Ημερίδα Γεωσυνθετικά Υλικά σε Έργα Πολιτικού Μηχανικού" ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Ιωάννης Ε. Ζευγώλης Επίκ. Καθηγητής ΔΠΘ Συν-διοργάνωση: Ελληνικός Σύνδεσμος Γεωσυνθετικών Υλικών, Εργαστήριο Εδαφομηχανικής & Θεμελιώσεων Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών ΔΠΘ, Όμιλος Πλαστικά Θράκης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης, Ξάνθη, 19 Μαΐου 2017
Κλασσικές μέθοδοι σχεδιασμού Nτετερμινιστική (αιτιοκρατική) προσέγγιση: Η ανάλυση και ο σχεδιασμός γεωτεχνικών έργων γίνεται με όρους μερικών (επιμέρους) ή ολικών (ενιαίων) συντελεστών οι οποίοι επί της ουσίας απομειώνουν μεγέθη που συμβάλουν θετικά στην ευστάθεια ή/και προσαυξάνουν μεγέθη που προκαλούν αστάθεια. Π.χ. βάσει EC7 και DA-2* με χρήση επιμέρους συντελεστών: Ε d R d Ε γ F F k, X k 1 γ R R F k, X k όπου Ε οι εντάσεις, R οι αντιστάσεις, F οι δράσεις, Χ οι εδαφικές ιδιότητες, γ F και γ R οι επιμέρους συντελεστές. R ή βάσει «παλαιάς» μεθοδολογίας: E FS όπου FS ο «παλιός» ενιαίος συντελεστής ασφαλείας. 1
Οριακές καταστάσεις αστοχίας Κατά FHWA (2001): ΟΡΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΤΟΙΧΟΥ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Ολίσθηση ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Ανατροπή ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ (ΒΑΘΙΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗ) Ανατροπή ΑΝΑΤΡΟΠΗ (εκκεντρότητα) ΟΠΛΙΣΜΟΣ 1 ΘΡΑΥΣΗ ΕΞΟΛΚΕΥΣΗ ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΣ 2 ΘΡΑΥΣΗ ΕΞΟΛΚΕΥΣΗ Φέρουσα ικανότητα Βαθιά ολίσθηση («ολική» ευστάθεια) Ολίσθηση Ολίσθηση ΦΕΡΟΥΣΑ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ Ανατροπή Ανατροπή ΟΠΛΙΣΜΟΣ Ν ΘΡΑΥΣΗ ΕΞΟΛΚΕΥΣΗ Βαθιά ολίσθηση («ολική» ευστάθεια) Φέρουσα ικανότητα Φέρουσα ικανότητα Βαθιά ολίσθηση Βαθιά ολίσθηση («ολική» ευστάθεια) («ολική» ευστάθεια) 2
Μεθοδολογία κλασσικού (ντετερμινιστικού) σχεδιασμού Χρήση συντηρητικά εκτιμώμενων (π.χ. χαρακτηριστικών) τιμών. Υπολογισμός συντελεστή ασφαλείας (FS) για κάθε μηχανισμό αστοχίας. Απαίτηση για κάθε μηχανισμό: FS προτεινόμενη τιμή (π.χ. βάσει FHWA: FS ανατρ. =2, FS ολίσθ. =1.5, FS φέρ.ικαν. =2.5, FS θρ. =1.8, FS εξόλκ. =1.5). Τροποποίηση σχεδιασμού (π.χ. μεγαλύτερο μήκος «οπλισμού») έως ότου επιτευχθούν οι απαιτούμενοι συντελεστές ασφαλείας. Στις εμπλεκόμενες παραμέτρους (π.χ. διατμητική αντοχή) αποδίδεται μία μονοσήμαντα ορισμένη τιμή (π.χ. φ' = 30 ). Η αβεβαιότητα δεν λαμβάνεται υπόψη ρητά και με σαφήνεια, αλλά έμμεσα μέσω ενός ενιαίου ή επιμέρους συντελεστών ασφάλειας. 3
Βασικά ερωτήματα που συχνά μένουν αναπάντητα o Πώς σχετίζεται ο συντελεστής ασφαλείας ενός έργου με την πιθανότητα αστοχίας ή μη ικανοποιητικής συμπεριφοράς του έργου; Π.χ. πόση είναι η πιθανότητα αστοχίας (P F ) ενός έργου που έχει σχεδιασθεί με συντελεστή ασφαλείας FS = 2; o Πώς μεταβάλλεται η πιθανότητα αστοχίας με τη μεταβολή του συντελεστή ασφαλείας; [σύγκριση διαφορετικών σχεδιαστικών σεναρίων] Π.χ. έστω ότι αυξάνεται ο συντελεστής ασφαλείας από 2 σε 2,5. Πόσο «πιο ασφαλές» γίνεται το έργο (πόσο δηλαδή μειώνεται η πιθανότητα αστοχίας ή αλλιώς, ποια είναι η επιπλέον ασφάλεια έναντι του πρόσθετου κόστους;) o Δύο έργα με τον ίδιο συντελεστή ασφαλείας έχουν την ίδια πιθανότητα αστοχίας; 4
Συντελεστής ασφαλείας vs. πιθανότητα αστοχίας Π.χ. φέρουσα ικανότητα τοίχου αντιστήριξης οπλισμένου σκυροδέματος Μη γραμμική συσχέτιση μεταξύ συντελεστή ασφαλείας και πιθανότητας αστοχίας! IE Zevgolis, PL Bourdeau (2010). Probabilistic Analysis of Retaining Walls. Computers and Geotechnics, 37(3): 359-373. 5
Συντελεστής ασφαλείας vs. πιθανότητα αστοχίας Ο συντελεστής ασφάλειας δεν αντικατοπτρίζει επαρκώς το πόσο «ασφαλές» είναι ένα έργο! Πηγή: GA Fenton, DV Griffiths (2008), Risk Assessment in Geotechnical Engineering, Wiley & Sons. 6
Πιθανοτική προσέγγιση σχεδιασμού Πιθανοτικές μέθοδοι & μέθοδοι ανάλυσης αξιοπιστίας συστήματος: διαχείριση αβεβαιοτήτων με πιο ορθολογικό τρόπο δυνατότητα εύρεσης πιθανότητας αστοχίας βοήθεια στη λήψη αποφάσεων (decision analysis) Ανάλυση αξιοπιστίας η αξιολόγηση της πιθανότητας ικανοποιητικής απόδοσης ενός συστήματος κάτω από αβέβαιες συνθήκες (δηλαδή, της πιθανότητας οι «αντιστάσεις» να επαρκούν ενόψει των αναμενόμενων «φορτίσεων», όταν και οι μεν και οι δε ενέχουν μεγάλο βαθμό αβεβαιότητας). Αξιοπιστία (R) + Πιθανότητα «αστοχίας» (P F ) = 1 7
Παρούσα μελέτη Πρόταση μεθοδολογίας για την ανάλυση αξιοπιστίας τοίχων οπλισμένου εδάφους (δηλαδή, την εύρεση της πιθανότητας ικανοποιητικής τους απόδοσης), λαμβάνοντας υπόψη: την αβεβαιότητα των παραμέτρων διατμητικής αντοχής του οπλισμένου εδάφους, του αντιστηριζόμενου εδάφους και του εδάφους θεμελίωσης, την αλληλο-συσχέτιση μεταξύ των διαφορετικών μηχανισμών ασφαλείας, την επικαλυπτόμενη ασφάλεια μεταξύ των στοιχείων οπλισμού (επαλληλία ασφάλειας). 8
Σημαντική παρατήρηση Οι αναλύσεις αξιοπιστίας (μέσω πιθανοτικών προσεγγίσεων) δεν προτείνονται ως εργαλείο αντικατάστασης των παραδοσιακών μεθόδων σχεδιασμού, αλλά ως ένα συμπληρωματικό εργαλείο, το οποίο μπορεί να παρέχει ορθολογικότερα κριτήρια βελτιστοποίησης του σχεδιασμού και ανάληψης αποφάσεων. 9
Πιθανοτική προσέγγιση - βιβλιογραφία Προσομοίωση ασφάλειας τοίχου οπλισμένου εδάφος ως σύστημα σε σειρά, όπου αστοχία ενός και μόνο στοιχείου του συστήματος (είτε ως προς εσωτερική είτε ως προς εξωτερική ασφάλεια) οδηγεί σε πλήρη αστοχία. Παραδοχή μηδενικής επικαλυπτόμενης ασφάλειας (επαλληλίας ασφάλειας). Παραδοχή μη αλληλεξάρτησης (μηδενική συσχέτιση) μεταξύ μηχανισμών αστοχίας. (Πηγές: Genske et al, 1992; Basheer and Najjar, 1996; Basma et al, 2003; Chalermyanont and Benson, 2004, 2005). 10
Βήματα ανάλυσης αξιοπιστίας Προσδιορισμός ενδεχόμενων μηχανισμών αστοχίας. Προσδιορισμός πηγών αβεβαιότητας του προβλήματος - επιλογή των πλέον κρίσιμων και αβέβαιων παραμέτρων ως τυχαίες μεταβλητές. Συλλογή διαθέσιμων πληροφοριών σχετικά με τις τυχαίες μεταβλητές (π.χ. εργαστηριακά δεδομένα, βιβλιογραφία, κλπ.) και εν συνεχεία εκτίμηση πιθανοτικών - στατιστικών παραμέτρων αυτών. Καθορισμός «συναρτήσεων απόδοσης» αναλυτικά προσομοιώματα (συναρτήσεις) που περιγράφουν τις οριακές καταστάσεις. Υπολογισμός πιθανότητας μη αποδεκτής συμπεριφοράς και αξιοπιστίας του συστήματος μέσω κατάλληλης πιθανοτικής μεθόδου (προσομοιώσεις Monte Carlo, μέθοδος σημειακής εκτίμησης, μέθοδος δείκτη αξιοπιστίας, μέθοδος αξιοπιστίας πρώτης τάξης, κλπ). 11
Αξιοπιστία συστήματος (system reliability) Τοίχος οπλισμένου εδάφους δύναται να «αστοχήσει» βάσει πολλών διαφορετικών μηχανισμών (αστοχίας). Input 1 2... N Series system Output Φιλοσοφία Προσομοίωση 1 κατασκευής ως ένα σύστημα του οποίου Input 2 Output οι συνιστώσες είναι οι διαφορετικοί... μηχανισμοί αστοχίας. N Βασικές μεθοδολογίες Parallel system Συστήματα σε σειρά Παράλληλα συστήματα Input 1 2 3 4 Output Συνδυαστικά συστήματα Combined system 12
Προτεινόμενη μεθοδολογία αξιοπιστία συστήματος ΤΟΙΧΟΣ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Ανατροπή Σύστημα σε σειρά Σύστημα επικαλυπτόμενης ασφάλειας Ν συστήματα σε σειρά Σύστημα σε σειρά 1 ο επίπεδο οπλισμού 2 ο επίπεδο οπλισμού i ο επίπεδο οπλισμού ΑΣΦΑΛΕΙΑ Ολίσθηση Φέρουσα ικανότητα Ν οστό επίπεδο οπλισμού Θραύση Εξόλκευση IE Zevgolis, PL Bourdeau (2010). System Reliability Analysis of the External Stability of Reinforced Soil Structures. GeoRisk, 4(3):148-156. IE Zevgolis, PL Bourdeau (2017). Reliability and Redundancy of the Internal Stability of Reinforced Soil Walls. Computers and Geotechnics, 84:152-163. 13
Προτεινόμενη μεθοδολογία - προσομοιώσεις Monte Carlo Ανάπτυξη προσομοιώματος που λαμβάνει υπόψη αβεβαιότητα και αλληλο-συσχέτιση μηχανισμών φ RET αστοχίας. Ορισμός «συναρτήσεων απόδοσης» φ REINF βάσει FHWA. Τέσσερις τυχαίες μεταβλητές (φ REINF, φ RET, φ F, c F ) βήτα κατανομής (μ, CV (%), min, max) c F, φ F Δυνατότητα να ληφθεί υπόψη «από κοινού» κατανομή των φ F και c F. 14
Αξιοπιστία εσωτερικής ευστάθειας 1 ο βήμα: ανάλυση ανά στοιχείο οπλισμού Κάθε στοιχείο οπλισμού δύναται να αστοχήσει λόγω εφελκυσμού ή εξόλκευσης Συναρτήσεις απόδοσης: Series system Tension Pull out SR Ti = T a T max,i SR POi = P R,i T max,i Θεώρηση συστήματος σε σειρά με δύο στοιχεία αν έστω ένα εκ των δύο [SR T,i ] < 1 ή [SR PO,i ] < 1 λάβει χώρα, τότε το στοιχείο i δεν συνεισφέρει πλέον στην εσωτερική ευστάθεια του τοίχου. 15
Αξιοπιστία εσωτερικής ευστάθειας 1 ο βήμα: ανάλυση ανά στοιχείο οπλισμού S 2 Διαγράμματα Venn & πιθανότητα αστοχίας [SR Ti ] < 1 [SR POi ] < 1 Πιθανότητα αστοχίας οπλισμού: P Fi = P SR Ti < 1 SR POi < 1 Καθώς [SR T,i ] και [SR PO,i ] δεν είναι ασυμβίβαστα ούτε ανεξάρτητα: P Fi = P SR Ti < 1 + P SR POi < 1 P Fi = P SR Ti < 1 + P SR POi < 1 P SR Ti < 1 SR POi < 1 P SR Ti < 1 SR POi < 1 16
Αξιοπιστία εσωτερικής ευστάθειας 1 ο βήμα: ανάλυση ανά στοιχείο οπλισμού P SR Ti < 1 = n F,Ti N P SR POi < 1 = n F,POi N P SR Ti < 1 SR POi < 1 = n F,Ti POi N 1 ο επίπεδο οπλισμών 2 ο επίπεδο οπλισμών P F 1 P F 2 i ο επίπεδο οπλισμών P F i T = P F1 P F2 P Fi P Fm (m-1) ο επίπεδο οπλισμών P F m-1 m ο επίπεδο οπλισμών P F m 17
Αξιοπιστία εσωτερικής ευστάθειας 2 ο βήμα: ανάλυση αξιοπιστίας συστήματος ΤΟΙΧΟΙ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ: ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΠΙΚΑΛΥΠΤΟΜΕΝΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ Αν ένα στοιχείο οπλισμού αστοχήσει, τότε οι τάσεις ανακατανέμονται στα εναπομείναντα στοιχεία και ο τοίχος εξακολουθεί (έστω εν μέρει) να επιτελεί το έργο του (επικαλυπτόμενη ασφάλεια redundancy). 1 2 3...... N 1 2 3...... N 1 2 3...... N 18
Αξιοπιστία εσωτερικής ευστάθειας 2 ο βήμα: ανάλυση αξιοπιστίας συστήματος ΠΛΗΡΩΣ ΕΠΙΚΑΛΥΠΤΟΜΕΝΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑ (ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) P F = P F1 P F2 P Fi P Fm R = 1 P F = 1 1 R 1 1 R 2 1 R i 1 R m Αν η αξιοπιστία έστω ενός οπλισμού είναι μονάδα, τότε η αξιοπιστία του συστήματος (εσωτερικής ευστάθειας) είναι μονάδα. Προφανώς λάθος παραδοχή από τη σκοπιά του μηχανικού! ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙΚΑΛΥΠΤΟΜΕΝΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑ (ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ) Με θεώρηση απόλυτης συσχέτισης: P F = P Fcr = max P Fi 19
Αξιοπιστία εσωτερικής ευστάθειας 2 ο βήμα: ανάλυση αξιοπιστίας συστήματος ΠΑΡΟΥΣΑ ΜΕΛΕΤΗ Ανάλυση αξιοπιστίας ενός «r-out-of-m» συστήματος: προσομοίωμα συστήματος με m στοιχεία, εκ των οποίων πρέπει να είναι σε λειτουργία τα r προκειμένου το σύστημα να εξακολουθεί να λειτουργεί (Ang and Tang 1984, Harr 1987). non-operating layer Series system Tensile Pull out r-out-of-m system 1 st layer 2 nd layer i th layer m th layer Internal Stability 20
Αξιοπιστία εσωτερικής ευστάθειας Μαρκοβιανές διαδικασίες ΑΛΥΣΙΔΕΣ MARKOV Στοχαστικές διαδικασίες κατά τις οποίες η έκβαση ενός πειράματος κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται μόνο από την αμέσως προηγούμενη έκβαση και από καμία πριν από αυτή. Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή συστημάτων διακριτών παραμέτρων με πεπερασμένο πλήθος δυνατών (μεταβατικών ή και μόνιμων) καταστάσεων. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ Η πιθανότητα p ii+1 (m,n) εκφράζει την πιθανότητα μετάβασης της αλυσίδας Markov από την κατάσταση i τη χρονική στιγμή m, στην κατάσταση i+1 τη χρονική στιγμή n. 21
Μαρκοβιανές διαδικασίες Πίνακας μετάβασης: προοδευτική αστοχία τοίχου οπλισμένου εδάφους «Επόμενη» κατάσταση 0 p ij 1 1... i i+1... n για όλα τα i και j «Παρούσα» κατάσταση 1... i i+1... n p1,1... p1, i p1, i1... p1, n 1.................. 1 0... pi, i pi, i 1... p i, n 1 0... 0 pi 1, i1... pi 1, n 1.................. 1 0... 0 0... 1 1 m p ij j =1 = 1 για όλα τα i p ij = 0 για i > j p i,i+1 = P [ ύπαρξη κατάστασης (i+1) κατάσταση (i) έχει ήδη υπάρξει ] 22
Αξιοπιστία εξωτερικής ευστάθειας Σύστημα σε σειρά Εξωτερική ευστάθεια Εκκεντρότητα Ολίσθηση Φέρουσα ικανότητα Θεώρηση συστήματος σε σειρά με τρία στοιχεία αν έστω ένα εκ των τριών SR e < 1 ή SR SL < 1 ή SR BC < 1 λάβει χώρα, τότε θεώρηση μη ικανοποιητικής συμπεριφοράς («αστοχίας») Συναρτήσεις απόδοσης SR = SL F F R SL q b,l B 6 SR BC = SR e = q max e A: SR BC <1 B: SR SL <1 C: SR e <1 A S 1 P[AUBUC] = P[A] + P[B] + P[C] (P[A B] + P[B C] + P[A C]) + P[A B C] B C 23
Παράδειγμα εφαρμογής q = 10 kpa 265 kn/m 2.3m 5.25 kn/m 2m 8.3m 6m 0.6m Reinforced soil γ 1 = 20 kn/m 3 μ[φ 1 ] = 34 COV[φ 1 ] = 10% min[φ 1 ] = 20.4 max[φ 1 ] = 47.6 c 1 = 0 kpa Retained soil γ 2 = 20 kn/m 3 μ[φ 2 ] = 30 COV[φ 2 ] = 15% min[φ 2 ] = 12 max[φ 2 ] = 48 c 2 = 0 kpa 7m Steel Strip Reinforcement Elements Yield strength of 60 grade steel, F Y 413.7 MN/m 2 Gross width of strip, b 0.05 m Nominal thickness of strip, E N 0.004 m Design cross section of strip, A C 99.2 mm 2 Coverage ratio, R c = b / S h 0.0833 (-) 24
Παράδειγμα αξιοπιστία εσωτερικής ευστάθειας 25
Παράδειγμα αξιοπιστία εσωτερικής ευστάθειας 26
Παράδειγμα αξιοπιστία εσωτερικής ευστάθειας Μητρώο μετάβασης «Παρούσα» κατάσταση «Επόμενη» κατάσταση 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.93185.06222.00515.00022.00037.00007.00008.00002.00003 0 0 1 0.91135.06695.01647.00242.00095.00057.00108.00022 0 0 1 0 0.75318.16623.05687.00775.00410.01072.00112.00002.00002 1 0 0 0.26247.40708.22068.05745.04645.00522.00045.00020 1 0 0 0 0..................... 1 0 0 0 0 0.................. 1 0 0 0 0 0 0............... 1 0 0 0 0 0 0 0............ 1 0 0 0 0 0 0 0 0......... 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0...... 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 P [ παύση περαιτέρω αστοχίας αφού 2 στοιχεία οπλισμού έχουν αστοχήσει ] = 75.318 % P [ αστοχία 4 στοιχείων οπλισμού 3 στοιχεία έχουν ήδη αστοχήσει ] = 40.708 % 27
Παράδειγμα αξιοπιστία εξωτερικής ευστάθειας CFS i P F,i BC 2.61 1.608 % e 1.40 < 10-4 % SL 1.88 1.605 % Συντελεστής γραμμικής συσχέτισης ρ: ρ BC-SL 0.67 ρ BC-e 0.55 max(p F,i ) P F 1 Π(1 P F,i ) 1.608 % 2.938 % 3.188 % Όρια πρώτης τάξης ρ e-sl 0.08 28
Σύνοψη Συμπεράσματα o Πρόταση μαθηματικού - πιθανοτικού προσομοιώματος για τη μελέτη αξιοπιστίας τοίχων οπλισμένου εδάφους. Παράμετροι διατμητικής αντοχής: τυχαίες μεταβλητές (με δυνατότητα αλληλοσυσχέτισης). Εξωτερική ευστάθεια: σύστημα σε σειρά Εσωτερική ευστάθεια: εν μέρει παράλληλο σύστημα («r-out-of-m») λαμβάνεται υπόψη η επαλληλία στην ασφάλεια. Μέθοδος ανάλυσης: προσομοιώσεις Monte Carlo με χρήση θεωρίας αλυσίδων Markov και πιθανοτήτων μετάβασης. o Πιθανοτικά προσομοιώματα: συμπληρωματικό (στις συμβατικές μεθόδους) εργαλείο, το οποίο μπορεί να παρέχει ορθολογικότερα κριτήρια βελτιστοποίησης του σχεδιασμού και ανάληψης αποφάσεων. 29