Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση (...)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση (...)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση με Απόσβεση (...) π / ω π / ω D E = f du = ( cu ) udt = cu dt D Δ9- Απώλεια ενέργειας Η απώλεια ενέργειας στη φάση της μόνιμης απόκρισης λόγω ιξώδους απόσβεσης, σε έναν κύκλο αρμονικής ταλάντωσης, είναι π / ω ω ω ( ω ϕ) cos π ω πζ πζβ ωn = c u t dt = c u = ku = ku Η αποσβεσμένη ενέργεια είναι ανάλογη του u και εξαρτάται από τη συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης. Η ενέργεια που προσδίδεται στο σύστημα λόγω της εξωτερικής δύναμης p(t)=p sinωt είναι π / ω π / ω E = p() t du = p() t udt I = p sinωt ωu cos( ωt ϕ) dt = πp u sinϕ = πζβku Όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από τον ορισμό του δυναμ. συντελεστή μεγέθυνσης R d και της διαφοράς φάσης φ. ΠΠΜ3: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 8 Παναγιώτης Ρουσής

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση με Απόσβεση (...) Δ9-3 Δηλαδή, E = E = πζβ ku D I (4) Κατά τη φάση της μόνιμης απόκρισης η ενέργεια που προσδίδει στο σύστημα η εξωτερική δύναμη p(t) ισούται με την ενέργεια που χάνεται λόγω της απόσβεσης. Επίσης, η δυναμικήενέργεια(ή η ενέργεια λόγω της ελαστικής δύναμης) και η κινητική ενέργεια (ή ηενέργεια λόγω της αδρανειακής δύναμης) σε έναν κύκλο αρμονικής ταλάντωσης είναι μηδέν: Άρα ισχύει και πάλι η σχέση ( ω ϕ) ω ( ω ϕ) E = f du = ( ku) udt = k u sin t u cos t dt = S K π / ω π / ω S ( ) ( ) π / ω π / ω I ( ) ω sin ω ϕ ω ω ϕ E = f du = mu udt = m u t u cos t dt = EK + ED + ES = E I ED = E I ΠΠΜ3: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 8 Παναγιώτης Ρουσής

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση με Απόσβεση (...) Δ9-4 Η γραφική απεικόνιση της δύναμης απόσβεσης f D (u) φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Η καμπύληf D (u) είναι πάντα κλειστή σε μία πλήρη ταλάντωση και περικλείει μία περιοχή η οποία ονομάζεται βρόχος υστέρησης (hysteretic curve), το εμβαδόν του οποίου ισούται με την ενέργεια που χάνεται σε κάθε κύκλο. Η εξίσωση που συνδέει τη δύναμη απόσβεσηςμετημετατόπισηείναι f = cu ( t) = cωu cos( ωt ϕ) D = cω u u sin ( ωt ϕ) = cω u u() t η οποία μπορεί να γραφτεί στη μορφή f D ut () + = u cωu 1 (5) ΠΠΜ3: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 8 Παναγιώτης Ρουσής

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση με Απόσβεση (...) Δ9-5 Η εξίσωση (5) στο επίπεδο u-f D παριστάνει έλλειψη. Το εμβαδόν της έλλειψης είναι ίσο με πcωu, δηλαδή ισούται με την ενέργεια που χάνεται σε έναν κύκλο ταλάντωσης. Στο σχήμα φαίνεται η ολική δύναμη f resisting (= δύναμη ελατηρίου + δύναμη απόσβεσης) που αντιτίθεται στην κίνηση ως συνάρτηση της μετατόπισης u. Η καμπύλη είναι πάλι έλλειψη, αλλά αυτήν τη φορά περιστραμμένη λόγω του όρου ku. Ωστόσο, το εμβαδόν της έλλειψης είναι ίσο με την ενέργεια που χάνεται σε έναν κύκλο ταλάντωσης, αφού η ενέργεια λόγω της ελαστικής δύναμης, όπως δείξαμε προηγουμένως, είναι μηδέν. ΠΠΜ3: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 8 Παναγιώτης Ρουσής

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση με Απόσβεση (...) Δ9-6 Ισοδύναμη ιξώδης απόσβεση (equivalent viscous damping) Η απόσβεση σε πραγματικές κατασκευές οφείλεται σε διάφορους μηχανισμούς απορρόφησης ενέργειας που δρουν ταυτόχρονα. Ένα βολικό μαθηματικό μοντέλο είναι η εξιδανίκευσή της με ισοδύναμη ιξώδη απόσβεση. Στην περίπτωση αυτή, η διαφορική εξίσωση κίνησης που προκύπτει είναι γραμμική και το πρόβλημα επιδέχεται αναλυτική λύση. Ηκαμπύληf resisting -u σε μία πραγματική κατασκευήδεθαείναιέλλειψηαλλά τυχαία όπως στο σχήμα. Οσυντελεστής ισοδύναμης απόσβεσης προκύπτει αφού εξισώσουμε την απώλεια ενέργειας που πειραματικά μετρήσαμε, E D, για έναν κύκλο ταλάντωσης με τη θεωρητική απώλεια ενέργειας λόγω ιξώδους απόσβεσης (εξίσωση (4)): ΠΠΜ3: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 8 Παναγιώτης Ρουσής

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση με Απόσβεση (...) Δ9-7 E = πζ β ku experimental D eq ή E = 4πζ β E experimental D eq So όπου Ηακαμψίαk μπορεί να προσδιοριστεί πειραματικά. Για να αποφύγουμε τον υπολογισμό της ιδιοσυχνότητας ω n (που προϋποθέτει τον προσδιορισμό της μάζας), εκτελούμε πείραμα για ω = ω n (β = 1). Σ αυτήν την περίπτωση ο συντελεστής ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης μπορεί να προσδιοριστεί από τη σχέση 1 ED ζ eq = 4π E Ητιμήαυτήτουζ eq ισχύει μόνο για ω = ω n (β = 1), αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μια καλή προσέγγιση σε οποιαδήποτε άλλη συχνότητα διέγερσης. ΠΠΜ3: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών ESo = 1 ku So 8 Παναγιώτης Ρουσής

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Περιοδική Φόρτιση

Περιοδική Ταλάντωση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Περιοδική Φόρτιση: Δ9-9 Περιοδικά φορτία είναι τα φορτία τα οποία επαναλαμβάνονται σε κανονικά (σταθερά) χρονικά διαστήματα. Το τμήμα του μεταβαλλόμενου φορτίου που επαναλαμβάνεται αποτελεί έναν κύκλο της φόρτισης και ο χρόνος που απαιτείται για να συμπληρωθεί ένας κύκλος ονομάζεται περίοδος (Τ). Μία περιοδική συναρτηση p(t) ικανοποιεί την πιο κάτω σχέση pt ( + T) = pt ( ) =,, 3,, 1,,1,,3,, ΠΠΜ3: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 8 Παναγιώτης Ρουσής

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Περιοδική Φόρτιση:Δ9-1 Περιοδική Ταλάντωση (...) Η περιοδική συνάρτηση p(t) μπορεί να διασπαστεί σε αρμονικές συνιστώσες (τριγωνομετρικές συναρτήσεις συχνότητας ω) χρησιμοποιώντας τις σειρές Fourier pt ( ) = α + α cos( ωt) + b sin( ωt), ω = = 1 = 1 π T όπου 1 T α = pt () dt T T α = pt ( )cos( ωt) dt = 1,,3, T T b = p( t)sin( ωt) dt = 1,,3, T Οσυντελεστήςα είναι η μέση τιμή του p(t), και οι συντελεστές α και b είναι τα πλάτη των th αρμονικών όρων συχνότητας ω. ΠΠΜ3: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 8 Παναγιώτης Ρουσής

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Περιοδική Φόρτιση:Δ9-11 Περιοδική Ταλάντωση (...) Aπόκριση μονοβάθμιου συστήματος σε περιοδική φόρτιση Η απόκριση μονοβάθμιου συστήματος σε περιοδική φόρτιση μπορεί να ληφθεί ως άθροισμα των αποκρίσεων του συστήματος σε κάθε αρμονικό όρο, αρκεί βεβαίως το σύστημα να είναι γραμμικό για να ισχύει η αρχή της επαλληλίας. Λόγω του ότι το περιοδικό φορτίο επενεργεί γενικά αρκετό χρόνο, ηπαροδικήαπόκριση(transient response) θεωρείται ότιέχειπαρακμάσεικαιαυτήπουενδιαφέρειείναι, όπως και στην αρμονική ταλάντωση, η μόνιμηαπόκριση(steady-state response). ΠΠΜ3: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 8 Παναγιώτης Ρουσής

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Περιοδική Φόρτιση:Δ9-1 Περιοδική Ταλάντωση (...) Η μόνιμη απόκριση για σταθερό φορτίο p(t) = α προκύπτει από τη σχέση ut () = Η μόνιμη απόκριση για φορτίο p(t) = α cos(ωt) προκύπτει από τη σχέση α 1 u() t = ζβ sin ω + 1 β cos ω t t k ( 1 β ) + ( ζβ) α k Η μόνιμη απόκριση για φορτίο p(t) = b sin(ωt) προκύπτει από τη σχέση b 1 ut () = 1 sin t cos t k ( 1 β ) + ( ζβ) ( ) ( ) ( ) ( β ) ( ω ) ζβ ( ω ) όπου β = ω ω n ΠΠΜ3: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 8 Παναγιώτης Ρουσής

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Περιοδική Φόρτιση:Δ9-13 Περιοδική Ταλάντωση (...) Άρα, η μόνιμη απόκριση ενός συστήματος με απόσβεση σε περιοδικό φορτίο είναι α { 1 1 ut () = + α ζβ + 1 β sin ω b t k k = 1 ( 1 β ) + ( ζβ) ( ) ( ) ( )} 1 b cos t + α β ζβ ω ( ) ( ) ( ) Ηαπόκρισηu(t) είναι και αυτή περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ. ΠΠΜ3: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 8 Παναγιώτης Ρουσής