ΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ

Κεφάλαιο 3 ΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ Η Χρήση της προσομοίωσης στα ΣΑΕ Η διαδικασία σχεδιασμού ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου ακολουθεί συνήθως την παρακάτω διαδικασία. -Ανάλυση τους συστήματος Τεχνολογικός σχεδιασμός του συστήματος, δηλαδή εδώ αποφασίζουμε από τι ακριβώς μηχανισμούς θα αποτελείται το σύστημα μας. Εξαγωγή της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος. Εξαγωγή της εξόδου (επίλυση) για να δούμε πως συμπεριφέρεται το σύστημα που σχεδιάσαμε. 2-Αντιστάθμιση Τροποποίηση της Συνάρτησης μεταφοράς ώστε το σύστημα να έχει την συμπεριφορά που θέτουν οι προδιαγραφές. Δηλαδή οι εξισώσεις πρέπει να δίδουν λύση η οποία να ανταποκρίνεται στις προδιαγραφές της μόνιμης και της μεταβατικής κατάστασης. Μετά την τροποποίηση επιλύουμε την νέα συνάρτηση. Αν πετύχουμε η έξοδος να είναι εντός των προδιαγραφών τότε προχωρούμε στο επόμενο στάδιο, αλλιώς προχωρούμε σε νέα τροποποίηση και νέα επίλυση. Το στάδιο αυτό επαναλαμβάνεται μέχρι να πετύχουμε την έξοδο που ανταποκρίνεται στις προδιαγραφές. Αφού πετύχουμε την έξοδο που θέλουμε, προσπαθούμε να δούμε αν οι τροποποιήσεις που κάναμε στην συνάρτηση μεταφοράς μπορούν να υλοποιηθούν στην πράξη. Αν αυτό είναι εφικτό, ο σχεδιασμός του συστήματα αυτομάτου ελέγχου τελειώνει, αν όχι πρέπει να επιστρέψουμε στο προηγούμενο στάδιο και να ψάξουμε για άλλη λύση τροποποίησης της συνάρτησης μεταφοράς. Η επίλυση των εξισώσεων έχουμε ήδη πει ότι είναι δύσκολη υπόθεση χωρίς την χρήση Η/Υ. Για το λόγο αυτό αναπτύχθηκαν μέθοδοι αντιστάθμισης οι οποίες παρέκαμπταν την επίλυση των εξισώσεων. Μια εναλλακτική εργαστηριακή μέθοδος αντιστάθμισης που χρησιμοποιήθηκε από την δεκαετία του 40 είναι «προσομοίωση των συστημάτων» με ηλεκτρονικά κυκλώματα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 226

Η διαδικασία της αναλογικής προσομοίωσης συνίσταται στη δημιουργία ενός ηλεκτρονικού κυκλώματος το οποίο να έχει την ίδια ακριβώς συνάρτηση μεταφοράς με τη συνάρτηση μεταφοράς του προς μελέτη συστήματος. Η μεταβατική κατάσταση του προσομοιωμένου συστήματος, την οποία μπορούμε να δούμε σε παλμογράφο ή να καταγράψουμε σε καταγραφικό, είναι ακριβώς ή ίδια με την μεταβατική κατάσταση του πραγματικού συστήματος. Στην ουσία η απόκριση του προσομοιωμένου συστήματος είναι η λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης η οποία περιγράφει το πραγματικό σύστημα. Για τον λόγο αυτό οι συσκευές πάνω στις οποίες γινόταν οι προσομοιώσεις αυτές ονομάστηκαν αναλογικοί υπολογιστές. Οι αναλογικοί υπολογιστές, οι οποίοι όπως γίνεται φανερό προϋπήρξαν των ψηφιακών υπολογιστών, στηρίχθηκαν σε ένα από τα πιο θαυμαστά αναλογικά ηλεκτρονικά κυκλώματα, τον τελεστικό ενισχυτή (operational amplifier), ένα κύκλωμα του οποίου οι καταπληκτικές ιδιότητες κάνουν εφικτή και εύκολη τη διαδικασία της προσομοίωσης. (α) (γ) Εικόνα 3. : Αναλογικοί Υπολογιστές (α) 96 (β) 964 (γ) 97 (β) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 227

Η αναλογική προσομοίωση, δηλαδή η επίλυση διαφορικών εξισώσεων με αναλογικά φυσικά συστήματα, αρχικά έγινε με μηχανολογικά συστήματα. Αυτού του είδους τα συστήματα χρησιμοποιήθηκαν κατά το δεύτερο παγκόσμιο πόλεμο για την ρύθμιση πυροβόλων συστημάτων. Εικόνα 3.2 : Η αναλυτική ηλεκτρομηχανολογική μηχανή του Vannevar Bush. Αναπτύχθηκε στις αρχές του αιώνα στο ΜΙΤ, Οι επιστήμονες ανάλωναν πολλές ώρες για να επιλύσουν μια απλή διαφορική εξίσωση. Σήμερα η προσομοίωση γίνεται στον ψηφιακό υπολογιστή μέσω κατάλληλων λογισμικών όπως είναι το MATLAB. Όπως είναι αυτονόητο η ψηφιακή προσομοίωση δεν έχει καμιά σχέση από άποψη αρχής λειτουργίας με την αναλογική. Στη ψηφιακή προσομοίωση έχουμε αριθμητική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων, ενώ στην αναλογική όπως είδαμε δημιουργούμε ένα σύστημα που να περιγράφεται από τις εξισώσεις που θέλουμε. Αναλογική προσομοίωση σε «Αναλογικό Υπολογιστή» Για την αναλογική προσομοίωση χρησιμοποιείται ο τελεστικός ενισχυτής. Δύο είναι τα χαρακτηριστικά του τελεστικού τα οποία τον κάνουν ιδανική συσκευή για την δημιουργία κυκλωμάτων τα οποία να έχουν συγκεκριμένη συνάρτηση μεταφοράς. Το πρώτο χαρακτηριστικό είναι η δυνατότητα που παρέχει ο τελεστικός να δημιουργούμε πολύ εύκολα κυκλώματα τα οποία να εκτελούν συγκεκριμένες Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 228

μαθηματικές πράξεις ( από εκεί προκύπτει και το όνομα του). Το δεύτερο χαρακτηριστικό είναι το γεγονός ότι ο τελεστικός ενισχυτής είναι «απομονωτικό κύκλωμα». Αυτό σημαίνει ότι όταν συνδέουμε 2 κυκλώματα τελεστικών, το επόμενο δεν φορτίζει το προηγούμενο δηλαδή δεν τραβάει καθόλου ρεύμα και αυτό συμβαίνει διότι ο τελεστικός έχει «άπειρη» (πολύ μεγάλη) αντίσταση στην είσοδο του. Επίσης ο τελεστικός ενισχυτής συμπεριφέρεται στην έξοδο του σαν μια ιδανική πηγή τάσης, αυτό σημαίνει ότι έχει μηδενική (πολύ μικρή) αντίσταση στην έξοδο. Το γεγονός αυτό επιτρέπει να συνδέουμε δύο κυκλώματα τελεστικών και να μην αλλοιώνονται οι συναρτήσεις μεταφοράς του κάθε κυκλώματος λόγω των φορτίσεων. Με αυτό τον τρόπο ισχύουν όλα όσα διδασκόμαστε το κεφάλαιο των ΣΑΕ για την διασύνδεση συστημάτων. Τα βασικά κυκλώματα του τελεστικού ενισχυτή τα οποία χρησιμοποιούνται στην αναλογική προσομοίωση είναι: Ενισχυτής μεταβλητού κέρδους Μεταβλητή Vi + _ Vo vi () t ή v () t o Αθροιστής V V2 V3 + _ Vo v ( t) ( v ( t) v ( t) v ( t)) 0 2 3 Ολοκληρωτής C Vi + _ Vo v 0( t) C 0 v () t dt i Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 229

Διαφοριστής C + v 0( t) dvi () t C dt Vi _ Vo Σχήμα 3.3 : Βασικά κυκλώματα τελεστικού ενισχυτή Ο αναλογικός Υπολογιστής Βέβαια η εργασία της αναλογικής προσομοίωσης δε γίνεται με ηλεκτρονικά κυκλώματα αλλά σε ειδικά προσαρμοσμένες συσκευές με τελεστικούς ενισχυτές οι οποίες ονομάζονται Αναλογικοί Υπολογιστές. Στους αναλογικούς υπολογιστές χρησιμοποιούμε ειδικά σύμβολα για τις βασικές υπολογιστικές βαθμίδες και όχι τα ηλεκτρονικά σύμβολα. Οι βαθμίδες ενός αναλογικού υπολογιστή είναι οι εξής: Ενισχυτής Vi(t) K -Vo(t) v ( ). ( ) 0 t k vi t Αθροιστής V(t) V2(t) V3(t) -Vo(t) v ( t) ( v ( t) v ( t) v ( t)) 0 2 3 Ολοκληρωτής Αρχική Συνθήκη Vi(t) K -Vo(t) v 0( t) kvi() t dt 0 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 230

Συνδυασμός των παραπάνω βαθμίδων. V(t) V2(t) K K2 -Vo(t) v ( t) ( k. v ( t) k2. v ( t) k3. v ( t)) 0 2 3 V3(t) K3 Αρχική Συνθήκη V(t) V2(t) V3(t) K K2 K3 -Vo(t) v ( k v ( t) dt k2 v ( t) dt k3 v ( t) dt) 0( t) 2 3 0 0 0 Προσοχή : Σε ένα αναλογικό υπολογιστή οι διαθέσιμες τιμές ενισχύσεων που έχουμε είναι καθορισμένες και ακέραιες. Για να πετύχουμε οποιαδήποτε τιμή, πράγμα απαραίτητο στη διαδικασία προσομοίωσης χρησιμοποιούμε το ποτενσιόμετρο το οποίο είναι βασική δομική μονάδα του αναλογικού υπολογιστή. Ποτενσιόμετρο V(t) Vi(t) a avo(t) a.vo(t) Σχήμα 3.4: Δομικές μονάδες αναλογικού υπολογιστή Στον αναλογικό υπολογιστή, η λύση των διαφορικών εξισώσεων δεν είναι τίποτα άλλο από τη μεταβατική κατάσταση του κυκλώματος το οποίο έχουμε κατασκευάσει. Για να δούμε λοιπόν τη λύση πρέπει να ετοιμάσουμε το κύκλωμα και στη συνέχεια να δημιουργήσουμε την μεταβατική κατάσταση, την οποία θα καταγράψουμε σε καταγραφικό η σε παλμογράφο μνήμης. Σε μια συσκευή τελεστικού ενισχυτή η διαδικασία της λήψης της λύσης είναι αυτοματοποιημένη. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 23

Υπάρχει ένας διακόπτης που έχει 2 θέσεις ως εξής: «Αρχικές Συνθήκες» (IC = Initial Condition), και UN. Για να πάρουμε τη λύση πρέπει να θέσουμε τον διακόπτη αρχικά στη θέση IC και αφού μεριμνήσουμε ώστε η έξοδος να είναι στην τιμή μηδέν να γυρίσουμε τον διακόπτη στη θέση UN. Στη ουσία ο διακόπτης αυτός κλίνει το κύκλωμα θέτοντας μέσα και τους πυκνωτές αρχικών συνθηκών, και έτσι δημιουργείται η μεταβατική κατάσταση λύση. Μέθοδος επίλυσης διαφορικής εξίσωσης σε αναλογικό υπολογιστή Θα παρουσιάσουμε τη μέθοδο αναλυτικά μέσω παραδειγμάτων Παράδειγμα Έστω η γραμμική διαφορική εξίσωση: 2 d y( t) dy( t) 0 yt ( ) 5 dt dt αρχικές Συνθήκες: y(0) 0 () y (0)=0 Για ευκολία στην ανάγνωση γράφουμε τη διαφορική εξίσωση ως εξής : y''( t) 0 y'( t) y( t) 5 η για ευκολία στη γραφή: y '' 0 y ' y 5 BHMA Λύνουμε την εξίσωση ως προς την ανωτέρας τάξης παράγωγο και άρα έχουμε: y'' 50 y' y () BHMA-2 Σχεδιάζουμε στη σειρά τόσους ολοκληρωτές όση είναι και η τάξη της διαφορικής εξίσωσης. Αν στην είσοδο του πρώτου ολοκληρωτή θέσουμε την y (t) τότε στην έξοδο έχουμε την συνάρτηση με μια τάξη παράγωγο λιγότερο. Με αυτό τον τρόπο στην έξοδο του τελευταίου ολοκληρωτή θα έχουμε την συνάρτηση-λύση y(t) Προσοχή στα πρόσημα: Μετά από κάθε πέρασμα σε έναν ολοκληρωτή έχουμε αντιστροφή του προσήμου, ας μην ξεχνάμε ότι οι μονάδες αυτές είναι τελεστικοί ενισχυτές στους οποίους πάντα χρησιμοποιούμε την είσοδο αναστροφής. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 232

y'(0)=0 y(0)=0 y' -y' y Σχήμα 3.5 : Βήμα 2 ΒΗΜΑ-3 Σχεδιάζουμε έναν αθροιστή και προσπαθούμε, με σήματα που λαμβάνουμε από τις εξόδους των ολοκληρωτών που μόλις σχεδιάσαμε, να δημιουργήσουμε το δεύτερο μέλος της εξίσωσης (). Αυτό γίνεται δημιουργώντας με ενισχυτές τους συντελεστές και τα πρόσημα. Προσοχή: Στον αθροιστή πρέπει να βάλουμε και την είσοδο, την γνωστή συνάρτηση της εισόδου. Η συνάρτηση αυτή θα είναι εξωτερική (είσοδος) Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στα πρόσημα. Οι συντελεστές που θα θέσουμε αρχικά θα έχουν οποιοδήποτε τιμή μας προκύπτει στη συνέχει θα δούμε πως αυτοί προσαρμόζονται στις κατάλληλες τιμές του αναλογικού υπολογιστή με τη χρήση των ποτενσιομέτρων. y'(0)=0 y(0)=0 y' -y' y 0 5-0y'-y +0y' +y -5 V Σχήμα 3.6 : Βήμα 3 ΒΗΜΑ-4 Ολοκληρώνουμε το κύκλωμα συνδέοντας την έξοδο του αθροιστή στην είσοδο του πρώτου ολοκληρωτή. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 233

+ _ 2 Τέλος τοποθετούμε τις αρχικές συνθήκες όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7 (α). y'(0)=0 y(0)=0 y' -y' y 0 έξοδος λύση 5-0y'-y +0y' +y (α) -5 V Στο επόμενο σχήμα 3.6 (β) δίνεται το ηλεκτρονικό κύκλωμα. C C + _ C= + _ C= έξοδος λύση 2/=0 Vo + _ V V2 V3 Είσοδος -5 V (β) Σχήμα 3.7 : Βήμα 4 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 234

ΒΗΜΑ-5 Προσαρμόζουμε τις τιμές των συντελεστών στα δεδομένα του ηλεκτρονικού αναλογικού υπολογιστή. Ας υποθέσουμε ότι στο αναλογικό υπολογιστή έχουμε ενισχύσεις μόνο με τιμές 0 τότε η λύση για να σχηματίσουμε οποιαδήποτε τιμή συντελεστή δίνεται με τη χρήση του ποτενσιομέτρου όπως φαίνεται στο σχήμα, δηλαδή θέτουμε την δεκαδική τιμή στο ποτενσιόμετρο. Στο παρόν παράδειγμα δεν έχουμε τέτοια περίπτωση. 0,7 0 0,7 0 Συντελεστής 7 Σχήμα 3.8 Παράδειγμα 2 - Προσομοίωση συνάρτησης μεταφοράς. Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς : H() s 0 3 2 2s 7s s 3 Η διαφορική εξίσωση που προκύπτει απο την παραπάνω συνάρτηση μεταφοράς ειναι: ys ( ) 0 H() s 3 2 f ( s) 2s 7s s 3 3 2 y( s)(2s 7s s 3) 0 f ( s) y s s y s s y s s y s f s 3 2 ( )2 ( )7 ( ) 3 ( ) 0 ( ) Λαμβάνωντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace έχουμε: 2 y '''( t) 7 y ''( t) y '( t) 3 y( t) 0 f ( t) αρχικές συνθήκες : y(0) 0 y '(0) 0 y ''(0) 0 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 235

BHMA Λύνουμε την εξίσωση ως προς την ανωτέρας τάξης παράγωγο και άρα έχουμε: 7 3 y ''' 5 f ( t) y '' y ' y ή y''' 5 f ( t) 3,5 y'' 0,5 y',5 y () 2 2 2 BHMA-2 Σχεδιάζουμε στη σειρά τόσους ολοκληρωτές όση είναι και η τάξη της διαφορικής εξίσωσης. Αν στην είσοδο του πρώτου ολοκληρωτή θέσουμε την y (t) τότε στην έξοδο έχουμε την συνάρτηση με μια τάξη παράγωγο λιγότερο. Με αυτό τον τρόπο στην έξοδο του τελευταίου ολοκληρωτή θα έχουμε την συνάρτηση-λύση y(t) Y''(0)=0 y'(0)=0 y(0)=0 y' y' -y' y Σχήμα 3.9: Βήμα ΒΗΜΑ-3,4 και 5 Σχεδιάζουμε έναν αθροιστή και προσπαθούμε, με σήματα που λαμβάνουμε από τις εξόδους των ολοκληρωτών που μόλις σχεδιάσαμε, να δημιουργήσουμε το δεύτερο μέλος της εξίσωσης (). Αυτό γίνεται δημιουργώντας με ενισχυτές και ποτενσιόμετρα τους συντελεστές και τα πρόσημα. Y''(0)=0 y'(0)=0 y(0)=0 y' -y' +y' -y' έξοδος 0 0,5 0 0,35 0,5 5f(t)-3,5y (t)-0,5y (t)-,5y(t) 3,5y (t) 0,5y (t),5y(t) Σχήμα 3.0: Τελικό βήμα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 236

Παράδειγμα 3- Προσομοίωση Συνάρτησης μεταφοράς με αριθμητή. Στο παρακάτω παράδειγμα παρουσιάζουμε τον τρόπο με τον οποίο αντιμετωπίζεται η προσομοίωση μιας συνάρτησης μεταφοράς όταν έχουμε αριθμητή. Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς: H() s 0( s ) 3 2 2s 7s s 3 Η συνάρτηση αυτή είναι η ίδια του προηγουμένου παραδείγματος η οποία όμως έχει αριθμητή. ΒΗΜΑ - Χωρίζουμε το παραπάνω σύστημα σε δύο επιμέρους συστήματα ως εξής: 0 H() s 3 2 2s 7s s 3 H ( s) ( s ) 2 H ( s) H ( s). H ( s) 2 f(t) y(t) z(t) 0 H() s 3 2 2s 7s s 3 H ( s) ( s ) 2 Σχήμα 3.: Το κύκλωμα που προσομοιώνει την το πρώτο σύστημα είναι αυτό στο οποίο καταλήξαμε στο προηγούμενο παράδειγμα. Για το δεύτερο σύστημα έχουμε: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 237

zs () H 2( s) ( s ) ys () y( s)( s ) z( s) Αν πάρουμε το Μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης έχουμε: y '( t) y( t) z( t) () Η παραπάνω εξίσωση μας οδηγεί στο παρακάτω κύκλωμα λύση: Z(t)=y (t)+y(t) έξοδος Y''(0)=0 y'(0)=0 y(0)=0 y' -y' +y' -y' 0 0,5 0 0,35 0,5 5f(t)-3,5y (t)-0,5y (t)-,5y(t) 3,5y (t) 0,5y (t),5y(t) είσοδος-5 f(t) Σχήμα 3.2: Τελικό βήμα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 238

Το πρόβλημα της κλιμάκωσης πλάτους και χρόνου Στον αναλογικό υπολογιστή υποτίθεται ότι μπορούμε να λύσουμε οποιαδήποτε γραμμική διαφορική εξίσωση και άρα η λύση-έξοδος μπορεί να λαμβάνει οποιαδήποτε τιμές, τόσο στο πλάτος όσο και στο χρόνο. Από την άλλη πλευρά πρέπει να συνειδητοποιήσουμε ότι ο λύση έξοδος στον αναλογικό υπολογιστή είναι ηλεκτρική τάση, η οποία έχει σαφώς περιορισμούς στις τιμές που μπορεί να λαμβάνει. Το ίδιο συμβαίνει και με το χρόνο, αν η λύση είναι πολύ αργή στην εξέλιξη θα πρέπει να περιμένουμε πάρα πολύ για να την καταγράψουμε, αν είναι δε πολύ μικρός ο χρόνος εξέλιξης πιθανόν να μην μπορούμε να το δούμε σε κανένα παλμογράφο. Στους «επαγγελματικούς» αναλογικούς υπολογιστές πάνω σε κάθε υπολογιστική μονάδα υπάρχει ένα led κόρου, αν το led ανάψει σημαίνει ότι η λύση που παίρνουμε δεν είναι σωστή γιατί η τάση στην μονάδα αυτή ξεπέρασε τα όρια κόρου του τελεστικού ενισχυτή. Η λύση στο πρόβλημα των ορίων ξεπερνιέται με την μέθοδο της κλιμάκωσης πλάτους και χρόνου. Στην κλιμάκωση κάνουμε αυτό που είναι αυτονόητο στον ψηφιακό υπολογιστή, μικραίνουμε αναλογικά τις τιμές και έτσι η λύση που παίρνουμε είναι μικρότερη υπό κλίμακα. Στη συνέχεια δείχνουμε μέσω παραδειγμάτων πως θα κάνουμε κλιμάκωση πλάτους και χρόνου, Κλιμάκωση πλάτους Έστω ότι έχουμε την παρακάτω διαφορική εξίσωση στην οποία θέλουμε να κάνουμε κλιμάκωση πλάτους: ay ''( t) by '( t) c f ( t) αρχικές συνθήκες: y(0) d και y '( o) e BHMA- Έστω ότι εντοπίσαμε ότι στην εν λόγω εξίσωση πρέπει να κάνουμε κλιμάκωση πλάτους. Κατ αρχήν πρέπει να ορίσουμε τους συντελεστές κλιμάκωσης. Οι συντελεστές αυτοί εξαρτώνται από τις μέγιστες τιμές των ολοκληρωτών του κυκλώματος. Αν υποθέσουμε επι παραδείγματι ότι η μέγιστη τιμή του y(t) είναι y max τότε για να έχουμε τη λύση ακριβώς στα όρια των δυνατοτήτων του αναλογικού υπολογιστή πρέπει ο συντελεστής κλιμάκωσης του συγκεκριμένου ολοκληρωτή να είναι: u0 y max. Βέβαια συνήθως δεν βάζουμε δεκαδικές τιμές και φροντίζουμε να βάλουμε τουλάχιστον την προς τα επάνω στρογγυλεμένη τιμή. Ο προσδιορισμός Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 239

των συντελεστών κλιμάκωσης δεν είναι εύκολη δουλειά. Πρέπει να υπολογίσουμε τις μέγιστες τιμές της συνάρτησης-λύσης και των παραγώγων αυτής, αυτό μπορεί να γίνει με τους εξής τρόπους: Με θεωρητική ανάλυση και λύση της εξίσωσης Με τη διερεύνηση των φυσικών παραμέτρων του προβλήματος Η πιο συχνή πρακτική βέβαια είναι η μέθοδος της «δοκιμής και του λάθους», δηλαδή αν κατά τη λύση διαπιστώσουμε ότι μια υπολογιστική μονάδας έφτασε στον κόρο, ορίζουμε κατά προσέγγιση τους συντελεστές κλιμάκωσης και την λύνουμε πάλι, αν και πάλι κάποια μονάδα φτάνει στον κόρο μεγαλώνουμε το συντελεστή και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο μέχρι που καμία μονάδα να μην εμφανίζει κόρο Έστω λοιπόν στο παράδειγμά μας ότι ορίσαμε τους εξής συντελεστές κλιμάκωσης με τη σειρά για τους 3 ολοκληρωτές: u u καί u 0, 3 έτσι ώστε τελικά έχουμε: v u y, v ' u y ' καί v '' u y '' 0 2 τα μεγέθη v, v ', v '' είναι τα κλιμακωμένα μεγέθη. BHMA-2 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της αρχικής εξίσωσης με το γινόμενο: u. u. u 0 3 καί έχουμε: ( u u u ) ay '' ( u u u ) by ' ( u u u ) cy f ( t)( u u u ) 0 2 0 2 0 2 0 2 u u a( u y '') u u b( u y ') u u c( u y) f ( t)( u u u ) 0 2 0 2 2 0 0 2 u u av '' u u bv ' u u cv f ( t)( u u u ) 0 0 2 2 0 2 BHMA-3 Το ίδιο κάνουμε και για τις αρχικές συνθήκες v(0) u y(0) 0 v'(0) u y '(0) ΒΗΜΑ-4 Προχωρούμε στην επίλυση στον αναλογικό υπολογιστή της κλιμακωμένης εξίσωσης. Θα πρέπει να τονίσουμε ότι για τις τιμές τις τελικής λύσης ισχύει: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 240

Οι πραγματικές τιμές της λύσης y δίνονται απο τον τυπο: v y u 0 Προσοχη : Κλιμακώνουμε μόνο τα μεγέθη στα οποία εμφανίζεται πρόβλημα κόρου και όχι όλες τις παραγώγους! Αν ένας ολοκληρωτής εμφανίσει κόρο, το μέγεθος που κλιμακώνουμε είναι εκείνο που εμφανίζεται στην έξοδο. Αν εμφανιστεί κόρος στον αθροιστή κλιμακώνουμε την ανώτερης τάξης παράγωγο. Κλιμάκωση χρόνου Κλιμάκωση χρόνου χρειαζόμαστε για να μπορέσουμε να παρακολουθήσουμε τη λύση, διότι αν το φαινόμενο έχει πολύ μεγάλο χρόνο εξέλιξης δεν μπορούμε να τον παρακολουθήσουμε στο εργαστήριο, αν είναι πολύ μικρός δεν βρίσκουμε κατάλληλα όργανα να τον καταγράψουμε. ΒΗΜΑ- Ορίζουμε ένα συντελεστή κλιμάκωσης χρόνου a κ ως εξής: a κ > τότε το πραγματικό φαινόμενο στον αναλογικό επιβραδύνεται a κ < τότε το πραγματικό φαινόμενο στον αναλογικό επιταχύνεται μετά τον ορισμό του συντελεστή ο κλιμακωμένος χρόνος είναι: r a t αν αντικαταστήσουμε στην διαφορική εξίσωση έχουμε d... d... d... d... ή ak dr a dt dt dt n k κατά παρόμοι τρόπο για τις ανωτέρας τάξης παραγώγους έχουμε: 2 2 ( n) ( n) d... 2 d... d... n d... a και γενικά ισχύει 2 n a 2 n k n dt dt dt dt αν το γράψουμε αλλιώς έχουμε: ( n ) n y ( t) a y( r) k ΒΗΜΑ-2 Αν αντικαταστήσουμε τα παραπάνω η εξίσωση του προηγούμενου παραδείγματος γίνεται: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 24

a ay ''( r) a by '( r) cy( r) f ( r) 2 k k BHMA-3 Λύνουμε την κλιμακωμένη εξίσωση. Στη λύση θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ο χρόνους που βλέπουμε είναι ο κλιμακωμένος χρόνος Αν υποθέσουμε για παράδειγμα ότι σε ένα πρόβλημα θέλουμε σε sec του υπολογιστή να αντιστοιχούν 000 sec πραγματικού χρόνου, τότε το φαινόμενο θέλουμε να «επιταχυνθεί» και άρα θα πρέπει να ορίσουμε ak 0.00 000 στην περίπτωση αυτή όπως είναι ευνόητο ότι διαβάζουμε στον παλμογράφο στον άξονα του χρόνου το πολλαπλασιάζουμε επί 000. Επίλυση συστήματος διαφορικών εξισώσεων με Αναλογικό Υπολογιστή Όπως σχεδιάζουμε το αναλογικό σύστημα για την επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε το κύκλωμα με το οποίο επιλύουμε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Ας δούμε το επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα 4 σύστημα διαφορικών εξισώσεων 5 y( t) 3 y( t) 7 z( t) f ( t) 7 w ( t) 3 z( t) y( t) f ( t) 5 z( t) 0 y( t) w( t) f ( t) 2 3 Οι άγνωστες συναρτήσεις είναι 3 : y( t), z( t), w( t ) και οι γνωστές είναι : f( t), f2( t), f3( t ) /. Υποθέτουμε ακόμη ότι όλες οι αρχικές τιμές είναι μηδέν ΒΗΜΑ -- Βλέπουμε σε πια εξίσωση έχουμε την ανωτέρας τάξης παράγωγο της κάθε συνάρτησης και επιλύουμε την κάθε εξίσωση ως προς αυτή, έτσι έχουμε: 3 7 y( t) f( t) y( t) z( t) 0, 2 f( t) 0,6 y( t), 4 z( t) 5 5 5 3 w ( t) f2( t) z( t) y( t) 0,4 f2( t) 0, 42 z( t) 0,4 y( t) 7 7 7 0 z f3( t) y( t) w( t) 0, 2 f3( t) 2 y( t) 0, 2 w( t) 5 5 5 ΒΗΜΑ -2- Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 242

Σχεδιάζουμε στη σειρά 2 ολοκληρωτές για το yt (), και από 2 για z( t), w( t ), επίσης κάτω από την κάθε σειρά σχεδιάζουμε τον αθροιστή που θα μας δώσει τις παραπάνω 3 σχέσεις του βήματος. Έτσι έχουμε το παρακάτω σχήμα y'(0)=0 y(0)=0 -y' +y' -y' Y''(0)=0 y'(0)=0 y(0)=0 z' -z' +z' -z Y''(0)=0 y'(0)=0 y(0)=0 w' -w' +w' -w Σχήμα 3.3: βήμα ΒΗΜΑ -3- Προχωρούμε στη σύνδεση των εισόδων του κάθε αθροιστή. Η μόνη διαφορά είναι ότι τώρα θα έχουμε εισόδους και από τις 3 σειρές ολοκληρωτών. Έτσι καταλήγουμε στο παρακάτω τελικό σχήμα. Προσοχή : Ισχύουν όλα όσα έχουμε πει για τα πρόσημα, δηλαδή στις εισόδους των αθροιστών πρέπει να έχουμε τα αντίθετα πρόσημα από αυτά που βλέπουμε στις τελικές εξισώσεις Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 243

y'(0)=0 y(0)=0 y' -y' +y 0,6 0,2 0,4 έξοδος 0 0 είσοδος f(t) z' z''(0)=0 -z' z'(0)=0 +z' z(0)=0 0,4 -z 0,42 έξοδος w' f3(t) είσοδος w''(0)=0 0 -w' w'(0)=0 +w' w(0)=0 0,2 -w έξοδος f2(t) είσοδος Σχήμα 3.4: Τελικό βήμα Προσομοίωση της όλης διαδικασίας στο SIMULINK Την όλη διαδικασία της αναλογικής προσομοίωσης μπορούμε να την προσομοιώσουμε στο SIMULINK. Βέβαια δεν έχουμε εκεί τα σύμβολα του αναλογικού υπολογιστή, μπορούμε όμως να τα δημιουργήσουμε. Μπορούμε να δημιουργήσουμε ακριβή προσομοίωση διατηρώντας τα πρόσημα, μπορούμε όμως να θεωρήσουμε ότι οι μονάδες δεν κάνουν αναστροφή, οπότε χρειάζεται προσοχή στο θέμα των πρόσημων. Θα μπορούσαμε επίσης να κάνουμε πραγματική προσομοίωση με τελεστικούς οπότε θα είχαμε και τους πραγματικούς περιορισμούς που δημιουργούνται στους πραγματικούς αναλογικούς υπολογιστές. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 244

Παράδειγμα -- Προσομοίωση διατηρώντας τις αναστροφές των πρόσημων Να γίνει το αναλογικό διάγραμμα προσομοίωσης του συστήματος που έχει 3s συνάρτηση μεταφοράς: Hs () 3 3s 2s 9. Ακολουθούμε τα βήματα που έχουμε πει μέχρι τώρα. Στην αρχή θεωρούμε την Η(s), σαν ολική συνάρτηση δύο επιμέρους συστημάτων όπως φαίνεται στο σχήμα 3.5. f(t) y(t ) z(t) H() s 3 3s 2s9 H ( s ) (3 s ) 2 Σχήμα 3.5 Στη συνέχειs βρίσκουμε την διαφορική εξίσωση της συνάρτησης Η(s): yt ( ) 3 H( s) y( t)(3s 2s 9) f ( t) 3 3s 2s 9 f ( t) 3 y ( t) 2 y( t) 9 y( t) f ( t) Και αρχικές συνθήκες όλες μηδέν. Στη συνέχεια λύνουμε ως προς την ανωτέρας τάξης παράγωγο και έχουμε: 2 9 3 y ( t) 2 y( t) 9 y( t) f ( t) y ( t) f ( t) y( t) y( t) 3 3 3 y ( t) 0,33 f ( t) 0,66 y( t) 3 y( t) Στο σχήμα 3.6 Φαίνεται το σχέδιο για την επίλυση της παραπάνω εξίσωσης στο MATLAB. ΠΡΟΣΟΧΗ Για ολοκληρωτή λαμβάνουμε μια μονάδα συνάρτησης μεταφοράς και θέτουμε συνάρτηση μεταφοράς [ 0]. (δηλαδή θέτουμε αριθμητή [-] και παρανομαστή s Στον αθροιστή ρυθμίζουμε όλες στις εισόδους σε μείον Για ενισχυτή λαμβάνουμε μια μονάδα GAIN και ρυθμίζουμε το κέρδος στο -0 ή στο - ανάλογα τι ακριβώς θέλουμε. Για ποτενσιόμετρο μπορούμε και πάλι να πάρουμε ένα Gain και να μην αλλάξουμε το πρόσημο, αλλά για να έχουμε άλλο σχήμα από τον ενισχυτή Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 245

παίρνουμε ένα σύστημα συνάρτησης μεταφοράς και θέτουμε αριθμητή την τιμή που θέλουμε, π.χ [0,66] και παρανομαστή [] Σχήμα 3.6: Αναλογική προσομοίωση στο MATLAB Συνεχίζουμε με τον αριθμητή και έχουμε: zs () H2( s) 3s y( s)(3s ) z( s) και αν πάρουμε στο πεδίο του χρόνου ys () έχουμε: z( s) 3 y( t) y( t) Με αυτό καταλήγουμε στο τελικό αναλογικό σχέδιο του σχήματος 3.6 Παράδειγμα 2 Προσομοίωση μη διατηρώντας τις αναστροφές των πρόσημων Η προσομοίωση που κάναμε στο προηγούμενο παράδειγμα είναι ακριβώς ανάλογη με την προσομοίωση που κάνουμε στον αναλογικό υπολογιστή, δηλαδή αν πάμε να κατασκευάσουμε το διάγραμμα του σχήματος 3.7(α) σε αναλογικό υπολογιστή αυτό εφαρμόζεται ακριβώς. Στο Matlab δεν είναι απαραίτητο να αλλάξουμε τα πρόσημα, ούτε να λαμβάνουμε τις ενισχύσεις σαν να είχαμε ποτενσιόμετρα. Στην περίπτωση αυτή όμως πρέπει να προσέξουμε με λεπτομέρεια τα πρόσημα. Δηλαδή : Οι ολοκληρωτές και οι ενισχυτές δεν κάνουν αναστροφή Οι αθροιστές δεν κάνουν αναστροφή και επομένως τα πρόσημα στην είσοδο τους είναι αυτά που βλέπουμε και όχι τα αντίστροφα. Στο σχήμα 3.7(β) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 246

δίνεται το αναλογικό κύκλωμα της ίδιας συνάρτησης μεταφοράς. Σημειώστε τις διαφορές, και συγκρίνεται το παλμογράφημα για να βεβαιωθείτε ότι είναι σωστό. (α) (β) Σχήμα 3.7 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 247

Παράδειγμα 3- Προσομοίωση με τελεστικούς ενισχυτές Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας αντί για τις δομικές μονάδες του αναλογικού υπολογιστή, τα αντίστοιχα κυκλώματα με τελεστικούς, δημιουργούμε στο Simscape την προσομοίωση του ηλεκτρολογικού κυκλώματος με τελεστικούς ενισχυτές για την εξίσωση του προηγουμένου παραδείγματος. Στο σχήμα 3.8 δίνεται το τελικό αποτέλεσμα. Προσοχή Οι τιμές των αντιστάσεων στους ολοκληρωτές πρέπει να είναι τέτοιες ώστε να έχουμε C= Οι τιμές των αντιστάσεων στους αθροιστές πρέπει να είναι σε όλους ίδιες Οι τιμές στους ενισχυτές με τιμή 0 πρέπει να είναι τέτοιες ώστε να 2/=0 Σχήμα 3.8: Προσομοίωση αναλογικού υπολογιστή με τελεστικούς ενισχυτές στο SIMSCAPE Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 248

Το πρόβλημα που αντιμετωπίσαμε ήταν πως θα μπορούσαμε να προσομοιώσουμε τα ποτενσιόμετρα. Ο τρόπος με το οποίο λύσαμε το πρόβλημα φαίνεται στο σχήμα 3.9. Χρησιμοποιήσαμε μια ελεγχόμενη πηγή τάσης, στην είσοδο της οποίας φέρουμε την τάση εισόδου στο ποτενσιόμετρο μέσω ενός φυσικού ενισχυτή (gain). Οι δεκαδικές τιμές του ποτενσιομέτρου είναι οι τιμές που δίνουμε στο gain. Control Voltage source Είσοδος Voltage sensor ` u y Gain : y=u*gain Έξοδος Σχήμα 3.9: Προσομοίωση ποτενσιομέτρου Σχήμα 3.20: Το παλμογράφημα της εξόδου Στο σχήμα 3.20 φαίνεται το παλμογράφημα της εξόδου. Παρατηρείστε ότι η έξοδος είναι η ίδια ακριβώς με εκείνη που πήραμε και στην προσομοίωση στο simulink. Προσοχή: H βηματική είσοδος που πρέπει να βάλετε πρέπει να έχει τελική τιμή -0.33, διαφορετικά δε θα πάρετε την ίδια ακριβώς έξοδο. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 249