκρίνετε και σχολιάστε τα αποτελεσματα. Λύση α. Με εφαρμογή της θεωρίας διαταραχών σε πρώτη τάξη, έχουμε γενικά: t (1) 1 P if = ħ eiωfit W fi (t )dt (17.94) Αν εφαρμόσουμε τη (17.94) για τη συγκεκριμένη περίπτωση του προβλήματος, παίρνουμε: P 1 1 t ħ eiω1t H 1 dt = ω 1 (e iω1t 1) = iω 1 = ω eiω 1t (e iω 1t e iω 1t ) iω 1 = ω eiω 1t i sin(ω 1 t ) = iω 1 = ω e iω 1t sin(ω 1t ) = ω 1 = ω eiω 1t i sin(ω 1 t ) iω 1 = 1 t ħ ħ ω e iω 1t dt = = (17.95) Για να ισχύει η προσέγγιση, θα πρέπει: P 1 ω t 1 ω t 1. (17.96) β. Με ακριβή λύση της εξίσωσης Schrodinger, έχουμε για την ολική Hailtonian: H = H + H H = ( E 1 ħω ħω E ħω 1 ) = ( E 1 ħω ħω E 1 ) (17.97) όπου, στην τελευταία ισότητα, έγινε χρήση της σχέσης (17.93). Από την εξίσωση ιδιοτιμών, προκύπτουν εύκολα οι ιδιοτιμές της Hailtonian: Οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις είναι: Hν = λ ν (E 1 λ) (ħω ) = λ 1, = E 1 ± ħω (17.98) 96

14 ν 1 = 1 (1 1 ) = 1 (1 + ) (17.99) ν = 1 ( 1 1 ) = 1 (1 ) (17.1) Άρα, για τη γενική χρονικά εξελιγμένη κατάσταση ψ(t), έχουμε: ψ(t) = a 1 e iλ 1t ħν 1 + a e iλt ν (17.11) Οι αυθαίρετες σταθερές α 1, α προσδιορίζονται από την απαίτηση κανονικοποίησης και από την αρχική συνθήκη: Έτσι, βρίσκουμε: c(t = ) = 1 (17.1) a 1 = a = 1. (17.13) Με αντικατάσταση των (17.13), (17.99) και (17.1) στην (17.11), βρίσκουμε τη χρονικά εξελιγμένη κατάσταση ως γραμμικό συνδυασμό των αδιατάραχτων ιδιοκαταστάσεων, με τη μορφή: ψ(t) = 1 (e i(e 1+ħω )t ħ + e i(e 1 ħω )t ħ) (e i(e 1+ħω )t ħ e i(e 1 ħω )t ħ) = = e ie 1t ħ[cos(ω t) 1 sin(ωt) ] (17.14) Η ακριβής τιμή της πιθανότητας μετάβασης, που προκύπτει από τη (17.15), είναι συμβατή με την προσεγγιστική τιμή της (17.97), αφού: P 1 = sin (ωt) ω t 1 (ω t) (17.15) Άλυτες Ασκήσεις 1. Άτομο υδρογόνου τοποθετείται σε ηλεκτρικό πεδίο της μορφής: E = E(t)k (17.16) Βρείτε τα τέσσερα () στοιχεία πίνακα Η ij, για τη διαταραχή Η =-eez, μεταξύ της βασικής κατάστασης (n=1) και της τετραπλά εκφυλισμένης πρώτης διεγερμένης κατάστασης. Δείξτε ακόμα ότι Η ii = για όλες τις παραπάνω πέντε καταστάσεις. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε επιχειρήματα συμμετρίας για να δείξετε ότι σχεδόν όλα τα ολοκληρώματα μηδενίζονται) 97

15 . Έστω διαταραχή της μορφής Η =U δ(t-t ) με U aa=u bb= και U ab=q. Αν c a(-)=1 και c b(-)=, βρείτε τα c a(t) και c b(t) και επαληθεύστε ότι: c a (t) + c b (t) = 1 (17.17) Ποιά είναι η πιθανότητα P a b, να γίνει μετάβαση από την αρχική κατάσταση a στην κατάσταση b; Απάντηση P a b = (α ħ )(1 + α 4ħ ) (17.18) 3. Λύστε το σύστημα: c a = i ħ H ab e iωt c b, (17.19) c b = i ħ H ba e iωt c a για τη γενική περίπτωση c a()=q και c b()=p. 98

16 Βιβλιογραφία/Αναφορές Λαγανάς, E. (5α). Κβαντομηχανικη Ι Θεωρία - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις. χ.τ.: Αρνός. Λαγανάς, E. (5β). Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρία - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις. χ.τ.: Αρνός. Τραχανάς, Σ. (5). Προβλήματα Κβαντομηχανικής. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Τραχανάς, Σ. (8). Κβαντομηχανικη ΙI. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Binney, J. & Skinner, D. (13). The Physics of Quantu Mechanics. Oxford: Oxford University Press. Bransden, B. H. & Joahain, C. J. (199). Introduction to Quantu Mechanics. Longan Publishing Group. Constantinescu, F., Magyari, E. (1971). Probles in Quantu Mechanics (Paperback). Oxford: Pergaon Press. Fitzpatrick, R. (1). Quantu Mechanics. Ανακτήθηκε 3 Οκτωβρίου, 15, από Gasiorowicz, S. (15). Κβαντική Φυσική, (3η αμερικάνικη έκδοση). Αθήνα: Εκδόσεις Κλειδάριθμος. Griffiths, D. J. (4). Introduction to Quantu Mechanics, nd edition. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. Peleg, Y., Pnini, R., Zaarur, E., Hecht, E. (1). Schau s Outline of Quantu Mechanics (Schau s Outlines), (nd edition). McGraw-Hill. Squires, G.L. (1995). Probles in Quantu Mechanics: with solutions. Cabridge: Cabridge University Press. Tavakis, K. (5). Probles and Solutions in Quantu Mechanics. New York: Cabridge University Press. 99

Κεφάλαιο 9: Συστήματα Πολλών σωματίων

Κεφάλαιο 9: Συστήματα Πολλών σωματίων Κεφάλαιο 9: Συστήματα Πολλών σωματίων Περιεχόμενα Κεφαλαίου Τα θέματα που θα καλύψουμε στο κεφάλαιο αυτό, είναι τα εξής (Βαγιονάκης, 1996 Μοδινός, 1994 Τραχανάς, 2005 Τραχανάς, 2008 Binney & Skinner, 2013

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών

Κεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών Κεφάλαιο 14: Πρόσθεση Στροφορμών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Αφού δοθεί ο ορισμός ολικής στροφορμής θα γίνει η συσχέτιση της βάσης ολικής στροφορμής (jm j) με τη βάση των επιμέρους στροφορμών (m 1m ). Οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών

Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Δομή Διάλεξης Γενική μέθοδος μελέτης συστημάτων με χρονοεξαρτώμενο μέρος Χαμιλτονιανής. Εύρεση πιθανότητας μετάβασης Απλό παράδειγμα με ακριβή λύση: Σύστημα δύο καταστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16: Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο

Κεφάλαιο 16: Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο Κεφάλαιο 16: Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο Περιεχόμενα Κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό, θα θεωρήσουμε ως αδιατάρακτη Hamiltonian, εκείνη του ατόμου του υδρογόνου και θα μελετήσουμε τρία είδη διαταραχών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7: Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Κεφάλαιο 7: Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Κεφάλαιο 7: Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Τα θέματα που θα καλύψουμε στο κεφάλαιο αυτό είναι τα εξής (Τραχανάς, 2005 Τραχανάς, 2008 Binney & Skinner, 2013 Fitzpatrick,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών: Γενική Μέθοδος για την αντιμετώπιση των απειρισμών λόγω εκφυλισμού Εφαρμογή σε διεγερμένη κατάσταση υδρογόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1 Χειμερινό εξάμηνο 016-017 Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 Οι λύσεις του αρμονικού ταλαντωτή, με V = x είναι της μορφής ψ n (x) = ( mω π )1/4 1 n n! H n (x)e x /, n = 0,1, (1) Με Η n τα πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Δομή Διάλεξης Ανασκόπηση συμβολισμού Dirac Διαταραχές σε σύστημα δύο καταστάσεων Η γενική μέθοδος μη-εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών Εφαρμογή: Διαταραχή

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο

Διαβάστε περισσότερα

Παραμαγνητικός συντονισμός

Παραμαγνητικός συντονισμός Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Χρονεξαρτημένη χαμιλτονιανή Στα προβλήματα τα οποία εξετάσαμε μέχρι τώρα η

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός Ταλαντωτής

Αρμονικός Ταλαντωτής Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Θεωρία Προσεγγίσεων Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Δομή Διάλεξης Λεπτή Υφή: Άρση εκφυλισμού λόγω σύζευξης spin με μαγνητικό πεδίο τροχιακής στροφορμής και λόγω σχετικιστικού

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 )

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Πρόσθεση Στροφορμών Δομή Διάλεξης Ορισμός Ολικής Στροφορμής Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από l=1, s=1/2

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Τροχιακή Στροφορμή (Ορισμοί Τελεστών) Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου. Άσκηση 1 Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου Άσκηση 1 ψ(x) = A Sin (k x), < x < α) Sin (k x) = eikx e ikx i Mε πιθανές τιμές ορμής p = ± ħk, από τον τύπο του De Broglie. Kαθεμιά έχει πιθανότητα 50%. b) p = ψ p ψ =

Διαβάστε περισσότερα

x όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp

x όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ (Υποχρεωτικό 4 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ. Σκαρλάτος Προβλήματα Σειρά # 5 : Η εξίσωση Schrödinger και η επίλυσή της σε απλά κβαντικά συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 26: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 26: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 6: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ηλεκτρομαγνητικά πεδία Απορρόφηση είναι Σε αυτή τη διαδικασία το ηλεκτρόνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

(ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης

(ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης Σπιν 1 μέσα σε χρονικά μεταβαλλόμενο (ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης Έστω ηλεκτρόνιο μέσα σε μαγνητικό πεδίο cos B B t, όπου B, και si cose si sie cos e είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 13: Σύστημα δύο ενεργειακών επιπέδων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 13: Σύστημα δύο ενεργειακών επιπέδων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 13: Σύστημα δύο ενεργειακών επιπέδων Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετηθεί μια εφαρμογή σχετικά με τις βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Διαταραχές Τροχιάς (2)

Διαταραχές Τροχιάς (2) Διαταραχές Τροχιάς (2) Μάθημα 6 ο Βαρυτικές διαταραχές δυναμικό πεπλατυσμένου σώματος Επίδραση τρίτου σώματος (α) γραμμική αέναη κίνηση (β) κίνηση σε συντονισμό Μη βαρυτικές διαταραχές Μεταβολές του μεγάλου

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1 Χειμερινό εξάμηνο 16-17 Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων ) ψ(x) dx Άσκηση 1 ψ ο (x) = Α (α x ), < x < = A (α x ) dx = 1 (α x ) dx = (α 4 x + x 4 )dx = α 4 dx x dx = 5 45 3 A ( 5 45 + 5 3 5 + x 4 dx + 5

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες. ΘΕΜΑ 1[1] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 1 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δυναµικό απειρόβαθου πηαδιού και περιράφεται από την 1 πx πx κυµατοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

Η Κβαντική Μηχανική σε λειτουργία

Η Κβαντική Μηχανική σε λειτουργία Γεώργιος Κουτσούµπας ΕΜΠ Κέρκυρα, Σεπτέµβρης 014 1 Σεπτεµβρίου 014 Θεωρούµε δύο µάζες m που κινούνται στην ίδια ευθεία και οι αποµακρύνσεις τους από τη ϑέση ισορροπίας είναι οι x 1 και x. Μπορεί να δεί

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση

Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Ŝ y, για σπιν ½, όπου. και. 1/2 x 1/2,

Ŝ y, για σπιν ½, όπου. και. 1/2 x 1/2, ΣΕΤ 10 6/1/18 (1) (α) Βρείτε τα ιδιοδυανύσματα των Ŝ z, 1 Ŝ z 0 Ŝx και 0 0 1 0 i, Ŝ x, και Ŝ y 1 1 0 i 0 (β) Συνεπώς, εκφράστε τις καταστάσεις καταστάσεων 1/ z και 1/ z 1/ x, Ŝ y, για σπιν ½, όπου 1/ x,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ Για μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας,, υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 12: Ασκήσεις. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 12: Ασκήσεις. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 12: Ασκήσεις Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Άσκηση 12.1 Να υπολογιστεί η μέση ενέργεια σωματιδίου που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση ψ x = 1 3 ψ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης 02/06/2017 1

ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης 02/06/2017 1 ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης /6/7 Διάρκεια ώρες. Θέμα. Θεωρηστε ενα συστημα δυο σωματων ισων μαζων (μαζας Μ το καθενα) και δυο ελατηριων (χωρις μαζα) με σταθερες ελατηριων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση

Κεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση Κεφάλαιο 13 Περιοδική Κίνηση Περιοδική Κίνηση Η ταλαντωτική κίνηση είναι σημαντική Είναι μια πάρα πολύ κοινή κίνηση. Βάση για κατανόηση της κυματικής κίνησης Κάθε σύστημα που βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00).

Μάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00). Μάθηµα ο 0 Οκτωβρίου 008 (9:00-:00) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Άσκηση 9 Έστω ένα κβαντικό σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τρεις ενεργειακές καταστάσεις (ιδιοτιµές ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική Επιστήμη Υλικών

Θεωρητική Επιστήμη Υλικών Θεωρητική Επιστήμη Υλικών Διαγώνισμα Προόδου 6// Θέμα Κάποιο σωματιδιο βρισκεται στη θεμελιώδη σταθμη του, κοντά στο ελάχιστο της δυναμικής του ενέργειας. Μετράται ότι x= Å. Πόση ενέργεια πρέπει να του

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ

S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ Άσκηση 4. Έστω σωμάτιο με spin /. Να προσδιορίσετε την κατάστασή του αν είναι γνωστές οι S ˆ, S ˆ και μόνο το πρόσημο της S ˆ. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α ψ = α

Διαβάστε περισσότερα

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου, Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 200 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 3 θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση)

Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Δύο σωμάτια με σπιν s και s αντίστοιχα και με τον ίδιο γυρομαγνητικό λόγο τοποθετούνται μέσα σε ομογενές χρονοανεξάρτητο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Επίλυση της εξίσωσης Schrödinger σε απλά κβαντικά συστήματα Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κάθε φυσικά πραγματοποιήσιμη φυσική κατάσταση ενός (μονοσωματιδιακού) κβαντικού συστήματος περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω â μια παρατηρήσιμη (διανυσματικός τελεστής) με συνεχές φάσμα ιδιοτιμών. Επίσης, έστω ότι t είναι η κατάσταση του συστήματός μας την τυχαία χρονική στιγμή

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 57 80 ATHENS - GREECE

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης

Δομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Σκέδαση Δομή Διάλεξης Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Υπολογισμός διατομής σκέδασης με την μέθοδο στοιχειωδών κυμάτων (partial waves) Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins,

Διαβάστε περισσότερα